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  • 1.极坐标计算重积分交换积分次序 2.1.类直角坐标法 将极坐标(θ,ρ)(\theta, \rho)(θ,ρ)看做类似直角坐标(x,y)(x,y)(x,y)的情况,将θ\thetaθ看做横坐标,讲ρ\rhoρ看做纵轴,画出(θ,ρ)(\theta, \rho)(θ,ρ)...

    1.极坐标计算重积分交换积分次序

    2.1.类直角坐标法

    将极坐标(θ,ρ)(\theta, \rho)看做类似直角坐标(x,y)(x,y)的情况,将θ\theta看做横坐标,讲ρ\rho看做纵轴,画出(θ,ρ)(\theta, \rho)的直角坐标图和积分区域图形,然后像直角坐标下交换积分次序那样交换θ,ρ\theta, \rho的积分次序

    例一:在极坐标下交换积分次序:I=π4π2dθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)rdrI=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r

    解析方法一:以θ\theta为横轴,rr为纵轴,画出积分区域的几何图形

    积分区域D:π4θπ2,0r2cosθD:-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2 \cos \theta,将DD分成两部分:D1,D2D_{1}, D_{2}。其中D1:0r2,π4θarccosr2D_{1}: 0 \leq r \leq \sqrt{2},-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \arccos \frac{r}{2},其中θarccosr2\theta \leq \arccos \frac{r}{2}是根据r2cosθcosθr2r \leq 2 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta \geq \frac{r}{2}θarccosr2\Rightarrow \theta \leq \arccos \frac{r}{2}得到。

    D2:2<r2,arccosr2θarccosr2D_{2}: \sqrt{2}<r \leq 2,-\arccos \frac{r}{2} \leq \theta \leq \arccos \frac{r}{2},其中arccosr2θarccosr2-\arccos \frac{r}{2} \leq \theta \leq \arccos \frac{r}{2}是根据r2cosθ,cosθr2,arccosr2θarccosr2r \leq 2 \cos \theta, \cos \theta \geq \frac{r}{2},-\arccos \frac{r}{2} \leq \theta \leq \arccos \frac{r}{2}得到,从图形上看,θ\theta是从左边曲线θ=arccosr2\theta=-\arccos \frac{r}{2}变到右边曲线θ=arccosr2\theta=\arccos \frac{r}{2}

    根据上面积分区域的划分可得:

    I=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ+Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ==02drπ4arccosr2f(rcosθ,rsinθ)rdθ+22drarccosr2arccosr2f(rcosθ,rsinθ)rdθ \begin{array}{l} I=\iint_{D} f(\operatorname{rcos} \theta, \operatorname{rsin} \theta) r d r d \theta=\iint_{D} f(\operatorname{rcos} \theta, \operatorname{rsin} \theta) r d r d \theta+\iint_{D} f(\operatorname{rcos} \theta, r \sin \theta) r d r d \theta= \\ =\int_{0}^{\sqrt{2}} d r \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos \frac{r}{2}} f(\operatorname{rcos} \theta, \operatorname{rsin} \theta) r d \theta+\int_{\sqrt{2}}^{2} d r \int_{-\arccos \frac{r}{2}}^{ \arccos \frac{r}{2}} f(\operatorname{rcos} \theta, \operatorname{rsin} \theta) r d \theta \end{array}

    2.2.极坐标常数穿越法

    若先积θ\theta(内层积分),后积ρ\rho(外层积分),则先确定ρ\rho的取值范围(上下限),然后用ρ=\rho=常数穿过区域DD,将DD划分为两个子区域D1D_1D2D_2.

    0r20 \leq r \leq \sqrt{2}时,圆弧r=r=常数从θ=π4\theta=-\frac{\pi}{4}进入区域DD,从r=2cosθ(θ>0)r=2 \cos \theta(\theta>0)(即θ=arccosr2\theta=\arccos \frac{r}{2})穿出区域DD

    2r2\sqrt{2} \leq r \leq 2时,圆弧r=r=常数从r=2cosθ(θ<0)r=2 \cos \theta(\theta<0),即θ=arccosr2\theta=-\arccos \frac{r}{2}进入区域DD,从r=2cosθ(θ>0)r=2 \cos \theta(\theta>0)(即θ=arccosr2\theta=\arccos \frac{r}{2})穿出区域DD

    因此

    π4π2dθ02cosθrf(r,θ)dr=02drπ4arccosr2rf(r,θ)dθ+22drarccosr2arccosr2rf(r,θ)dθ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} r f(r, \theta) \mathrm{d} r=\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d} r \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos \frac{r}{2}} r f(r, \theta) \mathrm{d} \theta+\int_{\sqrt{2}}^{2} \mathrm{d} r \int_{-\arccos \frac{r}{2}}^{\arccos \frac{r}{2}} r f(r, \theta) \mathrm{d} \theta

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  • 极坐标下交换积分次序的方法

    万次阅读 2018-07-21 16:00:58
    将ρ、θ换做直角坐标系,画出原积分的草图(即θ对应x坐标,ρ对应y坐标),再按照直角坐标系下交换积分次序的方法交换即可;   2、极坐标常数穿越法 根据特定点划分两个积分域(ρ发生变化的角度),将D分为多...

    1、转换直角坐标系法

    将ρ、θ换做直角坐标系,画出原积分的草图(即θ对应x坐标,ρ对应y坐标),再按照直角坐标系下交换积分次序的方法交换即可;

     

    2、极坐标常数穿越法

    根据特定点划分两个积分域(ρ发生变化的角度),将D分为多个子积分域,确定每个子积分域ρ和θ的边界,累加即可;

     

    3、分析法

     

    参考资料:http://kaoyan.wendu.com/shuxue/fuxi/93324.shtml

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  • 【高数】 - 交换二次积分次序时,为什么需要观察上下限大小关系? - 二次积分、累次积分和二重积分分别是什么意思?区别与联系是什么?

    【高数】交换二次积分次序时,为什么要观察上下限大小关系?

    一、起因

    看到一道题,对解题过程表示迷惑,为什么需要进行上下限的调整?本质上是不理解概念,搞不清楚这几者互相转化的规律。突然就对二次积分、累次积分、二重积分,几个词产生了深深的怀疑。

    • 交换二次积分次序时,为什么需要观察上下限大小关系?
    • 二次积分、累次积分和二重积分分别是什么意思?区别与联系是什么?

    二、概念理解

    1. 累次积分

      多次单变量积分。

    2. 二次积分

      两次单变量积分。虽然被积函数中含有x和y两个变量,但是每次积分,都把其一当作常数,而对另一个变量积分。第一次积分时,是对一个变量的积分,可以理解为偏积分,得到的是一个函数;第二次积分时,对另一变量积分,得到一个数字。

      二次积分是一种积分运算,是代数意义上的,仅仅对函数和数字进行运算。

    3. 二重积分
      在这里插入图片描述

      因为二重积分的几何背景是,曲顶柱体的体积(顶的高度是因变量)或平面薄片的质量(面密度是因变量)。这两种背景中,Δσi表示的都是面积微元,所以必须是Δσi>0,也即dσi>0。在直角坐标中,也即是dxdy>0,因此积分时注意上下限的相对大小,必须是上限≥下限,才可以表示二重积分。

      简单说,二重积分是关于面积的积分

      同时,二重积分要求函数f(x,y)在有界闭区域D上的有界函数,此时才可积。


    注:一元积分中,dx=Δx,表示增量,可以为正或负。如Δx→0,则表示从正和负两个方向趋向0,所以可以是负值。一元积分要求函数是:①区间上连续或者②区间上有界且仅有限个间断点。

    1. 区别
      二次积分是一种对函数的积分运算,是两次单变量积分,积分结果是一个数,且无几何意义。

      二重积分是对面积的积分,是以面积微元积分的,积分结果是一个数,表示和面积微元有关的、具有几何意义的质量或体积等的值。

    2. 联系
      有篇文章讲解了二者的关系。其中有例子可以帮助理解。
      指路链接:《二重积分与累次积分》
      https://wenku.baidu.com/view/431fe61d2b160b4e767fcf94.html

    总结下其中的结论包括:

    • 二次积分的积分次序交换后,积分不一定存在。
      • 若交换次序后的积分存在,不一定与原来相等。
        • 当交换后积分存在且相等时,二重积分不一定存在。
    • 当二重积分和其中一个二次积分存在时,这二者相等,但另一个二次积分不一定存在。
    • 当函数 f(x,y) 在矩形区域 { (x,y) | a≤x≤b, c≤y≤d } 上连续时,二重积分和两个二次积分均存在,且相等。

    三、解题

    题目摘自《高数18讲》。
    在这里插入图片描述
    如果题目要求对二次积分交换积分次序,则默认该函数是可以交换次序且值相等。
    那和二重积分有什么关系呢?二次积分无所谓上下限的大小,可以直接进行代数运算。

    但是!交换积分次序时,需要重新选定上下限,那么就需要搞清楚它是从哪个二重积分来的,因为二重积分的dxdy>0,所以有着严格的向右积分或是向上积分的规定,也即上限必须要大于等于下限的意思。这时需要对积分的上下限先进行调整,不然易出现正负号混乱的情况。

    在两次积分的上限都≥下限的情况下,才表示二重积分,于是便可以重新选择积分次序!!!

    四、小结

    1. 二次积分是对函数的运算,二重积分是对面积微元的积分!
    2. 当函数 f(x,y) 在矩形区域 { (x,y) | a≤x≤b, c≤y≤d } 上连续时,二重积分和两个二次积分均存在,且相等!
    3. 在两次积分的上限都≥下限的情况下,才表示二重积分,于是便可以重新选择积分次序!

    P.S. 这篇博客引用了其他文章的结论,在是否还是原创上纠结。
    csdn为什么不出一个部分引用的选择呢,文章分类居然只有原创、转载、翻译。
    强迫症觉得哪一类都不算,纠结中选了转载,唔。
    
    参考文献:[1] 张慧琴. 二重积分与累次积分[J]. 吕梁学院学报, 2001(1).
    
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    2021-03-06 20:50:10
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    万次阅读 2018-07-05 22:56:46
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