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  • 2022-04-08 06:16:07

    曼哈顿距离

    若点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 则两点间的曼哈顿距离为 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)

    已知 \(n\) 个点求两两之间的曼哈顿距离之和,易得 \(x\) 的贡献与 \(y\) 的贡献是分开的

    可以用两次排序去绝对值 + 前缀和解决

    复杂度 \(O(n\log n)\)

    切比雪夫距离

    曼哈顿距离是 4 向移动的最少步数,切比雪夫距离则是 8 向移动最少步数

    即对于 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 两点的切比雪夫距离为 \(\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)

    问题:给定 \(n\) 个点,求两两之间的切比雪夫距离之和

    此时 \(x,y\) 的贡献不能单独算了,怎么办?

    转换

    将原坐标系逆时针旋转 \(45^{\circ}\) ,再放大 \(\sqrt{2}\)

    会发现:此(坐标系中的曼哈顿距离)是(原坐标系中切比雪夫距离)的 2 倍

    考虑 \((x_1,y_1)\) 旋转后的坐标 \((x_2,y_2)\)

    \(x_2=x_1\cos 45^{\circ}-y_1\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x_1-y_1)\)

    \(y_2=y_1\cos 45^{\circ}+x_1\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x_1+y_1)\)

    放大了 \(\sqrt{2}\) 倍,所以 \(x_2=x_1-y_1,y_2=x_1+y_1\)

    转换成曼哈顿距离,同样 \(O(n\log n)\) 求,最后除以 2

    给一个 \(n\times m\) 的棋盘,两个玩家有 'S''M' 两种国王,国王八向移动

    传播值定义为玩家国王两两之间距离和,要分别求两个玩家的传播值

    板子(确信)

    code

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef unsigned long long uLL;
    typedef long double LD;
    typedef long long LL;
    typedef double db;
    const int N = 1005;
    int n, m, tot;
    struct poi { int x, y; } a[N * N];
    LL tt, sm;
    char mp[N][N];
    inline bool cmp1(poi A, poi B) { return A.x < B.x; }
    inline bool cmp2(poi A, poi B) { return A.y < B.y; }
    inline void sol(char Ch) {
        tot = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                if (mp[i][j] == Ch) a[++tot] = (poi){ i - j, i + j };
        sort(a + 1, a + tot + 1, cmp1);
        sm = tt = 0;
        for (int i = 1; i <= tot; i++) sm += a[i].x * (i - 1) - tt, tt += a[i].x;
        sort(a + 1, a + tot + 1, cmp2), tt = 0;
        for (int i = 1; i <= tot; i++) sm += a[i].y * (i - 1) - tt, tt += a[i].y;
        printf("%lld ", sm / 2);
    }
    int main() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", mp[i] + 1);
        sol('M'), sol('S');
    }
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    切比雪夫距离和曼哈顿距离

    众所周知两个点 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1, y_1), (x_2, y_2) (x1,y1),(x2,y2) 的曼哈顿距离是 ∣ x 1 − x 2 ∣ + ∣ y 1 − y 2 ∣ |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| x1x2+y1y2

    显然我们可以通过不等式去掉绝对值 max ⁡ ( ∣ x 1 + y 1 + x 2 + y 2 ∣ , ∣ x 1 + y 1 − ( x 2 + y 2 ) ∣ ) \max(|x_1 + y_1 + x_2 + y_2|, |x_1 + y_1 - (x_2 + y_2)|) max(x1+y1+x2+y2,x1+y1(x2+y2))

    切比雪夫距离就是 max ⁡ ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|) max(x1x2,y1y2)

    然后我们发现这两个格式很像,事实上确实是可以转换的:

    • 曼哈顿距离 到 切比雪夫距离 : ( x , y ) → ( x + y , x − y ) (x, y) \to (x + y, x -y ) (x,y)(x+y,xy)
    • 切比雪夫距离 到 曼哈顿距离 : ( x , y ) → ( x + y 2 , x − y 2 ) (x, y) \to (\frac{x + y}{2}, \frac{x - y}{2}) (x,y)(2x+y,2xy)

    注意: 可能 x + y 2 \frac{x + y}{2} 2x+y 不一定是整数,那么我们不妨考虑在四周枚举一下。


    P3964 [TJOI2013]松鼠聚会

    P3439 [POI2006]MAG-Warehouse

    这题就是经典的不一定是整数,我们要在周围的点分类讨论一下。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    //#define Fread
    //#define Getmod
    
    #ifdef Fread
    char buf[1 << 21], *iS, *iT;
    #define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
    #define getchar gc
    #endif // Fread
    
    template <typename T>
    void r1(T &x) {
    	x = 0;
    	char c(getchar());
    	int f(1);
    	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);
    	x *= f;
    }
    
    template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {
        r1(t);  r1(args...);
    }
    
    #ifdef Getmod
    const int mod  = 1e9 + 7;
    template <int mod>
    struct typemod {
        int z;
        typemod(int a = 0) : z(a) {}
        inline int inc(int a,int b) const {return a += b - mod, a + ((a >> 31) & mod);}
        inline int dec(int a,int b) const {return a -= b, a + ((a >> 31) & mod);}
        inline int mul(int a,int b) const {return 1ll * a * b % mod;}
        typemod<mod> operator + (const typemod<mod> &x) const {return typemod(inc(z, x.z));}
        typemod<mod> operator - (const typemod<mod> &x) const {return typemod(dec(z, x.z));}
        typemod<mod> operator * (const typemod<mod> &x) const {return typemod(mul(z, x.z));}
        typemod<mod>& operator += (const typemod<mod> &x) {*this = *this + x; return *this;}
        typemod<mod>& operator -= (const typemod<mod> &x) {*this = *this - x; return *this;}
        typemod<mod>& operator *= (const typemod<mod> &x) {*this = *this * x; return *this;}
        int operator == (const typemod<mod> &x) const {return x.z == z;}
        int operator != (const typemod<mod> &x) const {return x.z != z;}
    };
    typedef typemod<mod> Tm;
    #endif
    
    //#define int long long
    const int maxn = 1e5 + 5;
    const int maxm = maxn << 1;
    
    typedef long long int64;
    
    int64 sumx, sumy, sum;
    
    struct Node {
        int64 x, y;
        int64 val;
        Node(void) : x(0), y(0), val(0) {}
        void init() {
            int nx, ny;
            r1(nx), r1(ny);
            x = (nx + ny), y = (nx - ny);
            sumx += x, sumy += y;
        }
    }a[maxn];
    
    int n;
    
    signed main() {
    //    freopen("S.in", "r", stdin);
    //    freopen("S.out", "w", stdout);
        int i, j;
        r1(n);
        for(i = 1; i <= n; ++ i) a[i].init();
        sort(a + 1, a + n + 1, [&] (const Node &a, const Node &b) {
            return a.x < b.x;
        });
    //    printf("%lld\n", sumx);
        for(sum = 0, i = 1; i <= n; ++ i) {
            a[i].val += (i - 1) * a[i].x - sum;
            a[i].val += (sumx - sum - a[i].x) - (n - i) * a[i].x;
            sum += a[i].x;
        }
        sort(a + 1, a + n + 1, [&] (const Node &a, const Node &b) {
            return a.y < b.y;
        });
        for(sum = 0, i = 1; i <= n; ++ i) {
            a[i].val += (i - 1) * a[i].y - sum;
            a[i].val += (sumy - sum - a[i].y) - (n - i) * a[i].y;
            sum += a[i].y;
        }
    //    for(i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d : %lld, %lld\n", i, a[i].val, a[i].y);
        int64 ans(1e18);
        for(i = 1; i <= n; ++ i) if(a[i].val < ans) ans = a[i].val;
        printf("%lld\n", ans >> 1);
    	return 0;
    }
    
    
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    //#define Fread
    //#define Getmod
    
    #ifdef Fread
    char buf[1 << 21], *iS, *iT;
    #define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
    #define getchar gc
    #endif // Fread
    
    template <typename T>
    void r1(T &x) {
    	x = 0;
    	char c(getchar());
    	int f(1);
    	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);
    	x *= f;
    }
    
    template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {
        r1(t);  r1(args...);
    }
    
    #ifdef Getmod
    const int mod  = 1e9 + 7;
    template <int mod>
    struct typemod {
        int z;
        typemod(int a = 0) : z(a) {}
        inline int inc(int a,int b) const {return a += b - mod, a + ((a >> 31) & mod);}
        inline int dec(int a,int b) const {return a -= b, a + ((a >> 31) & mod);}
        inline int mul(int a,int b) const {return 1ll * a * b % mod;}
        typemod<mod> operator + (const typemod<mod> &x) const {return typemod(inc(z, x.z));}
        typemod<mod> operator - (const typemod<mod> &x) const {return typemod(dec(z, x.z));}
        typemod<mod> operator * (const typemod<mod> &x) const {return typemod(mul(z, x.z));}
        typemod<mod>& operator += (const typemod<mod> &x) {*this = *this + x; return *this;}
        typemod<mod>& operator -= (const typemod<mod> &x) {*this = *this - x; return *this;}
        typemod<mod>& operator *= (const typemod<mod> &x) {*this = *this * x; return *this;}
        int operator == (const typemod<mod> &x) const {return x.z == z;}
        int operator != (const typemod<mod> &x) const {return x.z != z;}
    };
    typedef typemod<mod> Tm;
    #endif
    
    //#define int long long
    const int maxn = 1e5 + 5;
    const int maxm = maxn << 1;
    
    int n;
    
    __int128 min(__int128 x, __int128 y) { return x < y ? x : y; }
    __int128 abs(__int128 x) { return x < 0 ? -x : x; }
    
    __int128 sx, sy, st;
    
    struct Node {
        __int128 x, y, t;
        Node(void) : x(0), y(0), t(0) {}
        void init() {
            __int128 nx, ny;
            r1(nx, ny, t);
            x = (nx + ny), y = (nx - ny);
            sx += x * t, sy += y * t, st += t;
        }
    }a[maxn];
    
    void write(__int128 x) {
        vector<char> s; s.clear();
        while(x) s.push_back((char)('0' + x % 10)), x /= 10;
        reverse(s.begin(), s.end());
        for(auto v : s) putchar(v);
    }
    
    void Out(__int128 x, __int128 y) {
        write((x + y) >> 1), putchar(' '), write((x - y) >> 1), puts(""), void();
    }
    
    __int128 calc(__int128 x, __int128 y) {
        __int128 res(0);
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            res += ( abs(x - a[i].x) + abs(y - a[i].y) ) * a[i].t;
        }
        return res;
    }
    
    void Work(__int128 x,__int128 y) {
        int i, j;
        if((x & 1) == (y & 1)) return Out(x, y);
        __int128 s1 = calc(x, y + 1);
        __int128 s2 = calc(x - 1, y);
        __int128 s3 = calc(x, y - 1);
        __int128 s4 = calc(x + 1, y);
        __int128 ans = min(min(s1, s2), min(s3, s4));
        if(ans == s1) return Out(x, y + 1);
        if(ans == s2) return Out(x - 1, y);
        if(ans == s3) return Out(x, y - 1);
        if(ans == s4) return Out(x + 1, y);
    }
    
    signed main() {
    //    freopen("S.in", "r", stdin);
    //    freopen("S.out", "w", stdout);
        int i, j;
        r1(n);
        for(i = 1; i <= n; ++ i) a[i].init();
        sort(a + 1, a + n + 1, [&] (const Node &a, const Node &b) {
                return a.x < b.x;
             });
        __int128 sum, ct, mnx, mny, x, y;
        mnx = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
        mny = mnx = (mnx * mnx);
        for(sum = ct = 0, i = 1; i <= n; ++ i) {
            __int128 tmp(0);
            tmp += a[i].x * ct - sum;
            tmp += - (st - ct - a[i].t) * a[i].x + (sx - a[i].t * a[i].x - sum);
            if(tmp < mnx) mnx = tmp, x = a[i].x;
            sum += a[i].x * a[i].t;
            ct += a[i].t;
        }
        sort(a + 1, a + n + 1, [&] (const Node &a, const Node &b) {
                return a.y < b.y;
             });
        for(sum = ct = 0, i = 1; i <= n; ++ i) {
            __int128 tmp(0);
            tmp += a[i].y * ct - sum;
            tmp += - (st - ct - a[i].t) * a[i].y + (sy - a[i].t * a[i].y - sum);
            if(tmp < mny) mny = tmp, y = a[i].y;
            sum += a[i].y * a[i].t;
            ct += a[i].t;
        }
    
        Work(x, y);
    
    	return 0;
    }
    
    
    展开全文
  • 切比雪夫距离(Chebyshev Distance)为L∞L\inftyL∞度量,是向量空间中的一种度量,二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看,切比雪夫距离是由一致范数(或称为上确界范数)所衍生...

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    · 距离定义(十): 布雷柯蒂斯距离(Bray Curtis Distance)
    · 距离定义(十一):汉明距离(Hamming Distance)
    · 距离定义(十二):编辑距离(Edit Distance,Levenshtein Distance)
    · 距离定义(十三):杰卡德距离(Jaccard Distance)和杰卡德相似系数(Jaccard Similarity Coefficient)
    · 距离定义(十四):Ochiia系数(Ochiia Coefficient)
    · 距离定义(十五):Dice系数(Dice Coefficient)
    · 距离定义(十六):豪斯多夫距离(Hausdorff Distance)
    · 距离定义(十七):皮尔逊相关系数(Pearson Correlation)
    · 距离定义(十八):卡方距离(Chi-square Measure)
    · 距离定义(十九):交叉熵(Cross Entropy)
    · 距离定义(二十):相对熵(Relative Entropy)/KL散度(Kullback-Leibler Divergence)
    · 距离定义(二十一):JS散度(Jensen–Shannon Divergence)
    · 距离定义(二十二):海林格距离(Hellinger Distance)
    · 距离定义(二十三):α-散度(α-Divergence)
    · 距离定义(二十四):F-散度(F-Divergence)
    · 距离定义(二十五):布雷格曼散度(Bregman Divergence)
    · 距离定义(二十六):Wasserstein距离(Wasserstei Distance)/EM距离(Earth-Mover Distance)
    · 距离定义(二十七):巴氏距离(Bhattacharyya Distance)
    · 距离定义(二十八):最大均值差异(Maximum Mean Discrepancy, MMD)
    · 距离定义(二十九):点间互信息(Pointwise Mutual Information, PMI)


    切比雪夫距离(Chebyshev Distance)为 L ∞ L\infty L度量,是向量空间中的一种度量,二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。以数学的观点来看,切比雪夫距离是由一致范数(或称为上确界范数)所衍生的度量,也是超凸度量的一种:
    D ( x , y ) = max ⁡ ( ∣ x i − y i ∣ ) D(x, y)=\max(|x_i-y_i|) D(x,y)=max(xiyi)

    国际象棋棋盘上二个位置间的切比雪夫距离是指王要从一个位子移至另一个位子需要走的步数。由于王可以往斜前或斜后方向移动一格,因此可以较有效率的到达目的的格子。下图是棋盘上所有位置距王位置的切比雪夫距离。
    切比雪夫距离
    下面我们来看一下切比雪夫距离的Python实现:

    def ChebyshevDistance(x, y):
        import numpy as np
        x = np.array(x)
        y = np.array(y)
        return np.max(np.abs(x-y))
    
    展开全文
  • 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance) 研究的就是关于 “国王” 移动的问题,国王从一个格子 (x1,y1) 走到 另一个格子 (x2,y2) 最少需要的步数就是 切比雪夫距离 。二维平面上的切比雪夫距离就是国王移动问题,比如...

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    在这里插入图片描述

    一、概述

    国际象棋的棋盘上,一场大战正在进行,“车”横冲直撞,干掉敌人;“皇后”肆意横行,大开杀戒;而国王,只能在自己周围的 “横”、“竖”、“斜” 几个方块里移动。
    请添加图片描述

    切比雪夫距离 (Chebyshev Distance) 研究的就是关于 “国王” 移动的问题,国王从一个格子 (x1,y1) 走到 另一个格子 (x2,y2) 最少需要的步数就是 切比雪夫距离

    在这里插入图片描述

    二、计算公式

    ① 二维平面上的切比雪夫距离

    二维平面上的切比雪夫距离就是国王移动问题,比如这里 “国王” 从 (f,3) 移动到 (c,5)
    在这里插入图片描述
    最短的距离肯定要 着走的距离最大。因为,斜着走一格就相当于正常 “”、“” 走两格。一步抵两步,当然选斜着的了。
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    则 “” 的最大值为 m i n ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) min(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|) min(x1x2,y1y2),而剩余的部分则只能用 “” 或 “” 补齐。

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    所以,平面上两点 A ( x 1 , y 1 ) A(x_{1},y_{1}) A(x1,y1) B ( x 2 , y 2 ) B({x_{2},y_{2}}) B(x2,y2)切比雪夫距离 为: d A B = m a x ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) d_{AB}=max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|) dAB=max(x1x2,y1y2)

    则上面国王的切比雪夫距离为: d = m a x ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) = m a x ( ∣ 6 − 3 ∣ , ∣ 3 − 5 ∣ ) = 3 \begin{aligned} d &=max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|) \\ &=max(|6-3|,|3-5|)\\ &=3 \end{aligned} d=max(x1x2,y1y2)=max(63,35)=3

    ② n维空间上的切比雪夫距离

    推广到 n 维空间则有两点: A ( x 11 , x 12 , . . . , x 1 n ) A(x_{11},x_{12},...,x_{1n}) A(x11,x12,...,x1n) B ( x 21 , x 22 , . . . , x 2 n ) B(x_{21},x_{22},...,x_{2n}) B(x21,x22,...,x2n)

    则n维空间的切比雪夫距离公式为:

    d A B = m a x ∣ x 1 i − x 2 i ∣ d_{AB}=max{|x_{1i}-x_{2i}|} dAB=maxx1ix2i

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