今天在算点到平面距离的时候，直接套用公式就求得结果，感觉很不爽，想知道具体推导公式，于是自己手推了一下，推导涉及投影长度公式，想具体了解的同学可以点击链接出门左转即可

https://blog.csdn.net/qq_35975685/article/details/91152718

话不多说直接上图：



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已知三点求平面方程、平面法向量和点到平面的距离
已知三点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，p3(x3,y3,z3)，要求确定的平面方程
关键在于求出平面的一个法向量，为此做向量p1p2(x2-x1,y2-y1,z2-z1), p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1),平面法线和这两个向量垂直，因此法向量n：
平面方程：a(x-x1)+b(y-y1)+ c(z-z1)=0；
d=-a*x1-b*y1-c*z1。
平面平面方程为ax+by+cz+d=0。
//已知3点坐标，求平面ax+by+cz+d=0;
void get_panel(Point p1,Point p2,Point p3,double &a,double &b,double &c,double &d)
{
a= ( (p2.y-p1.y)*(p3.z-p1.z)-(p2.z-p1.z)*(p3.y-p1.y) );
b= ( (p2.z-p1.z)*(p3.x-p1.x)-(p2.x-p1.x)*(p3.z-p1.z) );
c= ( (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x) );
d= ( 0-(a*p1.x+b*p1.y+c*p1.z) );
}
// 已知三点坐标，求法向量
Vec3 get_Normal(Point p1,Point p2,Point p3)
{
a= ( (p2.y-p1.y)*(p3.z-p1.z)-(p2.z-p1.z)*(p3.y-p1.y) );
b= ( (p2.z-p1.z)*(p3.x-p1.x)-(p2.x-p1.x)*(p3.z-p1.z) );
c= ( (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x) );returnVec3(a,b,c);
}
//点到平面距离
double dis_pt2panel(Point pt,double a,double b,double c,doubled)
{return f_abs(a*pt.x+b*pt.y+c*pt.z+d)/sqrt(a*a+b*b+c*c);
}
三点共线判断
方法：面积判断
A (ax,ay) ,B(bx,by),C(cx,cy)；
判断 area(ABC) ==0
area(ABC) = 1/2 * ( AC X BC )  = 1/2 *((ax-cx)*(by-cy)-(bx-cx)*(ay-cy))
判断 (ax-cx)*(by-cy) == (bx-cx)*(ay-cy) 即可。
AC X BC   为两矢量的叉积
参考文章：

1 /*==================================================*\2 | 3D凸包3 | CALL: 构建凸包 = construct();4 \*==================================================*/
5 #define TPN 1010
6 structTPoint{7     doublex,y,z;8     void get(){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}9 TPoint(){}10     TPoint(double _x,double _y,double_z):x(_x),y(_y),z(_z){}11     TPoint operator-(const TPoint p) {return TPoint(x-p.x,y-p.y,z-p.z);}12     TPoint operator*(const TPoint p) {return TPoint(y*p.z-z*p.y,z*p.x-x*p.z,x*p.y-y*p.x);}//叉积
13     double operator^(const TPoint p) {return x*p.x+y*p.y+z*p.z;}//点积
14 };15 structfac{16     int a,b,c;//凸包一个面上的三个点的编号
17     bool ok;//该面是否是最终凸包中的面
18 };19 structT3dhull{20     int n;//初始点数
21     TPoint ply[TPN];//初始点
22     int trianglecnt;//凸包上三角形数
23     fac tri[TPN];//凸包三角形
24     int vis[TPN][TPN];//点i到点j是属于哪个面
25     void add(){ply[n++].get();}26     double dist(TPoint a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y+a.z*a.z);}//两点长度
27     double area(TPoint a,TPoint b,TPoint c){return dist((b-a)*(c-a));}//三角形面积*2
28     double volume(TPoint a,TPoint b,TPoint c,TPoint d){return (b-a)*(c-a)^(d-a);}//四面体有向体积*6
29     double ptoplane(TPoint &p,fac &f){//正：点在面同向
30         TPoint m=ply[f.b]-ply[f.a],n=ply[f.c]-ply[f.a],t=p-ply[f.a];31         return (m*n)^t;32 }33     void deal(int p,int a,intb){34         int f=vis[a][b];//与当前面(cnt)共边(ab)的那个面
35 fac add;36         if(tri[f].ok){37             if((ptoplane(ply[p],tri[f]))>eps) dfs(p,f);//如果p点能看到该面f，则继续深度探索f的3条边，以便更新新的凸包面
38             else//否则因为p点只看到cnt面，看不到f面，则p点和a、b点组成一个三角形。
39 {40                 add.a=b,add.b=a,add.c=p,add.ok=1;41                 vis[p][b]=vis[a][p]=vis[b][a]=trianglecnt;42                 tri[trianglecnt++]=add;43 }44 }45 }46     void dfs(int p,int cnt){//维护凸包，如果点p在凸包外更新凸包
47         tri[cnt].ok=0;//当前面需要删除，因为它在更大的凸包里面48
49 //下面把边反过来(先b,后a)，以便在deal()中判断与当前面(cnt)共边(ab)的那个面。即判断与当头面(cnt)相邻的3个面(它们与当前面的共边是反向的，如下图中(1)的法线朝外(即逆时针)的面130和312,它们共边13，但一个方向是13,另一个方向是31)
50
51 deal(p,tri[cnt].b,tri[cnt].a);52 deal(p,tri[cnt].c,tri[cnt].b);53 deal(p,tri[cnt].a,tri[cnt].c);54 }55     bool same(int s,int e){//判断两个面是否为同一面
56         TPoint a=ply[tri[s].a],b=ply[tri[s].b],c=ply[tri[s].c];57         return fabs(volume(a,b,c,ply[tri[e].a]))
62         inti,j;63         trianglecnt=0;64         if(n<4) return;65         bool tmp=true;66         for(i=1;i
67 {68             if((dist(ply[0]-ply[i]))>eps)69 {70                 swap(ply[1],ply[i]); tmp=false; break;71 }72 }73         if(tmp) return;74         tmp=true;75         for(i=2;i
76             if((dist((ply[0]-ply[1])*(ply[1]-ply[i])))>eps){77                 swap(ply[2],ply[i]); tmp=false; break;78 }79 }80         if(tmp) return;81         tmp=true;82         for(i=3;i
83             if(fabs((ply[0]-ply[1])*(ply[1]-ply[2])^(ply[0]-ply[i]))>eps){84                 swap(ply[3],ply[i]); tmp=false; break;85 }86 }87         if(tmp) return;88 fac add;89         for(i=0;i<4;i++){//构建初始四面体(4个点为ply[0],ply[1],ply[2],ply[3])
90             add.a=(i+1)%4,add.b=(i+2)%4,add.c=(i+3)%4,add.ok=1;91             if((ptoplane(ply[i],add))>0) swap(add.b,add.c);//保证逆时针，即法向量朝外，这样新点才可看到。
92             vis[add.a][add.b]=vis[add.b][add.c]=vis[add.c][add.a]=trianglecnt;//逆向的有向边保存
93             tri[trianglecnt++]=add;94 }95         for(i=4;i
96             for(j=0;j
97                 if(tri[j].ok&&(ptoplane(ply[i],tri[j]))>eps){//对当前凸包面进行判断，看是否点能否看到这个面
98                     dfs(i,j); break;//点能看到当前面，更新凸包的面(递归，可能不止更新一个面)。当前点更新完成后break跳出循环
99
100 }101 }102 }103         int cnt=trianglecnt;//这些面中有一些tri[i].ok=0，它们属于开始建立但后来因为在更大凸包内故需删除的，所以下面几行代码的作用是只保存最外层的凸包
104         trianglecnt=0;105         for(i=0;i
111         double ret=0;112         for(int i=0;i
117         TPoint p(0,0,0);118         double ret=0;119         for(int i=0;i
124     int facepolygon(){//表面多边形数
125         int ans=0,i,j,k;126         for(i=0;i
135 };