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  • 最值问题

    2019-09-08 03:39:40
    问题描述 给定N个整数(1<=N<=100),求出这N个数中的最大值,最小值。 输入 多组数据,第一行为一个整数N,第二行为N个不超过100的正整数,用空格隔开 输出 对每组数据输出一行,包含两个整数,用...

    问题描述

    给定N个整数(1<=N<=100),求出这N个数中的最大值,最小值。

    输入

    多组数据,第一行为一个整数N,第二行为N个不超过100的正整数,用空格隔开

    输出

    对每组数据输出一行,包含两个整数,用一个空格隔开,分别表示N个数中的最大值和最小值

    
    import java.util.Scanner;
    
    /** * 问题描述:给定N个整数(1<=N<=100),求出这N个数中的最大值,最小值。 * 输入:多组数据,第一行为一个整数N,第二行为N个不超过100的正整数,用空格隔开。 * 输出:对每组数据输出一行,包含两个整数,用一个空格隔开,分别表示N个数中的最大值和最小值 * @author Administrator * */
    public class Main {
        public static void main(String[] args) {
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            int num = 0;
            num = scanner.nextInt();
            int array[] = new int[num];
            for(int i=0;i<num;i++){
                array[i] = scanner.nextInt();
            }
            int max = array[0];
            int min = array[0];
            for(int j=0;j<array.length;j++){
                if(array[j]>max){
                    max = array[j];
                }
                if(array[j]<min){
                    min = array[j];
                }
            }
    
            System.out.println(max+" "+min);
    
    
        }
    
    }
    

    转载于:https://my.oschina.net/zhanghongbin01/blog/547726

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  • 35最值问题

    2021-06-02 15:10:14
    1、最值问题

    1、最值问题

    在这里插入图片描述

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  • 高中数学最值问题.doc

    2021-10-11 11:06:58
    高中数学最值问题.doc
  • 导数极值最值问题.docx
  • 电学最值问题专题.doc

    2021-09-28 16:21:29
    电学最值问题专题.doc
  • 初中几何最值问题.doc

    2021-09-20 16:31:50
    初中几何最值问题.doc
  • 椭圆中常见最值问题.doc
  • 初三年级二次函数最值问题及给定范围最值.doc
  • 几何图形中的最值问题.doc
  • 含绝对值函数的最值问题.doc
  • 最值问题解题方法的探讨.doc
  • 圆锥曲线中距离的最值问题.doc
  • 最值问题(三点共线).doc
  • 二次函数和最值问题总结.doc
  • 圆锥曲线的范围、最值问题.doc
  • 文职岗位能力:和定最值问题.rar
  • 2019年中考数学专题复习几何最值问题
  • 二次函数的最值问题11.doc
  • 2013年中考物理 电学压轴题 最值问题
  • 利用MATLAB求解物理一最值问题.pdf
  • RMQ区间最值问题

    2021-02-02 01:36:13
    RMQ区间最值问题问题描述基本思想1区间询问2区间长度询问总结 问题描述 RMQ ( Range Minimum / Maximum Query ) 问题是指:对于长度为 n 的数列 A,回答若干询问 RMQ (A , i , j ) ( i , j ≤ n),返回数列A中下标在...

    问题描述

    RMQ ( Range Minimum / Maximum Query ) 问题是指:对于长度为 n 的数列 A,回答若干询问 RMQ (A , i , j ) ( i , j ≤ n),返回数列A中下标在 i , j 里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。
    PIPI1475题:http://pipioj.online/problem.php?id=1475

    基本思想

    这类题有两种问法

    1区间询问

    给定区间[l,r],求此区间的最大(小)值。
    可以采用dp动态规划,dp[i][j]表示从第i个值开始连续1<<j个数的最值。
    自然有
    dp[i][0]=a[i];
    dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j)][j-1]);
    在这里插入图片描述

    对于任意区间[l,r]求最值,有点lowbit那味
    k=int(log(r-l+1)/log(2));
    ans=max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
    在这里插入图片描述

    直接上代码

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=1e5+10;
    int a[N],dp[N][28],n,q,l,r,k,ans;//n个数,q次询问
    void RMQ(){
        for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=a[i];
        for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
            for(int i=1;i+(1<<j)<=n;i++) dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    } 
    int main(){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        RMQ();
        scanf("%d",&q);
        while(q--){
            scanf("%d%d",&l,&r);
            k=int(log(r-l+1)/log(2));
            ans=max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    

    复杂度

    RMQ预处理时间O(nlogn),询问O(q)
    总时间复杂度O(nlogn)

    2区间长度询问

    给定一组数ai和其长度n,区间[l,r]的价值为min{ai},l<=i<=r.
    给定长度len,求长度为len的区间的最大价值为多少?

    第一行一个正整数n,n<=10^6。
    第二行n个正整数ai,ai<=10^9。
    第三行一个正整数q,q<=10^6。
    接下来q行,每行一个正整数len,len<=n。

    基本思想:采用单调栈,分别求出a[i]左边第一个比他小的数的下标 l[i]; ,右边第一个比他小的数的下标 r[i]; ,则以a[i]为结果的区间长度为 r[i]-l[i]+1;

    代码如下

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=1e6+5;
    struct node{
    	int x,i;
    }s[1000005];
    int a[N],l[N]={0},r[N]={0},top=0,d[N]={0};
    int main(){
    	int n,q,x,k;
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		if(top==0||s[top-1].x<a[i]) s[top++]={a[i],i};
    		else{
    			while(top>0&&s[top-1].x>=a[i]) top--;
    			s[top++]={a[i],i};
    		}
    		l[i]=(top==1?0:s[top-2].i);
    	}
    	top=0;
    	for(int i=n;i>0;i--){
    		if(top==0||s[top-1].x<a[i]) s[top++]={a[i],i};
    		else{
    			while(top>0&&s[top-1].x>=a[i]) top--;
    			s[top++]={a[i],i};
    		}
    		r[i]=(top==1?(n+1):s[top-2].i);
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		k=r[i]-l[i]-1;
    		d[k]=max(d[k],a[i]);
    	}
    	for(int i=n;i>0;i--){
    		d[i]=max(d[i],d[i+1]);//这一步很重要当时写错了
    	}
    	scanf("%d",&q);
    	for(int i=0;i<q;i++){
    		scanf("%d",&x);
    		printf("%d\n",d[x]);
    	}
    }
    

    样例输入
    3
    1 2 3
    3
    3
    2
    1
    样例输出
    1
    2
    3

    复杂度

    进栈出栈时间为O(n)
    询问为O(q)
    总时间复杂度为O(n)

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    总结

    1.dp可以跳着搞,属于ST算法
    2.单调栈是个好东西,很多问题都有奇妙的效果

    展开全文
  • 文职岗位能力:和定最值问题.docx
  • 轴对称中几何动点最值问题总结.doc
  • 数列最值问题与单调性_副本.doc
  • 函数压轴小题之双层最值问题.pdf
  • 最值问题大归纳

    千次阅读 2018-10-30 13:52:02
    最值问题一直是高考的一个热门考点,因其综合性强、思维难度可以出的很高而受到命题人的青睐。最值问题综合了高中的数列、不等式、函数、解析几何等的知识,可以说几乎是高中数学的半壁江山了(求取值范围也可以看成...

    前言

    最值问题一直是高考的一个热门考点,因其综合性强、思维难度可以出的很高而受到命题人的青睐。最值问题综合了高中的数列、不等式、函数、解析几何等的知识,可以说几乎是高中数学的半壁江山了(求取值范围也可以看成其的变式)。这里归纳一下各种可能出现的最值问题解法。

    知识储备

    加星表示不强制要求掌握。

    • 某个区间上的单调函数,最大值和最小值分布在两端。

    • 函数 f ( x ) f(x) f(x) f ′ ( x ) = 0 f&#x27;(x)=0 f(x)=0 处取到极值。

    • 二次分式最值 y = a x 2 + b x + c d x 2 + e x + f y=\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f} y=dx2+ex+fax2+bx+c
      y ′ = 0 y&#x27;=0 y=0,即 ( 2 a x + b ) ( d x 2 + e x + f ) = ( 2 d x + e ) ( a x 2 + b x + c ) (2ax+b)(dx^2+ex+f)=(2dx+e)(ax^2+bx+c) (2ax+b)(dx2+ex+f)=(2dx+e)(ax2+bx+c)
      a e x 2 + 2 a f x + b f = b d x 2 + 2 c d x + c e aex^2+2afx+bf=bdx^2+2cdx+ce aex2+2afx+bf=bdx2+2cdx+ce
      ( a e − b d ) x 2 + 2 ( a f − c d ) x + b f − c e = 0 (ae-bd)x^2+2(af-cd)x+bf-ce=0 (aebd)x2+2(afcd)x+bfce=0
      解上面这个二次方程,即两个极值点位置。

      特别地,这里再提一种分子二次,分母一次的分式的解法(分子一次分母二次同理)
      y = a x 2 + b x + c d x + e y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e} y=dx+eax2+bx+c
      不妨令 t = d x + e t=dx+e t=dx+e,则 x = t − e d x=\frac{t-e}{d} x=dte,代入方程
      y = a ( t − e d ) 2 + b ( t − e d ) + c t y=\frac{a(\frac{t-e}{d})^2+b(\frac{t-e}{d})+c}{t} y=ta(dte)2+b(dte)+c
      将分子整理后约掉 t t t,就可以出现“积定”的情况,可以用不等式解。

    • 均值不等式 H n ≤ G n ≤ A n ≤ Q n Hn \le G_n \le A_n \le Q_n HnGnAnQn

      1、基本不等式的加权形式 ∗ ^* ∑ i = 1 n w i a i ≥ ∏ i = 1 n a i w i \sum_{i=1}^n w_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{w_i} i=1nwiaii=1naiwi
      其中 ∑ i = 1 n w i = 1 \sum_{i=1}^nw_i=1 i=1nwi=1

      2、一般形式 ∗ ^*

      D ( x ) = ( ∑ i = 1 n a i r n ) 1 r , x ̸ = 0 D(x)=\Bigg ( \frac{\sum_{i=1}^n a_i^r}{n}\Bigg)^{\frac{1}{r}},x \not= 0 D(x)=(ni=1nair)r1x̸=0
      D ( 0 ) = ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n D(0)=\big(\prod_{i=1}^na_i \big)^{\frac{1}{n}} D(0)=(i=1nai)n1
      D ( + ∞ ) = lim ⁡ x → ∞ D ( x ) = m a x { a i } D(+\infty)=\lim_{x\to\infty}D(x)=max\{a_i\} D(+)=xlimD(x)=max{ai}
      D ( − ∞ ) = lim ⁡ x → − ∞ D ( x ) = m i n { a i } D(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}D(x)=min\{a_i\} D()=xlimD(x)=min{ai}
      D ( x ) D(x) D(x) R R R 上连续单调递增。

    • 绝对值不等式 ∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ||a|-|b|| \le |a \pm b| \le |a|+|b| aba±ba+b

    • 柯西不等式 ( ∑ a i b i ) 2 ≤ ( ∑ a i 2 ) ( ∑ b i 2 ) (\sum a_ib_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2) (aibi)2(ai2)(bi2)
      辅助记忆:两个 n n n 维向量模的积 ≥ \ge 它们点积的平方
      推广形式:

      1、卡尔松不等式 ∗ ^*
      从向量推广到矩阵,内容为 m × n m×n m×n 的非负实数矩阵中, n n n 列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中 m m m 行每行元素的几何平均值之和。

      2、赫尔德不等式 ∗ ^*
      ∑ a i b i ≤ ( ∑ a i p ) 1 p ( ∑ b i q ) 1 q \sum a_ib_i \le (\sum a_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum b_i^q)^{\frac{1}{q}} aibi(aip)p1(biq)q1
      其中 p &gt; 1 , p + q = 1 , a i , b i p&gt;1,p+q=1,a_i,b_i p>1p+q=1aibi 均为非负实数。

    • 琴生不等式 ∗ ^*
      f ( x ) f(x) f(x) 为上凸函数,则 f ( ∑ x i n ) ≥ ∑ f ( x i ) n f(\frac{\sum x_i}{n}) \ge \frac{\sum f(x_i)}{n} f(nxi)nf(xi)
      可推出:幂平均不等式 ∗ ^*

    问题

    二元

    凡是给定两变量关系,并求一个带两变量式子的最值的问题,都可以通过换元法化归为求一元的最值问题。
    高中能出现的最复杂的函数一般只到 F ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d e x 3 + f x 2 + g x + h F(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{ex^3+fx^2+gx+h} F(x)=ex3+fx2+gx+hax3+bx2+cx+d
    这种三次分式的形式。
    而求函数最值我们知道求导是通法,但有的情况能更加简便地来求最值。
    接下来通过几个例子分析。

    例1

    已知 x , y &gt; 0 , x 2 + y 2 − x y = 1 x,y&gt;0,x^2+y^2-xy=1 x,y>0x2+y2xy=1,求 x 2 + y 2 + x y x^2+y^2+xy x2+y2+xy 的最大值。

    x 2 + y 2 + x y = x 2 + y 2 − x y + 2 x y = 1 + 2 x y x^2+y^2+xy=x^2+y^2-xy+2xy=1+2xy x2+y2+xy=x2+y2xy+2xy=1+2xy
    问题就变成求 x y xy xy 的最大值。便捷的求法是将给定的等式再变形
    1 − x y = ( x − y ) 2 &gt; = 0 1-xy=(x-y)^2&gt;=0 1xy=(xy)2>=0 当且仅当 x = y x=y x=y 时候取等号。此时 x 2 + y 2 + x y x^2+y^2+xy x2+y2+xy 最大值为 3 3 3

    当然,换元依然是可解的。我们可设 t = x y t=xy t=xy,那么原式变为
    x 2 + t 2 x 2 − t = 1 x^2+\frac{t^2}{x^2}-t=1 x2+x2t2t=1
    可以用二次方程的相关知识求解或者直接借助不等式。
    我认为第一种办法虽然可求,但需要一定变形,比较带有技巧性,不太适合作为一个通法。

    例2

    已知 x , y &gt; 0 , x + y = 2 x,y&gt;0,x+y=2 x,y>0x+y=2,求 x 2 y x^2y x2y 的最大值。

    很明显根据上面的思想,二元换元,转化为求 f ( x ) = x 2 ( 2 − x ) f(x)=x^2(2-x) f(x)=x2(2x) 最大值,三次函数求导难度很低。

    不过这种结构也有均值不等式的解法,由于所求式子中 x 、 y x、y xy 不是齐次的, x x x 占了两份的权,所以我们对条件变形为 x 2 + x 2 + y = 1 \frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y=1 2x+2x+y=1
    然后可以用三元均值不等式。
    事实上,对于目标多项式 x m y n x^my^n xmyn,都可以将已知限制条件 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c 化为 ∑ i = 1 m a x m + ∑ i = 1 n b x n \sum_{i=1}^m\frac{ax}{m}+\sum_{i=1}^n\frac{bx}{n} i=1mmax+i=1nnbx 然后用 m + n m+n m+n 元均值不等式求。

    例3

    (2017·新课标二卷)已知 a 3 + b 3 = 2 , a &gt; 0 , b &gt; 0 a^3+b^3=2,a&gt;0,b&gt;0 a3+b3=2a>0b>0,证明:
    1、 ( a + b ) ( a 5 + b 5 ) ≥ 4 (a+b)(a^5+b^5) \ge 4 (a+b)(a5+b5)4
    2、 a + b ≤ 2 a+b \le 2 a+b2

    第一问换元有点困难,但是一眼柯西,很容易有
    ( a + b ) ( a 5 + b 5 ) ≥ ( a 3 + b 3 ) 2 = 4 (a+b)(a^5+b^5) \ge (a^3+b^3)^2=4 (a+b)(a5+b5)(a3+b3)2=4
    第二问看到题中给的线性关系简单得一批,不用想直接换元 t = a + b t=a+b t=a+b
    a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = t ( t 2 − 3 a b ) = 2 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=t(t^2-3ab)=2 a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=t(t23ab)=2
    a b = t 3 − 2 3 t ≤ t 2 4 ab=\frac{t^3-2}{3t} \le \frac{t^2}{4} ab=3tt324t2
    4 t 3 − 8 ≤ 3 t 3 4t^3-8\le3t^3 4t383t3
    t 3 ≤ 8 , t ≤ 2 t^3\le8,t\le2 t38t2
    这题还有个反证法的做法。不过这里暂不谈此做法。

    例4

    (2017 天津 理)若 a , b ∈ R , a b &gt; 0 , a,b \in R,ab &gt; 0, a,bR,ab>0 a 4 + 4 b 4 + 1 a b \frac{a^4+4b^4+1}{ab} aba4+4b4+1 的最小值。

    直接换元 t = a b &gt; 0 t=ab&gt;0 t=ab>0
    F ( a , t ) = a 4 + 4 t 4 a 4 + 1 t F(a,t)=\frac{a^4+4\frac{t^4}{a^4}+1}{t} F(a,t)=ta4+4a4t4+1
    对于每个确定的 t t t (这是一种重要的思考方法,令某变量为常数来达到二元降一元的目的)
    可知 a 4 + 4 t 4 a 4 ≥ 4 t 2 a^4+\frac{4t^4}{a^4} \ge 4t^2 a4+a44t44t2
    当且仅当 a 2 = 2 t a^2=\sqrt2t a2=2 t 时取等
    所以取到最小值时必有 a 2 = 2 t a^2=\sqrt2 t a2=2 t,接下来研究 t t t 要取到何值
    F ( t ) = 4 t 2 + 1 t F(t)=\frac{4t^2+1}{t} F(t)=t4t2+1
    已经化成了简单的二次分式
    F ( t ) = 4 t + 1 t F(t)=4t+\frac{1}{t} F(t)=4t+t1
    可知最小值为 4 4 4

    例5

    (2015 重庆 文)
    a , b &gt; 0 a,b &gt; 0 a,b>0 a + b = 5 a+b=5 a+b=5,求 a + 1 + b + 3 \sqrt{a+1}+\sqrt{b+3} a+1 +b+3 的最大值。

    先进行常系数换元 x 2 = a + 1 ∈ ( 1 , 6 ) , y 2 = b + 3 ∈ ( 3 , 8 ) x^2=a+1\in(1,6),y^2=b+3\in(3,8) x2=a+1(1,6)y2=b+3(3,8)
    由已知 x 2 + y 2 = 9 x^2+y^2=9 x2+y2=9
    再进行目标多项式换元 t = x + y t=x+y t=x+y
    t 2 = 9 + 2 x y t^2=9+2xy t2=9+2xy 转化为求 x y xy xy 最大值
    然后由均值不等式 x y ≤ x 2 + y 2 2 = 9 2 xy \le \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{9}{2} xy2x2+y2=29
    所以 t ≤ 3 2 t \le 3\sqrt2 t32 ,当且仅当 x = y = 3 2 2 x=y=\frac{3\sqrt2}{2} x=y=232 是取到。取等的情况在取值范围内。

    例6

    已知 a , b a,b a,b 为两个不相等的正数, a 3 − b 3 = a 2 − b 2 a^3-b^3=a^2-b^2 a3b3=a2b2,求 a + b a+b a+b 的取值范围。

    这道题网上很多解答感觉严谨性都不足。这里提供一个较严谨的做法。

    约束可化为 a 2 + b 2 + a b = a + b a^2+b^2+ab=a+b a2+b2+ab=a+b,即 ( a + b ) 2 − ( a + b ) = a b (a+b)^2-(a+b)=ab (a+b)2(a+b)=ab

    换元,设 p = a + b , q = a b p=a+b,q=ab p=a+bq=ab,然后我们将原题对 a , b a,b a,b 的约束等价地加在 p , q p,q pq上。

    a , b a,b ab 可看做方程 x 2 − p x + q = 0 x^2-px+q=0 x2px+q=0 的两根,原题要求

    • a , b &gt; 0 a,b&gt;0 ab>0
    • a ̸ = b a \not= b a̸=b
    • a 2 + b 2 + a b = a + b a^2+b^2+ab=a+b a2+b2+ab=a+b

    加在 p , q p,q pq 上,就变成

    • p , q &gt; 0 p,q &gt; 0 pq>0
    • p 2 &gt; 4 q p^2 &gt; 4q p2>4q
    • p 2 − p = q p^2-p=q p2p=q

    解这个不等式,可得 p ∈ ( 1 , 4 3 ) p\in(1,\frac{4}{3}) p(1,34) q ∈ ( 0 , 4 9 ) q \in (0,\frac{4}{9}) q(0,94)

    总结

    归纳二元问题的解法,无非就两种:

    1、 a , b a,b a,b 之间有约束条件 g ( a , b ) = 0 g(a,b)=0 g(a,b)=0,最大化目标多项式 f ( a , b ) f(a,b) f(a,b)。可以考虑换元转化为单元函数研究最值。

    有时可能很难参变分离化为单元函数的形式,考虑不等式。

    参变分离时注意自变量最好是任意元。

    x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 x + y x+y x+y x y xy xy 这几个项同时存在于约束条件时,注意它们之间取到最值的联系。

    2、 a , b a,b a,b 没有约束,求二元函数 F ( a , b ) F(a,b) F(a,b) 的最值。通常会考圆或椭圆的图像(有上下界),可以考虑通过将一个量看作常量的方法来降为一元。

    多元

    求解多元问题一个很重要的方法即上面提到的将一个量看作常量来降元。这种方法甚至可以结合数学归纳法来证明任意正整数元的情况。

    多元最值的另一个思路就是根据几个经典不等式的基本形态。

    例1

    已知 a , b , c &gt; 0 a,b,c &gt; 0 abc>0,求证 a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 a b c a^3+b^3+c^3 \ge 3abc a3+b3+c33abc

    a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c ) ≥ 0 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge0 a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)0证毕。
    这步因式分解非常巧妙,不熟悉的人经常会无从下手。如果觉得这种思想太突兀,可以考虑降元。
    a , b a,b a,b 为常量,考虑 c c c 的情况,设函数 F ( c ) = c 3 − 3 k c + b F(c)=c^3-3kc+b F(c)=c33kc+b,对其求导,得 F ′ ( c ) = 3 c 2 − 3 k = 0 F&#x27;(c)=3c^2-3k=0 F(c)=3c23k=0
    所以当 c &gt; 0 c &gt; 0 c>0 时, c = k = a b c=\sqrt k=\sqrt {ab} c=k =ab 取到最小。
    由对称性 a 2 = b c , b 2 = a c , c 2 = a b a^2=bc,b^2=ac,c^2=ab a2=bcb2=ac,c2=ab
    ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( a − c ) 2 = 0 (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 (ab)2+(bc)2+(ac)2=0,可得 a = b = c a=b=c a=b=c
    因此最小的情况 a = b = c a=b=c a=b=c,此时 a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c a^3+b^3+c^3=3abc a3+b3+c3=3abc,因此原不等式得证。

    例2

    (2015 江苏)在锐角 △ A B C \triangle ABC ABC 中, sin ⁡ A = 2 sin ⁡ B sin ⁡ C \sin A = 2\sin B\sin C sinA=2sinBsinC,求 tan ⁡ A tan ⁡ B tan ⁡ C \tan A\tan B\tan C tanAtanBtanC 的最小值。

    不等式与三角问题的结合。我们先对条件进行常规的三角变换。
    sin ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ C cos ⁡ B = 2 sin ⁡ B sin ⁡ C \sin B\cos C+\sin C\cos B=2\sin B\sin C sinBcosC+sinCcosB=2sinBsinC
    sin ⁡ B ( cos ⁡ C − sin ⁡ C ) = sin ⁡ C ( sin ⁡ B − cos ⁡ B ) \sin B(\cos C-\sin C)=\sin C(\sin B-\cos B) sinB(cosCsinC)=sinC(sinBcosB)
    tan ⁡ B ( 1 − tan ⁡ C ) = tan ⁡ C ( tan ⁡ B − 1 ) \tan B(1-\tan C)=\tan C(\tan B-1) tanB(1tanC)=tanC(tanB1)
    tan ⁡ B + tan ⁡ C = 2 tan ⁡ B tan ⁡ C \tan B+\tan C=2\tan B\tan C tanB+tanC=2tanBtanC
    然后直接求最值
    tan ⁡ A tan ⁡ B tan ⁡ C = tan ⁡ A + tan ⁡ B + tan ⁡ C = 2 tan ⁡ B tan ⁡ C tan ⁡ B tan ⁡ C − 1 + 2 tan ⁡ B tan ⁡ C \tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=\frac{2\tan B\tan C}{\tan B\tan C-1}+2\tan B\tan C tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanBtanC12tanBtanC+2tanBtanC
    tan ⁡ B tan ⁡ C = t \tan B\tan C = t tanBtanC=t
    2 t t − 1 + 2 t = 2 t 2 t − 1 \frac{2t}{t-1}+2t=\frac{2t^2}{t-1} t12t+2t=t12t2 k = t − 1 k=t-1 k=t1 换元, 2 ( k + 1 ) 2 k = 2 k + 2 k + 4 ≥ 8 \frac{2(k+1)^2}{k}=2k+\frac{2}{k}+4 \ge 8 k2(k+1)2=2k+k2+48
    当且仅当 t = 2 t=2 t=2 时取到。可以验证等号是取得到的。

    优化与考场加速(奇技淫巧)

    一般情况下,不等式快于换元求导、降元求导
    所以即使知道通法,也要熟练各种不等式的变式,又快又能保证正确性,在考场就能更快做出题目。

    常系数代换法

    例1

    已知 2 x + y = 3 2x+y=3 2x+y=3,求 1 x + 1 y \frac{1}{x}+\frac{1}{y} x1+y1 的最小值。

    1 x + 1 y = ( 2 x + y ) ( 1 x + 1 y ) 3 = 3 + 2 x y + y x 3 = 1 + 2 x y + y x ≥ 1 + 2 2 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{(2x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}{3}=\frac{3+\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}}{3}=1+\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}\ge1+2\sqrt2 x1+y1=3(2x+y)(x1+y1)=33+y2x+xy=1+y2x+xy1+22
    这种常系数代换法要快于换元解二次分式。
    适用范围: x a x^a xa x − a x^{-a} xa 同时出现的情况。

    反证法

    卡很久不知道怎么做,就想想反证吧。

    例1

    已知 x , y &gt; 0 x,y&gt;0 x,y>0 x + y &gt; 2 x+y&gt;2 x+y>2,求证 x + 1 y &gt; 2 \frac{x+1}{y} &gt; 2 yx+1>2 y + 1 x &gt; 2 \frac{y+1}{x} &gt; 2 xy+1>2 不会同时成立。

    假设同时成立。
    那么 x + 1 &gt; 2 y x+1&gt;2y x+1>2y 并且 y + 1 &gt; 2 x y+1&gt;2x y+1>2x
    对加一下 x + y &lt; 2 x+y &lt; 2 x+y<2 ,矛盾,所以原命题成立。

    放缩法

    例1

    证明数列 ∑ i = 1 n 1 i \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} i=1ni1 发散。

    这个问题不是最值问题,但也有关系(证明“无最值”)。
    对于这个式子,我们可以将其缩小
    1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . ≥ 1 + 1 2 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + . . . 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+... 1+21+31+41+51+...1+21+21+41+41+41+41+...
    后面那个式子是发散的。所以原式是发散的。

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空空如也

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