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  • 最优化方法及其Matlab程序设计》较系统地介绍了非线性最优化问题的基本理论和算法,以及主要算法的Matlab程序设计,主要内容包括(精确或非精确)线搜索技术、最速下降法与(修正)牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法、...
  • 最优化方法习题+答案

    2011-06-11 13:25:46
    最优化方法习题+答案 共两套题 可作学习参考用
  • 最优化方法:六、约束最优化方法

    千次阅读 2018-07-25 10:55:56
    最优化方法及其应用/郭科,陈聆,魏友华.-北京:高等教育出版社,2007.7(2013.7重印) 前面我们已经讨论无约束问题的最优化方法,但实际碰到的问题常常是存在约束的。一般的约束最优化问题的数学模型为: minf(X)s....

    主要参考书目:

    • 最优化方法及其应用/郭科,陈聆,魏友华.-北京:高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

    前面我们已经讨论无约束问题的最优化方法,但实际碰到的问题常常是存在约束的。一般的约束最优化问题的数学模型为:

    minf(X)s.t.{gi(X)0,  i=1,2,,l,hj(X)=0,  j=1,2,,m. m i n f ( X ) s . t . { g i ( X ) ≥ 0 ,     i = 1 , 2 , ⋯ , l , h j ( X ) = 0 ,     j = 1 , 2 , ⋯ , m .

    解决约束问题一般有两种思路,一是通过“罚函数”把约束问题转化为无约束问题解决;二则是构造某种迭代过程使之不能越出可行域。

    1、外点罚函数法

    • 基本思路
      构造一函数为
      F(X,Mk)=f(X)+Mkα(X), F ( X , M k ) = f ( X ) + M k α ( X ) ,

      1
      该方法之所以叫做外点法,是因为在很多情况下(不是所有情况),当惩罚因子比较小的时候,最优解会落在可行域之外,随着惩罚因子的增加,向可行域内部移动,也就是说迭代过程中最优解一直在可行域之外。
    • 特点
      该方法实现了有约束问题向无约束问题的转化,但存在着一些问题:
      (1)惩罚因子选的小会使最优解更容易落在可行域外,而惩罚因子选的大又会使函数的Hesse矩阵性质变坏。
      (2)迭代过程中得到的解常常在可行域之外,难以观察到内点的变化情况也无法求得近似最优解。

    2、内点罚函数法

    • 基本思路
      对于纯不等式约束问题,为使得迭代过程中解一直在可行域内。我们通过罚函数在可行域边界处构造一个“壁垒”使得迭代过程中解不能离开可行域。
      1
    • 特点
      该方法保证了迭代过程中得到的解一直处于可行域内,但仍然面临过三个问题:
      (1)需要找到一个可行的初始点。
      (2)如果搜索步长过大,有可能一步跨过壁垒,所以在搜索过程中应适当控制步长,防止该情况发生。
      (3)无法解决等式约束的问题。

    3、混合罚函数法

    • 基本思路
      为解决内点法不能应对等式约束的问题,采用以下混合罚函数:
      F(X,rk)=f(X)+rki=1l1gi(X)+1rkj=1m[hj(X)]2 F ( X , r k ) = f ( X ) + r k ∑ i = 1 l 1 g i ( X ) + 1 r k ∑ j = 1 m [ h j ( X ) ] 2
    • 外插技术
      F(X,r) F ( X , r ) 的最优解 X X ∗ 可以看做 r r 的函数,当我们得到了前几点的X(r)后,可以通过外插法估计下一个最优值,并把该点当做下一次迭代的初始点,以加快收敛速度。
      通常使用两点外插或者三点外插。

    4、约束坐标轮换法

    • 基本思路
      与无约束优化问题的坐标轮换法类似,但是搜索时不再使用一般的以为搜索方法,而采用以下规则:
      1
      该方法可以引入一个步长缩放因子,当在t步长下的搜索已满足该步长下的终止限,而步长并不足够下,则缩短步长进行下一轮搜索。
    • 特点
      该方法算法简单明了,但存在以下问题:
      (1)收敛较慢;
      (2)可能出现“死点”,导致输出伪最优点;
      (3)可能出现在某几个点之间循环的现象。

    5、复合型法

    • 基本思路
      与单纯形法类似,但该方法使用的是顶点更多的复合型。(顶点可以使降维的可能性减小,而且由于约束边界的限制,使用单纯形容易“卡死”在某个地方,而复合型则提供了更多可能的搜索方向)
    • 具体细节
      (1)生成初始复合型
      1
      (2)跑出可行域的点一律认为是最坏的点。
      (3)如果无法利用最坏点搜索(即步长t降的很小仍不符合要求)则改用次坏点替代最坏点,并以此类推。
      (4)关于复合型的顶点数,当 n5 n ≤ 5 时,一般取 k=2n k = 2 n n>5 n > 5 时一般取 k=(1.251.5)n k = ( 1.25 ∼ 1.5 ) n
    • 特点
      属于直接法,对目标函数要求少。
      但其收敛速度较慢,而且不能应对等式约束。
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  • 机器学习的目标是给出一个模型(一般是映射函数),然后定义对这个模型好坏的...第三个问题是纯数学问题,即最优化方法。 机器学习要求解的数学模型 1.有监督学习:目标函数的极值 对于有监督学习,我们要找到一...

    机器学习的目标是给出一个模型(一般是映射函数),然后定义对这个模型好坏的评价函数(目标函数),求解目标函数的极大值或者极小值,以确定模型的参数,从而得到我们想要的模型。

    在这三个关键步骤(定义模型,目标函数,求解极值)中,前两个是机器学习要研究的问题,建立数学模型。第三个问题是纯数学问题,即最优化方法。

    机器学习要求解的数学模型

    1.有监督学习:目标函数的极值

    对于有监督学习,我们要找到一个最佳的映射函数f(x),使得对训练样本的损失函数最小化。

    N为训练样本数,L是对单个样本的损失函数,w是要求解的模型参数,是映射函数的参数, [公式] 为样本的特征向量, [公式] 为样本的标签值。

    2.有监督学习:最大似然估计

    或是找到一个最优的概率密度函数p(x),使得对训练样本的对数似然函数极大化(最大似然估计):

     [公式] 是要求解的模型参数,是概率密度函数的参数。

    3.无监督学习

    以聚类算法为例,算法求解每个类的样本离类中心的距离之和最小化:

    在这里k为类型数,x为样本向量, [公式] 为类中心向量, [公式] 为第i个类的样本集合。

    4.强化学习

    找到一个最优的策略,即状态s到动作a的映射函数(确定性策略,对于非确定性策略,是执行每个动作的概率):

    使得任意给定一个状态,执行这个策略函数所确定的动作a之后,得到的累计回报最大化:

    这里使用的是状态价值函数。

    最优化算法的分类

    好的优化算法需要满足:能正确的找到各种情况下的极值点,并且速度快。优化算法分成两种类型:公式解,数值优化。前者给出一个最优化问题精确的公式解,也称为解析解,一般是理论结果。后者是在要给出极值点的精确计算公式非常困难的情况下,用数值计算方法近似求解得到最优点。

    下图给出了这些算法的分类与它们之间的关系:

    公式解算法

    费马定理

    对于一个可导函数,寻找其极值的统一做法是寻找导数为0的点,即费马定理。

    对于多元函数,则是梯度为0:

    导数为0只是函数取得极值的必要条件而不是充分条件,它只是疑似极值点。是不是极值,是极大值还是极小值,还需要看更高阶导数。

    对于一元函数,假设x是驻点:

    1.如果 [公式] (x)>0,则在该点处去极小值

    2.如果 [公式] (x)<0,则在该点处去极大值

    3.如果 [公式] (x)=0,还要看更高阶导数

    对于多元函数,假设x是驻点:

    1.如果Hessian矩阵所有特征值均大于0,矩阵正定,函数在该点有极小值

    2.如果Hessian矩阵所有特征值均小于0,矩阵负定,函数在该点有极大值

    3.如果Hessian矩阵所有特征值均等于0,矩阵不定,则不是极值点

    注意:

    1.鞍点:在导数为0的点,函数可能不取极值

    2.局部极值:一个驻点是极值点,但不是全局极值

    如果我们对最优化问题加以限定,可以有效的避免这两种问题。典型的是凸优化,它要求优化变量的可行域是凸集,目标函数是凸函数。

    拉格朗日乘数法

    对于带等式约束的极值问题,经典的解决方案是拉格朗日乘数法。

    构造拉格朗日乘子函数:

    在最优点处对x和乘子变量 [公式] 的导数都必须为0:

    机器学习中用到拉格朗日乘数法的地方有:主成分分析、线性判别分析、流形学习中的拉普拉斯特征映射、隐马尔可夫模型。

    KKT条件

    KKT条件是拉格朗日乘数法的推广,用于求解既带有等式约束,又带有不等式约束的函数极值。对于如下优化问题:

    KKT条件构如下乘子函数:

    [公式][公式] 称为KKT乘子。在最优解处 [公式] 应该满足如下条件:

    等式约束 [公式] ( [公式] )=0和不等式约束 [公式] ( [公式] ) [公式] 0是本身应该满足的约束, [公式]L( [公式] )=0和之前的拉格朗日乘数法一样。唯一多了关于 [公式] (x)的条件:

    在机器学习中用到KKT条件的地方有:支持向量机(SVM)。

     

    数值优化算法:一阶优化算法

    对绝大多数函数来说,梯度等于0的方程组是没法直接解出来的,如方程里面含有指数函数、对数函数之类的超越函数,我们只能求解近似解。如果采用目标函数的一阶导数,则称为一阶优化算法。如果使用了目标函数的二阶导数,则称为二阶优化算法。

    工程上实现时通常采用的是迭代法,它从一个初始点 [公式] 开始,反复使用某种规则从 [公式] 移动到下一个点 [公式] ,构造这样一个数列,直到收敛到梯度为0的点处。即有下面的极限成立:

    利用一阶导数信息即梯度,或者二阶导数信息即Hessian矩阵。这样迭代法的核心是得到这样的由上一个点确定下一个点的迭代公式:

    梯度下降法(又称为最速下降法)

    梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向,因为该方向为当前位置的最快下降方向,所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值,步长越小,前进越慢。利用了函数的一阶导数信息:

    学习率 [公式] 设置为一个非常小的正数,保证迭代之后的 [公式] 位于迭代之前的值 [公式] 的邻域内,从而可以忽略泰勒展开中的高次项,保证迭代时函数值下降。

    缺点:梯度下降法的收敛取决于设置的学习率的大小,太小则收敛慢,太大则不收敛。

    梯度下降法及其变种的应用:深度学习。

    动量项

    优点:加快梯度下降法的收敛速度,减少震荡。

    动量项累积了之前迭代时的梯度值,迭代时沿着之前的惯性方向向前走,加上此项之后的参数更新公式为:

    其中 [公式] 是动量项,它取代了之前的梯度项。动量项的计算公式为:

    其中 [公式] 是学习率, [公式] 是动量项系数,t时刻的动量项与t+1时刻的梯度值的加权平均值。按照时间t进行展开,则第t次迭代时使用了从1到t次迭代时的所有梯度值, [公式] 系数呈指数级衰减:

    AdaGrad算法

    AdaGrad算法是梯度下降法最直接的改进。

    AdaGrad算法根据前几轮迭代时的历史梯度值动态调整学习率,且优化变量向量x的每一个分量 [公式] 都有自己的学习率。参数更新公式为:

    [公式] 是学习率, [公式] 是第t次迭代时参数的梯度向量, [公式] 是一个很小的正数,为了避免除0操作,下标i表示向量的分量。

    和标准梯度下降法唯一不同的是多了分母中的这一项,它累积了到本次迭代为止梯度的历史值信息用于生成梯度下降的系数值。历史导数值的绝对值越大,分量学习率越小。

    优点:自动变更学习率,(学习率)与(以往参数模和的开方)成反比

    缺点:需要人工指定的全局学习率 [公式],长期累积梯度值,分母会越来越大,导致学习率趋向于0,参数无法有效更新。

    RMSProp算法

    RMSProp算法是对AdaGrad的改进。

    由梯度值构造一个向量RMS,初始化为0,按照衰减系数累积了历史的梯度平方值。更新公式为:

    AdaGrad直接累加所有历史梯度的平方和,而这里将历史梯度平方值按照 [公式] 衰减之后再累加。参数更新公式为:

    其中 [公式] 是人工设定的参数,与AdaGrad一样,这里也需要人工指定的全局学习率 [公式]

    优点:缓解学习率下降较快(AdaGrad)

    缺点:需要人工指定的全局学习率 [公式]

    AdaDelta算法

    AdaDelta算法也是对AdaGrad的改进,避免了长期累积梯度值所导致的学习率趋向于0的问题,另外,还去掉了对人工设置的全局学习率的依赖。

    假设要优化的参数为x,梯度下降法第t次迭代时计算出来的参数梯度值为 [公式] 。算法首先初始化如下两个向量为0向量:

    其中E[ [公式] ]是梯度平方(对每个分量分别平分)的累计值,更新公式为:

    [公式] 是向量每个元素分别计算平方,后面所有的计算公式都是对向量的每个分量进行。接下来计算如下RMS量:

    计算参数的更新值:

    RMS [公式] 的计算公式和这个类似。这个更新值同样通过梯度来构造,只不过学习率是通过梯度的历史值确定的。更新公式为:

    参数更新的迭代公式为:

    优点:避免了长期累积梯度值所导致的学习率趋向于0的问题,去掉了人工设置的全局学习率的依赖。

    Adam算法

    Adam算法整合了自适应学习率v(累积了梯度的平方和)与动量项m。它们的初始值为0,更新公式为:

    其中 [公式][公式] 是人工指定的参数,i为向量的分量下标。依靠这两个值构造参数的更新值,参数的更新公式为:

    优点:利用一阶矩估计和二阶矩估计来动态调整每个参数的学习率,偏置校正后,学习率的迭代有范围,较为平稳。

    随机梯度下降法、批量梯度下降

    基于梯度下降法发展了两种梯度下降方法,分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

    为了降低计算成本,批量随机梯度下降法在每次迭代中使用随机逼近值,即只使用M个随机选择的样本来近似计算损失函数。在每次迭代时要优化的目标函数为:

    L(w, [公式] , [公式] )是对单个训练样本( [公式] , [公式] )的损失函数,w是需要学习的参数,r(w)是正则化项, [公式] 是正则化项的权重。

    随机梯度下降法在概率意义下收敛。

     

    数值优化算法:二阶优化算法

    牛顿法

    牛顿法利用了函数的一阶和二阶导数信息,直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为:

    其中H为Hessian矩阵,g为梯度向量。学习率 [公式] 设置为一个非常小的正数,通常采用直线搜索(line search)技术,保证迭代之后的 [公式] 位于迭代之前的值 [公式] 的邻域内,从而可以忽略泰勒展开中的高次项,保证迭代时函数值下降。

    在实现时,一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵,而是求解下面的线性方程组:

    其解d称为牛顿方向。迭代终止的判定依据是梯度值充分接近于0,或者达到最大指定迭代次数。

    应用:logistic回归,AdaBoost算法

    优点:比梯度下降法有更快的收敛速度,收敛速度快,迭代次数少

    缺点:不能保证每次迭代时函数值下降;也不能保证收敛到极小值点;靠近极小值时收敛速度减慢,可能会“之字形”地下降;需要设置学习率(line search);Hessian矩阵很稠密时,每次迭代计算Hessian矩阵的计算量很大,随着数据规模增大,Hessian矩阵也会变大,需要更多的存储空间以及计算量;Hessian矩阵不可逆则该方法失效。

     

    拟牛顿法

    构造一个近似Hessian矩阵或其逆矩阵的正定对称矩阵,用该矩阵进行牛顿法的迭代。

    引入了Hessian矩阵的近似矩阵,避免了每次都计算Hessian矩阵的逆,在拟牛顿法中搜索,用Hessian矩阵的逆矩阵来代替Hessian矩阵,虽然不能像牛顿法那样保证最优化的方向,但其逆矩阵始终是正定的,因此算法始终朝最优化的方向。

    优点:构造近似Hessian矩阵逆的矩阵

    可信域牛顿法

    调整牛顿方向的步长来实现收敛到最优解和序列递减,目前常用的方法有两种:直线搜索和可信区域法。可信域牛顿法是截断牛顿法的一个变种,用于求解带界限约束的最优化问题。在可信域牛顿法的每一步迭代中,有一个迭代序列 [公式] ,一个可信域的大小 [公式] ,以及一个二次目标函数:

    这个式子可以通过泰勒展开得到,忽略二次以上的项,这是对函数下降值的近似:

    算法寻找一个 [公式] ,在满足约束条件丨丨s丨丨 [公式][公式] 下近似最小化 [公式] (s)。接下来检查比值以更新 [公式][公式]

    [公式][公式] 是函数值的实际减少量和二次近似模型预测方向导致的函数减少量的比值。根据之前的计算结果,再动态调整可信域的大小。

    应用:logistic回归,线性支持向量的求解(liblinear开源库)。

     

    求解思想:分治法

    分治法是一种算法设计思想,它将一个大的问题分解成子问题进行求解。根据子问题解构造出整个问题的解。在最优化方法中,具体做法是每次迭代时只调整优化向量x的一部分分量,其他的分量固定住不动。

    坐标下降法

    坐标下降法的基本思想是每次对一个变量进行优化,这是一种分治法。假设要求解的优化问题为:

    坐标下降法求解流程为每次选择一个分量 [公式] 进行优化,将其他分量固定住不动,这样将一个多元函数的极值问题转换为一元函数的极值问题。如果要求解的问题规模很大,这种做法能有效的加快速度。

    应用:logistic回归,线性支持向量的求解(liblinear开源库)。

    SMO算法

    SMO算法也是一种分治法,用于求解支持向量机的对偶问题。加上松弛变量和核函数后的对偶问题为:

    SMO算法的核心思想是每次在优化变量中挑出两个分量 [公式][公式] 进行优化,让其他分量固定即当成常数,这样能保证满足等式约束条件。之所以要选择两个变量进行优化而不是选择一个变量,是因为这里有等式约束,如果只调整一个变量的值,将会破坏等式约束。

    分阶段优化

    分阶段优化的做法是在每次迭代时,先固定住优化变量x一部分分量a不动,对另外一部分变量b进行优化;然后再固定住b不动,对b进行优化。如此反复,直至收敛到最优解处。

    AdaBoost算法是这种方法的典型代表。AdaBoost算法在训练时采用了指数损失函数:

    由于强分类器是多个弱分类器f的加权和,代入上面的损失函数中,得到算法训练时要优化的目标函数为:

    指数损失函数包含已有的强分类器 [公式] 和当前弱分类器f对训练样本的损失函数。把强分类器看作常数,目标函数简化为:

    分两步求解,首先将弱分类器权重 [公式] 看成常数,得到最优的弱分类器f。得到弱分类器之后,再优化它的权重系数 [公式]

    动态规划算法

    将一个问题分解成子问题求解,如果整个问题的某个解是最优的,则这个解的任意一部分也是子问题的最优解。这样通过求解子问题,得到最优解,逐步扩展,最后得到整个问题的最优解。

    应用:隐马尔可夫模型的解码算法(维特比算法),强化学习中的动态规划算法。

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  • 最优化方法小结

    千次阅读 2016-12-21 11:31:40
    概述最优化问题的一般数学模型: min f(x)min\ f(\mathbf x) s.t. hi(x)=0,i=1,...,m;s.t. \ h_i(\mathbf x) = 0,\quad i=1,...,m; gj(x)≥0,j=1,...,p.\qquad g_j(\mathbf x)\ge0, \quad j=1,...,p.其中x\...

    概述

    最优化问题的一般数学模型:
    min f(x)
    s.t. hi(x)=0,i=1,...,m;
    gj(x)0,j=1,...,p.

    其中 x 是n维向量,在实际问题中也被叫做决策变量,s.t.为subject to的缩写,用来表示约束条件,因此, hi(x) gj(x) 称为约束函数,其中 hi(x)=0 为等式约束, gj(x)0 为不等式约束。求极小值的函数f称为目标函数,求极大值的问题可以通过取负数转换为极小值问题,因此这里都以极小值问题来讨论。

    因此,根据有无约束函数,可以将最优化问题分为有约束最优化和无约束最优化问题;根据目标函数和约束函数的类型,可分为线性规划(目标函数和约束函数均为线性函数)和非线性规划; 另外,如目标函数为二次函数,而约束函数全部是线性函数的最优化问题称为二次规划问题,当目标函数不是数量函数而是向量函数时,就是多目标规划,还有用于姐姐多阶段决策问题的动态规划等

    最优化方法的一般迭代算法,以下降算法为例:
    给定初始点 x0,k=0
    (1) 确定点 xk 处的可行下降方向 pk ;
    (2)确定步长 αk>0 ,使得 f(xk+αkpk)<f(xk) ;
    (3)令 xk+1=xk+αkpk ;
    (4)若 xk+1 满足某种终止条件,则停止迭代,以 xk+1 为最优近似解,否则k=k+1,转(1)

    无约束最优化问题

    根据选取搜索方向时是否使用目标函数的导数,将无约束最优化问题分为两类:
    1 解析法:最速下降法,Newton法,共轭梯度法,拟Newton法
    2 直接法:Powell的方向加速法

    梯度下降(Gradient Descent)

    梯度下降法通常也称为最速下降法。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的,最速下降法越接近目标值,步长越小,前进越慢。
    这里有一篇觉得写的很好:再谈 最速下降法
    补充一点小结:
    最速下降法虽然名字里有最速两个字,但其实指的是选取的下降方向针对当前局部来说是最快的下降方向,即负梯度方向,对整体来说不一定是最速下降方向。最速下降法逼近极小点的路线是锯齿形的,并且越靠近极小点步长越小,即越走越慢。
    这里写图片描述
    最速下降法对一般函数而言都有很好的整体收敛性,即对初始点的要求不高

    收敛速度:线性收敛

    因此,虽然最速下降法具有很好的整体收敛性,但由于其收敛速度太慢并不是很好的实用算法,但是有一些有效算法是基于它改进的,如批量梯度下降,随机梯度下降等,以后整理。

    Newton法

    最速下降法的本质是用线性函数去近似目标函数,因此要想快速得到,需要考虑对目标函数的高阶逼近。牛顿法就是通过二次模型近似目标函数得到的,从几何上说,牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面,而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面,通常情况下,二次曲面的拟合会比平面更好,所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。先建立一个这样的宏观认识,下面详细说。

    Newton法解方程

    牛顿法是一种利用迭代思想近似求解方程的方法,使用函数 f ( x ) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f ( x ) = 0 的根。取百度百科的原理部分如下:
    这里写图片描述
    由于牛顿法是基于当前位置的切线来确定下一次的位置,所以牛顿法又被很形象地称为是”切线法”。牛顿法的搜索路径(二维情况)如下图所示:
    牛顿法搜索动态示例图: [reference: http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4751804.html ]
    这里写图片描述

    Newton法最优化

    由前面我们知道我们的任务是最小化目标函数 f ,因此可以转化为求解函数f的导数f=0的问题,这样就可以把优化问题看成方程( f=0 )的求解问题。

    推导:
    对目标函数 f(x) xk 进行泰勒级数展开,忽略二阶导之后的高阶项
    f(x)qk(x)=fk+gTk(xxk)+12(xxk)TGk(xxk)
    矩阵的形式你可能看起来有点懵,其实对应我们常见的形式就是
    这里写图片描述
    根据上一节解方程的过程我们知道下一次近似的 xk+1 应满足 qk(xk+1)=0=gk+Gk(xk+1xk)
    xk+1=xkG1kgk
    在实际应用中,求逆运算太复杂,我们一般通过解方程 Gkp=gk 来确定.

    基本步骤
    每一步迭代过程中,通过解线性方程组得到搜索方向,然后将自变量移动到下一个点,然后再计算是否符合收敛条件,不符合的话就一直按这个策略(解方程组→得到搜索方向→移动点→检验收敛条件)继续下去。

    优缺点:
    收敛速度快:二阶收敛速度(收敛速度明显快过梯度下降)

    1. 局部收敛,只有当初始点充分接近极小点时才能保证收敛,即使Newton法收敛也不一定收敛到极小点,还可能是鞍点或极大点。
    2. 牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵,计算比较复杂,且G还可能是奇异矩阵。
    3. 虽然我们提到可以使用解方程 Gkp=gk 来确定下一个移动点,但是这个方程有可能是病态的
      ref: http://www.codelast.com/%e5%8e%9f%e5%88%9b-%e5%86%8d%e8%b0%88-%e7%89%9b%e9%a1%bf%e6%b3%95newtons-method-in-optimization/

    因为牛顿法的收敛速度确实很快,因此人们针对牛顿法的缺点做出了各种改进版本,如阻尼牛顿法,Goldstein-price修正等,上面这个参考连接中有提到。

    共轭方向法

    共轭方向法是介于梯度下降法和Newton法之间的方法,为什么这么说呢?我们根据Newton法的介绍可以知道对于二次函数,Newton法只需要迭代一次就可以得到极小值(当然假设是存在的),而最速下降法需要迭代无穷多次,但是Newton法的计算代价太大,因此我们放松要求,只要找到在有限次迭代后可得到二次函数极小点的算法就是有效的算法,这种算法称为具有二次终止性。

    理论基础:共轭方向及其性质

    G 为n阶正定矩阵, p1,p2,...,pk 为n维向量组,如果 pTiGpj=0,i,j=1,2,...,k,ij
    则称向量组 p1,p2,...,pk 关于 G 共轭。如果 G 为单位矩阵I ,则 p1,p2,...,pk 是正交的。

    重要定理:
    对正定二次函数 f(x)=12xTGx+bTx+c ,由任意初始点开始,依次进行k次精确一维搜索, xi+1=xi+αipi,i=1,2,...,k ,则 gTk+1pi=0,i=1,2,...,kxk+1 是二次函数在k维超平面上的极小点,当k=n时,为 Rn 上的极小点
    通俗来说, gp

    这里的证明需要知道很多性质和定理,就不一一说明了,找一本最优化的书看可能比较好,或者参考连接2中的博客有写的比较好懂。

    基本思想

    如果第k次迭代所取的方向与前面各次迭代所取的方向关于G共轭,则从任意初始点出发,对二次函数进行精确的一维搜索,至多经过n次迭代就可以得到极小点
    公式打起来一下午就没有了。。。偷个懒,这里借用下codelast(参考连接2)的:
    这里写图片描述
    关键:如何选取共轭方向 pk (对应上面这个截图的 dk ),不同的选法会产生不同的共轭方向法,下面介绍共轭梯度法,因为它用到了目标函数的梯度

    共轭梯度法

    共轭梯度法是一种特殊的共轭方向法。由于其存储量小,可以用来求解大规模无约束优化问题。
    。。。
    这里写图片描述

    拟Newton法

    参考

    1. 《最优化方法》解可新,韩健,林书联 编
    2. http://www.codelast.com/ (感谢博主的文章)
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  • 最优化方法及其Matlab程序设计程序代码课件 《最优化方法及其Matlab程序设计》较系统地介绍了非线性最优化问题的基本理论和算法,以及主要算法的Matlab程序设计,主要内容包括(精确或非精确)线搜索技术、最速下降...

    最优化方法及其Matlab程序设计程序代码课件

    《最优化方法及其Matlab程序设计》较系统地介绍了非线性最优化问题的基本理论和算法,以及主要算法的Matlab程序设计,主要内容包括(精确或非精确)线搜索技术、最速下降法与(修正)牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法、信赖域方法、非线性最小二乘问题的解法、约束优化问题的最优性条件、罚函数法、可行方向法、二次规划问题的解法、序列二次规划法等。设计的Matlab程序有精确线搜索的0.618法和抛物线法、非精确线搜索的Armijo准则、最速下降法、牛顿法、再开始共轭梯度法、BFGS算法、DFP算法、Broyden族方法、信赖域方法、求解非线性最小二乘问题的L.M算法、解约束优化问题的乘子法、求解二次规划的有效集法、SQP子问题的光滑牛顿法以及求解约束优化问题的SQP方法等,此外,《最优化方法及其Matlab程序设计》配有丰富的例题和习题,并在附录介绍了Matlab优化工具箱的使用方法。《最优化方法及其Matlab程序设计》既注重计算方法的实用性,又注意保持理论分析的严谨性,强调数值方法的思想和原理在计算机上的实现,读者只需具备微积分、线性代数和Matlab程序设计方面的初步知识即可学习《最优化方法及其Matlab程序设计》, 《最优化方法及其Matlab程序设计》可供数学与应用数学、信息与计算科学专业的本科生,应用数学、计算数学、运筹学与控制论专业的研究生,理工科相关专业的研究生,对最优化理论与算法感兴趣的教师及科技工作者阅读。

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