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2019-08-06 11:31:15
题目1：给你一个数列a， a 1 = 2 a_{1}=\sqrt{2} a1=2， a i + 1 = 2 + a i a_{i+1}=\sqrt{2+a_{i}} ai+1=2+ai，证明a的极限存在。
分析：
证明极限存在只需要先证明数列或函数有上（下）界，再证明数列或函数单调递增（减）。这道题如果在草稿纸上把数列的前几项写出来，就能很容易发现整个数列是单调递增的，接下来只需要证明数列有上界即可。通过数学归纳法，可以很容易的证明数列的上界是2。
题目2：给你一个数列a， a 1 = 2 a_{1}=2 a1=2， a i + 1 = 1 2 ( a i + 1 a i ) a_{i+1}=\frac{1}{2}(a_{i}+\frac{1}{a_{i}}) ai+1=21(ai+ai1)，证明a的极限存在。
分析：
这道题可以很明显地看出下界，因为 x + 1 x ≥ 2 x+\frac{1}{x} \ge 2 x+x1≥2，所以下界是1，之后只需要证明数列单调递减即可。证明单调递减也非常简单，直接证明 a i + 1 − a i ≤ 0 a_{i+1}-a_{i} \le 0 ai+1−ai≤0即可。
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那么如何进行判断呢？
极限存在的简单理解：
如果能够最终 计算出一个值，并且 这个值 不是无穷 ，那么极限就是存在的；
极限不存在的简单理解：
如果最终计算不出一个具体的值，或者 结果是 无穷，那么称作：极限不存在
方面记忆，用图像表示上面的意思：
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极限存在的七种情况为:
1 数列的极限
2 趋近于x0的极限
3 趋近于x0+的极限
4 趋近于x0-的极限
5 趋近于无穷的极限
6 趋近于无穷大的极限
7 趋近于无穷小的极限δ ε X N M
首先我们来说说这几个符号的意思
δ：表示了x和x0的趋近程度（越小越好）
ε：极限存在的时候表示极限和a的趋近程度（越小越好）
X:用于自变量趋于无穷大的时候使用（越大越好）
N:数列的极限使用（越大越好，表示这一项的以后/xn-a/<ε）(越大越好)
M:表示一个任意大的数字，然后极限比他还大，来表示极限不存在（越大越好）
下面需要注意的是，当x趋于x0的时候，x永远不会等于0。
ε一定是一个给定的正数。
/xn-a/<ε为
a-ε<xn<a+ε (xn和a在数轴上的距离小于ε)极限存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=a的定义;
∀ ε>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 /xn-a/<ε limf(x)=a;(x趋于x0)
∀ ε>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 /f(x)-a/<ε limf(x)=a;(x趋于x0+)
∀ ε>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 /f(x)-a/<ε limf(x)=a;(x趋于x0-)
∀ ε>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0时 /f(x)-a/<ε limf(x)=a;(x趋于∞)
∀ ε>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 /f(x)-a/<ε imf(x)=a;(x趋于+∞)
∀ ε>0 ∃ X >0 当 x>X时 /f(x)-a/<ε imf(x)=a;(x趋于-∞)
∀ ε>0 ∃ X >0 当 x<-X时 /f(x)-a/<ε 极限不存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=∞的定义;
∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 /xn/>M limxn(n趋于无穷大)=+∞的定义;
∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 xn>M limxn(n趋于无穷大)=-∞的定义;
∀ M>0 ∃ N∈N+ 当 n>N时 xn<-M limf(x)=∞;(x趋于x0)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 /f(x)/>M limf(x)=+∞;(x趋于x0)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 f(x)>M limf(x)=-∞;(x趋于x0)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 0</x-x0/<δ 时 f(x)<-M limf(x)=∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 /f(x)/>M limf(x)=+∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 f(x)>M limf(x)=-∞;(x趋于x0+)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0<x<x0+δ 时 f(x)<-M limf(x)=∞;(x趋于x0-)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0时 /f(x)/>M limf(x)=+∞;(x趋于x0-)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0时 f(x)>M limf(x)=-∞;(x趋于x0-)
∀ M>0 ∃ δ >0 当 x0-δ<x<x0时 f(x)<-M limf(x)=∞;(x趋于∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 /f(x)/>M limf(x)=+∞;(x趋于∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 f(x)>M limf(x)=-∞;(x趋于∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 /x/>X时 f(x)<-M imf(x)=∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 /f(x)/>M imf(x)=+∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 f(x)>M imf(x)=-∞;(x趋于+∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 x>X时 f(x)<-M imf(x)=∞;(x趋于-∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 x<-X时 /f(x)/>M imf(x)=+∞;(x趋于-∞)
∀ M>0 ∃ X >0 当 x<-X时 f(x)>M imf(x)=-∞;(x趋于-∞)
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极限存在意味着存在一个有2113限大的数，使得在某点5261附近的4102小临域内的函数值与这个1653有限大的数的差的绝对值小于任何事先规定的任意小的正数。
极限的定义什么我就不讲了，就讲你迷惑的那里。极限存在意味着极限是有限值。
如果分式中分母趋于0，而分子不趋于0的话，分子可能为一个非零的有限值，也可能为无穷大不管哪种情况。
非零的有限值除以无穷小=无穷大，无穷大除以无穷小=无穷大，都不是有限值。也就是极限不存在。
所以反过来就知道
分式中分母趋于0就可以推出分子也趋于0，
而无穷小除以无穷小是有可能有极限的。
Q2：为什么极限存在，分子的极限为0
因为极限存在证明极限是个常数，而当分母极限为无穷小时，要使得整个分式为常数，分子只能为分母的同介无穷小才可以，所以既然分子是无穷小，那么分子极限自然是零
Q3：为什么一个分式的极限存在，如果分母趋近于0，分子就必须趋近0呢？
如果分母不是0的话，那么当x趋于0时，分母就为一个确定的常数。
一个常数/x,当x趋于0的话极限就不存在了，与原题矛盾了。所以其分母必然为0
Q4：为什么分子极限要等于0
由题设条件知极限存在，当x--0时，分子趋于0，故分母也必须趋于0极限才存在，横线上说的意思分子趋于0显而易见，是为了由此得出分母趋于0的，
Q5：原极限存在且分母的极限是0，为什么分子的极限也应该为0？
是，因为如果分子极限为非零常数或没有极限，则原极限肯定不存在
Q6：函数极限存在且不为0，分子极限为0，分母极限为什么一定为0?
根据洛必达法则，只有当分子分母都为0或者无穷时才可以用洛必达法则求极限，现在就是反过来而已，或者你也可以这样证明
Q7：为什么说分母的极限是0，那分子的极限也是0
如果分子分母的极限可导，那么用罗必塔法则上下求导，然后再进行比对。
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