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  • 金融经济学期末梳理(王江)第六章 期望效用函数
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    2020-12-31 12:45:10

    introduction

    : 本书第二章介绍了一般均衡分析框架,即每个参与者优化满足预算约束(状态加总等于禀赋)、市场出清(参与者加总等于总禀赋)
    事实上,在一般均衡中,我们可以对偏好、状态空间概率分布、市场结构做出假设。第三章研究对市场结构的假设,即AD市场具体应用基本框架求解一般均衡。
    第四、五章离开这个框架,给出无套利原理,并且在此基础上得到资产定价基本原理(先从一般市场出发,然后过度到完全市场得出第二资产定价基本原理),最后对期权二叉树定价方法进行介绍。但是这种定价方法,不能给出股价变化过程和无风险利率是由什么决定的,也不能告诉我们证券价格之间的关系,因此需要引入CAPM进行资产定价。
    本章又回到一般均衡分析框架,将AD市场条件一般化,研究完全市场即任意支付都可通过AD市场构造。同时放宽了投资者偏好的假定,引入了期望效用函数,然后又对期望效用函数进行约束。

    6.1期望效用函数

    6.1.1 什么是期望效用函数

    投资者效用函数依赖于状态空间的概率分布以及各个状态下的偏好。那么上述两个因素是否可明确区分,一个直观的想法就是假定概率分布外生给定,计算期望效用函数即 U= ∑ w π w u w ( c 0 , c w ) \sum_wπ_w u_w (c_0, c_w) wπwuw(c0,cw) 表示,概率分布对每个状态效用函数的加权。

    6.1.2 独立性公理(状态消费)

    关键词:某个状态;消费计划相同;消费计划不同;改变相同;状态互斥
    不同消费计划c与c‘(可看作时间序列的一次实现),当存在相同的消费状态(1期的消费看作Ω空间上的概率分布消费,意味着两个消费计划对于某个状态消费相同),并且消费者认为c优于c’,那么不论消费路径如何变化(即改变状态消费相同的消费(改变后仍然相同)),c都优于c’.
    德布鲁证明了独立性公里下的效用函数具有期望效用函数。

    6.2 附加假设(状态独立、时间可加)

    6.2.1 状态独立

    这里的状态独立区别于独立性公理,是针对效用函数的状态依赖性质的,我们应该假定对于同一个投资者,每个状态的偏好是相同的。比如阴天消费一升水和晴天消费一升水的满足程度相同。所以期望效用函数就可以写作:
    U= ∑ w π w u w ( c 0 , c w ) = ∑ w π w u ( c 0 , c w ) \sum_wπ_w u_w (c_0, c_w)=\sum_wπ_w u(c_0, c_w) wπwuw(c0,cw)=wπwu(c0,cw)
    可以看到,我们统一了不同状态的效用函数。

    6.2.2 时间可加性

    旨在将0期效用函数和1期效用函数分离。对于上述的效用函数,1期消费依赖于0期消费,反之亦然。对于实物消费,香烟会上瘾,显然有时间依赖性,但是对于馒头,今天吃了,明天可能就会减少。本书所研究的财富或者资源在不同日期的使用可能是不具有依赖性的。0期消费资源,1期消费证券支付,两者都是资源,假定对投资者相关性的,所以这里将0期的偏好和1期的偏好区分开,不难想象,两者的偏好是不同的即消费者更偏好现在拥有同等的资源。所以将期望效用函数进一步分解为:U= ∑ w π w u ( c 0 , c w ) = u 0 ( c 0 ) \sum_wπ_w u(c_0, c_w)=u_0(c_0) wπwu(c0,cw)=u0(c0) + ∑ w π w u 1 ( c w ) \sum_wπ_wu_1(c_w) wπwu1(cw)
    引入时间偏好系数ρ<1后,期望效用函数简化为
    U= u 0 ( c 0 ) u_0(c_0) u0(c0) + ∑ w π w u 1 ( c w ) \sum_wπ_wu_1(c_w) wπwu1(cw) = u ( c 0 ) u(c_0) u(c0) + ∑ w ρ π w u ( c w ) \sum_wρπ_wu(c_w) wρπwu(cw)
    至此我们将影响参与者效应的三个因素分离:概率分布、状态独立、时间可加。
    注:分解后的u不具有序数性,是一个基数效用函数,不能做单调变化,只能做线性变化。因为这里的u用来衡量总效用时取了期望,要使期望和函数可交换,应满足线性函数。

    6.2.3 总结

    至此,我们的效用函数具有了单调性、凹性、期望效用函数形式。书中还对简单期望效用函数的形式排除了哪些因素进行了讨论。
    1、习惯,棘轮效应,1期的效用不是取决于当时的消费本身,而是取决于相对于前期消费的增加额。
    2、攀比,依赖于别人的消费
    3、状态依赖,不同状态效用函数不同
    4、风险厌恶(一阶风险厌恶)

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  • 特定偏好的效用函数——CES效用函数

    万次阅读 多人点赞 2020-07-12 23:41:17
    中文第11版教材上关于CES效用函数的形式是如下的表述: U(x,y)={xδδ+yδδ(δ≤1,δ≠0)lnx+lnyδ=0 U(x,y) = \begin{cases} \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}& (\delta ≤1,\delta≠0)\\ l.

    CES效用函数表达形式
    说明:做单调变化(monotonic transformation)是合理的,因为效用的数值大小是没有意义的,有意义的是相对排序,体现的是序数性质而不是基数性质 见p51~p52

    中文第11版教材上关于CES效用函数的形式是如下的表述:
    U ( x , y ) = { x δ δ + y δ δ ( δ ≤ 1 , δ ≠ 0 ) l n x + l n y δ = 0 U(x,y) = \begin{cases} \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}& (\delta ≤1,\delta≠0)\\ lnx+lny& \delta=0 \end{cases} U(x,y)={δxδ+δyδlnx+lny(δ1,δ=0)δ=0
    CES效用函数表达形式
    这个负号虽然使得效用变成了一个负数,但是这个式子满足了边际效用为正且递减,且效用随着x和y的增长是增长的(从- ∞ ∞ 到0)。由此看出分母中包含 δ \delta δ是必要的,因为这里控制住了前面所说的符号(即保证了这个式子满足了边际效用为正且递减,且效用随着x和y的增长是增长的(从- ∞ ∞ 到0))。

    有朋友有这样的疑惑,为什么要单独拿分母的 δ \delta δ来说事,说他到底去不去掉的问题,究其原因在于这里式子同时乘以 δ \delta δ也是没问题的,因为这是一个单调变化,保证了序数性质。

    来源:Walter Nicholson /Christopher M. Snyder 《Microeconomic Theory Basic Principles and Extensions 》(2016, Cengage Learning) - libgen.lc


    在尼克尔森的教材中并没有讲清楚为什么这个效用函数叫做不变替代弹性效用函数,我们拆开来看,首先看替代弹性表示什么:
    替代弹性

    图片来源:简书
    (侵删,谢谢)

    那有朋友要问了这里的替代弹性指的是什么?书中说 σ = 1 1 − δ \sigma=\frac{1}{1-\delta} σ=1δ1即为替代弹性。
    在这里插入图片描述
    显然书中在这里并没有讲清楚,下面我们来做如下的推导:
    替代弹性的计算如下:
    σ = d ( Y / X ) d ( M R S x y ) ∗ M R S x y Y / X \sigma = \frac{d(Y/X)}{d(MRS_{xy})}*\frac{MRS_{xy}}{Y/X} σ=d(MRSxy)d(Y/X)Y/XMRSxy
    其中:
    M R S x y = M U X M U Y = ( X Y ) δ − 1 MRS_{xy}=\frac{MU_X}{MU_Y}=(\frac{X}{Y})^{\delta-1} MRSxy=MUYMUX=(YX)δ1
    将其代入有:
    σ = d ( Y / X ) d ( X Y ) δ − 1 ∗ ( X Y ) δ − 1 Y / X = − Y X 2 d X ( δ − 1 ) X δ − 2 ( 1 Y ) δ − 1 d X ∗ ( X Y ) δ − 1 Y / X = 1 1 − δ \sigma = \frac{d(Y/X)}{d(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X} = \frac{-\frac{Y}{X^2}dX}{(\delta-1)X^{\delta-2}(\frac{1}{Y})^{\delta-1}dX}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X}=\frac{1}{1-\delta} σ=d(YX)δ1d(Y/X)Y/X(YX)δ1=(δ1)Xδ2(Y1)δ1dXX2YdXY/X(YX)δ1=1δ1

    这是教辅上给的一个证明过程,不过个人认为这个证明过程中把Y看成常数不尽合理,应该X和Y都看成变量去做,最后的结果是一样的(可能是碰巧一样) d ( Y X ) d(\frac{Y}{X}) d(XY) − Y X 2 d X \frac{-Y}{X^2}dX X2YdX X d Y − Y d X X 2 \frac{XdY-YdX}{X^2} X2XdYYdX还是不一样的

    上述证明我们看出来 σ = 1 1 − δ \sigma = \frac{1}{1-\delta} σ=1δ1,接着谈谈为什么叫不变,很显然,只要 δ \delta δ定了, σ \sigma σ就定了,就不变了。那么为什么引入替代弹性的概念呢?
    因为替代弹性的大小可以判断两种商品之间的替代性,从而可以根据替代弹性的大小数值来判断该函数是属于哪一种,这样就更理解不变替代弹性效用函数和特殊的效用函数之间的相互关系。

    δ \delta δ σ \sigma σ效用函数
    1 ∞ ∞ 完全替代效用函数
    01柯布道格拉斯函数
    ∞ ∞ 0完全互补效用函数

    eg.常替代效用函数 u ( x 1 , x 2 ) = ( α 1 x 1 ρ + α 2 x 2 ρ ) 1 ρ u(x_1,x_2)=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}} u(x1,x2)=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1,请证明:
    (1)当 ρ = 1 \rho=1 ρ=1,该效用函数为线性;
    (2)当 ρ → 0 \rho\rightarrow 0 ρ0时,该效用函数趋近于 u ( x ) = x 1 α 1 x 2 α 2 ( α 1 + α 2 ) = 1 u(x)=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}(\alpha_1+\alpha_2)=1 u(x)=x1α1x2α2(α1+α2)=1;
    (3)当 ρ → − ∞ \rho\rightarrow -∞ ρ时,该效用函数趋近于 u ( x ) = m i n ( x 1 , x 2 ) u(x)=min(x_1,x_2) u(x)=min(x1,x2)
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    展开全文
  • 需求函数: CES需求函数 CES需求函数函数形式为: U(x,y)=xδδ+yδδU(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}U(x,y)=δxδ​+δyδ​ 构造朗格朗日表达式: f=xδδ+yδδ+λ(I−pxx−pyy)f = \...

    需求函数
    性质:关于所有价格和收入零次齐次性(所有商品价格与收入乘以t倍),最优化需求数量保持不变。

    1. CES需求函数
      CES需求函数的函数形式为:
      U ( x , y ) = x δ δ + y δ δ U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta} U(x,y)=δxδ+δyδ
      构造朗格朗日表达式:
      f = x δ δ + y δ δ + λ ( I − p x x − p y y ) f = \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}+\lambda(I-p_xx-p_yy) f=δxδ+δyδ+λ(Ipxxpyy)
      求偏导数得到一阶条件:
      { ∂ f ∂ x = x δ − 1 − λ p x = 0 ∂ f ∂ x = x δ − 1 − λ p x = 0 ∂ f ∂ λ = I − p x x − p y y = 0 \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda}=I-p_xx-p_yy=0 \end{array} \right. xf=xδ1λpx=0xf=xδ1λpx=0λf=Ipxxpyy=0
      根据上式求得需求函数:
      { x = I p x ( 1 + ( p x p y ) δ 1 − δ ) y = I p y ( 1 + ( p y p x ) δ 1 − δ ) \left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y})^{\frac{\delta}{1-\delta}})}\\ y= \frac{I}{p_y(1+(\frac{p_y}{p_x})^{\frac{\delta}{1-\delta}})} \end{array} \right. x=px(1+(pypx)1δδ)Iy=py(1+(pxpy)1δδ)I

    从上式看出我们确实可以得到一个对于任意 δ \delta δ的CES函数的需求函数。但是个人建议,由于CES函数有不同的“形式”(比如说 U = ( α 1 x 1 ρ + α 2 x 2 ρ ) 1 ρ U=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}} U=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1也是一种CES函数,所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中,建议重复上述证明步骤,用构造拉格朗日表达式,利用一阶条件来求解需求函数)

    δ → ∞ \delta \rightarrow ∞ δ的时候,此时为完全互补效用函数,利用消费者为了效用最大化只会选择L型无差异曲线顶点消费的特征来直接求解,就不用构造朗格朗日表达式了。

    除此之外,联系弹性和之前讲过的替代弹性(点击链接回顾)的概念,我们不难发现, δ = 0 \delta=0 δ=0,即替代弹性 σ = 1 1 − δ \sigma=\frac{1}{1-\delta} σ=1δ1等于1为分界线。举例说明:当 δ = 0.5 \delta=0.5 δ=0.5的时候 x = I p x ( 1 + ( p x p y ) ) x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y}))} x=px(1+(pypx))I,此时商品x花费的收入份额为 p x x / I = 1 / [ 1 + ( p x / p y ) ] p_xx/I=1/[1+(p_x/p_y)] pxx/I=1/[1+(px/py)]不是常数, p x p_x px越高,x的相对价格越高,它所花费的收入份额就越小。换言之,x的需求对其价格的反应就非常敏感,价格的上升减少了x的总花费。不过收入的变化并不影响消费份额。

    1. 柯布道格拉斯需求函数
      柯布-道格拉斯效用函数的表达式为:
      U ( x , y ) = x α y β ( α + β = 1 ) U(x,y)=x^\alpha y^\beta(\alpha+\beta=1) U(x,y)=xαyβ(α+β=1)
      同样可以利用朗格朗日法来算出需求函数,由于过程重复,在此不做赘述,得到如下的结果:
      { x = α α + β ∗ I p x = α I p x y = β α + β ∗ I p y = β I p y \left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_x}=\frac{\alpha I}{p_x}\\ y= \frac{\beta}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_y} = \frac{\beta I}{p_y} \end{array} \right. {x=α+βαpxI=pxαIy=α+ββpyI=pyβI
      由此我们得到一个重要的结论,在柯布道格拉斯效用函数情形下,消费者会花费 α / ( α + β ) \alpha/(\alpha+\beta) α/(α+β)比例的收入去购买商品x,用 β / ( α + β ) \beta/(\alpha+\beta) β/(α+β)的比例去购买y。上述的结论是需要背诵的。

    间接效用函数:
    所谓间接效用函数,指的是在预算约束条件下,消费者希望得到的最大效用将会间接地取决于购买商品的价格以及消费者的收入。

    最 大 效 用 = U [ x 1 ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) , x 2 ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) , . . . , x n ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) ] = V ( p 1 , p 2 , . . p n , I ) 最大效用 = U[x_1^*(p_1,...,p_n,I),x_2^*(p_1,...,p_n,I),...,x_n^*(p_1,...,p_n,I)]=V(p_1,p_2,..p_n,I) =U[x1(p1,...,pn,I),x2(p1,...,pn,I),...,xn(p1,...,pn,I)]=V(p1,p2,..pn,I)

    间接效用函数才是更加符合大家的理解的,即效用水平最终还是取决于消费者的收入和所购买的商品的价格。就像人们往往关注的是自己的钱包和物价水平,而不是我消费了多少。

    利用间接效用函数我们可以得到一个非常重要的结论:一次总付原则
    一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税(补贴),比对特定的物品征税(补贴)更好。

    • 从直观上理解,就是对收入税或收入补贴存在时,消费者可以自由决定如何分配他的最终收入。但是,对特定商品征税或补贴,在降低消费者购买力的同时,由于引入了人为的价格,也扭曲了人们的选择。
    • 从图形角度理解:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    这个图解成立的关键是,无论是对特定商品征税还是对购买力征税,预算约束线都通过了图中的 ( x 1 , y 1 ) 这 个 点 (x_1,y_1)这个点 (x1,y1)

    • 举例说明:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    在固定比例的情形下,由于消费者的偏好过于刚性,消费税并没有扭曲消费者的选择,所以此时对特定商品征税(补贴)与对购买力征税(补贴)效果是一样的。


    支出函数
    支出函数:消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下,要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出,即:
    最 小 支 出 = E ( p 1 , p 2 , . . . , p n , U ) 最小支出=E(p_1,p_2,...,p_n,U) =E(p1,p2,...,pn,U)
    支出函数和间接效用函数是互为反函数关系,都取决于市场价格,但受到的约束缺不同(一个为收入,一个为效用)。

    补偿价格:消费者如何补偿价格变化的,当商品价格变化时,一般都会改变消费者的效用。于是我们会问,消费者应当补偿多少钱才能消除这个影响。在支出函数中,我们把效用视为常数(与后面的补偿性需求曲线结合,留个坑),它为我们估算补偿金额提供了一个直接的方法。

    支出函数具有如下的性质:

    • 齐次性:支出函数是所有价格的“一次齐次函数”。
    • 支出函数关于价格单调不降。
    • 支出函数是价格的凹函数(证明见下图)。
      在这里插入图片描述
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  • 消费者理论:效用函数

    千次阅读 2022-01-02 11:33:44
    效用函数、无差异曲线、边际效用

    效用函数

    效用函数

    效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字,它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字的方法。

    对于消费束 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2) 的偏好超过对于消费束 ( y 1 , y 2 ) (y_1,y_2) (y1,y2) 的偏好,其充分必要条件是 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2) 的效用大于 ( y 1 , y 2 ) (y_1,y_2) (y1,y2) 的效用。
    ( x 1 , x 2 ) ≻ ( y 1 , y 2 ) ⇔ u ( x 1 , x 2 ) > u ( y 1 , y 2 ) ( x 1 , x 2 ) ≺ ( y 1 , y 2 ) ⇔ u ( x 1 , x 2 ) < u ( y 1 , y 2 ) ( x 1 , x 2 ) ⪯ ( y 1 , y 2 ) ⇔ u ( x 1 , x 2 ) ≤ u ( y 1 , y 2 ) (x_1,x_2) \succ (y_1,y_2) \Leftrightarrow u(x_1,x_2) > u(y_1,y_2) \\ (x_1,x_2) \prec (y_1,y_2) \Leftrightarrow u(x_1,x_2) < u(y_1,y_2) \\ (x_1,x_2) \preceq (y_1,y_2) \Leftrightarrow u(x_1,x_2) \leq u(y_1,y_2) \\ (x1,x2)(y1,y2)u(x1,x2)>u(y1,y2)(x1,x2)(y1,y2)u(x1,x2)<u(y1,y2)(x1,x2)(y1,y2)u(x1,x2)u(y1,y2)

    效用函数和无差异曲线

    例如:以下消费束 ( 4 , 1 ) (4,1) (4,1) ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3) ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2)
    假设
    ( 2 , 3 ) ≻ ( 4 , 1 ) ∼ ( 2 , 2 ) (2,3) \succ (4,1) \sim (2,2) (2,3)(4,1)(2,2)
    可以分配格上述消费束保持偏好顺序的任何效用值,如
    u ( 2 , 3 ) = 6 > u ( 4 , 1 ) = u ( 2 , 2 ) = 4. u(2,3) = 6 > u(4,1) = u(2,2) = 4. u(2,3)=6>u(4,1)=u(2,2)=4.
    这些被分配的效用称为效用水平
    无差异曲线表示相同偏好的消费束集合;相同偏好表示同样的效用水平。
    因此, 无 差 异 曲 线 上 所 有 消 费 束 有 同 样 的 效 用 水 平 {\color{red}无差异曲线上所有消费束有同样的效用水平} 线

    边际效用

    如果一个效用函数被表达为 u ( x 1 , x 2 , … , x n ) u(x_1,x_2,\dots, x_n) u(x1,x2,,xn),那么该函数求关于 x i x_i xi 的一阶偏导,得到 ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i} xiu(),称 ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i} xiu() x i x_i xi 的边际效用,即物品 x i x_i xi 对于消费提供的边际贡献。

    边际效用和边际替代率

    由于同一条无差异曲线表示效用不变,是一个常数:
    u ( x 1 , f ( x 1 ) ) = c u(x_1, f(x_1)) = c u(x1,f(x1))=c
    对上式求关于 x 1 x_1 x1 的偏导,会得出
    ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 + ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 f ′ ( x 1 ) = 0 f ′ ( x 1 ) = − ∂ u ∂ x 1 / ∂ u ∂ x 2 . \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1}+ \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2} f'(x_1) = 0 \\ f'(x_1) = - \frac{\partial u}{\partial x_1} / \frac{\partial u}{\partial x_2}. x1u()+x2u()f(x1)=0f(x1)=x1u/x2u.
    或者写成
    ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 + ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 d x 2 d x 1 = 0 \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1}+\frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dx_1} = 0 x1u()+x2u()dx1dx2=0
    得到
    d x 2 d x 1 = − ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 / ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 . \frac{dx_2}{dx_1} = - \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1} / \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2}. dx1dx2=x1u()/x2u().
    ∣ d x 2 d x 1 ∣ = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 1 / ∂ u ( ⋅ ) ∂ x 2 \left|\frac{dx_2}{dx_1} \right| = \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_1} / \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_2} dx1dx2=x1u()/x2u() 为物品1对于物品2的边际替代率 M R S 1 , 2 MRS_{1,2} MRS1,2。同样地,记 ∣ d x j d x i ∣ = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i / ∂ u ( ⋅ ) ∂ x j \left|\frac{dx_j}{dx_i} \right| = \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i} / \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_j} dxidxj=xiu()/xju() 为物品 i i i 对于物品 j j j 的边际替代率,所以
    M R S i , j ( x ) = ∂ u ( ⋅ ) ∂ x i / ∂ u ( ⋅ ) ∂ x j MRS_{i,j}(x) = \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_i} / \frac{\partial u(\cdot)}{\partial x_j} MRSi,j(x)=xiu()/xju()
    (1) M R S i , j ( x ) MRS_{i,j}(x) MRSi,j(x) 是一个正数;
    (2) M R S i , j ( x ) MRS_{i,j}(x) MRSi,j(x) 表示当效用不变时, x i x_i xi 可以替代 x j x_j xj 的边际比率。

    预算约束

    • ( x 1 , … , x n ) (x_1,\dots, x_n) (x1,,xn) 表示消费者消费的商品束, ( p 1 , … , p n ) (p_1,\dots,p_n) (p1,,pn) 表示商品的价格。
    • 预算约束:消费支出不超过收入, m m m 表示消费者的收入,即:
      p 1 x 1 + ⋯ + p n x n ≤ m p_1x_1+\dots+p_nx_n \leq m p1x1++pnxnm
    • 预算约束描述的是在给定商品价格和收入的情况下,消费者可以消费的商品的数量。
    • 当价格为 ( p 1 , … , p n ) (p_1,\dots,p_n) (p1,,pn) 和收入 m m m 时能负担的消费束称为消费者的预算集
      B ( p 1 , … , p n , m ) = { ( x 1 , … , x n ) ∣ x 1 ≥ 0 , … , x n ≥ 0 , p 1 x 1 + ⋯ + p n x n ≤ m } B(p_1,\dots,p_n,m) = \{(x_1,\dots,x_n) \mid x_1\geq 0,\dots,x_n \geq 0,p_1x_1+\dots+p_nx_n \leq m \} B(p1,,pn,m)={(x1,,xn)x10,,xn0,p1x1++pnxnm}

    参考

    1. 课程老师的PPT,这里就不外传了。
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  • 论文研究-基于效用函数的收益型Malmquist指数 .pdf,
  • 在给定偏好的若干假定的基础上,对效用函数的存在性及不唯一性给出了严格的数学证明,弥补了一般西方经济学教科书中对效用函数缺乏数理分析的缺陷。
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  • 依据实时(RT,real-time)和非实时(NRT,non real-time)业务的不同特点分别设计了QoE效用函数,并提出一种基于RT &NRT QoE效用函数的跨层资源分配算法。该算法利用所设计的效用函数计算用户分得资源所贡献的QoE...
  • 决策理论与方法——效用函数

    千次阅读 2020-12-09 14:51:20
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空空如也

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效用函数