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  • 最大流最小割

    2017-08-24 23:54:46
    最大流最小割百度文库讲解
  • 在http://www.geeksforgeeks.org/ford-fulkerson-algorithm-for-maximum-flow-problem/ 中查看最大流问题的详细信息代码中的第一个示例(以及缩略图)取自上面的同一个网站。 此 MATLAB 代码使用邻接矩阵来表示图形...
  • Grabcut可以用在图像分割和文字二值化中。grabcut最基础、最核心的内容就是最大流最小割(mincut & maxflow)。代码是mincut & maxflow 的matlab版,压缩包里放了grabcut 文献,欢迎图像分割爱好者下载学习。
  • 那么最小割为什么等于最大流? 直观理解:假设最大流为30,找一个割集,把网络流分割成了2部分,那现在最大流就是0了。相当于找的割集得把原来的流阻断,割要最小,就要恰好阻断所有流,如果割<30,说明一定存在...

    网络流中的割是指S-T割,即一个边集合E,使得网络流中所有点被划分成2个集合,一个集合含起点S,一个含终点T。E中边的流量就是割,最小割就是使得E的流量最小。那么最小割为什么等于最大流?

    直观理解:假设最大流为30,找一个割集,把网络流分割成了2部分,那现在最大流就是0了。相当于找的割集得把原来的流阻断,割要最小,就要恰好阻断所有流,如果割<30,说明一定存在一条S->T的路径有流,此时并没有把网络划分成2部分,所以割一定>=30,如果大于30了,说明有一部分割边把最大流30阻断了,然后有多余的边,多余的去了,就是最小割30了。

    要找最小割集,就可以先ISAP跑一遍最大流,然后最小割集一定在满流的边中,先BFS一下,然后遍历满流的边,若2个顶点,一个Vis==true,一个vis==false,这条边就是割边之一。具体参考代码。  (可以想象在求最大流的时候,把一条路径上的所有边流量加m,然后至少一条边会满流,如果只有一条边满流,这条边就是割边之一,否则,说明有至少2边的残差相等,就可以通过跑BFS把多余的边识别出来)

     


    网络流的基本概念
    网络流问题都是建立在类似上图的有向图之上,有向图的边的权值代表容量。其中A代表源点,C代表汇点,一般考察的问题情景就是从A中流出流量,经过这些有向边,最终汇集到C中。像这样的具有源点和汇点,并且每条边的权值均为正数的有向图就被称作是容量网络,图中的这些边被称作是弧,弧的权值被称作弧的容量,它代表着能够通过这条弧的最大流量。而经过弧上的实际流量被称作弧的流量,所有这些弧的流量所组成的集合就是所谓的网络流。

    直观上不难发现符合实际情况的网络流的特点,或者说是限制条件。首先每条弧上的流量不能超过其容量,还有对于除了源点和汇点以外的每个点来说,流入它的流量之和必须与从它流出的流量之和相等,即平衡条件。那么满足这两个条件的网络流就被称作是可行流,可行流的流量定义为从源点所流出的所有流量之和。在所有的可行流中,流量最大的那个被称作是最大流。

    对于一串顶点序列(U,U1,U2,U3,…,V)(U,U1,U2,U3,…,V)(U,U1,U2,U3,…,V),如果满足UUU是源点,VVV是汇点,并且序列中每相邻两个顶点之间均存在一条弧,那么就称这个顶点序列为一条链,注意这里并不要求这条弧的方向一定与有向图中的方向一致,在链中,弧被分为前向弧和后向弧,前向弧指在链中顶点的顺序与容量网络中弧的方向一致的弧,而后向弧则是方向不一致的弧。例如对于上图而言,(A,D,B,C)(A,D,B,C)(A,D,B,C)也是一条链,但是其中&lt;A,D>、&lt;B,C>&lt;A,D&gt;、&lt;B,C&gt;<A,D>、<B,C>是前向弧,&lt;D,B>&lt;D,B&gt;<D,B>是后向弧。

    有了链的定义就可以引出增广路的概念,对于可行流的一条链PPP,如果满足:
    1.PPP中所有的前向弧的流量小于容量
    2.PPP中所有的后向弧的流量均大于零
    那么这条链PPP就被称作增广路。为什么要叫作增广路呢?因为增广路上的所有前向弧都是可以继续添加流量的(增加的流量不能超过每条前向弧的容量与流量之差),而反向弧上的流量都是可以继续减少的(减少的流量不能超过反向弧的流量),这两种措施都会使得这个可行流的流量变得更大。

    割指的是一个弧的集合,将这个集合中的所有弧删除后原图的基图不再连通。割将原图中的所有顶点划分为两个部分,在网络流问题中,一般考虑的都是S-T割:即割将原图的顶点划分为两个部分S和T,源点∈S,汇点∈T。例如对于上图,将顶点划分为S=(A,B)、T=(C,D)S=(A,B)、T=(C,D)S=(A,B)、T=(C,D)的这样一个割就是S-T割。
    对于割而言,也有流量和容量的概念。割的容量用C(S,T)C(S,T)C(S,T)表示,C(S,T)=∑c(u,v)(u∈S、v∈T、&lt;u,v>∈E)C(S,T)=\sum c(u,v) (u∈S、v∈T、&lt;u,v&gt;∈E)C(S,T)=∑c(u,v)(u∈S、v∈T、<u,v>∈E)(E代表容量网络所有弧的集合),简单来说割的容量就是SSS中的所有点到TTT中所有点的前向弧的容量之和。例如对上图而言,割S=(A,B)S=(A,B)S=(A,B)、T=(C,D)T=(C,D)T=(C,D)的容量为1+5+3=91+5+3=91+5+3=9。而对于割S=(A,D)S=(A,D)S=(A,D) T=(B,C)T=(B,C)T=(B,C),它的容量为:4+8=124+8=124+8=12。在所有的割中,容量最小的割被称作最小割。
    而割的流量指的是前向弧的流量之和减去后向弧的流量之和。因此割的流量小于等于割的容量,当且仅当割所划分的两个点集中不存在后向弧时取等。

    最大流最小割定理及证明
    网络流的最大流和最小割具有非常重要的实际意义,而这两者之间有着非常重要的关系:最大流的流量=最小割的容量,这就是最大流最小割定理,下面就来证明这个定理。

    命题1:对于可行流的任意一个割,割的流量=可行流的流量
    证明:
    采用归纳法来证明。设可行流的源点为VSV_SV 
    S
    ​    
     ,汇点为VTV_TV 
    T
    ​    
     ,割(S0,T0)(S_0,T_0)(S 
    0
    ​    
     ,T 
    0
    ​    
     )将容量网络划分为T0={VT}T_0=\{ V_T \}T 
    0
    ​    
     ={V 
    T
    ​    
     },S0S_0S 
    0
    ​    
     为除VTV_TV 
    T
    ​    
     外所有顶点的集合。对于这个割而言,割的流量就代表着流入汇点的所有流量之和,因此割(S0,T0)(S_0,T_0)(S 
    0
    ​    
     ,T 
    0
    ​    
     )的流量就等于可行流的流量。
    而其它的割都可以通过往T0T_0T 
    0
    ​    
     中逐步添加顶点来获取,向T0T_0T 
    0
    ​    
     中添加一个顶点VpV_pV 
    p
    ​    
     就意味着割的流量会减去VpV_pV 
    p
    ​    
     到T0T_0T 
    0
    ​    
     中所有顶点的流量之和,同时加上VpV_pV 
    p
    ​    
     到S0S_0S 
    0
    ​    
     中其余各顶点的流量之和,而由可行流的平衡条件可知,减少的流量和添加的流量是相等的,因此割的流量不发生改变,即所有割的流量=割(S0,T0)(S_0,T_0)(S 
    0
    ​    
     ,T 
    0
    ​    
     )的流量=可行流的流量。

    命题2:可行流的流量一定小于等于任意一个割的容量
    证明:
    由命题1显然可得:可行流的流量=割的流量≤割的容量

    命题3:对于可行流G,设其流量为f,如下三个命题等价:
    1.存在一个割使得割的容量c=f
    2.f是最大流的流量
    3.G中不存在任何增广路

    证明:
    1→21\to21→2:由命题2,任何一个可行流的流量都小于等于割的容量,即流量的上界是割的容量的最小值,而现在又存在一个割的容量ccc与fff相等,假设ccc不是最小割的容量,那么存在c0&lt;cc_0&lt;cc 
    0
    ​    
     <c,而又有c=f&lt;c0c=f&lt;c_0c=f<c 
    0
    ​    
     ,因此推出了矛盾,即ccc一定是最小割的容量,fff达到了流量的上界,即fff是最大流的流量。
    注意在证明这一点后是没法说明最大流最小割定理的,因为1推出2只能说明如果存在一个割的容量等于流量,这个流量就是最大流流量,此时最大流流量=最小割容量,但是并不能说明这样的一个割一定是存在的,要证明这一点必须要证明2能推出1。

    2→32\to32→3:证明逆否命题:若G中存在增广路,则f不是最大流的流量。由前面增广路的定义可知,增广路上的每条前向弧都可以继续增加流量,后向弧可以继续减少流量,这两种措施都会导致最终的流量变大,因此f不是最大流的流量。

    3→13\to13→1:G中不存在任何增广路,意味着由源点到汇点的任何一条链中一定存在饱和前向弧(流量=容量)或者零流后向弧(流量=0)。这说明如果只通过非饱和前向弧和非零流后向弧绝对不可能从源点运动到汇点,那么取割(S,T)(S,T)(S,T),其中SSS为源点能够通过非饱和前向弧和非零流后向弧到达的所有顶点构成的集合,T为剩下的点构成的集合,VS∈S、VT∈TV_S∈S、V_T∈TV 
    S
    ​    
     ∈S、V 
    T
    ​    
     ∈T。SSS中的所有点都不能通过非饱和前向弧和非零流后向弧到达TTT,也就是说SSS与TTT之间的弧一定都是饱和前向弧或者零流后向弧,割的流量=前向弧流量-后向弧流量=前向弧流量-0=前向弧流量=前向弧容量=割的容量。因此一定存在一个割,满足割的流量=割的容量。

    由此就证明了这三个命题等价,同时论证了最大流最小割定理。

    由此就不难想到求解最大流的算法,可以在可行流G中不断地寻找增广路,如果不存在增广路,此时可行流就是最大流;如果存在增广路,就在增广路上作修正。这样不断地迭代下去,知道不存在增广路为止。而影响性能的最重要的一个地方就是如何查找增广路,不同的查找方式会使的算法的复杂度不同,这些算法这将在下一篇中整理总结
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「syddf_shadow」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/yjr3426619/article/details/82715779

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  • 立体匹配会用到,新的图方法 是程序,可以直接调用的
  • 最小割】 【最小费用最大流】 【引用】 【镇楼】 天啦真的好好懂!!!麻麻再也不用担心我的网络流学习啦!!! 【引入】 首先,我们来看一个网络流图实例。 最大流问题:给定指定的一个有向图,其中有...

     

    目录

    【镇楼】

    【引入】

    【基本定义和概念】

    【最大流算法】

    【最小割】

     【最小费用最大流】

    【引用】


    【镇楼】

      天啦真的好好懂!!!麻麻再也不用担心我的网络流学习啦!!!

    【引入】

    首先,我们来看一个网络流图实例。

    最大流问题:给定指定的一个有向图,其中有两个特殊的点源点S(Sources)和汇点T(Sinks),每条边有指定的容量(Capacity),求满足条件的从S到T的最大流(MaxFlow)。

    那么问题来了,什么是最大流?要满足什么条件?怎么求最大流? 

    【基本定义和概念】

    要知道什么是最大流,首先要知道什么是网络流图和可行流。

    网络流图:

    在有向图G =(V,E)中:

    • 有唯一的一个源点S(入度为0:出发点)
    • 有唯一的一个汇点T(出度为0:结束点)
    • 图中每条弧(u,v)都有一非负容量 c(u,v)  

    满足上述条件的图G称为网络流图。

    我们可以把图上的边看做一种管道,管道有最大通过流量的限制,图中的每条边的权值就是所谓的“容量”。

    可行流:

    每条弧(u,v)上给定一个实数 f(u,v)满足:有0<=f(u,v)<=c(u,v),则f(u,v)称为弧(u,v)上的流量。

    如果有一组流量满足条件:

    • 源点s:流出量=整个网络的流量
    • 汇点t:流入量=整个网络的流量
    • 中间点:总流入量=总流出量

    那么整个网络中的流量成为一个可行流。

    如下图所示,对于一个网络可能有多个可行流:

    最大流:在所有可行流之中,流量最大的一个流。

    上图的可行流7同时也是最大流,注意最大流可能不止一个。

    在最大流问题中,容量c和流量f满足三个性质:

    • 容量限制 ( f(u,v) <= c(u,v) )
    • 斜对称性 ( f(u,v) = - f(v,u) )
    • 流量平衡 (对于除了s,t的任意结点u,\sum_{(u,v)\subseteq E)}f(u,v)=0      )

    那么如何求最大流呢?

    【最大流算法】

    这里介绍一个最简单的算法:Edmonds-Karp算法,即最短路径增广算法,简称EK算法。

    EK算法基于一个基本的方法:Ford-Fulkerson方法,即增广路方法,简称FF方法。增广路方法是很多网络流算法的基础,一般都在残留网络中实现。其思路是每次找出一条增广路径,然后沿该条增广路径进行更新(增加)流量,调整流值和残留网络,直到没有增广路径为止。

    什么是增广路径?怎么找增广路径?什么是残留网络?

    增广路径,就是找到一条从s到t的路径,路径上每条边残留容量都为正。也就是说,只要把残留容量为正的边设为可行边,那么我们就可以用简单BFS得到边数最少的增广路径。

    所有的可能的增广路径在一起便构成了残留网络,残留网络=容量网络-流量网络。残留网络也称剩余网络。

    怎么更新流量,调整流量和残留网络,即如何增广?最多要增广多少次?

    BFS得到增广路径之后,这条增广路径能够增广的流值是路径上最小残留容量边决定的。把这个最小残留容量d加到最大流值上,同时路径上每条边的残留容量值都减去d。最后,路径上每条边的反向边残留容量值都要加上d,为什么呢? 

    由于残留网络=容量网络-流量网络,容量网络不改变的情况下,由于增广好比给增广路上通了一条流,路径上所有边的流量都加上了d,流量网络中路径上正向边的流量加d,反向边流量减去d,相对应的残留网络就发生相反的改变。

    步骤如下:

    1. 计算最小残留容量MinCap。
    2. 更新流量。如果(u,v)是正向边,则 f(u,v) = f(u,v) + d;是逆向边,则f(u,v) = f(u,v) - d。

    最后的总流量增加了d。

    可以证明,最多O(VE)次增广可以达到最大流,证明略。

    如果觉得不好理解,可以结合下面的图片示例:

     

    可以证明,可行流为最大流,当且仅当不存在新的增广路径。

    【模板】

    裸题:POJ1273 Drainage Ditches

    代码:

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <queue>
    using namespace std;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    const int N=205;
    int n,m,max_flow;
    int flow[N][N],cap[N][N]; //flow记录流量,cap记录容量
    int pre[N],res[N]; //pre记录父亲,res记录残余容量
    
    bool bfs(int s,int t) //是否有增广路
    {
        queue <int> q;
        memset(res,0,sizeof(res));
        res[s]=inf; //源点残余流量无限
        q.push(s); //从源点开始进行BFS找增广路径
        while(!q.empty()){
            int u=q.front(); q.pop();
            for(int v=1;v<=m;v++){
                if(!res[v]&&cap[u][v]>flow[u][v]){ //没被访问过,且容量大于流量
                    pre[v]=u;
                    res[v]=min(res[u],cap[u][v]-flow[u][v]); //更新最小残留容量
                    if(v==t) return 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    
    int EK(int s,int t)
    {
        int max_flow=0;
        memset(flow,0,sizeof(flow));
        while(bfs(s,t)){
            for(int u=t;u!=s;u=pre[u]){
                flow[pre[u]][u]+=res[t]; //更新正向边流量
                flow[u][pre[u]]-=res[t]; //更新反向边流量
            }
            max_flow+=res[t]; //更新最大流量
        }
        return max_flow;
    }
    
    int main()
    {
        while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
            memset(pre,0,sizeof(pre));
            memset(cap,0,sizeof(cap));
            while(n--){
                int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
                cap[u][v]+=w; //重边看作一条边
            }
            printf("%d\n",EK(1,m));
        }
    }

    【最小割】

    有一个跟最大流密切相关的问题:最小割。

    如上图所示,把所有顶点分成两个集合S和T=V-S,其中源点s在集合S中,汇点t在集合T中中。如果把“起点在S中,终点在T中”的边全部删除,就无法从s到达t了,这样的集合划分(S,T)称为一个s-t割,它的容量定义为:c(S,T)=\sum_{u\subseteq S,v\subseteq T}c(u,v),即起点在S中,终点在T中的所有边的容量和。

    最大流最小割定理:

    最大流最小割定理(Maximum Flow, Minimum Cut Theorem):网络的最大流等于最小割

    具体的证明就不展开了,反正学了也会忘,记住就行。

    让我们继续回到上图。从s到t的水流必然通过跨越S和T的边,所以从s到t的净流量等于:

    \left | f \right |=f(S,T)=\sum_{u\subseteq S,v\subseteq T}f(u,v)\leq \sum_{u\subseteq S,v\subseteq T}c(u,v)=c(S,T)

    注意这里的割是任取的,因此得到了一个重要结论:对于任意s-t流f和任意s-t割(S,T),有 \left | f \right |\leq c(S,T)

    我们来看残留网络中没有增广路径的情况。既然不存在增广路径,在残留网络中s和t并不连通。当BFS没有找到任何s-t道路时,把已标号结点(a[u]>0的结点u)集合看成S,令T=V-S,则在残留网络中S和T分离,因此在原图中跨越S和T的所有弧满载,且没有从T回到S的流量,因此 \left | f \right |\leq c(S,T) 成立。

    前面说过,对于任意的 f 和(S,T),有 \left | f \right |\leq c(S,T) ,而此处又找到了一组让等号成立的 f 和(S,T)。这样,便同时证明了增广路定理和最小割最大流定理:在增广路算法结束时, f 是s-t最大流,(S,T)是s-t最小割

     【最小费用最大流】

    还是找增广路的思想,但是这次我们找花费最小(即s到t费用最小)的增广路。

    怎么实现呢?最短路算法!

    也就是说我们在找增广路时,把bfs换成spfa就可以了!

    那么代码实现起来就很简单了

    P3381 【模板】最小费用最大流为例

    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    const int MAXN = 5010;
    const int MAXM = 100010;
    struct Edge { //邻接表存边 fl是边流量(flow) co是边单位流量的费用(cost)
    	int next,to,fl,co;
    } e[MAXM];
    int first[MAXN],dis[MAXN],ef[MAXN],num[MAXN],pre[MAXN],que[MAXN << 3];//que就是队列
    //pre:当前增广路某点是从哪个点来的(前驱)
    short o[MAXN];
    int n,s,t,tot = 1,ansf,ansc;
    void add(int x,int y,int z,int w)
    {
    	//存边与普通最大流差不多 就是费用倒过来时取相反数 即可
    	e[++tot].next = first[x],first[x] = tot,e[tot].to = y,e[tot].co = w,e[tot].fl = z;
    	e[++tot].next = first[y],first[y] = tot,e[tot].to = x,e[tot].co = -w;
    }
    short spfa()
    { //bfs改成SPFA
    	memset(dis,0x7f,sizeof(dis)); //同SPFA里的 此时(增广x次后)流到该点的最小费用 因此要更新
    	memset(ef,0x7f,sizeof(ef)); //可改成 ef[s] = INF 反正源点不变然后流可以覆盖
    	//此时 流到某点时剩余的流量(和HLPP的概念差不多 就是挤到某点的流量)
    	//判断某点是否在队列里 然而根据SPFA的原理此条可略
    	int h = 0,tail = 1;
    	que[1] = s;
    	dis[s] = 0;
    	pre[t] = 0;
    	while (h < tail)
    	{ 
    		int p = que[++h];
    		o[p] = 0;
    		for (int a = first[p],b = e[a].to ; a ; a = e[a].next,b = e[a].to)
    			if (e[a].fl && dis[p] + e[a].co < dis[b])
    			{
    				dis[b] = dis[p] + e[a].co;
    				pre[b] = p; //更新当前点的前驱
    				num[b] = a; //存当前边的编号 通过前驱找点可以找到该边 然后在主程序里可以更新该边的流量
    				ef[b] = min(ef[p],e[a].fl); //挤流量 取小的 然后以此继续推
    				if (!o[b]) o[b] = 1,que[++tail] = b; //p点连接的b点如果没在队列里 压进去
    			}
    	}
    	return pre[t];
    //返回前驱 为什么不返回流量? 此处原本是Dinic的bfs 是看有无增广路的 流量存到ef里了
    //如果前驱没更新到说明没增广路了 这也是pre[t]要初始化的原因
    }
    int main()
    {
    	int m,x,y,z,w;
    	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); while (m--)
    	scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&w),add(x,y,z,w); 
    	while (spfa())
    	{ 
    		ansf += ef[t]; //答案的流加上
    		ansc += ef[t] * dis[t]; //答案的费用乘上
    		for (int now = t ; now != s ; now = pre[now])
    		{
    			//通过前驱找该增广路经过的所有边 然后更新流量 (原路减流量反向弧加流量)
    			e[num[now]].fl -= ef[t];
    			e[num[now] ^ 1].fl += ef[t];
    		}
    	}
    	printf("%d %d\n",ansf,ansc); 
    	return 0;
    }

    【待补充】

    【引用】

    1. 网络流(理论详解)
    2. 网络流(一) 入门到熟练
    3. 源ppt链接传送门
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  • 最大流最小割定理

    2019-09-28 21:10:35
    最小割 所有的割中边权和最小的割即为最小割 可以想象一下,Kido为了自给自足给自己建了超多供水管道(kido能进行光合作用),形成了一个网络,然后容量越大的管道防护设施越好,但是总有人想渴死Kido就想炸掉管道...

    先来理解几个概念

    在原先能够流通的网络中移除的边集,使得网络无法流通

    最小割

    所有的割中边权和最小的割即为最小割

    可以想象一下,Kido为了自给自足给自己建了超多供水管道(kido能进行光合作用),形成了一个网络,然后容量越大的管道防护设施越好,但是总有人想渴死Kido就想炸掉管道,但是贫乏的恐怖分子既想渴死kido又想节约成本,那么最节约成本的破坏管道的方案即为最小割

     

     最大流最小割定理

    在任何的网络中,最大流的值等于最小割的容量

    具体的证明分三部分

    1.任意一个流都小于等于任意一个割
    这个很好理解 自来水公司随便给你家通点水,构成一个流
    恐怖分子随便砍几刀 砍出一个割
    由于容量限制,每一根的被砍的水管子流出的水流量都小于管子的容量
    每一根被砍的水管的水本来都要到你家的,现在流到外面 加起来得到的流量还是等于原来的流
    管子的容量加起来就是割,所以流小于等于割
    由于上面的流和割都是任意构造的,所以任意一个流小于任意一个割

    2.构造出一个流等于一个割
    当达到最大流时,根据增广路定理
    残留网络中s到t已经没有通路了,否则还能继续增广
    我们把s能到的的点集设为S,不能到的点集为T
    构造出一个割集C[S,T],S到T的边必然满流 否则就能继续增广
    这些满流边的流量和就是当前的流即最大流
    把这些满流边作为割,就构造出了一个和最大流相等的割

    相当于在残量网络中,源点能到达的结点的各个边的容量和为最大流

    所以如果我们要求一个最小割的边集,我们只要跑一编最大流,然后在残量网络中找正向边残量为0的边,那么这条边肯定在最小割里面,这样就可以得到一组最小割的边集

    3.最大流等于最小割
    设相等的流和割分别为Fm和Cm
    则因为任意一个流小于等于任意一个割

    任意F≤Fm=Cm≤任意C

    定理说明完成,证明如下:

    对于一个网络流图G=(V,E) G=(V,E)G=(V,E),其中有源点s和汇点t,那么下面三个条件是等价的:

    1.流f是图G的最大流
    2.残留网络Gf不存在增广路
    3.对于G的某一个割(S,T),此时f=C(S,T) 
    首先证明1 => 2:

    我们利用反证法,假设流f是图G的最大流,但是残留网络中还存在有增广路p,其流量为fp。则我们有流f′=f+fp>f 。这与f是最大流产生矛盾。

    接着证明2 => 3:

    假设残留网络Gf不存在增广路,所以在残留网络Gf中不存在路径从s到达t。我们定义S集合为:当前残留网络中s能够到达的点。同时定义T=V-S。
    此时(S,T)构成一个割(S,T)。且对于任意的u∈S,v∈T ,有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)=c(u,v) 。若c(u,v)f(u,v)<c(u,v),则有Gf(u,v)>0,s可以到达v,与v属于T矛盾。
    因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。

    最后证明3 => 1:

    由于f的上界为最小割,当f到达割的容量时,显然就已经到达最大值,因此f为最大流。

    这样就说明了为什么找不到增广路时,所求得的一定是最大流。

    转载于:https://www.cnblogs.com/graytido/p/10849560.html

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  • 最大流最小割程序

    2014-10-24 19:11:17
    Ford_Fulkerson最大流实现,c程序,还不错,可用
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    最大流最小割定理

     

    下面介绍网络流理论中一个最为重要的定理
    最大流最小割定理(Maximum Flow, Minimum Cut Theorem):网络的最大流等于最小割
    具体的证明分三部分

     

    1.任意一个流都小于等于任意一个割

     

    这个很好理解 自来水公司随便给你家通点水 构成一个流
    恐怖分子随便砍几刀 砍出一个割
    由于容量限制 每一根的被砍的水管子流出的水流量都小于管子的容量
    每一根被砍的水管的水本来都要到你家的 现在流到外面 加起来得到的流量还是等于原来的流
    管子的容量加起来就是割 所以流小于等于割
    由于上面的流和割都是任意构造的 所以任意一个流小于任意一个割

     

    2.构造出一个流等于一个割

     

    当达到最大流时 根据增广路定理
    残留网络中s到t已经没有通路了 否则还能继续增广
    我们把s能到的的点集设为S 不能到的点集为T
    构造出一个割集C[S,T] S到T的边必然满流 否则就能继续增广
    这些满流边的流量和就是当前的流即最大流
    把这些满流边作为割 就构造出了一个和最大流相等的割

     

    3.最大流等于最小割

     

    设相等的流和割分别为Fm和Cm
    则因为任意一个流小于等于任意一个割
    任意F≤Fm=Cm≤任意C
    --------------------- 
    作者:_Tham 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/txl199106/article/details/64441994 
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  • 详细讲解了最大流最小割定理的证明及其应用,加深理解
  • 最大流最小割,图切分,graphcut 应用图论,图像分割 纹理合成
  • 该Graph cut算法是基于CUDA思想实现的。对于加速整体的运算速度有很大的帮助

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