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  • 正项级数收敛性判别方法
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    2021-02-21 17:17:02

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    比值判别法 设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n + 1 a n = q lim_{n->\infty} {a_{n+1}\over a_n}=q limn>anan+1=q,则有

    • 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
    • q > 1 q>1 q>1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an发散

    (比较判别法的极限形式)设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn均为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n b n = l lim_{n->\infty} {a_n \over b_n}=l limn>bnan=l

    • 0 < l < ∞ 0<l<\infty 0<l<时,级数 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn有相同的敛散性;
    • l = 0 l=0 l=0时,如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn收敛,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
    • l = ∞ l=\infty l=时,如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn发散,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an发散

    (根值判别法)设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n = q lim_{n->\infty} \sqrt {a_n}=q limn>an =q,则有

    • 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
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    目录

    🚀一、正项级数的定义

    🚀二、正项级数的收敛判别法

    (一)根据目标级数的部分和数列进行判别

    正项级数的收敛原理 

    (二)根据与找到的一个新级数的关系进行判别

    🔑1.比较判别法 

    🔑2.比较判别法的极限形式 

    (三) 根据自身元素进行判别

    🔑1.Cauchy判别法(根值法)

    🔑2.d'Alembert判别法(比值法)

    🔑3.Raabe判别法

    (四)积分判别法

    🔑1.积分判别法

    2.反常积分与数项级数的关系 

    🚀三、一些思考

    🚀四、常用的放缩技巧

    🚀五、注意事项 


    🚀一、正项级数的定义

    如果级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}的各项都是非负实数,即x_{n}\geqslant 0,n=1,2,...,则称此级数为正项级数.

    🚀二、正项级数的收敛判别法

    (一)根据目标级数的部分和数列进行判别

    正项级数的收敛原理 

    正项级数收敛的充分必要条件条件是它的部分和数列有上界.

    证明:反证:若正项级数的部分和数列无上界,则其必发散到+\infty.

    (二)根据与找到的一个新级数的关系进行判别

    🔑1.比较判别法 

    设 \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} 与\sum_{n=1}^{\infty } y_{n} 是两个正项级数,若存在常数A>0,使得x_{n}\leqslant Ay_{n},n=1,2,...,

    (1)当\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}收敛时,\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}也收敛;

    (2)当\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}发散时,\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}也发散.

    证明:设级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}的部分和数列为\left \{ S_{n} \right \},级数\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}的部分和数列为\left \{T _{n} \right \},则显然有S_{n}\leqslant AT_{n}n=1,2,...,于是当\left \{T _{n} \right \}有上界时,\left \{ S_{n} \right \}也有上界,而当\left \{ S_{n} \right \}无上界时,\left \{T _{n} \right \}必定无上界,由正项级数的收敛原理即得结论.

    🍭注:由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的敛散性或发散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以比较判别法的条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0 ,使得

     x_{n}\leqslant Ay_{n}对一切n>N成立”.

    🔑2.比较判别法的极限形式 

     设 \sum_{n=1}^{\infty } x_{n} 与\sum_{n=1}^{\infty } y_{n} 是两个正项级数,\lim_{n\to\infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=l (0\leqslant l\leqslant +\infty ), 则

    (1)若0\leqslant l<+\infty,则当\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}收敛时,\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}也收敛;

    (2)若0< l\leqslant +\infty,则当\sum_{n=1}^{\infty } y_{n}发散时,\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}也发散.

    证明利用极限的定义和比较判别法,较容易,这里不给出具体的证明过程.

    🍭说明:由比较判别法到比较判别法的极限形式 ,降低了找到合适级数的难度,即从“找到二者的大小关系”到“找到近似等价形式”(也就是从<到~),可操作性提高.

    (三) 根据自身元素进行判别

    用比较判别法时,先要对所考虑的级数的收敛性有一个大致的估计,进而找到一个敛散性已知的合适级数与之相比较.但就绝大多数情况而言,这两个步骤都具有相当难度,因此,理想的判别方法应着眼于对级数自身元素的分析.

    之前定义的上下极限派上了用场.

    下面我们给出三种基于自身元素的敛散性判别法,它们是:Cauchy判别法、d'Alembert判别法和Raabe判别法.

    🔑1.Cauchy判别法(根值法)

    \sum_{n=1}^{\infty } x_{n}是正项级数,r=\overline{\underset{n\to\infty}{lim}}\sqrt[n]{x_{n}}(上极限,详见上一篇文章),则

    (1)当r<1时,级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}收敛;

    (2)当r>1时,级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}发散.

    (3)当r=1时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散.

    证  当 r<1时,取q满足r<q<1,由上极限的定义,可知存在正整数N,取\varepsilon =q-r,          使得对一切n>N, 成立\sqrt[n]{x_{n}}<q,

          从而  x_{n}<q^{n},0<q<1,

          由比较判别法可知\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}收敛.

          当r>1,由于r是数列\left \{ \sqrt[n]{x_{n}} \right \}的极限点,可知存在无穷多个n满足\sqrt[n]{x_{n}}>1,这说明数列            \left \{ x_{n} \right \}不是无穷小量,从而\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}发散.

          当r=1,可以通过级数\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}知道判别法失效.(给出Raabe判别法的原因)

    🔑2.d'Alembert判别法(比值法)

    \sum_{n=1}^{\infty } x_{n}(x_{n}\neq 0)是正项级数,则

    (1)当\overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\overline{r}<1时,级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}收敛;

    (2)当\underset{\overline{n\to\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\underline{r}>1时,级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}发散;

    (3)当\overline{r}\geqslant 1\underline{r}\geqslant 1时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散.

    证明包含在下述引理中.

    \underset{\overline{n\to\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\leqslant \underset{\overline{n\to\infty }}{lim}\sqrt[n]{x_{n}} \leqslant \overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\sqrt[n]{x_{n}} \leqslant \overline{\underset{n\to\infty }{lim}}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}

    引理的证明思路如下:

    从比值形式的上极限入手,记为r,利用定义去掉极限符号

    \rightarrow比值形式,使用迭乘,将两个变量变成一个

    \rightarrow加根后,对变量取极限

    🔑3.Raabe判别法

    \sum_{n=1}^{\infty } x_{n}(x_{n}\neq 0)是正项级数,\lim_{n\to\infty }n\left ( \frac{x_{n}}{x_{n+1}} -1\right )=r,则

    (1)当r>1时,级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}收敛;

    (2)当r<1时, 级数\sum_{n=1}^{\infty } x_{n} 发散.

    证明  设s>t>1\mathbf{f\left ( x \right )=1+sx-\left ( 1+x \right )^{t}} ,由f\left ( 0 \right )=0f^{'}\left ( 0 \right )=s-t,可知存在                  \delta>0,当0<x<\delta时,成立1+sx>\left ( 1+x \right )^{t}.(*)

             当r>1时,取s,t满足r>s>t>1.

              由 \lim_{n\to\infty }n\left ( \frac{x_{n}}{x_{n+1}} -1\right )=r>s>t与不等式(*),可知对于充分大的n,成立                  \frac{x_{n}}{x_{n+1}} >1+\frac{s}{n}>\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{t}=\frac{\left ( n+1 \right )^{t}}{ n ^{t}}.

              这说明正项数列\left \{n ^{t}x_{n} \right \}从某一项开始单调减少,因而其必有上界,设n ^{t}x_{n} \leqslant A

              于是x_{n}\leqslant \frac{A}{n^{t}}.

              由于t>1,因而\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{t}}收敛,根据比较判别法即得到\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}收敛.

              类似地,可以证明r<1时,\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}发散.

    (四)积分判别法

    🔑1.积分判别法

     应用条件

    f\left ( x \right )定义于[a,+\infty ),并且f\left ( x \right )\geqslant 0,进一步设f\left ( x \right )在任意有限区间[a,A]上Riemann可积.取一单调增加趋于+\infty的数列\left \{ a_{n} \right \}a=a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}<...,

    u_{n}=\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx.

    定理内容

     反常积分\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx与正项级数\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}同时收敛或同时发散于+\infty,且\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx

    🍭附加条件后,定理的特殊化:

    特别地,当f\left ( x \right )单调减少时,取a_{n}=n,则反常积分\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx与正项级数\sum_{n=N}^{\infty }f\left ( n\right )(N=[a]+1)同时收敛或同时发散. 

    证明   设正项级数\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}的部分和数列为\left \{ S_{n} \right \},则对任意A>a,存在正整数n,成立                         a_{n}\leqslant A<a_{n+1},于是S_{n-1}\leqslant \int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx\leqslant S_{n}.

               当\left \{ S_{n} \right \}有界,即\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛时,则有\lim_{A\to\infty }\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx收敛,且根据极限的夹逼                 性,它们收敛于相同的极限;当\left \{ S_{n} \right \}无界,即\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散于+\infty时,则同样有                    \lim_{A\to\infty }\int_{a}^{A}f\left ( x \right )dx=+\infty.

               由此得到\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a_{n}}^{a_{n+1}}f\left ( x \right )dx.

     🍭特别,当f\left ( x\right )单调减少时,取a_{n}=n

           则当n\geqslant N=[a]+1,    f\left ( n+1 \right )\leqslant u_{n}=\int_{n}^{n+1}f\left ( x \right )dx\leqslant f\left ( n \right ),

           由比较判别法可知\sum_{n=N}^{\infty }f\left ( n \right )\sum_{n=N}^{\infty }u_{n}同时收敛或同时发散,从而与\int_{a}^{+\infty }f\left ( x \right )dx同时         收敛或同时发散.

    2.反常积分与数项级数的关系 

    反常积分是连续形式的数项级数

    🚀三、一些思考

    判别法给出的顺序也是实际解题中可操作性提高的过程.

     可以看出,比较判别法是后续判别法的证明依据

    证明=定义+定理

    🚀四、常用的放缩技巧

    \sqrt[n]{n}>1

    \sin x>\frac{2}{\pi}

    \ln x<\sqrt{x}

    xy^{\frac{1}{2}}<\frac{1}{2}(x+y)

    🚀五、注意事项 

    敛散性的判别法仅用于具体正项级数的敛散性判别,不用于与正项级数相关的证明题

    证明题考察定义 

    比较判别法才是yyds

    以人名命名的定理一般都不好证,技巧性太强

    数列:通项,和,求和技巧(裂项,错位相减等),增减性,收敛性

    展开全文
  • 围绕2002年浙江省首届高等数学竞赛第五大题,开展了关于正项级数敛散性问题的一些讨论。
  • 对于正项级数敛散性判定,当比式判别法失效时,给出一种新方法。该方法在判别某些正项级数敛散时比拉贝判别法更方便。
  • 研究高斯判别法及其一个一般性的改进判别法。考虑到高斯判别法的一步改进过程,利用类似的方法将高斯判别法推广到更一般的形式。实例说明定理的改进是具有实效的。
  • 国防工业大学高数(一)课件。。。。。与国防工业大学出的书配套课件。
  • 数项级数——(二)正项级数

    千次阅读 2019-05-16 16:58:10
    正项级数收敛性的一般判别 同号级数;正项级数; 由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性,得如下定理。 定理1. 正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有界,即存在某正数M,对一切正整数n有 定理2.(比较原则...

    一.正项级数收敛性的一般判别

    同号级数;正项级数;

    由于级数与其部分和数列具有相同的敛散性,得如下定理。

    定理1.

    正项级数\sum u_n收敛的充要条件是:部分和数列\{S_n\}有界,即存在某正数M,对一切正整数n有S_n<M.

    定理2.(比较原则

    \sum u_n\sum v_n是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N都有u_n\leqslant v_n.

    (i)若级数\sum v_n收敛,则级数\sum u_n也收敛;

    (ii)若级数\sum u_n发散,则级数\sum v_n也发散;

    (大收小发)

    推论

    u_1+u_2+...+u_n+...,(1)

    v_1+v_2+...+v_n+...,(2)

    是两个正项级数,若\lim_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=l.

    (i)当0<l<+\infty时,级数(1).(2)同时收敛或同时发散;

    (ii)当l=0且级数(2)收敛时,级数(1)也收敛;

    (iii)当l=+\infty且级数(2)发散时,级数(1)也发散;

    二.比式判别法和根式判别法

    以等比级数作为比较对象而得到的。

    定理3(达朗贝尔判别法,或称比式判别法)

    \sum u_n为正项级数,且存在某正数N_0及常数q(0<q<1.)

    (i)若对一切n>N_0.成立不等式\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant q.则级数\sum u_n收敛;

    (ii)若对一切n>N_0.成立不等式\frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1.则级数\sum u_n发散;

    推论1(比式判别法的极限形式)

    \sum u_n为正项级数,且\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.

    (i)当q<1时,级数\sum u_n收敛;

    (ii)当q>1q=+\infty时,级数\sum u_n发散;

    (iii)当q=1时,级数\sum u_n可能收敛可能发散,无法判断;

    推论2

    \sum u_n为正项级数.

    (i)若\overline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1.则级数收敛;(上极限)

    (ii)若\underline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1.则级数发散;(下极限)

    定理4(柯西判别法,或称根式判别法)

    \sum u_n为正项级数.且存在某正数N_0及正常数l.

    (i)若对一切n>N_0,成立不等式\sqrt[n]{u_n}\leqslant l<1,则级数\sum u_n收敛;

    (ii)若对一切n>N_0,成立不等式\sqrt[n]{u_n}\geqslant 1,则级数\sum u_n发散;

    推论1(根式判别法的极限形式)

    \sum u_n为正项级数,且\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=l,

    (i)当l<1时,级数\sum u_n收敛;

    (ii)当l>1时,级数\sum u_n发散;

    (iii)当l=1时,级数\sum u_n可能收敛可能发散,无法判断;

    推论2

    \sum u_n为正项级数,且\overline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}=l,则当

    (i)l<1时级数收敛;

    (ii)l>1时级数发散;

    结论1:若\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q.则必有\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=q.

    结论2:若u_n>0,\underline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant \underline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}\leqslant \overline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{u_n}\leqslant \overline{\lim_{n\to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}.

    三.积分判别法

    积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

    定理5

    f[1,+\infty)上非负减函数,那么正项级数\sum f(n)与反常积分\int_{1}^{+\infty}f(x)dx同时收敛或同时发散。

    四.拉贝判别法

    比式判别法和根式判别法时基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的,也就是说,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛的速度快的级数,这两种方法才能鉴定出它的收敛性。如果级数的通项收敛速度较慢,他们就无能为力了,因此为了获得判别范围更大的一类级数,就必须寻找级数的通向收敛于零较慢的级数作为比较标准。

    定理6(拉贝判别法)

    \sum u_n为正项级数,且存在某正整数N_0及常数r,

    (i)若对一切n>N_0,成立不等式n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})\geqslant r>1,则级数\sum u_n收敛;

    (ii)若对一切n>N_0,成立不等式n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})\leqslant 1,则级数\sum u_n发散;

    推论(拉贝判别法的极限形式)

    \sum u_n为正项级数,且极限\lim_{n\to \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})=r存在,则

    (i)当r>1时,级数\sum u_n收敛;

    (ii)当r<1时,级数\sum u_n发散;

     

     

     

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  • 正项级数及其审敛法

    千次阅读 2020-06-15 17:24:30
    一般的常数项级数,各项可以为正数负数或零,我们把只有正数和零的级数称为正项级数。 定理1:正项级数收敛的充要条件是他的部分和数列{sn}有界 sn=u1+u2+...+un 定理2:若un之和与vn之和都是正项级数,...

    一般的常数项级数,各项可以为正数负数或零,我们把只有正数和零的级数称为正项级数。

    定理1:正项级数收敛的充要条件是他的部分和数列{sn}有界

    sn=u1+u2+...+un

    定理2:若un之和与vn之和都是正项级数,对于任意n,un<=vn,若vn之和收敛,则un之和也收敛,反之,若un之和发散,则vn之和也发散

    定理3:若un之和与vn之和都是正项级数,若

    且vn之和收敛,则un之和收敛

    且vn之和发散,则un之和发散

    定理4:设un之和为正项级数,若

    p大于1,包括为正无穷时,发散,小于1,收敛,等于1,两种情况都有可能

    定理5:如果un之和为正项级数,若

    当p小于1,收敛,大于1,发散,等于1,两种情况都有可能

    定理6:若

    则发散,若

    则收敛

    此外,可以使用等价无穷小或泰勒展开来化简或改变式子,然后再采用上面的某种方法。展开或替换后的式子与原式同散敛性

    展开全文
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    比较审敛法不能用于非正项级数 二,正项级数 定义:,其中 部分和为单调递增数列 收敛的充要条件:有上界 推论:若无界,则发散,且 正项级数结合律:发散+发散=发散 三,正项级数的比较审敛法 设和是正项...
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  • 正项级数理论中的Gauss判别法比Raabe判别法更为精细,但又更加复杂,为此给出了正项级数敛散性的一个新判别法,它也是以级数∞∑n=2 1/n(1nn)p为比较标准的,但比Gauss判别法简单.另外,还对新判别法与Gauss判别法...
  • 新的正项级数微分判别法及其完备性和非标准分析,张一方,,对正项级数证明了一种新的微分判别法:f(k)是正项级数,令f(x) 是相应的正连续函数,且g(x)是f(x)倒数的导数,则如果fgx大于1,级数收敛
  • 我们将建立一些关于一个任意的正项级数Σa_n(a_n≥0)是否收敛的判断法。在我们的讨论中,θ将是一个定数,0
  • 正项级数审敛法推广到函数级数一致收敛审敛上去,得到了函数级数一致收敛的D'Alembert判别法,Cauchy判别法,Raabe判别法和它们的极限形式,以及推广的Weierstrass判别法,并揭示了这些判别法的实质是比较两个函数级数...
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  • 最新02 第二节 正项级数的判别法.doc
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  • 人大微积分课件11-2正项级数及其审敛法.ppt
  • 文章目录前言正项级数一、定义二、特点正项级数的敛散性判别方法一、比较判别法比较判别法极限形式二、根值判别法三、比值判别法类比比值判别法和根植判别法四、积分判别法另:Raabe判别法&Bertrand判别法 前言 ...
  • from:http://math.fudan.edu.cn/gdsx/XXYD.HTM 转载于:https://www.cnblogs.com/GarfieldEr007/p/5225386.html
  • 正项级数的比较审敛法是较好用的方法。尤其是它的极限形式更为常用。 在一般高数书本上,表述如下: 设limn→+∞unvn=l,l∈[0,+∞]\lim_{n\rightarrow +\infty}{u_n\over v_n} = l, l\in [0,+\infty] 则: 若0∞0...
  • 正项级数与数列

    2018-05-20 17:32:00
    正项级数与数列 正项级数与数列 2018.05.20 正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\)与数列$\left{ \left( 1+a_1 \right) \left( 1+a_2 \right) \cdots \left( 1+a_n \right) \right} $同敛态。 \...
  • 两种不求别人的方法应是判断正项级数的首选 给出例题,请大家先思考下是改用比值还是根植: 这是答案: ———————————— 至此,级数概念理解、性质以及正项级数的敛散性的判别告一段落了,简单回顾一下: ...
  • 文章目录充要条件12.6比较原则推论12.7鄙视判别法(达朗贝尔判别法)推论1:极限形式推论2:上下极限形式...正项级数∑un\sum u_n∑un​收敛⇔\Leftrightarrow⇔部分和数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}有界 (单调递增有界→\t...

空空如也

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