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  • 平面几何

    2021-06-22 23:06:17
    平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线, 就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用了...

    平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线, 就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用了公理化方法, 在数学思想史上具有重要的意义。

    欧几里得几何有时就指平面上的几何,即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。

    数学上,欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

    其中公设五又称之为平行公设(Parallel Axiom),叙述比较复杂,这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯(F. Gauss,1777年—1855年)的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利人波约(Bolyai)阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”(non-Euclidean geometry)。

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  • 平面几何五大公理

    千次阅读 2021-01-14 16:06:07
    平面几何五大公理所谓公理:1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理。2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的,并且它们是推出该系统内...

    平面几何五大公理

    所谓公理:

    1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

    2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的,并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理。

    分别是:

    1、五大公设:

    公设1 从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。

    公设2 把有限的直线不断循直线延长是可能的。

    公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。

    公设4 所有的直角都相等。

    公设5 如果一直线与两线相交,且同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线 无限延长后必相交于该侧的一点。

    2、五大公理

    公理1 与同一件东西相等的一些东西,它们彼此也是相等的。

    公理2 等量加等量,总量仍相等。

    公理3 等量减等量,余量仍相等。

    公理4 彼此重合的东西彼此是相等的。

    公理5 整体大于部分。

    今天我们常说的平面几何五大公理,就是指五大公设。在这五个公设(理)里,欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出,头三个公设说的是可以构造线和圆,所以他是对两件东西顿在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常罗嗦,没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西,而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性,但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉,但是几经努力而无果,无法从其他公设中推到处第五公设。

    第五公设称为平行公理,引导出千年来数学上和哲学上最大的难题之一。 同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述(故称之为平行公理)也是对三角形内角和的论述(即内角和公理)。后人证明它同下面两条命题等价 :

    1三角形内角和等于两个直角

    2通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。

    高斯对这一点是非常明白的,他认为欧几里德几何式物质空间的几何,1799年他说给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公里不能从其他的公设中推导出来,他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何。1813年,发展了他几何,最初称为反欧氏几何,后称星空几何,最后称非欧几何。在他的几何中三角形内

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  • MATLAB平面几何图形绘制实例实例一、运动控制测试图形%以下图形用于运动综合测试,平面图形包含直线、圆弧、整圆、锐拐角、钝拐角,能比较充分的测试各种轨迹 运动控制性能。%输入圆心和半径可以调整图形大小和偏移...

    MATLAB平面几何图形绘制实例

    实例一、运动控制测试图形

    %以下图形用于运动综合测试,平面图形包含直线、圆弧、整圆、锐拐角、钝拐角,能比较充分的测试各种轨迹 运动控制性能。

    %输入圆心和半径可以调整图形大小和偏移,并打印出各运动坐标点,以适应不同机台调整与测试。

    function Pos=TestFigure(Cx,Cy,R)

    %图形计算

    if nargin<3

    Cx=500;Cy=500;R=400;

    end

    sitaStep=0.0001;

    fprintf('input:X = %d,Y = %d,R = %d\n', Cx,Cy,R);

    L=sqrt(R^2-(R*cos(18*pi/180))^2)/sin(54*pi/180);%圆心到五角星内拐点的距离

    P1.x=Cx+R*cos(18*pi/180); P1.y=Cy+R*sin(18*pi/180);

    P2.x=P1.x; P2.y=Cy+R;

    P3.x=P2.x-2*R*cos(18*pi/180); P3.y=P2.y;

    P4.x=P3.x; P4.y=P1.y;

    P5.x=Cx-L*cos(54*pi/180); P5.y=Cy+L*sin(54*pi/180);

    P6.x=Cx; P6.y=Cy+R;

    P7.x=Cx+L*cos(54*pi/180); P7.y=Cy+L*sin(54*pi/180);

    P8.x=P1.x; P8.y=P1.y;

    P9.x=Cx+L*cos(18*pi/180); P9.y=Cy-L*sin(18*pi/180);

    P10.x=Cx+R*cos(54*pi/180); P10.y=Cy-R*sin(54*pi/180);

    P11.x=Cx; P11.y=Cy-L;

    P12.x=Cx-R*cos(54*pi/180); P12.y=Cy-R*sin(54*pi/180);

    P13.x=Cx-L*cos(18*pi/180); P13.y=Cy-L*sin(18*pi/180);

    P14.x=P4.x; P14.y=P4.y;

    sita =(180-18)*pi/180:sitaStep:(2*pi+(180-18)*pi/180);%整圆

    Arc_x = R*cos(sita)+Cx;%圆轨迹

    Arc_y = R*sin(sita)+Cy;

    sita =(180+72*2-54)*pi/180:sitaStep:(72*pi/180+(180+72*2-54)*pi/180);

    C1.x=Cx-2*R*cos(36*pi/180)*cos(54*pi/180);%圆弧1的圆心

    C1.y=Cy+2*R*cos(36*pi/180)*sin(54*pi/180);

    Arc1x= R*cos(sita)+C1.x;%弧轨迹

    Arc1y= R*sin(sita)+C1.y;

    sita =(180+72-54)*pi/180:sitaStep:(72*pi/180+(180+72-54)*pi/180);

    C2.x=Cx+2*R*cos(36*pi/180)*cos(54*pi/180);%圆弧2的圆心

    C2.y=Cy+2*R*cos(36*pi/180)*sin(54*pi/180);

    Arc2x= R*cos(sita)+C2.x;

    Arc2y= R*sin(sita)+C2.y;

    sita =(180-54)*pi/180:sitaStep:(72*pi/180+(180-54)*pi/180);

    C3.x=Cx+2*R*cos(36*pi/180)*cos(18*pi/180);

    C3.y=Cy-2*R*cos(36*pi/180)*sin(18*pi/180);

    Arc3x= R*cos(sita)+C3.x;

    Arc3y= R*sin(sita)+C3.y;

    sita =(180-54-72)*pi/180:sitaStep:(72*pi/180+(180-54-72)*pi/180);

    C4.x=Cx;

    C4.y=Cy-2*R*cos(36*pi/180);

    Arc4x= R*cos(sita)+C4.x;

    Arc4y= R*sin(sita)+C4.y;

    sita =(180-54-72*2)*pi/180:sitaStep:(72*pi/180+(180-54-72*2)*pi/180);

    C5.x=Cx-2*R*cos(36*pi/180)*cos(18*pi/180);

    C5.y=Cy-2*R*cos(36*pi/180)*sin(18*pi/180);

    Arc5x= R*cos(sita)+C5.x;

    Arc5y= R*sin(sita)+C5.y;

    AxisX=[P1.x P2.x P3.x P4.x P5.x P6.x P7.x P8.x P9.x P10.x P11.x P12.x P13.x P14.x Arc_x Arc1x Arc2x Arc3x Arc4x Arc5x];

    AxisY=[P1.y P2.y P3.y P4.y P5.y P6.y P7.y P8.y P9.y P10.y P11.y P12.y P13.y P14.y Arc_y Arc1y Arc2y Arc3y Arc4y Arc5y];

    %返回值

    Pos=[AxisX(1:14) AxisX(1) Cx C1.x C2.x C3.x C4.x C5.x;

    AxisY(1:14) AxisY(1) Cy C1.y C2.y C3.y C4.y C5.y];

    figure(1);

    plot(AxisX,AxisY);

    %text(Pos(1,1:14),Pos(2,1:14),{'P1','P2','P3','P4(14)','P5','P6','P7','P1(8,15)','P9','P10','P11','P12','P13','P4(14)'});

    axis equal;

    grid on;

    hold on;

    for n=1:21

    if n<16

    fprintf('Pos(%d):X= %f,Y = %f\n', n,Pos(1,n),Pos(2,n));

    elseif n==16

    fprintf('Center:X = %f,Y = %f\n',Pos(1,n),Pos(2,n));

    else

    fprintf('Arc(%d):X = %f,Y = %f\n',n-16,Pos(1,n),Pos(2,n));

    end

    end

    end

    %程序默认图形:圆心(500,500),半径400

    1ec598099554c45c68fc9cb6bbc0e046.png

    实例二、基本圆弧绘制

    %圆弧轨迹在各种加工场合使用非常频繁,圆弧也是运动控制中最基本最常见的轨迹,以下给出标准圆弧以及三点圆弧的MATLAB平面算法,可用于进行圆弧设计以及验证。

    function ArcCalculate1

    ArcType=input('圆弧类型(1.标准圆弧(默认) 2.三点圆弧):','s');

    if isempty(ArcType)

    ArcType=1;

    else

    ArcType=str2num(ArcType);

    end

    CoorStr=input('起点坐标(X,Y),默认(0,0):','s');

    if isempty(CoorStr)

    X_st=0;

    Y_st=0;

    else

    Coordinate=str2num(CoorStr);

    X_st=Coordinate(1);

    Y_st=Coordinate(2);

    end

    if ArcType==1

    CoorStr=input('请输入圆弧插补圆心坐标(X,Y):','s');

    Coordinate=str2num(CoorStr);

    X_centre=Coordinate(1);

    Y_centre=Coordinate(2);

    else

    CoorStr=input('请输入圆弧插补中间点坐标(X,Y):','s');

    Coordinate=str2num(CoorStr);

    X_centre=Coordinate(1);

    Y_centre=Coordinate(2);

    end

    CoorStr=input('请输入圆弧插补终点坐标(X,Y):','s');

    Coordinate=str2num(CoorStr);

    X_ed=Coordinate(1);

    Y_ed=Coordinate(2);

    if ArcType==1

    Arc_dir=input('请输入圆弧方向(1.顺时针 2.逆时针默认:顺时针):');

    if isempty(Arc_dir)

    Arc_dir=1;

    end

    else

    %计算圆弧方向

    dir=(X_centre-X_st)*(Y_ed-Y_centre)-(Y_centre-Y_st)*(X_ed-X_centre);

    if dir>0

    Arc_dir=2;

    else

    Arc_dir=1;

    end

    %计算圆心坐标

    syms x y;

    m1x=(X_centre+X_st)/2;m1y=(Y_centre+Y_st)/2;

    m2x=(X_ed+X_centre)/2;m2y=(Y_ed+Y_centre)/2;

    abx=X_centre-X_st;aby=Y_centre-Y_st;

    bcx=X_ed-X_centre;bcy=Y_ed-Y_centre;

    f1=sym((x-m1x)*abx+(y-m1y)*aby);

    f2=sym((x-m2x)*bcx+(y-m2y)*bcy);

    sol=solve(f1,f2);

    X_centre=eval(sol.x);

    Y_centre=eval(sol.y);

    end

    R=sqrt((X_centre-X_st)^2+(Y_centre-Y_st)^2);

    %计算起始角

    ThetaStep=1/R/50;

    if(X_st==X_centre)

    if((Y_centre-Y_st)>0)

    Angle_st=3*pi/2;

    elseif(Y_centre-Y_st)<0

    Angle_st=pi/2;

    end

    end

    if(X_st-X_centre)>0 && (Y_st-Y_centre)>=0

    Angle_st=atan((Y_st-Y_centre)/(X_st-X_centre));

    elseif(X_st-X_centre)<0 && (Y_st-Y_centre)>=0

    Angle_st=pi+atan((Y_st-Y_centre)/(X_st-X_centre));

    elseif(X_st-X_centre)<0 && (Y_st-Y_centre)<=0

    Angle_st=pi+atan((Y_st-Y_centre)/(X_st-X_centre));

    elseif(X_st-X_centre)>0 && (Y_st-Y_centre)<=0

    Angle_st=2*pi+atan((Y_st-Y_centre)/(X_st-X_centre));

    end

    %计算终止角

    if(X_centre==X_ed)

    if(Y_ed-Y_centre>0)

    Angle_ed=pi/2;

    elseif(Y_ed-Y_centre<0)

    Angle_ed=3*pi/2;

    end

    end

    if(X_ed-X_centre)>0 && (Y_ed-Y_centre)>=0

    Angle_ed=atan((Y_ed-Y_centre)/(X_ed-X_centre));

    elseif(X_ed-X_centre)<0 && (Y_ed-Y_centre)>=0

    Angle_ed=pi+atan((Y_ed-Y_centre)/(X_ed-X_centre));

    elseif(X_ed-X_centre)<0 && (Y_ed-Y_centre)<=0

    Angle_ed=pi+atan((Y_ed-Y_centre)/(X_ed-X_centre));

    elseif(X_ed-X_centre)>0 && (Y_ed-Y_centre)<=0

    Angle_ed=2*pi+atan((Y_ed-Y_centre)/(X_ed-X_centre));

    end

    if(Arc_dir==1)

    if(Angle_st-Angle_ed)>0

    sita = Angle_ed:ThetaStep:Angle_st;

    elseif(Angle_st-Angle_ed)<0

    sita = [0:ThetaStep:Angle_st Angle_ed:ThetaStep:2*pi];

    else

    sita = 0:ThetaStep:2*pi;%起始角等于终止角,则画一个整圆

    end

    elseif(Arc_dir==2)

    if(Angle_st-Angle_ed)>0

    sita = [0:ThetaStep:Angle_ed Angle_st:ThetaStep:2*pi];

    elseif(Angle_st-Angle_ed)<0

    sita = Angle_st:ThetaStep:Angle_ed;

    else

    sita = 0:ThetaStep:2*pi;

    end

    end

    Arc_x =R*cos(sita)+X_centre;

    Arc_y =R*sin(sita)+Y_centre;

    figure(3);

    plot(Arc_x,Arc_y,'m');

    legend('理论圆弧曲线');%自适应显示线型标注

    grid on;

    axis equal;

    end

    %圆弧起点(0,0),圆心(200,0),终点(400,0),顺时针方向

    1053462a9d4ba104a61f4e7238f9287d.png

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  • 计算机图形学 8.2 平面几何投影

    千次阅读 2021-03-11 10:49:57
    平面几何投影及其分类 投影 将n维的点变换成小于n维的点 将3维的点变换成小于2维的点 投影中心(COP:Center of Projection) 视觉系统—观察点、视点 电影放映机—光源 投影面 不经过投影中心 平面--...

    投影—照相机模型

      1 选定投影类型

      2 设置投影参数– 拍摄方向、距离等

      3  三维裁剪 –取景

      4 投影和显示 –成像

     

    简单的三维图形显示流程图

     

    平面几何投影及其分类

    投影

      将n维的点变换成小于n维的点

      将3维的点变换成小于2维的点

    投影中心(COP:Center of Projection)

      视觉系统—观察点、视点 电影放映机—光源

    投影面

      不经过投影中心

      平面--照相机底片

      曲面—球幕电影,视网膜

     

    投影线

      从投影中心向物体上各点发出的射线

      直线—光线

      曲线—喷绘

    平面几何投影

      投影面是平面

      投影线为直线

    投影变换

      投影过程

      投影的数学表示

     

    投影分类

    平面几何投影根据投影中心跟投影面的距离对比,距离近的为透视投影,距离无线远的为平行投影

    透视投影根据主灭点的个数分为一点透视,两点透视、三点透视。什么是灭点? 灭点:不平行于投影平面的平行线,经过透视投影之后收敛于一点,称为灭点.

    平行投影根据投影方向与投影面是否垂直分为正投影、斜投影。垂直的是正投影

    正投影中,当投影平面与某一坐标轴垂直时,分为三视图,否则为正轴侧。

    假定投影平面的法向为(nx,ny,nz)

    正轴侧根据法向量的|nx|、|ny|、|nz|三个量全部相等时为等轴侧,其中两个相等为正二侧,否则为正三侧

     

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  • 平面几何类库geometric

    2021-09-04 23:00:01
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  • 平面几何图形

    2021-06-21 21:27:42
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  • 蒙特梭利素材-平面几何形状素材卡 蒙氏素材
  • 主要贡献 本文提出了一种基于平面几何的精确和鲁棒尺度恢复的轻量级方法。该方法包括高效地面点提取(GPE)和三角化算法以及一种从连续帧中聚合地面点的聚合(GPA)算法。在这两种算法的基础上,选取了大量高质量的地面...
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  • 在 B 站上看了一个视频,复习了一下多年前学习的平面几何,写写推导过程。1、平行线(倒数和)如图 (1) 所示,已知 AC // BD,AC = a,BD = b. 连接 AD 和 BC,二者相交于点 N. 作 MN // AC // BD 交 AB 于点 M. 设 MN...
  • 高恰为边长的一半,给定的每个位置可转换成平面上的正方形,求覆盖所有正方形的最小正方形。 Code #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; int n,x,h,y,xl...
  • 关注下方公众号,分享硬核知识作者 | 小K出品 | 公众号:小K算法 (ID:xiaok365)01故事起源偶然间看到了一道初中平面几何题,感觉很简单,2分钟秒杀应该问题不大。微积分也许我...
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  • matlab图像的几何变换

    2021-04-25 14:04:40
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空空如也

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