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  • 指数函数

    2020-02-14 19:22:22
    指数函数


    在对2019-nCoV疫情数据进行拟合和预测的时候,我们用到了logistic函数,当时采用拿来主义,不加解释,其实,其中牵涉到很多数学基础知识,故准备推送一系列从指数函数到logistic函数的推文。这一期,我们先从简单的指数函数开始。

    指数函数

    一般的,形如
    y=axy=a^x
    其中 aa 叫做底数,a>0a>0a1a≠1xx叫做指数,是函数的自变量,取值范围xRx∈\mathbb{R}。也许你会好奇的问,为何底数aa不能取1或者负数,如果a=1a=1,此时原函数就是一个常数函数 y=1y=1; 而当 aa 取负数的时候,我们来看一个特殊情况
    y=(1)1=1y=(-1)^1=-1
    y=(1)2=1y=(-1)^2=1
    y=(1)3=1y=(-1)^3=-1
    y=(1)4=1y=(-1)^4=1
    在这里插入图片描述
    从图形来看,随着自变量 xx 增加,因变量 yy 在 -1 和 1 之间来回震荡。这对函数的影响极其恶劣,甚至造成函数的不连续性,为后续的研究带来很多麻烦,所以才人为规定底数不能为负数,并不是说指数函数底数原生不能为负数。

    指数函数的性质

    在明确长什么样的是指数函数之后,我们要对指数函数的性质进行探讨,分为0<a<10<a<1a>1a>1 两种情况并结合图像来讨论
    (1)当0<a<10<a<1

    在这里插入图片描述
    从图像看到此时指数函数

    • 定义域为R\mathbb{R},值域为(0,+)(0, +\infty)
    • 减函数,即随着自变量 xx 的增加,函数值而减少,最后无限接近y轴
    • 过固定点(01(0,1)
    • 函数图像向右下倾斜,且越来越平缓
      (2)当a>1a>1
      在这里插入图片描述
    • 定义域为R\mathbb{R},值域为(0,+)(0, +\infty)
    • 增函数,即随着自变量 xx 的增加,函数值也在增加,最后走向无穷
    • 过固定点 01(0,1)
    • 函数图像向右上峭,且越来越陡

    指数函数的运算法则

    1,aman=am+na^m*a^n=a^{m+n}
    2, am/an=amna^m/a^n=a^{m-n}
    3,(am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}
    4, a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n] a

    我们把 m,nm, n 当成一些整数就很好理解了,第一个表示 mmaa 相乘后的积再与 nnaa 相乘的积作乘法,写出来就是
    aman=(aaa)(aaa)=aaaa^m*a^n=(a*a*\cdots*a)* (a*a*\cdots*a) =a*a*\cdots*a
    第一个等式后面的第一个等式括号里面有m 个 a,第二个括号里面有 n 个 a,第二个等式后面有 m+nm+naa。第二个和第三个也可以用同样的办法来解释,最后重点解释一下
    a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n] a
    假设a1n=λa^{\frac{1}{n}}=\lambda,现在让等式两边同时作 nn 次方运算,根据性质3,等式左边(a1n)n=a(a^{\frac{1}{n}})^n=a,而等式右边为λn\lambda^n,于是a=λna=\lambda^n,两边再开n次方,得到 λ=an\lambda=\sqrt[n] a。如果你是在不想记住这些运算法则,那么你可以让a,m,n去一些特殊值来找规律。

    参考文献
    1,https://jingyan.baidu.com/article/ad310e80e2d2d31848f49e10.html
    2,pow函数
    3,https://www.jianshu.com/p/af8a448d4d4f

    在这里插入图片描述

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  • 编写指数函数

    2021-01-06 16:23:28
    使用数值算法进行指数函数的编写,满足【所有正实数为底数,任意实数为指数的指数函数计算】 本程序,使用规范化的编程【注释,分段,变量定义,常量定义】 使用牛顿迭代法计算N次方根,并且初始值采用自动计算。 ...
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  • 指数函数课件

    2018-05-12 17:21:47
    指数函数课件,适用于高中数学新课授课。内容丰富,动画得当。
  • 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 复合函数

    常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数

    常数函数

    在这里插入图片描述

    幂函数

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    指数函数

    在这里插入图片描述

    对数函数

    在这里插入图片描述

    三角函数

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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    反三角函数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    复合函数

    在这里插入图片描述
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  • 指数函数,幂函数,对数函数

    千次阅读 2019-09-14 15:19:25
    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数 指数函数 指数函数公式为,其函数增长性如下: 指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 在...

    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数

    指数函数

    指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下:

     指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 

    在x>0部分,a>b其y值也是随着f_{a}(x)>f_{b}(x)

    在x<0部分 当a>b是,其f_{a}(x)<f_{b}(x)<1

    对数函数

    对数函数表达式为:y=log_{a}x,其函数图像为如下:

    当x等于1时 y为0,

    当x<1时,其y值小于0

    当x >1时,其值大于0

    对数函数为单调递增的,当a>1时,随着地鼠a越小,其函数增长值越快

    当x> 1时, a<b,f_{a}(x)>f_{b}(x)

    当x<1时, a<b ,f_{a}(x)<f_{b}(x)

     幂函数

    幂函数表达式为y=x^{n},其图像如图:

    对数函数为单调递增的,当n大于1时且x大于1时, n越大其函数值越大

    比较三个函数y=2^{x},y=x^{2},y=log_{2}x增长快慢

     

     y=log_{2}x增长最慢,幂函数y=x^{2}和指数函数y=2^{x}快慢交替进行

    在x(0.2)区间,幂函数比指函数增长较快

    在(4,+\propto)指数函数比幂函数增长较快

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  • 主要介绍了用C语言求幂函数和指数函数的方法,即pow()函数和sqrt()函数的使用,需要的朋友可以参考下
  • python绘制指数函数

    千次阅读 2020-02-16 10:46:42
    python绘制指数函数

    python绘制指数函数


    上一期,我们介绍了指数函数的形和性质以及运算法则,其中有两个非常漂亮的指数函数图就是用python的matplotlib画出来的。这一期,我们将要介绍如何利用python如何绘制出如下指数函数。

    在这里插入图片描述
    我们知道当0<a<10<a<1是,指数函数y=axy=a^x是单调递减的,当a>1a>1时,是单调递增的,所以,我们首先要定义出指数函数

    import math
    ...
    def exponential_func(x, a): #定义指数函数
      y=math.pow(a, x)
      return y
    

    然后,利用numpy构造出自变量xx,利用上面定义的指数函数来计算出因变量yy

    X=np.linspace(-4, 4, 40) #构造自变量组
    Y=[exponential_func(x) for x in X] #求函数值
    

    有了自变量和因变量的一些散点,那么就可以模拟我们平时画函数操作——描点绘图,利用下面代码就会画出

    import math 
    import numpy as np 
    import matplotlib.pyplot as plt 
    import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #导入坐标轴加工模块
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
    
    fig=plt.figure(figsize=(6,4)) #新建画布
    ax=axisartist.Subplot(fig,111) #使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
    fig.add_axes(ax) #将绘图区对象添加到画布中
    
    def exponential_func(x, a=2): #定义指数函数
      y=math.pow(a, x)
      return y
    
    X=np.linspace(-4, 4, 40) #构造自变量组
    Y=[exponential_func(x) for x in X] #求函数值
    ax.plot(X, Y) #绘制指数函数
    plt.show()
    

    图 1 a=2
    虽然图1很简单,但是麻雀虽小五脏俱全,指数函数该有都有,接下来是如何让其看起来美观,这里重点介绍axisartist 坐标轴加工类,在画笛卡尔直角坐标系的时候我们已经用过了,这里就不再多说了。我们只需要在上面代码后面加上一些修改代码来将坐标轴好好打扮一番。
    图 2

    完整代码

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Sun Feb 16 10:19:23 2020
    project name:
    @author: 帅帅de三叔
    """
    import math 
    import numpy as np 
    import matplotlib.pyplot as plt 
    import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #导入坐标轴加工模块
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
    
    fig=plt.figure(figsize=(6,4)) #新建画布
    ax=axisartist.Subplot(fig,111) #使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
    fig.add_axes(ax) #将绘图区对象添加到画布中
    
    def exponential_func(x, a=2): #定义指数函数
      y=math.pow(a, x)
      return y
    
    X=np.linspace(-4, 4, 40) #构造自变量组
    Y=[exponential_func(x) for x in X] #求函数值
    ax.plot(X, Y) #绘制指数函数
    plt.show()
    # 从此处开始打扮
    print(max(X), max(Y)) #测试一下自变量最大值和因变量最大值,为后面的坐标轴设置依据
    ax.axis[:].set_visible(False) #隐藏原来的实线矩形
    ax.axis["x"]=ax.new_floating_axis(0, 0, axis_direction="bottom") #添加x轴
    ax.axis["y"]=ax.new_floating_axis(1, 0, axis_direction="bottom") #添加y轴
    
    ax.axis["x"].set_axisline_style("-|>", size=1.0) #给x坐标轴加箭头
    ax.axis["y"].set_axisline_style("-|>", size=1.0) #给y坐标轴加箭头
    
    ax.annotate(s='x', xy=(max(X), 0), xytext=(max(X)+0.5, 0.5)) #标注x轴
    ax.annotate(s='y', xy=(0, 1.0), xytext=(-0.5, max(Y)+0.5)) #标注y轴
    
    plt.xlim(-4, 5) #设置横坐标范围
    plt.ylim(-1, 17) #设置纵坐标范围
    X_lim=np.arange(min(X), max(X)+1, 1)
    ax.set_xticks(X_lim) #设置x轴刻度
    Y_lim=np.arange(0, max(Y)+1, 1)
    ax.set_yticks(Y_lim) #设置y轴刻度
    ax.annotate(s=r'$y=a^x$',xy=(3, 10), xytext=(3, 10))
    

    整个代码比较注重细节,如果你要画减函数,只需要将a的初始值设置到(0,1)之间的某个值即可。比如在定义函数的时候,令a=12a=\frac{1}{2}便会画出如下指数函数图
    在这里插入图片描述
    相应的代码改写如下

    def exponential_func(x, a=1/2): #定义指数函数
      y=math.pow(a, x)
      return y
    

    参考文献
    1,https://blog.csdn.net/zengbowengood/article/details/102862072
    2,https://blog.csdn.net/zengbowengood/article/details/104260155
    在这里插入图片描述

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