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  • 现代控制理论基础
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    2017-10-22 01:22:14

    现代控制理论基础总结(线性部分)

    学习现代控制理论也有两个月的时间了,里面涉及的基础内容和公式十分之多,所以现在对各部分基础知识作一个总结。

    1、控制系统的状态表达式

    在现代控制理论中,状态空间这是基础,如何从日常生活中系统推导出状态空间表达式十分重要。

    1.1、从实际系统建立状态空间方程

    直流电动机示意图

    上图是一个直流电机的示意图,图中R,L为电枢回路的电阻和电感,J为旋转机械部分转动惯量,B为旋转部分粘性摩擦系数
    建立状态方程首先要选取独立的系统变量,这里选取电流i和旋转速度w,即:
    这里写图片描述
    上述动力学方程是基于转矩平衡方程得出, Jdwt 为电机转动力矩, Bw 为负载力矩, Kai 为电机输出力矩。
    所以将 x1=i,x2=w 代入上式可得:
    这里写图片描述

    1.2、从n阶微分方程建立状态方程

    引用现代控制理论中的公式:
    这里写图片描述
    我们知道状态方程的标准形式如下:
    这里写图片描述
    式1.19中
    m<n 时,状态方程中 D=0
    m=n 时,状态方程中 D=bm0

    1.2.1、传递函数没有零点时的实现

    例:对于下式微分方程

    y...+6y¨+41y˙+7y=6u

    选取独立变量 y/6 y˙/6 y¨/6 ,即 x1=y/6 x2=y˙/6 x3=y¨/6
    因此有:
    x˙1=y˙/6=x2

    x˙2=y¨/6=x3

    x˙3=y.../6=7x141x26x3+u

    可得矩阵方程:
    x˙1x˙2x˙3=0071041016x1x2x3+001u

    输出矩阵:
    y=6x1=[600]x1x2x3

    1.2、状态变量的线性变换(坐标变换)

    对于原状态矢量 x ,总是可以找到非奇异矩阵T作线性变换,得到新矢量 z
    即:

    z=T1x

    将上式代入状态方程可得:
    这里写图片描述

    1.2.1、非奇异矩阵 T 求解

    1、求系统特征值
    对于系统
    这里写图片描述
    可知其特征方程:

    |λIA|=0

    存在特征矢量方程:
    1)当特征值 λ 不存在重根时
    λiPi=APi

    2)当特征值 λ 存在重根时
    λi1PiAPi=Pi1

    因此当A是3阶矩阵时得:
    T=[P1P2P3]

    2、系统为约旦标准型
    这里写图片描述
    注意上式中J=A中A并非原状态方程A,存在等式:
    这里写图片描述
    J=T1AT
    例如以下例题:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    P3 P1 求法相同,可得T:
    这里写图片描述
    自然约旦方程的各个系数就可以根据T求出。
    3、系统A为标准型
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    这里写图片描述
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