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  • 主要介绍了python实现傅里叶级数展开的实现,小编觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。一起跟随小编过来看看吧
  • 周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式,共享学习。百度已有,只是这个不用下载券!不用下载券!不用下载券!
  • matlab傅里叶级数展开

    2021-09-20 19:00:06
    傅里叶级数傅里叶级数展开傅里叶级数展开原理源码方波方波+三角波matalb 傅里叶级数展开结果图片 傅里叶级数展开 傅里叶级数展开原理 周期函数可以通过一系列的三角函数的线性组合来逼近,傅里叶技术展开可以找到...

    傅里叶级数展开

    傅里叶级数展开原理

    周期函数可以通过一系列的三角函数的线性组合来逼近,傅里叶技术展开可以找到这些三角函数.
    在这里插入图片描述
    首先我们可以通过三角函数的正交性计算出傅里叶级数中的系数

    源码

    方波

    
    function F=fouriersquare
    syms x;       %创建变量x
    T=0.00001;
    i=100;          %谐波的阶数 数字越大越接近直线
    t=0:0.00000001:0.0001; %采样点实际使用可调大
    %如果创建-1,+1的方波直接调用square即可
    %40是40%占空比
    f=max(0.7055*square(pi*2*t/0.00001,40),0);
    %创建方波最大值是0.7055,最小值是0 除周期
    %square(t,duty_cycle)产生一个周期为2 π,幅值为±1的周期性方波, duty_cycle占空比
    %square输入的数小于pi,就是1,大于pi小于2*pi就是-1。
    %max取正数部分
    plot(t,f);
    grid on;
    hold on;
    axis([0 5*10^(-5) -0.5 1.5]);
    A0=0.7055*2/5;%可根据函数直接算出
    F=0;
    Fx=0;
    for n=1:i
        As=int(0.7055*2*cos(2*pi*n*x/T)/T,x,0,2*T/5);%傅里叶系数an M = int ( fn, x, xmin, xmax )一重积分
        Bs=int(0.7055*2*sin(2*pi*n*x/T)/T,x,0,2*T/5);%傅里叶系数bn
        F=F+As*cos(2*pi*n*t/T)+Bs*sin(2*pi*n*t/T);%求傅里叶级数展开
        Fx=Fx+As*cos(2*pi*n*x/T)+Bs*sin(2*pi*n*x/T);
    end
    F=F+A0;
    Fx=Fx+A0;
    Fx
    %figure(2)
    plot(t,F)
    
    

    方波+三角波

    function F=fourier_square(amplitude,duty_cycle,T,slope)
    syms x amp;      
    %求傅里叶展开
    %amplitude 幅值
    %duty_cycle 占空比
    %T 周期
    %slope 斜率
    %amplitude=0.7055;
    %duty_cycle=0.4;
    %T=0.00001;
    %slope=62125;
    i=20;              %谐波的阶数 数字越大越接近直线
    t=0:T/1000:T*10;    %采样点范围,调大更精确
    deviant=(0.5-duty_cycle)*2;
    f=max(slope*T/2*((sawtooth((2*t/T+1.0+deviant)*pi)-deviant)),0)+max(amplitude*square(pi*2*t/T,duty_cycle*100),0);
    plot(t,f);
    grid on;
    hold on;
    axis([0 T*5 -0.5*amplitude 1.5*amplitude]);
    A0=amplitude*duty_cycle+1/2*slope*duty_cycle^2*T;
    F=0;
    Fx=0;
    for n=1:i
        As=int(2*(amplitude+slope*x)*cos(2*pi*n*x/T)/T,x,0,T*duty_cycle);%傅里叶系数an M = int ( fn, x, xmin, xmax )一重积分
        Bs=int(2*(amplitude+slope*x)*sin(2*pi*n*x/T)/T,x,0,T*duty_cycle);%傅里叶系数bn
        end
        F=F+As*cos(2*pi*n*t/T)+Bs*sin(2*pi*n*t/T);              %求傅里叶级数展开
        Fx=Fx+As*cos(2*pi*n*x/T)+Bs*sin(2*pi*n*x/T);
    end
    F=F+A0;
    Fx=Fx+A0;
    Fx
    plot(t,F)
    
    简单说明一下函数,本逻辑将电流分成三角波和方波的周期函数叠加,分别做傅里叶分 解。函数需要输入周期函数的周期、方波的幅值、周期函数的占空比、以及三角波的斜率。 首先作出方波和三角波函数叠加后的图像,而后将函数进行傅里叶分解,同时输出傅里叶函 数直流、基波、二次谐波、三次谐波的幅值和角度用于 Ansys Maxwell 仿真时候加激励源, 最后画出傅里叶展开设定次数内函数叠加的图片用于原函数对比傅里叶展开的收敛程度。函 数内有两个可调值 i 和 t,i 为傅里叶分解的谐波的阶数,数字越大越接近直线;t 为采样 点范围,数据越小越精确,但调大会让仿真时间较长。 
    由于 matalb 只有几种周期函数,因此实现目标电流函数需要通过位移、函数取正、更改 周期来实现。
    

    matalb 傅里叶级数展开结果图片

    结果展示: 收敛 i=20 结果仍有较多毛刺
    在这里插入图片描述
    收敛 i=50 时候较为接近
    在这里插入图片描述

    i 继续增大仿真时间指数增加,因此没有继续,理论上 i 无限大时会与原曲线重合,从而验 证傅里叶分解正确性

    补充:实际matlab好像有自己傅里叶分解函数fft(),可以通过help查看用法,自己编写函数会掉一些精度

    参考引用
    MATLAB实现周期信号的傅里叶级数的展开
    方波信号傅里叶级数展开

    展开全文
  • 其实有两种方法,第一种方法较为简单: 方法一:利用复指数函数的展开式 已知: (1)-(2)可得: 积分计算方法 所以:

    其实有两种方法,第一种方法较为简单:

    方法一:利用复指数函数的展开式

    已知:
    在这里插入图片描述
    (1)-(2)可得:
    在这里插入图片描述

    积分计算方法

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    所以:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 傅里叶级数表述为: f(t)=a0+∑k=1∞{akcos⁡(2πkT0t)+bksin⁡(2πkT0t)} f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)...

    正文

    傅里叶级数表述为:
    f ( t ) = a 0 + ∑ k = 1 ∞ { a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) + b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) } f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)\right \} f(t)=a0+k=1{akcos(T02πkt)+bksin(T02πkt)}
    上式中, T 0 T_0 T0 是傅里叶展开前原周期函数的一个周期。可以看到三角函数的角频率 ω \omega ω ω = 2 π k T 0 \omega = \frac {2 \pi k}{T_0} ω=T02πk

    ※三角函数的中 t t t 前面的系数是角频率 ω \omega ω 它与周期的关系是 ω = 2 π T \omega = \frac {2\pi}{T} ω=T2π ,所以可以发现,在原函数的一个周期 T 0 T_0 T0 中, 当 k k k 变化,角频率 ω \omega ω 随之变化,于是周期 T T T , 变成了 T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0 T 0 3 \frac{T_0}{3} 3T0 T 0 4 \frac{T_0}{4} 4T0 T 0 ∞ \frac{T_0}{\infin} T0

    于是,上式就成了无穷个同相位、各种振幅的三角函数之和了。

    ( ※注意:振幅为 a k a_k ak b k b_k bk

    周期 T T T k k k 增大不断减小,即,频率 f f f 和角频率 ω \omega ω 不断增大, 最大的周期称为基本周期 T 0 T_0 T0 ,最小的(角)频率称为基本(角)频率 f 0 f_0 f0 ω 0 \omega_0 ω0 ),傅里叶级数的每一份三角函数的频率都是基本频率的整数倍。

    接下来,级数展开需要求的三角函数的系数,即,傅里叶系数

    求常数项 a 0 a_0 a0 (直流成分)
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 { a 0 + ∑ k = 1 ∞ { a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) + b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) } d t } \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \left \{ a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)\right \}dt \right \} T0/2T0/2f(t)dt=T0/2T0/2{a0+k=1{akcos(T02πkt)+bksin(T02πkt)}dt}
    由于积分和累加本质上就是求和(积分是连续和,累加是离散和)所以把积分号放进括号里,有:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a 0 d t + ∑ k = 1 ∞ { ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) d t + ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) d t } \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_0dt + \sum^\infin_{k=1} \left \{ \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right)dt + \int_{-T_0/2}^{T_0/2} b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)dt \right \} T0/2T0/2f(t)dt=T0/2T0/2a0dt+k=1{T0/2T0/2akcos(T02πkt)dt+T0/2T0/2bksin(T02πkt)dt}
    在一个周期内,三角函数的定积分等于0,所以右侧后项被消掉,得:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a 0 d t = T 0 a 0 \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_0dt = T_0a_0 T0/2T0/2f(t)dt=T0/2T0/2a0dt=T0a0
    移项,
    a 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt a0=T01T0/2T0/2f(t)dt
    即直流成分的傅里叶系数 a 0 a_0 a0 为原函数的1个周期的定积分除以周期, a 0 a_0 a0 物理意义就是,原函数的时间平均值。

    (关于三角函数正交性的一部分推导)

    试证:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t ) cos ⁡ ( 2 π n T 0 t ) d t = T 0 2 δ m , n \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t) \cos( \frac{2 \pi n}{T_0}t)dt = \frac{T_0}{2} \delta_{m,n} T0/2T0/2cos(T02πmt)cos(T02πnt)dt=2T0δm,n
    其中,克罗内克德尔塔为
    δ m , n = { 0 , if  m ≠ n 1 , if  m = n \delta_{m,n}= \begin{cases} 0, & \text{if $m \not = n$} \\ 1, & \text{if $m = n$} \end{cases} δm,n={0,1,if m=nif m=n

    证明:

    根据积化和差公式: (help)

    哥哥 = 哥 + 哥
    cos ⁡ α cos ⁡ β = cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) 2 \cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos( \alpha + \beta) + \cos( \alpha - \beta)}{2} cosαcosβ=2cos(α+β)+cos(αβ)
    有:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t ) cos ⁡ ( 2 π n T 0 t ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t + 2 π n T 0 t ) + cos ⁡ ( 2 π m T 0 t − 2 π n T 0 t ) 2 d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t + 2 π n T 0 t ) 2 d t + ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t − 2 π n T 0 t ) 2 d t \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \cos ( \frac{2 \pi m}{T_0}t) \cos ( \frac{2 \pi n}{T_0}t)dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \frac{ \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t + \frac{2 \pi n}{T_0}t) + \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t - \frac{2 \pi n}{T_0}t)}{2}dt\\ = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \frac{ \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t + \frac{2 \pi n}{T_0}t)}{2}dt + \int_{-T_0/2}^{T_0/2}\frac{ \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t - \frac{2 \pi n}{T_0}t)}{2}dt T0/2T0/2cos(T02πmt)cos(T02πnt)dt=T0/2T0/22cos(T02πmt+T02πnt)+cos(T02πmtT02πnt)dt=T0/2T0/22cos(T02πmt+T02πnt)dt+T0/2T0/22cos(T02πmtT02πntdt
    右侧第一项分子始终不为0,则一个周期内的积分为0;同理,右侧第二项只有当分子 cos ⁡ ( 2 π m T 0 t − 2 π n T 0 t ) \cos( \frac{2 \pi m}{T_0}t - \frac{2 \pi n}{T_0}t) cos(T02πmtT02πnt)的括号中为0时,该项变为常数项,积分才不为零,即只有 m = n m=n m=n 时, cos ⁡ 0 = 1 \cos0 = 1 cos0=1,等式右侧变为:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 1 2 d t \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \frac{1}{2}dt T0/2T0/221dt
    等于:
    T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0

    得证。

    现在以求系数 a 3 a_3 a3 为例,在 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a 0 d t + ∑ k = 1 ∞ { ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) d t + ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) d t } \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_0dt + \sum^\infin_{k=1} \left \{ \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right)dt + \int_{-T_0/2}^{T_0/2} b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)dt \right \} T0/2T0/2f(t)dt=T0/2T0/2a0dt+k=1{T0/2T0/2akcos(T02πkt)dt+T0/2T0/2bksin(T02πkt)dt} 的两边乘上一个 cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) \cos ( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0}) cos(T02π3) ,则:
    ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) d t = ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a 0 cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) d t + ∑ k = 1 ∞ { ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) d t + ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) d t } = 0 + ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 a 3 ⋅ T 0 2 d t = a 3 T 0 2 \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) \cos( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0}) dt = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_0 \cos( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0})dt + \sum^\infin_{k=1} \left \{ \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) \cos( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0})dt + \int_{-T_0/2}^{T_0/2} b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right) \cos( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0}) dt \right \}\\ = 0 + \int_{-T_0/2}^{T_0/2} a_3 \cdot \frac {T_0}{2}dt = \frac{a_3T_0}{2} T0/2T0/2f(t)cos(T02π3)dt=T0/2T0/2a0cos(T02π3)dt+k=1{T0/2T0/2akcos(T02πkt)cos(T02π3)dt+T0/2T0/2bksin(T02πkt)cos(T02π3)dt}=0+T0/2T0/2a32T0dt=2a3T0
    于是,移项得:
    a 3 = 2 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) cos ⁡ ( 2 π ⋅ 3 T 0 ) d t a_3 = \frac{2}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) \cos( \frac{2 \pi \cdot 3}{T_0}) dt a3=T02T0/2T0/2f(t)cos(T02π3)dt
    以此类推便完成了傅里叶级数展开, 将时域连续的原函数展开成了一大堆频域离散三角函数的和。

    即:
    a 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) d t a k = 2 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) cos ⁡ ( 2 π ⋅ k T 0 ) d t , ( k = 1 , 2 , 3... ) b k = 2 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 f ( t ) sin ⁡ ( 2 π ⋅ k T 0 ) d t , ( k = 1 , 2 , 3... ) a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t)dt\\ a_k = \frac{2}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) \cos( \frac{2 \pi \cdot k}{T_0}) dt, \quad (k=1,2,3...)\\ b_k = \frac{2}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} f(t) \sin( \frac{2 \pi \cdot k}{T_0}) dt, \quad (k=1,2,3...) a0=T01T0/2T0/2f(t)dtak=T02T0/2T0/2f(t)cos(T02πk)dt,(k=1,2,3...)bk=T02T0/2T0/2f(t)sin(T02πk)dt,(k=1,2,3...)

    总结

    (1)周期为 T 0 T_0 T0 的周期函数 f ( t ) f(t) f(t) 能表示为 f ( t ) = a 0 + ∑ k = 1 ∞ { a k cos ⁡ ( 2 π k T 0 t ) + b k sin ⁡ ( 2 π k T 0 t ) } f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)\right \} f(t)=a0+k=1{akcos(T02πkt)+bksin(T02πkt)}的形式,这个被称为傅里叶展开

    (2) a k ,   b k a_k, \, b_k ak,bk 被称为傅里叶系数

    (3)累加起来的这些三角函数周期只存在原函数频率 f 0 f_0 f0 的整数倍,即 f = 2 f 0 ,   3 f 0   . . . f = 2f_0, \, 3f_0 \, ... f=2f0,3f0... 不存在其他频率的正余弦函数。

    注意:

    1)级数展开右侧第一项 a 0 a_0 a0在很多教材中写成 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0 是为了在傅里叶系数表达式中,把 a 0 a_0 a0 公式包含进 a k a_k ak 的式子中。实际上无论怎么写这个展开式都一样,仅仅是为了系数表达式的美观

    2)在推导系数表达式时积分和累加直接互换其实是不严谨的,这里的级数展开式的等号实际需要证明其成立,此处并未详细说明,在DFT中会进一步说明,未完待续…

    reference

    [1] 如何巧记「积化和差」与「和差化积」公式? - 青話的回答 - 知乎
    [2] フーリエ級数

    展开全文
  • ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx bn​=π1​∫−ππ​f(x)sin(nx)dx 三、周期为2L的级数展开 周期为2L的函数主要通过坐标系变换得到其傅里叶级数展开。...

    本文是DR_CAN系列教学视频的学习笔记

    一、三角函数的正交性

    下列三角函数组具有正交性
    S = { 0 , 1 , cos ⁡ ( x ) , sin ⁡ ( x )   cos ⁡ ( 2 x ) , sin ⁡ ( 2 x ) , . . . , cos ⁡ ( n x ) , sin ⁡ ( n x ) , . . . } S=\{0,1,\cos(x),\sin(x)\,\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...\} S={0,1,cos(x),sin(x)cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...}
    具体表现为
    ∀ f ( x ) , g ( x ) ∈ S ∧ f ≠ g , ∫ − π π f ( x ) ⋅ g ( x ) d x = 0 \forall f(x),g(x)\in S \wedge f\neq g,\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot g(x)dx=0 f(x),g(x)Sf=g,ππf(x)g(x)dx=0
    证明如下:

    1. 函数组内的不同函数正交
      函数组内的两不同函数求内积时有以下三种情况 ( m , n ∈ Z ) (m,n\in Z) (m,nZ)

    ∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ cos ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ cos ⁡ ( m + n ) x + cos ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0   ( m ≠ n ) \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (m+n) x+\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ππcos(mx)cos(nx)dx=ππ21[cos(m+n)x+cos(mn)x]dx=0(m=n)

    ∫ − π π sin ⁡ ( m x ) ⋅ sin ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π − 1 2 [ cos ⁡ ( m + n ) x − cos ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0   ( m ≠ n ) \int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{2}[\cos (m+n) x-\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ππsin(mx)sin(nx)dx=ππ21[cos(m+n)xcos(mn)x]dx=0(m=n)

    ∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ sin ⁡ ( n x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ sin ⁡ ( m + n ) x − sin ⁡ ( m − n ) x ] d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\sin (m+n) x-\sin (m-n) x] d x=0 ππcos(mx)sin(nx)dx=ππ21[sin(m+n)xsin(mn)x]dx=0

    1. 函数组内同一函数内积
      m = 0 m=0 m=0时,
      ∫ − π π cos ⁡ 2 ( m x ) d x = 2 π ,   ∫ − π π sin ⁡ 2 ( m x ) d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx=2\pi,\, \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)dx=0 ππcos2(mx)dx=2π,ππsin2(mx)dx=0
      m ≠ 0 m\neq0 m=0时,
      ∫ − π π cos ⁡ ( m x ) ⋅ cos ⁡ ( m x ) d x = ∫ − π π 1 2 [ cos ⁡ ( 2 m x ) + 1 ] d x = π \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (m x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (2mx)+1] d x=\pi ππcos(mx)cos(mx)dx=ππ21[cos(2mx)+1]dx=π
      ∫ − π π sin ⁡ ( m x ) sin ⁡ ( m x ) d x = ∫ − π π ( 1 − cos ⁡ 2 ( m x ) ) d x = π \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(mx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos^2(mx))dx=\pi ππsin(mx)sin(mx)dx=ππ(1cos2(mx))dx=π

    二、周期为 2 π 2\pi 2π的级数展开

    考虑函数 f ( x ) = f ( x + 2 π ) f(x)=f(x+2\pi ) f(x)=f(x+2π),将函数写成如下形式
    f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=n=0ancos(nx)+bnsin(nx)
    或是
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) f(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=2a0+n=1ancos(nx)+bnsin(nx)
    显然函数的周期仍然为 2 π 2\pi 2π.
    现通过将 f ( x ) f(x) f(x)与正交函数组中的函数求内积的方法求出级数中的系数项,考虑展开式的后一种写法最终可以得到
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx an=π1ππf(x)cos(nx)dx
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx bn=π1ππf(x)sin(nx)dx

    三、周期为2L的级数展开

    周期为2L的函数主要通过坐标系变换得到其傅里叶级数展开。
    对于函数 f ( t ) = f ( t + 2 L ) f(t)=f(t+2L) f(t)=f(t+2L),令
    x = π L ⋅ t x=\dfrac{\pi}{L}\cdot t x=Lπt
    并记
    g ( x ) = g ( π L ⋅ t ) = f ( t ) g(x)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=f(t) g(x)=g(Lπt)=f(t)
    于是有 g ( x + 2 π ) = g ( π L ⋅ t + 2 π ) = g ( π L ( t + 2 L ) ) = g ( x ) g(x+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}(t+2L))=g(x) g(x+2π)=g(Lπt+2π)=g(Lπ(t+2L))=g(x),即 g ( x ) g(x) g(x)是一周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数。
    根据周期为 2 π 2\pi 2π的函数的傅里叶展开公式,可以得到 g ( x ) g(x) g(x)的各项系数为
    g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) g(x)=2a0+n=1ancos(nx)+bnsin(nx)
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx an=π1ππf(x)cos(nx)dx
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx bn=π1ππf(x)sin(nx)dx
    带入 x = π L ⋅ t x=\dfrac{\pi}{L}\cdot t x=Lπt即有
    f ( t ) = g ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n π L ⋅ t ) + b n sin ⁡ ( n π L ⋅ t ) f(t)=g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)+b_n\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t) f(t)=g(x)=2a0+n=1ancos(Lnπt)+bnsin(Lnπt)
    a n = 1 π ∫ − L L f ( x ) cos ⁡ ( n π L ⋅ t )   d ( π L ⋅ t ) = 1 L ∫ − L L f ( t ) cos ⁡ ( n π L ⋅ t ) d t a_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dt an=π1LLf(x)cos(Lnπt)d(Lπt)=L1LLf(t)cos(Lnπt)dt
    b n = 1 π ∫ − L L f ( x ) sin ⁡ ( n π L ⋅ t )   d ( π L ⋅ t ) = 1 L ∫ − L L f ( t ) sin ⁡ ( n π L ⋅ t ) d t b_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dt bn=π1LLf(x)sin(Lnπt)d(Lπt)=L1LLf(t)sin(Lnπt)dt
    由于工程上的时间并没有负值,因此记 T = 2 L T=2L T=2L为函数的周期,并记 ω = 2 π T \omega=\dfrac{2\pi}{T} ω=T2π,函数即满足 f ( t ) = f ( t + T ) f(t)=f(t+T) f(t)=f(t+T). 此时函数的傅里叶展开为
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) f(t)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin(n\omega t) f(t)=2a0+n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)
    a n = ω π ∫ 0 T f ( t ) cos ⁡ ( n ω t ) d t a_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)dt an=πω0Tf(t)cos(nωt)dt
    b n = ω π ∫ 0 T f ( t ) sin ⁡ ( n ω t ) d t b_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)dt bn=πω0Tf(t)sin(nωt)dt

    四、傅里叶级数的复数形式

    4.1 周期为 2 π 2\pi 2π的函数的傅里叶级数展开

    这里要用到欧拉公式(欧拉方程,Euler’s formula
    e i θ = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ)
    于是可以得到
    cos ⁡ ( θ ) = e i θ + e − i θ 2 ,   sin ⁡ ( θ ) = e i θ − e − i θ 2 i \cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\, \sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} cos(θ)=2eiθ+eiθ,sin(θ)=2ieiθeiθ
    带入方程中有 f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ] = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n × e i n x + e − i n x 2 + b n × e i n x − e − i n x 2 i f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\times\dfrac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\times\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} f(x)=2a0+n=1[ancos(nx)+bnsin(nx)]=2a0+n=1an×2einx+einx+bn×2ieinxeinx
    整理可得
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 × e i n x + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x ‾ f(x)=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\underline{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}} f(x)=2a0+n=12anibn×einx+n=12an+ibn×einx
    下划线中的部分用 − n → n -n\rightarrow n nn即有
    ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x = ∑ n = − ∞ − 1 a − n + i b − n 2 × e i n x \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{-n}+ib_{-n}}2\times e^{inx} n=12an+ibn×einx=n=12an+ibn×einx
    根据前文的 a n 和 b n a_n和b_n anbn的表达式易知 a − n = a n , b − n = − b n a_{-n}=a_{n},b_{-n}=-b_n an=an,bn=bn带入上式中即有
    ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 × e − i n x = ∑ n = − ∞ − 1 a n − i b n 2 × e i n x \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx} n=12an+ibn×einx=n=12anibn×einx
    另外 a 0 2 = a 0 + i b 0 2 × e − i 0 x \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{a_0+ib_0}2\times e^{-i0x} 2a0=2a0+ib0×ei0x
    于是有
    f ( x ) = ( a n − i b n 2 × e i n x ) n = 0 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 × e i n x + ∑ n = − ∞ − 1 a n − i b n 2 × e i n x = ∑ a n − i b n 2 × e i n x f(x)=(\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx})_{n=0}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx}=\sum \dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx} f(x)=(2anibn×einx)n=0+n=12anibn×einx+n=12anibn×einx=2anibn×einx
    c n = a n − i b n 2 = 1 2 π [ ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ ( n x ) d x − i ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ ( n x ) d x ] = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) [ cos ⁡ ( n x ) − i sin ⁡ ( x ) ] d x = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x c_n= \dfrac{a_n-ib_n}2=\dfrac1{2\pi}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx-i\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)[\cos(nx)-i\sin(x)]dx=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx cn=2anibn=2π1[ππf(x)cos(nx)dxiππf(x)sin(nx)dx]=2π1ππf(x)[cos(nx)isin(x)]dx=2π1ππf(x)einxdx得到
    f ( x ) = ∑ c n × e i n x   , c n = a n − i b n 2 {f(x)=\sum c_n\times e^{inx}} \, ,c_n= \dfrac{a_n-ib_n}2 f(x)=cn×einx,cn=2anibn
    上式即周期为 2 π 2\pi 2π时的傅里叶级数的复数形式。

    值得注意的是,对于实数范围内的函数, c n c_n cn c − n c_{-n} cn是共轭的。
    f ( x ) f(x) f(x)展开式中当的 ± n \pm n ±n项求和为实数即可证明二者是共轭。

    4.2 周期为 2 L 2L 2L的函数的傅里叶级数的复数形式

    周期为 2 L 2L 2L的函数计算过程与周期为 2 π 2\pi 2π时的计算过程大致相同,其具体形式为
    f ( t ) = f ( t + T ) = ∑ c n e i n ω t   , c n = 1 L ∫ 0 L f ( x ) e − i n w x d x f(t)=f(t+T)=\sum c_ne^{in\omega t}\, , c_n=\dfrac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)e^{-inwx}dx f(t)=f(t+T)=cneinωt,cn=L10Lf(x)einwxdx
    a n 和 b n a_n和b_n anbn的表达式前文已经提及.

    五、傅里叶变换

    对于非周期函数,可以将其理解成周期为 ∞ \infty 的周期函数,此时 T → ∞ , w = 2 π T → 0 T\rightarrow\infty,w=\dfrac{2\pi}{T}\rightarrow 0 T,w=T2π0.
    f ( t ) = lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ ∞ 1 T ∫ 0 T f T ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ ∞ ω 2 π ∫ 0 T f T ( t ) e − i n w t d t ⋅ e i n ω t \begin{aligned} f(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}f_{T}(t) &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n \omega t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \end{aligned} f(t)=TlimfT(t)=ω0limT10TfT(t)einωtdteinωt=ω0lim2πω0TfT(t)einwtdteinωt
    注意到 ω = ( n + 1 ) ω − n ω = Δ ω \omega=(n+1)\omega-n\omega=\Delta \omega ω=(n+1)ωnω=Δω,上式可以继续化简为
    f ( t ) = lim ⁡ T → ∞ f T ( T ) = lim ⁡ ω → 0 ∑ − ∞ + ∞ Δ ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i n ω t d t ⋅ e i n ω t = ∫ − ∞ + ∞ d ω 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t ⋅ e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t ⋅ e i ω t d ω \begin{aligned} f(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} f_{T} (T) &=\lim _{\omega \rightarrow 0} \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t) e^{-i n \omega t } d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t } d t \cdot e^{i \omega t} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t \cdot e^{i \omega t} d \omega \end{aligned} f(t)=TlimfT(T)=ω0lim+2πΔω+f(t)einωtdteinωt=+2πdω+f(t)eiωtdteiωt=2π1++f(t)eiωtdteiωtdω
    F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt F(ω)=f(t)eiωtdt f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换,带入上式得到 f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega f(t)=2π1F(ω)eiωtdω即为傅里叶变换的逆变换。

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空空如也

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