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  • 极限存在性证明
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    2019-08-06 11:31:15

    题目1:给你一个数列a, a 1 = 2 a_{1}=\sqrt{2} a1=2 a i + 1 = 2 + a i a_{i+1}=\sqrt{2+a_{i}} ai+1=2+ai ,证明a的极限存在。

    分析:

    证明极限存在只需要先证明数列或函数有上(下)界,再证明数列或函数单调递增(减)。这道题如果在草稿纸上把数列的前几项写出来,就能很容易发现整个数列是单调递增的,接下来只需要证明数列有上界即可。通过数学归纳法,可以很容易的证明数列的上界是2。

    题目2:给你一个数列a, a 1 = 2 a_{1}=2 a1=2 a i + 1 = 1 2 ( a i + 1 a i ) a_{i+1}=\frac{1}{2}(a_{i}+\frac{1}{a_{i}}) ai+1=21(ai+ai1),证明a的极限存在。

    分析:

    这道题可以很明显地看出下界,因为 x + 1 x ≥ 2 x+\frac{1}{x} \ge 2 x+x12,所以下界是1,之后只需要证明数列单调递减即可。证明单调递减也非常简单,直接证明 a i + 1 − a i ≤ 0 a_{i+1}-a_{i} \le 0 ai+1ai0即可。

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    在高等数学中,求解极限的时候,会有两种结果,第一种是极限存在,第二种是极限不存在;

    那么如何进行判断呢?


    极限存在的简单理解:

                  如果能够最终 计算出一个值并且 这个值 不是无穷 ,那么极限就是存在的;


    极限不存在的简单理解:

                  如果最终计算不出一个具体的值,或者 结果是 无穷,那么称作:极限不存在


    方面记忆,用图像表示上面的意思:

                  



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    极限

    极限存在的七种情况为:
    1 数列的极限
    2 趋近于x0的极限
    3 趋近于x0+的极限
    4 趋近于x0-的极限
    5 趋近于无穷的极限
    6 趋近于无穷大的极限
    7 趋近于无穷小的极限

    δ ε X N M
    首先我们来说说这几个符号的意思
    δ:表示了x和x0的趋近程度(越小越好)
    ε:极限存在的时候表示极限和a的趋近程度(越小越好)
    X:用于自变量趋于无穷大的时候使用(越大越好)
    N:数列的极限使用(越大越好,表示这一项的以后/xn-a/<ε)(越大越好)
    M:表示一个任意大的数字,然后极限比他还大,来表示极限不存在(越大越好)
    下面需要注意的是,当x趋于x0的时候,x永远不会等于0。
    ε一定是一个给定的正数。
    /xn-a/<ε为
    a-ε<xn<a+ε (xn和a在数轴上的距离小于ε)

    极限存在的定义

    limxn(n趋于无穷大)=a的定义;

    ∀ ε>0∃ N∈N+当 n>N时/xn-a/<ε

    limf(x)=a;(x趋于x0)

    ∀ ε>0∃ δ >0当 0</x-x0/<δ 时/f(x)-a/<ε

    limf(x)=a;(x趋于x0+)

    ∀ ε>0∃ δ >0当 x0<x<x0+δ 时/f(x)-a/<ε

    limf(x)=a;(x趋于x0-)

    ∀ ε>0∃ δ >0当 x0-δ<x<x0/f(x)-a/<ε

    limf(x)=a;(x趋于∞)

    ∀ ε>0∃ X >0当 /x/>X时/f(x)-a/<ε

    imf(x)=a;(x趋于+∞)

    ∀ ε>0∃ X >0当 x>X时/f(x)-a/<ε

    imf(x)=a;(x趋于-∞)

    ∀ ε>0∃ X >0当 x<-X时/f(x)-a/<ε

    极限不存在的定义

    limxn(n趋于无穷大)=的定义;

    ∀ M>0∃ N∈N+当 n>N时/xn/>M

    limxn(n趋于无穷大)=+∞的定义;

    ∀ M>0∃ N∈N+当 n>N时xn>M

    limxn(n趋于无穷大)=-∞的定义;

    ∀ M>0∃ N∈N+当 n>N时xn<-M

    limf(x)=;(x趋于x0)

    ∀ M>0∃ δ >0当 0</x-x0/<δ 时/f(x)/>M

    limf(x)=+∞;(x趋于x0)

    ∀ M>0∃ δ >0当 0</x-x0/<δ 时f(x)>M

    limf(x)=-∞;(x趋于x0)

    ∀ M>0∃ δ >0当 0</x-x0/<δ 时f(x)<-M

    limf(x)=;(x趋于x0+)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0<x<x0+δ 时/f(x)/>M

    limf(x)=+∞;(x趋于x0+)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0<x<x0+δ 时f(x)>M

    limf(x)=-∞;(x趋于x0+)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0<x<x0+δ 时f(x)<-M

    limf(x)=;(x趋于x0-)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0-δ<x<x0/f(x)/>M

    limf(x)=+∞;(x趋于x0-)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0-δ<x<x0f(x)>M

    limf(x)=-∞;(x趋于x0-)

    ∀ M>0∃ δ >0当 x0-δ<x<x0f(x)<-M

    limf(x)=;(x趋于∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 /x/>X时/f(x)/>M

    limf(x)=+∞;(x趋于∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 /x/>X时f(x)>M

    limf(x)=-∞;(x趋于∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 /x/>X时f(x)<-M

    imf(x)=;(x趋于+∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x>X时/f(x)/>M

    imf(x)=+∞;(x趋于+∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x>X时f(x)>M

    imf(x)=-∞;(x趋于+∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x>X时f(x)<-M

    imf(x)=;(x趋于-∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x<-X时/f(x)/>M

    imf(x)=+∞;(x趋于-∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x<-X时f(x)>M

    imf(x)=-∞;(x趋于-∞)

    ∀ M>0∃ X >0当 x<-X时f(x)<-M

    应用:在这里插入图片描述

    极限的唯一性

    (证明)

    在这里插入图片描述
    对于为何取(b-a)/2
    在这里插入图片描述

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    Q1:极限存在的条件是什么?为什么分式中分母等于0就可以推出分子也等于0?

    极限存在意味着存在一个有2113限大的数,使得在某点5261附近的4102小临域内的函数值与这个1653有限大的数的差的绝对值小于任何事先规定的任意小的正数。

    极限的定义什么我就不讲了,就讲你迷惑的那里。极限存在意味着极限是有限值。

    如果分式中分母趋于0,而分子不趋于0的话,分子可能为一个非零的有限值,也可能为无穷大不管哪种情况。

    非零的有限值除以无穷小=无穷大,无穷大除以无穷小=无穷大,都不是有限值。也就是极限不存在。

    所以反过来就知道

    分式中分母趋于0就可以推出分子也趋于0,

    而无穷小除以无穷小是有可能有极限的。

    Q2:为什么极限存在,分子的极限为0

    因为极限存在证明极限是个常数,而当分母极限为无穷小时,要使得整个分式为常数,分子只能为分母的同介无穷小才可以,所以既然分子是无穷小,那么分子极限自然是零

    Q3:为什么一个分式的极限存在,如果分母趋近于0,分子就必须趋近0呢?

    如果分母不是0的话,那么当x趋于0时,分母就为一个确定的常数。

    一个常数/x,当x趋于0的话极限就不存在了,与原题矛盾了。所以其分母必然为0

    Q4:为什么分子极限要等于0

    由题设条件知极限存在,当x--0时,分子趋于0,故分母也必须趋于0极限才存在,横线上说的意思分子趋于0显而易见,是为了由此得出分母趋于0的,

    Q5:原极限存在且分母的极限是0,为什么分子的极限也应该为0?

    是,因为如果分子极限为非零常数或没有极限,则原极限肯定不存在

    Q6:函数极限存在且不为0,分子极限为0,分母极限为什么一定为0?

    根据洛必达法则,只有当分子分母都为0或者无穷时才可以用洛必达法则求极限,现在就是反过来而已,或者你也可以这样证明

    Q7:为什么说分母的极限是0,那分子的极限也是0

    如果分子分母的极限可导,那么用罗必塔法则上下求导,然后再进行比对。

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空空如也

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