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  • 反函数的导数

    2016-08-19 15:02:00
    反函数的求导法则是:反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单,不过很多人因此犯了迷糊:y=x3的导数是y'=3x2,其反函数是y=x1/3,其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛!出现这样的疑问,其实...

    谈谈反函数的求导法则

    韦磊 韦磊 2011-10-04 22:10:11
     
    结论:反函数与原函数一起运算时,不要将反函数的y改写成x
     

    转载于:https://www.cnblogs.com/wdfrog/p/5787645.html

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  • 性质:反函数的导数等于直接函数导数的倒数 1、 注:倒数时要将式子换作分式形式再倒。

    性质:反函数的导数等于直接函数导数的倒数

    1、

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    注:倒数时要将式子换作分式形式再倒。

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  • 展开全部首先必须明白是什么样的反函数。我们一般设一个62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306439原来...必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数,其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。我们知道,在同一个x-y...

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    首先必须明白是什么样的反函数。

    我们一般设一个62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306439原来的函数y=f(x)。

    那么反函数就设为y=f^-1(x),这两个图像关于y=x这条直线对称。

    但是这样的原来函数和反函数之间的导数,谈不上什么关系。

    必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数,其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。

    我们知道,在同一个x-y坐标系内,原函数y=f(x)和反函数x=f^-1(y)是同一个图像,那么对于函数上同一个点(x0,y0)点处的切线,当然就是同一条切线。

    在原函数y=f(x)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。

    而反函数x=f^-1(y)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。

    而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线,在同一个点(x0,y0)处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加,当然就是90°,那么这两个角的正切当然就互为倒数。

    所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。

    扩展资料:

    一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

    一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。

    在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

    设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。

    证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。

    而由于f的严格单增性,对D中任一x'x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。

    任取f(D)中的两点y1和y2,设y1

    若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1

    因此x1

    如果f在D上严格单减,证明类似。

    由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

    1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

    2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。

    3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

    4、如果有复合函数,则用链式法则求导。

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  • 第四节 反函数的导数 基本初等函数的求导公式   一、 反函数的导数 法则5(反函数的求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,...

    第四节  反函数的导数  基本初等函数的求导公式

     

    一、  反函数的导数

    法则5(反函数的求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,并且

                        

    也可写为               

    或                      

    这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.

    例1 求指数函数的导数.

    解 的反函数,函数在区间内单调连续,且,因此根据反函数的求导法则,可得,

    所以               

    即                

    特别地,当时,有       

    这表明,以为底的指数函数的导数就是它本身,这是以为底的指数函数的一个重要特性.

    例2 求函数+的导数.

      

          

    例3 推导幂函数(其中为任意实数)的求导公式.

      利用对数的性质,我们将函数写成指数形式

    则由复合函数的求导法则,有

    例4 求函数的导数

     当时,的反函数是

    而            

                  

    所以           

    即             

    同样可证:

       

                  

    例5 求函数的导数

     

    例6 求函数的导数

     

    =

     

    二、基本初等函数求导公式表

            下面我们分别列表给出基本初等函数的求导公式和函数的求导法则

     

     

     

    表2-1  基本初等函数的求导公式

    (1)

       (C为常数)

    (9)

    (2)

    (10)

    (3)

    (11)

    (4)

    (12)

    (5)

    (13)

    (6)

    (14)

    (7)

    (15)

    (8)

    (16)

    表2-2   求导法则

       (1)

     

    (5)

    ,则复合函数的求导法则为

    (2)

    (3)

    (4)

    (6)

    单调连续函数具有反函数,则

     

    例7 求下列函数的导数:

    (1) ;                 (2) ;

    (3)  ;            (4)  .

        解 (1) 

                

       (2) 

       (3) 

            

       (4) 

            

            

            

    例8 一物体的运动方程为(其中a和b为常数),求物体在时的速度.

        解  因为

            所以

                 

                 

                 

           当时,得

             

              

                                

    习题2-4

     

    1.     求下列函数的导数:

    (1) ;                     (2) ;

    (3) ;                        (4) ;

    (5) ;                        (6) ;   

    (7) ;                       (8) ;     

                 (9) ;                   (10) ;

    (11) ;                      (12) ;

    (13)  ;  (14) ;

    (15) ;                 (16) ;

                 (17) ;                     (18) ;

    (19) ;                  (20) 

        2. 求下列函数在给定点处的导数:

         (1)  , 在x=1 ;

         (2) , 在 .

    3. 求曲线上横坐标处的切线方程和法线方程.

    4. 曲线上哪一点的切线平行于x轴? 求这切线的方程.

    5. 已知质点上作简谐运动时的运动方程为其中A为振幅,T为周期,求在时质点的运动速度.


    from: http://www.shuxuecheng.com/gaosuzk/content/lljx/wzja/2/2-4.htm

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空空如也

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