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    背景

    在学习集成学习时,周志华老师的西瓜书中出现了 P ( ⋅ ) P(·) P() P ( ⋅ ∣ ⋅ ) P(·|·) P()分别为概率质量函数,条件概率质量函数,在此进行扩充。

    (注:研究一个随机变量,不只要看它能取什么值,更重要的是更重要的是各种取值的概率分布!!!!)

    概率函数(分布律)-> 离散型

    概率质量函数(Probability Mass Function,PMF)
    用函数形式表达概率,如
    P r o b = P ( X = a i ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) Prob = P(X = a_i)(i = 1, 2, 3, 4, 5,6) Prob=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)
    表示X分别为1, 2,3…,6的概率,但是一次只能表示一个随机变量的值

    概率分布

    概率分布就是将足有可能出现的情况以及情况相对应的概率值全部列出来

    概率分布函数(累积分布函数)-> 离散型

    累积分布函数 Accumulative Distribution Function(ADF)
    设离散型随机变量 X X X的分布律是 P ( X = X k ) = p k ( k = 1 , 2 , 3.... ) P(X=X_k) = p_k(k=1, 2, 3....) P(X=Xk)=pk(k=1,2,3....) F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ x k ≤ x p k F(x)=P(X\leq x) = \sum_{x_k \leq x}p_k F(x)=P(Xx)=xkxpk
    由于 F ( x ) F(x) F(x) X X X ≤ x \leq x x的所有 x k x_k xk的概率之和,顾称 F ( x ) F(x) F(x)为累积概率函数或概率分布函数。

    概率密度函数和概率密度分布函数 -> 连续型

    等价于离散型的概率函数
    概率密度函数(Probability Density Function PDF)

    定义

    密度函数:取一个定点 x x x,则按照分布函数的定义,事件 { x &lt; X &lt; x + h } \{x &lt; X &lt; x+h\} {x<X<x+h}的概率 ( h &gt; 0 为 常 数 ) (h &gt; 0为常数) (h>0),因为 F ( x + h ) − F ( x ) F(x+h)-F(x) F(x+h)F(x),所以比值 F ( x + h ) − F ( x ) h \frac {F(x+h)-F(x)}{h} hF(x+h)F(x)可以解释为在 x x x附近 h h h长的区间 ( x , x + h ) (x, x+h) (x,x+h)内,单位长度所占的概率,另 h → 0 h \to0 h0,则这个比的极限,即 F ′ ( x ) = f ( x ) F&#x27;(x) = f(x) F(x)=f(x),也就是说 x x x点处(无穷小区段内)单位长概率,或者说,它反映了概率在 x x x点处的“密集程度”。概率密度函数公式:
    P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a \leq X \leq b) = F(b)-F(a) = \displaystyle\int^b_af(x)dx P(aXb)=F(b)F(a)=abf(x)dx
    此处的概率就是求面积
    在这里插入图片描述
    左图是 F ( x ) F(x) F(x)连续型随机变量分布函数,右图为 f ( x ) f(x) f(x)连续型随机变量的概率密度函数,概率密度函数是分布函数的导函数。

    概率密度和质量函数的区别

    概率密度函数是对连续型随机变量定义的,本是不是概率,只有对其积分之后才是概率(某个特定值上的概率为0),但是概率质量函数是随机变量在各特定值上的概率。

    参考链接

    https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

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  • pmfRND 输出给定 PMF 的随机整数 x = pmfRND(f,X) 返回 mxn 矩阵,其值是 Zipf 分布的, 其中f> 0是PMF(离散PDF),使得sum(f)= 1; X = [m,n]是期望的输出随机矩阵的大小。
  • 概率质量函数( probability mass function,PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率概率密度函数( probability density function,PDF)是对连续随机变量定义的,本身不是概率,只有对连续随机变量的取值进行积分后才...

    概率质量函数( probability mass function,PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。
    概率密度函数( probability density function,PDF)是对连续随机变量定义的,本身不是概率,只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。
    累积分布函数( cumulative distribution function,CDF)能完整描述一个实数随机变量X的概率分布,是概率密庋函数的积分。对於所有实数x与pdf相对。
    在这里插入图片描述

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  • 1.概率密度函数  1.1. 定义  如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数有  则称X为连续型随机变量,其中F(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。(f(x)>=0,若f(x)在点x处连续则F...

    1.概率密度函数

      1.1. 定义

        如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数有

        则称X为连续型随机变量,其中F(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。(f(x)>=0,若f(x)在点x处连续则F(x)求导可得) f(x)并没有很特殊的意义,但是通过其值得相对大小得知,若f(x)越大,对于同样长度的区间,X落在这个区间的概率越大。
      1.2.意义及通俗解释
         A.形象解释:

        这么说吧,一个物体,问你它在某一个点处的质量是多少 ? 因为一个点是无限小的,所以点的质量一定为0。然而这个物体是由无数个点组成的,假如我们又需要求它质量,怎么办呢 ?于是引入密度的概念

    \rho=\lim_{V \rightarrow 0}{\frac{△m}{△V}} ,最后再把密度积分就可以得到质量m了。

        同理,如果在[0,1]上随机取点,求取在某一点处的概率,点的长度无限小,此概率一定为0。这时情况和上面所述类似,我们需要引入概率密度p,其中p=

    \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{△p}{△x}}。这样我们就可以求所取点落在某一段(a,b)上的概率了。概率p=
    \int_{a}^{b}p(t)dt

        总结:为什么要叫概率密度,因为它和物理上密度的定义本质上是一样的。我们做题的时候一般就两种。一.告诉你概率密度函数,让你求分布函数,积分就好了。二.告诉你分布函数,让你求概率密度函数,求导就好了。

    就像你做初中物理的密度题,无非两种:一.告诉你物体的密度让你求质量。二.告诉你物体的质量让你求密度。

         B.实例说明
        概率密度函数可以看成是直方图的平滑近似。
      1.3.概率密度函数和概率的关系
        这里有一点绕人,只有连续型函数才有概率密度!
        某一点的值是没有概率的P(X=1) = 0; 
        某一段的概率:设F(x)是概率分布函数,如果f(x)在[-无穷,x]的积分就是F(x),f(x)>=0,则乘f(x)为x的概率密度函数。
        概率分布求导数就是概率分布函数!
      1.4.函数间的概率密度关系
        注释:这里完全是我个人理解,没找到相关资料,只是看到有人这么用,有可能是错误的,欢迎指正!
    2.概率分布函数  
      P=P(t<=X )
    3.概率分布函数
       离散函数的概率值:P=P(K=X)
    4.相互关系以及求解实例
      4.1给定概率密度
        

      4.2给定分布函数

      4.3给定正常函数

        注释:这里是我自己想的,没有看到别的地方写,如有错误欢迎指正!

    参考:http://www.cnblogs.com/jstong/p/5903641.html
       https://www.zhihu.com/question/23237834
            https://www.cnblogs.com/dengdan890730/p/6169159.html
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  • 概率质量函数 Vs. 概率密度函数

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    概率质量函数 Vs. 概率密度函数 在概率论中,概率质量函数(probability mass function,简写为pmf)是离散随机变量在各特定取值上的概率概率质量函数概率密度函数不同之处在于:概率质量函数是对离散随机变量...
    概率质量函数 Vs. 概率密度函数

    在概率论中,概率质量函数(probability mass function,简写为pmf)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于:概率质量函数是对离散随机变量定义的,本身代表该值的概率;概率密度函数是对连续随机变量定义的,本身不是概率,只有对连续随机变量的概率密度函数在某区间内进行积分后才是概率。

    一个概率质量函数的图像。函数的所有值必须非负,且总和为1

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空空如也

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