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  • 欧氏空间

    2020-10-16 09:00:57
    一句话总结:欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广(从n<=3推广到有限n维空间)。 https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created

    一句话总结:欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广(从n<=3推广到有限n维空间)。

    https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created

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  • 欧氏空间与非欧氏空间

    千次阅读 2020-05-21 21:49:45
    欧氏空间 约在公元前300年,古希腊数学家欧几里德建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里德几何。欧几里德首先开创了处理平面上二维物体的平面几何,接着分析三维物体的立体几何,所有欧几里德的公理已被...

    欧氏空间

    约在公元前300年,古希腊数学家欧几里德建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里德几何。欧几里德首先开创了处理平面上二维物体的平面几何,接着分析三维物体的立体几何,所有欧几里德的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里德空间的抽象数学空间中。

    这些数学空间可以被扩展而应用于任何有限维度,这种空间叫做n维欧几里德空间(简称n维空间)或有限维实内积空间

    简单来说,欧式空间就是二维空间三维空间以及继承三维空间定理的N维空间

    非欧氏空间

    爱因斯坦曾经形象地比喻过非欧几何

    假设有一种生活在二维平面的生物,但它们不是生活在绝对的平面上,而是生活在一个球面上,那么,当它们在小范围内研究圆周率的时候,会像我们一样发现圆周率是3.1415926……

    但是,如果它们画一个很大的圆,去测量圆的周长和半径,就会发现周长小于2πr,圆越大,周长比2πr小得越多。为了能够适用于大范围的研究,它们就必须修正它们的几何方法。

    如果空间有四维,而我们生活的三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲,那我们的几何就必须进行修正,这就是非欧几何。在非欧几何中,平行的直线只在局部平行,就像地球的经线只在赤道上平行一样。

    二维生物画圆的解释如下:

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  • 题图来源:https://zhidao.baidu.com/question/495472211249527164.html对于高于3维的欧氏空间没有直观...(关于向量空间的内容可查看知之子:向量空间的定义|线性代数漫步(三))下面叙述仿射空间和欧氏空间(这...

    题图来源:https://zhidao.baidu.com/question/495472211249527164.html

    对于高于3维的欧氏空间没有直观的描述,这些概念的建立需要借助于向量空间和适当的公理系统。


    元数组的集合
    中,规定欧几里得内积如下:

    是一个
    维欧氏向量空间。

    (关于向量空间的内容可查看知之子:向量空间的定义|线性代数漫步(三))

    下面叙述仿射空间和欧氏空间(这里的“欧氏空间”与上文的欧氏向量空间是两个不同的概念,给出定义后会详细说明)。

    • 非人话定义1.1:
      维向量空间,
      是一个非空集合,
      中的元素称为点。如果存在一个映射
      ,把
      中任意一对有序点
      映射到
      中的一个向量
      ,且满足以下条件:
      • ,存在唯一的点
        ,使得
      • ,恒等式
        成立。

    则称

    仿射空间
    是仿射空间
    伴随的向量空间

    要理解这一堆话说了啥,就需要把脑子里面以前对点、向量这些建立起来的直观概念压一压,从集合、映射的角度来把这些抽象表达掰开揉碎了消化。

    中的元素称为“点”并没有什么非此不可的理由,只是为了与后面将要给出的欧氏空间的定义相配合,毕竟以前欧氏空间中的元素都是称作“点”的。这就像向量空间中的元素称作“向量”一样。它只是一个名字,并不一定要跟它以前的直观意义搭得上。

    映射

    中两个元素组成一个有序对(
    这个符号就是表示集合
    两个集合元素组成的有序对的集合),然后能够唯一确定到
    中的一个元素。这个映射满足第一个条件是说,对于有序对
    ,映射的像都是向量空间
    中的零元素
    。剩下两个条件也很好解读,这里就不赘述了。

    如果在仿射空间

    中取定一点
    ,则从定义可知,空间
    中的点与伴随的向量空间
    中的元素是一一对应的:

    此时,把取定的点

    称为空间
    的原点,向量
    称为点
    的向径。这些向径都有同一个固定起点

    当然,如果不取定原点,那么空间

    中可能有不止一对有序点能够映到
    中同一个向量上。这一点是很显然的,直观上来看,就是长度和方向分别相同的两条有向线段可以代表同一个向量。如下图,由
    经映射
    到一个向量
    ,由
    映射到一个向量,但是一般这两个像定义为同一个元素。

    366dcc36f72e79b5be27482363860473.png
    有向线段的平行移动

    定义1.1的条件(2)还表明,每一个向量

    给出了一个
    到其自身的变换。这个变换把任意一个元素
    映为
    ,并使得
    此处有一个需要着重理解的地方,就是集合
    中的“元素”
    现在可以看成一个“映射”
    。顺便一提,这个变换也有一个直观的名字叫“平行移动”。
    • 定义1.2:
      维仿射空间,
      是其伴随的向量空间。任取
      中一点
      中的一组基底
      ,称
      是仿射空间中
      的一个
      标架

    在仿射空间

    中取定一个标架
    就相当于在
    中建立了一个坐标系。此时点
    元实数组
    建立了一一对应的关系:

    实数组

    就称为点
    在标架
    下的坐标,或点
    关于标架
    的坐标。

    点与实数组的这种一一对应关系依赖于选取的标架,不同的标架会使得同一个

    点跟不同的实数组对应。当然,只要取定标架,
    中的点跟实数组的对应关系就建立好了。
    • 定义1.3
      维欧氏向量空间,则以
      为伴随向量空间的仿射空间称为
      维欧氏空间,记作
      。欧氏空间中任意两点之间的距离定义为

    可以看出,

    关于这样定义的距离函数
    成为度量空间。(度量空间的定义在网上很容易查到,比如度量空间_百度百科或者参看Roman, S., Advanced linear algebra, third edition, Springer, 2008.)

    需要强调的是仿射空间、欧氏空间是点的空间,而向量空间、欧氏向量空间是向量的空间。向量之间有代数运算(如加法),而我们没有在点与点之间定义代数运算。上文中,就连点与点之间的距离都是通过伴随的向量空间中的内积定义的。点与向量的联系是通过定义1.1中的条件建立起来的,并且仿射空间和它所伴随的向量空间作为集合而言是可以建立一一对应的。

    对于

    维向量空间来说,它还有一个特殊的身份,就是
    维向量空间也可以是一个
    维仿射空间,如下——

    。对于任意的
    ,令映射

    右端的运算是向量空间中的减法。显然,当

    时,

    于是仿射空间的第一个条件满足。

    对于

    ,使得
    是唯一确定的,它就是
    。于是第二个条件也满足。

    对于

    这下三个条件都齐齐整整了。因此

    维仿射空间,它的伴随向量空间是作为向量空间的

    从上面的叙述可以知道,

    元数组的集合
    具有多重身份。首先,这是一个
    维向量空间。定义欧几里得内积之后,它也是一个
    维欧氏向量空间。

    中的元素看作一个“点”,则按照刚刚叙述的,它也是一个仿射空间,它的伴随向量空间就是作为
    维向量空间的它自己。

    这个集合具有如此的“精神分裂症”在数学中是很常见的。对于同一个集合,赋予不同性质的运算、关注它不同的方面,就能给它贴上某种“空间”或者某种“代数结构”的标签。比如,全体整数集合

    可以构成整数加群
    ,带有乘法之后,又是一个整数环
    。此外,刚刚研究过的
    也可以构成一个加群
    ,事实上这是它作为向量空间的基础。
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  • 展开全部联系:线性空间32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333431366264中的向量对应于欧几里得平面中的点,在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。...2、欧氏空间:是一个特别的...

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    联系:线性空间32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333431366264中的向量对应于欧几里得平面中的点,在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

    区别:

    一、指代不同

    1、线性空间:解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。

    2、欧氏空间:是一个特别的度量空间,使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流行的定义上发挥了作用。

    二、特性不同

    1、线性空间:实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

    2、欧氏空间:设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间),若V上定义着正定对称双线性型g(g称为内积),则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间)。

    三、扩展不同

    1、线性空间:在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积

    2、欧氏空间:是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度,转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

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