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热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。 展开全文
热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。
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外文名
The heat conduction equation
拼    音
rchuandaofangcheng
中文名
热传导方程
解    释
研究热传导过程一个简单数学模型
潮流计算要求
正文见抛物型偏微分方程
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  • 热传导方程的数值解

    2020-04-01 00:20:30
    本文涉及偏微分方程中一维的热传导方程的数值解。 本文涉及偏微分方程中一维的热传导方程的数值解。 本文涉及偏微分方程中一维的热传导方程的数值解。 本文涉及偏微分方程中一维的热传导方程的数值解。
  • 元计算技术人员为大家介绍热传导方程与换热边界
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  • 二维热传导方程求解

    2017-09-21 23:24:09
    求解二维热传导方程,文档中有过程和matlab程序。 本文利用有限差分法来求二维热传导方程的数值解,通过Matlab编程求解并作图,进而与解析 解做出的图进行比较,画出误差图。
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  • 热传导方程的差分格式原理与matlab实现

    万次阅读 多人点赞 2016-11-20 21:14:22
    本博客介绍抛物型方程中一种最基本形式:热传导方程的差分格式。 分别介绍了热传导方程的古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson格式及其数值求解方法以及matlab代码。









    function [  ] = ParabolicEquation( h,k )
    %求解抛物型方程中的一种:热传导方程
    %h:x轴步长
    %k:t轴步长
    
    r=k/(h*h);%网格比
    Mx=floor(1.0/h)+1;%网格在x轴上的节点个数(算上0)
    Nt=floor(1.0/k)+1;%网格在t轴上的节点个数(算上0)
    N=(Mx-2)*(Nt-1); %U的维数
    
    %%
    %********************************古典显格式*********************************
    %直接递推的方法求古典显格式
    
    UxianM=zeros(Mx,Nt);
    Uxian=[];
    %先赋初值和边界值
    for x=1:Mx
        UxianM(x,1)=InitialConditions((x-1)*h);
    end
    for t=1:Nt
        UxianM(1,t)=BoundaryConditions(0,(t-1)*k);
        UxianM(Mx,t)=BoundaryConditions(1,(t-1)*k);
    end
    %利用显格式公式逐行递推
    for t=2:Nt
       for x=2:Mx-1
           UxianM(x,t)=r*UxianM(x-1,t-1)+(1-2*r)*UxianM(x,t-1)+r*UxianM(x+1,t-1);
       end
    end
    %将结果按Ku=f方法的u的结构重排
    for t=2:Nt
       Uxian= [Uxian;UxianM(2:Mx-1,t)];
    end
    
    
    %%
    %************************古典隐格式*****************************************
    
    %求K,将K看出三对角块矩阵,形如:
    % C 0           ...
    % D C 0         ...
    % 0 D C 0       ...
    % 0 0 D C 0     ...
    %       ...     ... 
    % ...          D C
    
    %先计算C(C是三对角矩阵)
    C=eye(Mx-2)*(1+2*r);
    C=C+diag(ones(1,Mx-3)*(-r),1);  %上次对角
    C=C+diag(ones(1,Mx-3)*(-r),-1); %下次对角
    
    %计算D
    D=eye(Mx-2)*-1;
    
    %计算K
    temp={}; 
    for t=1:Nt-1
       temp{t}=C;
    end
    mid = repmat({C},Nt-1,Nt-1);%对角块
    for x=1:Nt-1
       for t=1:Nt-1
          if x~=t
              mid{x,t}=zeros(Mx-2,Mx-2); %非主对角线置0
          end
          if x==t+1
              mid{x,t}=D; %下次对角线上的块为D
          end
       end
    end
    Kyin=cell2mat(mid);
    
    %求f
    %将f分块
    % f1
    % f2
    % ...
    % fNt-1
    
    %f中大多数值为0,非0值用初边值条件添加
    fyin=zeros(N,1);
    
    %先计算f1
    f1=zeros(Mx-2,1);
    %计算f(1,1),中心点为U11
    f1=zeros(Mx-2,1);
    f1(1)=r*BoundaryConditions(0,k)+InitialConditions(h);
    %计算f(Mx-2,1),中心点为U(Mx-2,1)
    f1(Mx-2)=r*BoundaryConditions(1,(Mx-1)*k)+InitialConditions(h*(Mx-2));
    %计算f(x,1) (x!=1且x!=Mx-2)
    for x=2:Mx-3
        f1(x)=InitialConditions(h*x);
    end
    fyin(1:Mx-2)=f1;
    
    %计算边值条件计算f2~fNt-1
    for t=2:Nt-1
       fyin((Mx-2)*(t-1)+1)=r* BoundaryConditions(0,k*(t));
       fyin((Mx-2)*t)=r* BoundaryConditions(1,k*(t));
    end
    
    %求u
    Uyin=inv(Kyin)*fyin;
    
    %%
    %********************Crank-Nicolson格式*************************************
    %追赶法求解
    %An*Un+1=Bn*Un+en
    
    %求An
    An=eye(Mx-2)*(1+r);
    An=An+diag(ones(1,Mx-3)*(-0.5*r),1);  %上次对角
    An=An+diag(ones(1,Mx-3)*(-0.5*r),-1); %下次对角
    InvA=inv(An);
    
    %求Bn
    Bn=eye(Mx-2)*(1-r);
    Bn=Bn+diag(ones(1,Mx-3)*(0.5*r),1);  %上次对角
    Bn=Bn+diag(ones(1,Mx-3)*(0.5*r),-1); %下次对角
    
    Cn=InvA*Bn;
    
    %追赶法
    U0=[];%初值
    for x=1:Mx
        U0(x)=InitialConditions((x-1)*h);
    end
    
    UcnM=zeros(Mx-2,Nt-1);
    Ucn=[];
    
    %求U1  An*Un+1=Bn*Un+en,e1恰好是0向量
    UcnM(:,1)=Cn*U0(2:Mx-1)'+zeros(Mx-2,1);
    
    %利用显格式公式逐行递推
    for t=2:Nt-1
        n=t-1;
        en=zeros(Mx-2,1);
        en(1)=0.5*r*BoundaryConditions(0,n*k)+0.5*r*BoundaryConditions(0,(n+1)*k);
        en(Mx-2)=0.5*r*BoundaryConditions(1,n*k)+0.5*r*BoundaryConditions(1,(n+1)*k);
        UcnM(:,n+1)=Cn*UcnM(:,n)+en;
    end
    
    %将结果按Ku=f方法的u的结构重排
    for t=1:Nt-1
       Ucn= [Ucn;UcnM(:,t)];
    end
    
    
    
    %%
    %计算精确解,用于误差分析****************************************************
    U_M=zeros(Mx-2,Nt-1);
    U=[];
    for x=1:Mx-2
       for t=1:Nt-1 
            U_M(x,t)=ExactSolution(x*h,t*k);
       end
    end
    %将结果按Ku=f方法的u的结构重排
    for t=1:Nt-1
       U=[U;U_M(1:Mx-2,t)];
    end
    
    %%
    %结果比较******************************************************************
    %比较标准误差(均方根误差)
    
    temp=(U-Uxian).^2;
    temp=sum(sum(temp));
    temp=temp/(Mx*Nt);
    Exian=sqrt(temp);
    
    temp=(U-Uyin).^2;
    temp=sum(sum(temp));
    temp=temp/(Mx*Nt);
    Eyin=sqrt(temp);
    
    temp=(U-Ucn).^2;
    temp=sum(sum(temp));
    temp=temp/(Mx*Nt);
    Ecn=sqrt(temp);
    
    fprintf('h: %d;k= %d\n',h,k);  
    fprintf('古典显格式标准误差:%d\n',Exian); 
    fprintf('古典隐格式标准误差:%d\n',Eyin); 
    fprintf('CN格式标准误差:%d\n',Ecn); 
    
    end

    function [ Uxt ] = InitialConditions ( x )
    %在此函数中定义初值条件
    
    Uxt=sin(pi*x);
    
    end

    function [ Uxt ] = ExactSolution( x,t)
    %在此函数中定义待求函数的精确解u(x,t),用于比较数值解
    
    Uxt=exp(-1*pi*pi*t)*sin(pi*x);
    
    end

    function [ Uxt ] = BoundaryConditions( LeftOrRight,t )
    %在此函数中定义边值条件
    %LeftOrRight标识左边界条件还是右边界条件 0代表左,1代表右
    
    Uxt=-1;
    if LeftOrRight==0
        Uxt=0;
    elseif LeftOrRight==1
        Uxt=0;
    else
        %不应该出现此情况,抛异常
        error('错误使用边界条件!');
    end
    
    end






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  • 第一章 热传导方程

    万次阅读 2017-09-01 15:32:00
    第一章 热传导方程 目录如下: 1. 推导一维杆的热传导方程:从微分及积分角度分别进行了推导 2. 初值和边界条件:初值是与时间相关、边值与空间相关 3. 二维及三维热传导方程推导:从积分角度推导,得到泊松...
    目录如下:
    1. 推导一维杆的热传导方程:从微分及积分角度分别进行了推导
    2. 初值和边界条件:初值是与时间相关、边值与空间相关
    3. 二维及三维热传导方程推导:从积分角度推导,得到泊松方程和拉普拉斯方程
    4. 拉普拉斯算子的各种形式:在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下推导拉普拉斯算子形式
     
    偏微分方程(PDE)就是指含有偏导数的数学方程。
    本书从物理问题开始研究偏微分方程,便于读者与实际结合。首先讲解的是热传导方程:
    1. 推导一维杆的热传导方程
    讲解了两种方式:微分的观念,从一个小的薄片的能量守恒推导,通过取极限的方式得到热传导方程
     
    另外一种,从积分角度考虑,利用积分基本定理,这种方式更加精确,避免了极限过程的近似计算。

     
    2. 初值和边界条件:
    关于时间变量的称为初值条件,是时间变量的几阶导数就要几个初值条件。
    关于空间变量的称为边界条件。
    边界条件有三类:
        给定温度
          给定温度变化率 
        给定温度温度变化率与分布的函数关系

     3. 二维及三维热传导方程推导
    从积分角度进行推导,根据能量守恒
    根据高斯定理,把曲面积分转换为三重积分,整理上式得到:(注意把时间作为偏导数放入积分中)
     
    因此:
     又根据傅里叶导热定律:
     
     
     
    稳态:如果边界条件和热源都与时间无关,在恒定热性质的情形,平衡温度分布将满足:
     该方程称为泊松方程
    如果热源不存在,泊松方程变为:
     即温度分布的拉普拉斯算子是零,因此称为拉普拉斯方程。
    二维方程的推导与三维一致,只是使用面积分代替体积分,使用格林公式代替高斯公式。
     4. 拉普拉斯算子的各种形式
    在直角坐标系下:
     在柱面坐标系下有:
     下面证明在柱面坐标系下的拉普拉斯公式:
    考虑二维下的柱面坐标,即极坐标:
    可以证明:
     

     
     利用链式法则:
     
     
     
     

     
     以上可以得到柱坐标下的拉普拉斯算子公式:
     在这个公式中,需要注意的是:在拉普拉斯算子中的每一项都有u的量纲被两个空间量纲除。因为角度是用弧度测量的,没有
    量纲,因此,对角度的微分需要除以半径的平方。
    通过以上思路可以证明球坐标的公式:
     
     
     
     

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    学过计算流体力学的朋友,在控制方程数学性质方面,可能会遇到控制方程类型证明问题,例如:一维热传导方程、拉普拉斯方程、一维波动方程推导,建议多从克莱默法则入手,构造方程组,求解特征线。二阶的导数部分,采用一阶导数替换,令U=\frac{\partial\Phi }{\partial x},再结合全微分方程即可。

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空空如也

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