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  • 编写该函数的目的是为了计算置信区间(可变百分比),通常大约是一个日期集的平均值,但是可以用于任何数字。 输入-> 一种。 'n'=样本量b。 吝啬的C。 标准偏差d。 类型(选项= 90、95、99)(输入为值NOT字符串或...
  • shortest confidence interval for sigma,computation using Matlab,TRAORE BOUBAKAR,Xia Letian,对于CHI-SQUARE分布,当自由度n不太大时,按概率对称得到的置信区间并不是最短的。对于给定的置信水平1- ,根据...
  • Confidence Interval 也就是我们熟知的置信区间,比如我们常见的95%置信区间。那么究竟该如何理解这个置信区间呢?首先,我们需要明确一点,置信区间的概念是基于频率学派的,他们认为参数的真实值应该是固定的...

    Confidence Interval

    也就是我们熟知的置信区间,比如我们常见的95%置信区间。那么究竟该如何理解这个置信区间呢?首先,我们需要明确一点,置信区间的概念是基于频率学派的,他们认为参数的真实值应该是固定的(但是我们不知道)。因此他们的做法就是通过不断的采样来构造参数估计的区间,以期望这个区间能够包含真实的参数值。事实上,置信区间就是这样一个基于采样的概念。

    具体来说,95%的置信区间就是说,假如我采样100组样本,基于100组不同的样本我可以构建出100个不同的置信区间。假如其中有95个区间都包含真实值,那么以这种方式构建的区间就是95%的置信区间。就好比套环游戏,我丢出100个大小相同的套环,其中有95个都套中了目标(参数真实值),那么我拿的这种套环就是95%置信套环,那如果我选择另一种稍小的套环,同样扔100次,套中90次,那么这种小size的套环就是90%置信套环。(开个玩笑,置信套环是我瞎编的,但我相信大家应该能明白我的意思)

    Credible Interval

    可信区间的概念基于贝叶斯学派,他们认为参数应该是一个随机变量。数据的意义在于更新我们对参数分布的初始认知(先验)来获得参数分布的真实情况(后验),基于的框架就是著名的贝叶斯公式。这里就不展开了。

    现在我们顺着这个思路去思考可信区间的概念。既然假定参数是一个随机变量,遵从某种分布,那么我们应该如何定义95%可信区间呢?一个非常直觉的想法就是选定某个区间,使该区间的累积概率分布值为0.95就行了,也就是说该参数有95%的概率是在个区间内的。没错,这个想法已经很接近了,但是还有一个问题就是,我们应该可以获取无限组这样的区间,那么具体应该选择哪一个作为目标的可信区间呢?答案就是区间长度最短的那一个。比如当参数服从高斯分布的时候,95%的可信区间就是以均值为轴,向两侧同时展开直到累积概率为0.95时,以此时左右两侧为区间左右侧构成的区间。

    事实上,可信区间的概念更加符合人们对参数真实值有xxx%的概率属于某个区间的认知。

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  • 在找到我们想要的 confidence interval 后,我们可以用以下模板来 interpret 置信区间的 含义: We estimate with · · · % confidence that the range [· · · ] contain βk . 对于 Hypothesis test 来说,...

    所谓计量经济学,就是用统计手段去研究经济学问题。作为统计最大的一个部分,统计 推论 (Statistical Inference) 是必不可少的过程。让我们回顾一下在之前的统计课程中, 我们提到的 Statistical Inference。首先统计推论的目的是,在一个我们想研究的大群体 (population) 中,我们筛选出了一个小的样本 (sample), 我们所做的一切研究,到最后得 到的结论也只是关于这个小样本的结论,我们最终的目的还是希望对整个群体下一个结 论。如何通过 sample 的结论对整个 population 下结论呢?这个过程就是统计推论,简 单来说统计推论的步骤如下:

    1. Estimation:Point estimation and Interval estimation
    2. Hypothesis Test: 五步法

    Estimation,顾名思义,就是做预测,通过 sample 的 statistic 对 population 的 parameter 做预测。简单来说就是通过 fitted model 里的参数 (b1,b2 等) 对 true model 里的参数 (β1,β2 等) 做预测。预测分为两种:

    1. Point estimate(点预测): 只预测一个点 (值),牢记预测目标是 true model,数据来 源是 fitted model。我们就可以简单的得到 βi = bet ˆai,简而言之,我们也可以说
      bet ˆai are point estimation of βi. 点预测的优点就是精准度 (precision) 很高,但是 正确率很低。毕竟是预测,我们还是想尽可能提高正确率,于是有了第二种预测方法。
    2. Interval estimation(区间预测):我们基于我们的 point estimation,通过做区间的 形式,牺牲部分精准度从而提高了正确率 (confidence level). Interval estimation 也 就是我们说的置信区间 (confidence interval)。

    但是为了得到 confidence interval,我们必须要知道其 point estimator 的对应分布类型。 我们下面就来讨论一下这个分布:Assumption for t-distribution:
    第六个假设 u|X ∼ N(0, σ2In),在这个假设成立的情况下,加 上我们的前五个假设,我们把满足这六个假设的模型叫做 Classical Linear Model (CLM)。换句话说,在 CLM assumption 下,我们就会有
    β|X ∼ N(β,σ^2 (X′X) ^ −1)
    也就是当我们做了标准化后所得到的 standardised estimator 就会服从对应的标准 正态分布:
    在这里插入图片描述
    但就像我们之前所说, sd(βj^) 的值与实际的 σ 相关,我们只能用 sample 里得到的 σˆ来估计 σ。也就是我们需要用 se(βj ^) 来估计 sd(βj ^)。当我们利用了 sample 的概念
    后,自由度的概念就被引入了,所以,在 CLM assumtipon 之下,关于 standardised estimator 的分布就发生了以下变化:
    在这里插入图片描述
    • Optional 根据 Central Limit Theorem (CLT), 随着 Sample size 越来越大 (N > 30), The t–distribution is a good approximation to the test statistic even when errors are not normally distributed. 因此,就算 error term 某些情况下不服从上述的正态 分布,我们依然可以根据 CLT 来得到 test statistics 是近似于 t-test 的。
    当我们讲完以上理论后,我们就来看看应该如何在 Linear Regression 中做 Confidence Interval。
    在找到我们想要的 confidence interval 后,我们可以用以下模板来 interpret 置信区间的 含义: We estimate with · · · % confidence that the range [· · · ] contain βk .
    对于 Hypothesis test 来说,我们对于整个 population 可能会保留一个原有的假设,我们 重新做统计实验的目的,也是为了去验证原先的假设是否正确(我们一般都希望自己的 实验结果是正确的)。我们一般通过五步法来完成我们的 Hypothesis Test,在 regression model 中,我们更多是希望检测某一个 variable 是否是 significant。让我们回到最上面 的 Eviews Output 来看一下相关的 hypothesis test 可以如何完成。这也是最简单的一种 hypothesis test。
    当我们学习完 Hypothesis Test 之后,我们一起来学习一下有关于 Hypothesis Test 的一 些理论知识:Type I error 和 Type II error,对于我们的假设检验,我们对于 Ho 这个假 设只有两种可能性。一个是 Ho 实际上是正确的,和 Ho 实际上是错误的。那当 Ho 实际 上是正确的时候,我们所希望的 Hypothesis Test 带给我们的结果是 Do not Reject Ho; 当 Ho 实际上是错误的时候,我们希望的检验结果是 Reject Ho。在这里我们就会发现, 如果把两种可能性和其结果的未知一交换,就会产生假设检验中的两个常见错误,分别 是 Type I error 和 Type II error。
    • Type I error: We reject Ho when Ho is actually correct. 在 Ho 实际上是正确的时 候,我们却 reject Ho (也就是认为 Ho 是错误的). 其发生的概率就是我们 level of significance 的大小“α”.
    • Type II error: We do not reject Ho when Ho is actually wrong. 在 Ho 实际上是错 误的时候,我们却 do not reject Ho (也就是认为 Ho 是正确的). 其发生的概率我们 简称为“β ”.

    当我们说完了最简单的 hypothesis test,并介绍完一些基础理论后,我们要来学一种特殊 的 hypothesis test,我们把它叫做 F-test。在我们之前学习的 hypothesis test 中,在 null hypothesis 以及 alternative hypothesis 只会出现一个等号。如果在 null hypothesis 中出 现了两个及以上的等号,我们就把这种 hypoehsis test 称为 joint hypothesis。我们也就利 用 F-test 来做这种 joint hypothesis test。在我们学习 F-test 之前,我们要理解两种模型

    1. Unrestricted model: 无限制模型,也就是我们讨论的原始模型,没有把任何的限制 条件加入进来。
    2. Restricted model: 限制模型,把我们 null hypothesis 作为限制条件加入原模型后得 到的模型。
      接下来我们还要理解,F-test 的性质: The F-distribution is a distribution of a random variable that is positive and skewed to the right。并且,我们的 F-distribution 的形状有 两个 degree of freedom 决定,一个是 numerator(分子) degree of freedom (我们用 q 表 示),另一个是 denominator(分母) degrees of freedom (我们用 n − k − 1 表示)
      在 Joint hypothesis test 里我们讨论的 test statistics 是
      在这里插入图片描述
      其中
      • SSRr = SSR obtained from the restricted model
      • SSRur = SSR obtained from the unrestricted model
      • q = number of restriction = number of equal signs in null hypothesis
      • k = number of variables in the unrestricted model
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  • 置信区间(confidence interval)

    千次阅读 2018-11-09 19:48:36
    上一篇关于假设检验和P值的文章最后提到了置信区间,本篇文章对置信区间的相关知识进行说明。所谓的置信区间,顾名思义,它实际上就是一种区间估计,首先来看看什么是点估计,什么是区间估计。 ...

    上一篇关于假设检验和P值的文章最后提到了置信区间,本篇文章对置信区间的相关知识进行说明。所谓的置信区间,顾名思义,它实际上就是一种区间估计,首先来看看什么是点估计,什么是区间估计。

    首先声明,此篇的内容是来自"马同学高等数学"微信公众号的内容。

    1、点估计与区间估计

    以前很流行一种刮刮卡:

                                                  

    游戏规则是(假设只有一个大奖):

    • 大奖事先就固定好了,一定印在某一张刮刮卡上

    • 买了刮刮卡之后,刮开就知道自己是否中奖

    那么我们起码有两种策略来刮奖:

    • 点估计:买一张,这就相当于你猜测这一张会中奖

    • 区间估计:买一盒,这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

    很显然区间估计的命中率会更高(当然费用会更高,因为风险降低了)。

    接下来,我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

    2、置信区间

    我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

    2.1、上帝视角

    对于人类真实的平均身高,我们是没有办法知道的,因为几乎不可能把每个人都统计到。但这个数据肯定是真实存在的,我们可以说,上帝知道。在这里我们引入了上帝视角,即上帝看到的人类身高的真实分布。

    假设人类的身高分布服从如下正态分布(\mu = 145,\sigma = 1.4):             X \sim N(145,1.4^{2})

    也就是说全体人类的平均身高为145cm,为了表示只有上帝可以看到,我把真实分布用虚线来表示:            

                                  

    2.2、点估计

    作为愚蠢的人类,我们只能在人群中抽样统计:

                                              

    比如下面是一次抽样数据,我把算出来的样本均值(记作 \hat \mu )画在图上(蓝色的点):

                                             

    \hat \mu就是对\mu的一次点估计,通过一次次的抽样,我们可以算出不同的身高均值的点估计:

                               

    如果我们关闭上帝视角,我们分辨不出哪个点估计更好:

                              

    此时,置信区间就闪亮登场了。

    2.3、置信区间

    置信区间,提供了一种区间估计的方法。下面采用 95% 置信区间来构造区间估计(什么是 95% 置信区间,这个我们后面解释):

                                  

    通过 95% 置信区间构造出来的区间,我们可以看到,基本上都包含了真实的 \mu ,除了红色的那根。

    关闭上帝视角,我们仍然不知道哪一个区间估计更好:

                                

    但是,和点估计比较:

    • 点估计和区间估计,都不知道哪个点或者哪个区间更好

    • 但是,按照 95% 置信区间构造出来的区间,如果我构造出100个这样的区间,其中大约有95个会包含  \mu

    这就好像用渔网捞鱼,我知道一百次网下去,大约会有95次网到我想要的鱼,但是我并不知道是不是现在这一网:

                                 

    剩下的问题就是 95% 置信区间是如何构造的。

    3、95%置信区间

    假设人群的身高服从:       X \sim N(\mu,\sigma^{2})    其中\mu未知,\sigma已知。我们不断对人群进行采样,样本的大小为 n ,样本的均值:

                                                                    

    根据大数定律和中心极限定律, M 服从:   

                                                                

    我们可以算出以  \mu 为中心,面积为0.95的区间,如下图:

                                        

    即:

                                                            

    也就是, M 有 95% 的几率落入此区间:

                              

    我们以 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} 为半径做区间,就构造出了 95% 置信区间。按这样构造的100个区间,其中大约有95个会包含\mu

     

                                  

    那么,只有一个问题了,我们不知道、并且永远都不会知道真实的 \mu 是多少。我们就只有用  \hat \mu来代替 \mu :

                                                 

    总结一下:

    • 置信区间要求估计量是个常数

    •  95% 也被称为置信水平,是统计中的一个习惯,可以根据应用进行调整

    参考文献:

    如何理解置信区间                  https://mp.weixin.qq.com/s/MWhhOmsVm7tLwXKyUho6fA

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  • 置信区间 confidence interval

    千次阅读 2017-08-14 18:25:14
    置信区间:Find an interval such that “reasonbly confident” that were is a 95% chance that the true μ\mu(=P=μx¯=P=\mu_{\bar{x}})sampling distribution of the sample mean μ\mu :mean of the”...

    置信区间:

    Find an interval such that “reasonbly confident” that were is a 95% chance that the true μ ( =P=μx¯ )

    sampling distribution of the sample mean
    μ :mean of the”sampling distribution of the sample mean”
    σx¯ : variance of the “sampling distribution of the sample mean”
    一般是有这个“sample mean”的distribution后,
    就有了与标准正太分布做比较的依据。
    z-score就是一种尺度,z-score= xμσx¯ ,
    通过z表对应值即可找出置信区间。
    例如,常说的,有95%的可能,population的均值出现在 μ±2σx¯ 中,

    也就是z-score=2.0时,查标准正态分布表,值为0.9772,
    于是置信区间为2*(0.9772-0.5)=0.9544,常约等于0.95

    μ σx¯ ,则是通过做调查的样本估计得到的。

    例如,某一地区投票选举,候选人为张三,李四。为了估计整个地区对二者的支持率为多少,我们随机抽取100人做调查,发现57人支持张三,43人支持李四。
    为了让事件能够进行数学计算,我们把“支持张三”当做1,把“支持李四”当做0。
    于是我们从这份样本中计算出均值 x¯=157+043100=0.43 ,方差 s2=57(10.43)2+43(00.43)21001=0.2475 s=0.5 ,因此,我们就用计算出来的s作为总体variance的估计, σ=s (约等于)
    为什么用100-1

    用100去除的话,得到的是biased estimate of population variance,就是有偏差的估计,经过大量模拟可以得出用n-1作为除数是偏差最小的估计,而如果用n-2的话,则估计值会偏大。或者用严谨的数学公式也能证明

    于是,我们就能由我们选取的一个样本计算出的值来估计samping distribution of sample mean中的值,

    μx¯=x¯

    σx¯=σn

    当然,这样的估计是有偏差的,而margin error= 2σx¯ ,即选取的样本越大,就是n越大,margin error越小。

    我们可以得出 μx¯=x¯=0.43σx¯=σn=0.05marginerror=0.1

    于是,最后我们得出结论,我们有95%的把握,该地区的所有人对张三的支持率为33%~53%( μx¯±2σx¯ )之间,而margin error为10%

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  • import numpy as np, statsmodels.api as sm nsample = 100 x = np.linspace(0, 10, nsample) X = np.column_stack((x, x**2)) beta = np.array([1, 0.1, ...print res.conf_int(0.01) # 99% confidence interval
  • /** * Created by Schwinn on 18/9/14. ...public class ConfidenceIntervals { public static void main(String[] args) { //set the length System.out.println("Please input the shuzu.length:"); ...
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