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  • 二项式定理公式推导

    万次阅读 2019-05-13 10:01:27
  • 二项式定理(通项公式)二项定理通项公式.doc
  • 牛顿二项式定理 1、设α\alphaα是实数。对于所有满足1≤∣x∣<∣y∣1\le |x|< |y|1≤∣x∣<∣y∣的x和y,有 (x+y)α=∑k=0∞Cαkxkyα−k(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k}...

    牛顿二项式定理

    1、设 α \alpha α是实数。对于所有满足 1 ≤ ∣ x ∣ < ∣ y ∣ 1\le |x|< |y| 1x<y的x和y,有
    ( x + y ) α = ∑ k = 0 ∞ C α k x k y α − k (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k} (x+y)α=k=0Cαkxkyαk

    其中 C α 0 = 1 C_{\alpha}^{0}=1 Cα0=1

    C α k = α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) k ! C_{\alpha}^k=\frac {\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!} Cαk=k!α(α1)(αk+1) = ( − 1 ) k − α ( − α + 1 ) … ( − α + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k C − α + k − 1 k =(-1)^k\frac {-\alpha(-\alpha+1)\dots(-\alpha+k-1)}{k!}=(-1)^kC_{-\alpha+k-1}^{k} =(1)kk!α(α+1)(α+k1)=(1)kCα+k1k

    2、当 α \alpha α为正整数时,当 k > α k>\alpha k>α时, C α k = 0 C_{\alpha}^k=0 Cαk=0,上式变为

    ( x + y ) α = ∑ k = 0 α C α k x k y α − k (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\alpha}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k} (x+y)α=k=0αCαkxkyαk

    3、当 α \alpha α为负整数时,设 z = x y z=\frac xy z=yx,此时 ∣ z ∣ < 1 |z|< 1 z<1
    ( x + y ) α = y α ( 1 + z ) α (x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha} (x+y)α=yα(1+z)α

    1. 这样我们只需要讨论 ( 1 + z ) α (1+z)^{\alpha} (1+z)α 就好了
      ( 1 + z ) α = ∑ k = 0 ∞ C α k z k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k C − a + k − 1 k z k (1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k z^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kC_{-a+k-1}^k z^k (1+z)α=k=0Cαkzk=k=0(1)kCa+k1kzk

    2. α = − 1 , z = − z \alpha=-1,z=-z α=1z=z

    ( 1 − z ) − 1 = ∑ k = 0 ∞ z k (1-z)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k (1z)1=k=0zk

    相当于普通生成函数1个因子的情况

    1. α = − n , z = − z \alpha=-n,z=-z α=nz=z

    ( 1 − z ) − n = ∑ k = 0 ∞ C n + k − 1 k z k (1-z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^k z^k (1z)n=k=0Cn+k1kzk

    相当于普通生成函数n个因子的情况

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  • 一、二项式定理 、 二、组合恒等式 ( 递推式 1 ) 、 三、组合恒等式 ( 递推式 2 ) 、 四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式 、 五、组合分析方法 、 六、递推式组合恒等式特点





    一、二项式定理



    二项式定理 :

    n n n 是正整数 , 对于一切 x x x y y y , 有以下定理 :

    ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} (x+y)n=k=0n(kn)xkynk


    ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 表示 n n n 元集中取 k k k 个元素的组合数 , 是 集合组合数 C ( n , k ) C(n,k) C(n,k) 的另一种写法 ;


    另一个常用形式 ( y = 1 y = 1 y=1 ) :

    ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k (1+x)n=k=0n(kn)xk


    基本求和公式 ( x = y = 1 x = y =1 x=y=1 ) :

    2 n = ∑ k = 0 n ( n k ) 2^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} 2n=k=0n(kn)





    二、组合恒等式 ( 递推式 1 )



    ( n k ) = ( n n − k ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} (kn)=(nkn)



    组合分析方法 : ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 是求 k k k 个子集选取方法 , ( n n − k ) \dbinom{n}{n-k} (nkn) 是求 n − k n-k nk 个子集的选取方法 , 二者是一一对应的 ;


    一般情况下 , ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 的下项 , 不超过上项的一半 ;
    如果出现 ( 10 8 ) \dbinom{10}{8} (810) , 就可以写成 ( 10 2 ) \dbinom{10}{2} (210)





    三、组合恒等式 ( 递推式 2 )



    ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=kn(k1n1)



    代入组合数的公式 , 可以得到 等号 = = = 两侧的值是相等的 ;

    该公式用于消去系数的 , 示例如下 :


    计算 ∑ k = 0 n k ( n k ) \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} k=0nk(kn) 组合式 :


    此时需要消去 k k k 系数 ;


    使用 n k ( n − 1 k − 1 ) \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} kn(k1n1) 代替 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) , 有以下计算过程 :

    ∑ k = 0 n k ( n k ) = ∑ k = 0 n k n k ( n − 1 k − 1 ) \begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} = \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array} k=0nk(kn)=k=0nkkn(k1n1)


    可以将加和式中的 k k k 约掉 , 此时 n n n 就与求和变量无关了 , 此时可以将 n n n 提取到加和符号 ∑ \sum 外面 ,

    ∑ k = 0 n k ( n k ) = ∑ k = 0 n k n k ( n − 1 k − 1 ) = n ∑ k = 0 n ( n − 1 k − 1 ) \begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} &=& \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \\\\ &=& n \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array} k=0nk(kn)==k=0nkkn(k1n1)nk=0n(k1n1)

    然后计算 ∑ k = 0 n ( n − 1 k − 1 ) \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} k=0n(k1n1) ,

    二项式定理是 : ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} (x+y)n=k=0n(kn)xkynk

    根据二项式定理 , 可以得到 ( 1 + 1 ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) (1 + 1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} (1+1)n=k=0n(kn)

    推导 : ( 1 + 1 ) n − 1 = ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k − 1 ) = 2 n − 1 (1 + 1)^{n-1} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dbinom{n-1}{k-1} = 2^{n-1} (1+1)n1=k=0n1(k1n1)=2n1

    之后可以继续进行后续计算 ;





    四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式




    ( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=(kn1)+(k1n1)



    该递推式 , 用于拆项 :


    可以将 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 拆成 ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn1)+(k1n1) 之和 ;


    ( n − 1 k ) \dbinom{n - 1}{k} (kn1) 拆成 ( n k ) − ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)(k1n1) 之差 ;


    将 将 ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} (k1n1) 拆成 ( n k ) − ( n − 1 k ) \dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k} (kn)(kn1) 之差;


    在一堆求和的组合数中 , 拆分成两个数之差 , 可以抵消很多组合数 ;

    经常在大的求和公式中进行化简时使用 ;



    使用组合分析的办法证明该公式 :

    n n n 元集中选取 k k k 子集 , 这是集合组合数 ;


    指定其中某个元素 a a a ;

    ① 包含 a a a 元素 : k k k 子集中包含 a a a 元素的情况组合数 ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} (k1n1) , k k k 子集中包含 a a a , 只需要在除 a a a 元素外 , 剩下的 n − 1 n-1 n1 个元素中 , 选出 k − 1 k-1 k1 个元素即可 ;

    ② 不包含 a a a 元素 : k k k 子集中不包含 a a a 元素的情况组合数 ( n − 1 k ) \dbinom{n - 1}{k} (kn1) , k k k 子集中不包含 a a a , 只需要在除 a a a 元素外 , 剩下的 n − 1 n-1 n1 个元素中 , 选出 k k k 个元素即可 ;





    五、组合分析方法



    以上面证明 帕斯卡 / 杨辉三角 公式为例


    组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;

    • 指定集合 : n n n 元集
    • 指定元素 : 某个特定元素 a a a
    • 指定计数问题 :
      • ① 问题 1 : n n n 元集 k k k 组合数 ;
      • ② 问题 2 : n n n 元集中 k k k 组合数 , 组合中含有元素 a a a , 不含有元素 a a a 的两种组合计数 ;




    六、递推式组合恒等式特点



    使用 比较小的组合数 表示 比较大的组合数 , 称为递推式组合恒等式 ;


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    二项式定理公式: (x+y)n=∑i=0nCnixiyn−i(x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i}(x+y)n=∑i=0n​Cni​xiyn−i 这个知识点其实很简单的,你自己展开得出来的就是这个东西,下面两个推广也很简单 当你把(1,1)带入时,...

    二项式定理公式:

    ( x + y ) n = ∑ i = 0 n C n i x i y n − i (x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i} (x+y)n=i=0nCnixiyni


    这个知识点其实很简单的,你自己展开得出来的就是这个东西,下面两个推广也很简单

    当你把(1,1)带入时,会得到: ∑ i = 0 n C n i = 2 n \sum_{i=0}^nC_n^i=2^n i=0nCni=2n

    当你把(1,-1)带入时,会得到: ∑ i = 0 n ( − 1 ) i C n i = 0 \sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i=0 i=0n(1)iCni=0

    广义二项式定理:

    感觉没什么用就懒得敲了。。。
    在这里插入图片描述

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