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  • 在二维的图像中,很多曲线难以直接地表示为y=y(x)的形式(如旋轮线),此时我们往往采取用参数表示的方法去描述曲线,而用参数方程去描述曲率半径公式较为复杂,且难以记忆。本文将采用物理的理解方法,并利用部分...

    在二维的图像中,很多曲线难以直接地表示为y=y(x)的形式(如旋轮线),此时我们往往采取用参数表示的方法去描述曲线,而用参数方程去描述曲率半径的公式较为复杂,且难以记忆。本文将采用物理的理解方法,并利用部分线性代数知识来理解并巧记曲率半径的参数表示公式。

    曲率半径的参数表示

    1

    线性代数与矢量运算的相关知识回顾:

    1、叉乘:两矢量叉乘得到一个新的矢量,其方向由右手螺旋法则来确定,其大小为两个矢量模长相乘并乘以两矢量的夹角正弦值,也可理解为:以这两个矢量为临边所形成的的平行四边形面积

    d249ce5ca2d4a9b5572c41ccaca53075.png

    例如上图中,平面内两个向量a×b所得向量大小即为absinθ,也可理解为平行四边形面积,方向垂直纸面向外

    2、二阶行列式:二阶行列式的几何意义是两个矢量作为临边所形成的的平行四边形面积

    7c3294fbe55d04eac024e0084e5707e4.png

    将上图的两向量写为列向量的形式:

    e08a088dc9bdb024accdeee70a553cde.png

    列出行列式(并取绝对值):

    32ad7c9bef9838ebbfffe2807f4c777a.png

    此即该平行四边形的面积

    3、结论:综合前两条可知,两个向量叉乘的模长与此二向量组成的行列式的绝对值相同。因此,在给定的平面内,两矢量叉乘所得矢量的模长可表示为行列式的形式,以上图为例,即:

    6c1be454c534b61b66d36598f255f5c6.png

    2

    为了与物理直观建立联系,我们将刻画曲线的参数取为时间t,利用物理中的运动学关系:

    向心加速度=速度平方除以曲率半径

    36001ef0b6cba1ffc54e87f40c60f3ca.png

    移项可得:

    f0250f3de61276dd0f59850a2edb24e6.png

    3

    考虑任意一个运动过程:a为加速度,v为速度

    c5919ef8e98fd2b1686e6801d404aef6.png

    记速度方向(即切向)的单位向量为τ(方向沿速度方向,大小为1)

    7bc3ae848ebf19e44095babba43252df.png

    有如下几何关系

    94abec3d8e53e8194a3e8bd7baba613f.png

    考虑到第一部分所述的叉乘与正弦之间的关系,可以进一步改写为:

    5b3ec17588b924044640cedc72e119fd.png

    带入第二部分我们已经得到的公式:

    f0250f3de61276dd0f59850a2edb24e6.png

    最终得到:

    f0c5487b59dd9ec914ab00e8fce7a1f8.png

    4

    以时间t为参数,v与a作为向量可以被写为(按列向量处理):

    12c0d93f472cd0a33e5fd99e9cbfa3f2.png

    回顾第一部分我们得到的结论,此二向量叉乘的结果可表示为:

    a89d97ac3d90e5ec22527b539b234c00.png

    带入曲率半径表达式,得到最终结果:

    9589a870721e928716bb4db4bdd62fba.png

    虽然我们选取的参数是具有物理意义的时间t,但在数学上无论用什么参数去刻画,本质上是等价的,因此最后得到的结论是具有普适性的

    笔者认为,此方法通过结合物理意义,不仅给出了一种快速推导曲率半径参数公式的方法,更重要的是若将二维曲线改为三维曲线,此时只能用参数去刻画空间曲线,而此公式的前半部分推导结果依然成立,具有更强的普适性

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  • 初见公式略显陌生,直到想起曲率半径的计算公式时才想明白,故记录如下。def cal_curverature(img_shape, left_fit, right_fit):ploty=np.linspace(0, img_shape[0]-1, num=img_shape[0])ym_per_pix = 30/...

    学习优达学城的Advanced-Lane-Lines课程时,碰到了车道线的曲率半径计算。初见公式略显陌生,直到想起曲率半径的计算公式时才想明白,故记录如下。

    def cal_curverature(img_shape, left_fit, right_fit):

    ploty=np.linspace(0, img_shape[0]-1, num=img_shape[0])

    ym_per_pix = 30/720 # meters per pixel in y dimension

    xm_per_pix = 3.7/700 # meters per pixel in x dimension

    # Fit new polynomials to x,y in world space

    y_eval = np.max(ploty)

    leftx=left_fit[0]*ploty**2+left_fit[1]*ploty+left_fit[2]

    rightx=right_fit[0]*ploty**2+right_fit[1]*ploty+right_fit[2]

    left_fit_cr = np.polyfit(ploty*ym_per_pix, leftx*xm_per_pix, 2)

    right_fit_cr = np.polyfit(ploty*ym_per_pix, rightx*xm_per_pix, 2)

    # Calculate the new radii of curvature

    left_curverad = ((1 + (2*left_fit_cr[0]*y_eval*ym_per_pix + left_fit_cr[1])**2)**1.5) / np.absolute(2*left_fit_cr[0])

    right_curverad = ((1 + (2*right_fit_cr[0]*y_eval*ym_per_pix + right_fit_cr[1])**2)**1.5) / np.absolute(2*right_fit_cr[0])

    xoffset=(left_fit_cr[2]+right_fit_cr[2])/2-img.shape[1]*xm_per_pix/2

    return left_curverad, right_curverad, xoffset

    一、曲率半径公式及推导

    5101b3c7d248a68d6f395e6c983d3f67.png

    详细推导过程如下:

    3af801d469c55af287cce89f4f14d725.png

    4dda14fd76a12e2f55d4e0adbf69ff3c.png

    二、利用公式计算拟合车道线的曲率半径

    假设车道线方程为二次拟合曲线:

    x = a*y*y + b*y +c

    则在y米远处,曲率半径为:

    c06ae0baced571f42e3067c112e0cbb0.png

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    学习优达学城的Advanced-Lane-Lines课程时,碰到了车道线的曲率半径计算。初见公式略显陌生,直到想起曲率半径的计算公式时才想明白,故记录如下。

    def cal_curverature(img_shape, left_fit, right_fit):
        ploty=np.linspace(0, img_shape[0]-1, num=img_shape[0])
        ym_per_pix = 30/720 # meters per pixel in y dimension
        xm_per_pix = 3.7/700 # meters per pixel in x dimension
    # Fit new polynomials to x,y in world space
        y_eval = np.max(ploty)
        leftx=left_fit[0]*ploty**2+left_fit[1]*ploty+left_fit[2]
        rightx=right_fit[0]*ploty**2+right_fit[1]*ploty+right_fit[2]
        left_fit_cr = np.polyfit(ploty*ym_per_pix, leftx*xm_per_pix, 2)
        right_fit_cr = np.polyfit(ploty*ym_per_pix, rightx*xm_per_pix, 2)
    # Calculate the new radii of curvature
        left_curverad = ((1 + (2*left_fit_cr[0]*y_eval*ym_per_pix + left_fit_cr[1])**2)**1.5) / np.absolute(2*left_fit_cr[0])
        right_curverad = ((1 + (2*right_fit_cr[0]*y_eval*ym_per_pix + right_fit_cr[1])**2)**1.5) / np.absolute(2*right_fit_cr[0])
        xoffset=(left_fit_cr[2]+right_fit_cr[2])/2-img.shape[1]*xm_per_pix/2
        return left_curverad, right_curverad, xoffset

    一、曲率半径公式及推导

     

    详细推导过程如下:

    曲率求解图

     

    二、利用公式计算拟合车道线的曲率半径

    假设车道线方程为二次拟合曲线:

    x = a*y*y + b*y +c

    则在y米远处,曲率半径为:

     

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    大家看了小编上一篇浅谈π与e的关系的文章,是不是还意犹未尽呢?下面小编将从初等数学的角度带大家推导一下曲率中心和半径的公式。

    公式

    曲率半径:

    ecb082c67bf265f2ec4fa3ff83e05ce7.png

    曲率半径公式

    曲率中心:

    9b49e07bbcb7de1be35b4f7b349c0b8d.png

    曲率中心公式

    定义

    类比于圆的两切线的垂直平分线交于圆心,我们假设任一曲线无限接近于一点P(x。,y。)的两切线的垂直平分线也交于一点,如下图

    4b3324a32246f4f043b3a63cbd839bba.png

    示例图形

    推导过程

    有了定义,那我们就直接开门见山,开始推导曲率中心的公式吧:

    l1:y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)

    l2:y-f(x。+Δ x)=-(1/f'(x。+Δ x))[x-(x。+Δ x)] ,其中Δ x->0

    我们把y消去后就可以得到

    f(x。)-(x-x。)/f'(x。)=f(x。+Δ x)-[x-(x。+Δ x)]/f'(x。+Δ x)

    移项得

    {[f'(x。+Δ x)-f'(x。)](x-x。)-f'(x。)Δ x}/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f(x。+Δ x)-f(x。)——(1)式

    由于当Δ x->0时,有

    f'(x。)=[f(x。+Δ x)-f(x。)]/Δ x

    f''(x。)=[f'(x。+Δ x)-f'(x。)]/Δ x

    因此(1)式等号两边同除Δ x->0得

    [f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f'(x。) ——(2)式

    由于Δ x->0,

    因此,f'(x。+Δ x)=f'(x。)

    所以(2)式可以写成

    [f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)^2)=f'(x。)

    移项得

    x=x。-[f'(x。)^3+f'(x。)]/f''(x。)

    代入y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)得

    y=f(x。)+[f'(x。)+1]/f''(x。)

    至此,曲率中心的公式就推导出来了

    f7dd57023e8a6c81839a24bba0576883.png

    曲率中心公式

    由距离公式得

    r=|PM|,其中P的坐标是(x。,y。),M的坐标就是曲率中心,我们不难得到曲率半径的公式

    6685df5d96a289978b07e6225126bb92.png

    曲率半径公式

    哈哈,怎么样?是不是简单易懂,其实很多复杂的微积分都可以变得很简单,只要你勇于探索,你就可以发现更多美妙的方法。

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