记录一下经常忘记
假设A是条件，B是结论，设C、D分别为A、B所描述对象的集合，则有下列定义和推论：

（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件（此时）；

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件（此时）；

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件（此时）；

（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件（此时）

关于充分条件、必要条件、充分必要条件这三个概念一直没弄明白，今天总算开窍了、哈哈。

PS：关于这三个概念，网上很多地方有讲（有对的，有错的），现在我将正确的概念贴出来，希望大家少走弯路。

充分条件

如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A


必要条件

如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，也就是说如果有事物情况B则一定有事物情况A，那么A就是B的必要条件。


充要条件

充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，则也能从命题q推出命题p 。

如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件 ( 简称：充要条件 ) 。

原始链接：https://www.jianshu.com/p/9783ed0bb89b

充分条件、必要条件、充分必要条件的解释

（一）先看看概念

 



 

假设A是条件，B是结论。

（1）如果由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件，这种情况下B也是A的充分必要条件，简称充要条件。

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分条件，但是，不是必要条件。

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，或者还可以说，没有A就没有B，则A是B的必要条件，但是，不是充分条件。

（4）当然还有第四种情况，就是由A不可以推出B，由B也不可以推出A，那么A是B的既不充分也不必要条件，反之亦然，可能只是某些情况下的条件之一或者一定程度的相关而已，没有固定的必然的联系。

文章编号:1673 - 2103(2006)02 - 0010 - 02 关于凸函数的两个充分必要条件 刘鸿基 ,薛明志Ξ(商丘师范学院计算机科学系 河南商丘 476000)　　摘 　要 :对重要的凸函数的定义予以拓广 ,并由此推导出两个便于应用的充分必要条件 ,当然也可以作为定义使用. 关键词:凸函数 ;等价性 ;充分必要条件 中图分类号:O 174. 13 　　文献标识码 :A 二次函数 ———抛物线函数是严格凸函数 ,一次函数 ———线性函数是广义的凸函数[1]. 可见凸函数是一类重要的函数 ,它有着较好的分析性质 ,值得予以讨论. 在不同的教材中凸函数大都采用如下定义 : 定义 1[2] 　设 f ( x) 在区间 I上连续 ,如果对 I上任意两点 x1 , x2 ,恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凹的(或凹弧) ;如果恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , (1) 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凸的(或凸弧) . 注 : ①当 f ( x) 图形是凸弧(或凹弧) 时 ,称 f ( x) 是 I上的凸函数(或凹函数) . ②当上述不等式中出现等号时,我们称函数是广义凸(或凹) 的. ③当 f ( x) 为 I上的凹函数时 , - f ( x) 为区间 I 上的凸函数 ,反之亦然. 基于此 ,以下我们仅对广义的凸函数予以讨论. 主要结论为以下两个定理. 定理 1[3] 　设 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对任意的 x1 , x2 ∈I,以及λ ∈[0 ,1] ,恒有 f λ x1 + (1 - λ) x2 ≥λ f ( x1) + (1 - λ) f ( x2) , (2) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 定理 2 　设函数 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对于任意的 x1 , x2 ∈I,以及介于 x1 与 x2 之间任意 x ,恒有 x1 f ( x1) 1 x f ( x) 1 x2 f ( x2) 1 ≤0 , (3) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 为了说明以上两个定理可以作为凸函数的定义和充分必要条件使用 ,下面用循环推证的方法证明 : (1) 式 →(2) 式 :当λ = 0 或λ = 1 时 , (2) 式显然成立. 若λ ∈(0 ,1) 为有理数 ,则λ总可表示为有限的二进位小数 : λ = 0. a1 a2 ⋯an = a12n- 1 + a22n- 2 + ⋯+ an- i2 + an 2n , 其中 ai 为 0 或者 1 　 ( i = 1 ,2 , ⋯n - 1) , an = 1 ,同样 1 - λ是有理数 ,并且可以表示为 01 第 28 卷第 2 期 Vol. 28 　No. 2 菏 泽 学 院 学 报 Journal of Heze University 　　　　 　　　　　　　2006 年 4 月 Apr. 　2006 Ξ收稿日期 :2005 - 09 - 29 基金项目 :河南省自然科学基金资助项目(0511013700) . 作者简介 :刘鸿基(1957 - ) ,男 ,河南开封人 ,副教授 ,研究方向 :微分方程及函数论. 1 - λ = b12n- 2 + ⋯+ bn- 12 + bn 2n , 其中 bi = 1 - ai ( i = 1 ,2 , ⋯, n - 1) , bn = 1. 因此 ,对任意 x1 , x