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  • 方程及证明 例题

    方程及证明

    例题

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  • 平面方程

    千次阅读 2019-03-06 20:42:49
    平面方程 平面的点法式方程 一般式: Ax+By+cZ+D = 0; 其中(A,B,C)为该平面的方向量N D为原点到平面的距离。 点法式 过空间的一点,与已知直线垂直的平面只有一个。因此,给定平面上的一点和垂直于该平面的一...

    平面方程

    平面的点法式方程

    1. 一般式:
      Ax+By+cZ+D = 0;
      其中(A,B,C)为该平面的方向量N
      D为原点到平面的距离。

    2. 点法式
      过空间的一点,与已知直线垂直的平面只有一个。因此,给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量,平面就确定了。
      这就是所谓的点法式方程的基础。

    点到平面的距离

    在这里插入图片描述

    参考https://www.cnblogs.com/bigmonkey/archive/2017/10/14/7657589.html

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  • 文章目录平面的参数方程平面的向量式方程平面的行列式方程平面的三点式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程讨论小结:平面方程的几种形式参考资料 平面是随处可见的空间形状 问题1:如何从几何上确定...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    平面是随处可见的空间形状

    image-20201211155255454

    问题1:如何从几何上确定一个平面?

    image-20210529142843991

    • 不在一条直线上的三点确定一个平面 .
    • 过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    image-20210529142821100

    • 一条直线和直线外一点确定一个平面.
    • 两相交直线确定一个平面.
    • 两平行直线确定一个平面.

    问题2:如何从代数上描述一个平面 ?

    用代数方程式刻画平面上动点的轨迹,即建立平面的方程 .

    在直角坐标系下,建立动点坐标满足的方程式 .

    平面的参数方程

    不在一条直线上的三点确定一个平面

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b已知要素

    任务:求平面 π \pi π 的方程即动点 𝑀 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) M(x,y,z)的轨迹方程.

    依据: M 0 M → \overrightarrow{M_{0} M} M0M 与不共线的向量 𝒂 , 𝒃 共面 .

    image-20210529143035494

    关系式:
    M 0 M → = λ a + μ b \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}} M0M =λa+μb
    a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),\boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 得到:
    π : { x = x 0 + λ a 1 + μ b 1 y = y 0 + λ a 2 + μ b 2 z = z 0 + λ a 3 + μ b 3 (1) \boldsymbol{\pi}:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2} \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right.\tag1 π:x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2z=z0+λa3+μb3(1)
    称为平面 π \pi π 的参数方程 . . .其中 λ , μ \lambda, \mu λ,μ 为参数。

    • 平面上的点都满足方程 。
    • 满足方程的点都在平面上, 不在平面上的点不满足方程 .

    平面的向量式方程

    M 0 M → = λ a + μ b \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}} M0M =λa+μb ,由
    r = O M → = ( x , y , z ) r 0 = O M 0 → = ( x 0 , y 0 , z 0 ) r=\overrightarrow{O M}=(x,y,z)\\ r_0=\overrightarrow{O M_0}=(x_0,y_0,z_0) r=OM =(x,y,z)r0=OM0 =(x0,y0,z0)
    得到: π : r = r 0 + λ a + μ b \quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b π:r=r0+λa+μb.

    称为平面的向量式方程.

    平面的行列式方程

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 不共线的向量 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b已知要素

    依据:三向量 M 0 M → , a , b \overrightarrow{M_{0} M}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \quad M0M ,a,b 共面,则它们的混合积为 0 .

    平面 π \pi π 的行列式方程为
    ∣ x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=0 xx0a1b1yy0a2b2zz0a3b3=0

    平面的三点式方程

    要素: 不在一条直线上的三点
    M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)

     依据:三向量  M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 →  共面  . \text { 依据:三向量 } \overrightarrow{M_{1} M}, \overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{1} M_{3}} \text { 共面 } .  依据:三向量 M1M ,M1M2 ,M1M3  共面 .

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     平面  π  的方程为  \text { 平面 } \pi \text { 的方程为 }  平面 π 的方程为 

    ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 \end{array} xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0
    一称为平面 π \pi π 的三点式方程

    平面的点法式方程

    过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    平行于定直线的非零向量是垂直于平面的,称为平面的法向量.

    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 法向量 n n n

    • 任何垂直于平面的非零向量 n n n 都是平面的法向量.
    • n n n平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量.
    • 平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直.

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    要素:点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M0(x0,y0,z0), 法向量 n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A, B, C) n=(A,B,C).

    M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z) 为平面上的动点, 则
    n ⊥ M 0 M → ,        向 量 关 系 \boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_{0} {M}} ,~~~~~~ 向量关系 nM0M ,      

     有  n ⋅ M 0 M → = 0.  向量代数关系  \begin{array}{lll}\text { 有 } & \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{M}}=\mathbf{0} . & \text { 向量代数关系 }\end{array}   nM0M =0. 向量代数关系 

    平面 π \pi π点法式方程 . . . :
    π : A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 \pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

    平面的一般方程

    点法式 : π : A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 \pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 ,转化得到
    π : A x + B y + C z + D = 0 \pi: A x+B y+C z+D=0 π:Ax+By+Cz+D=0
    称为平面 π \pi π 的一般方程,其中 n = ( A , B , C ) n=(A, B, C) n=(A,B,C) 为平面的法向量

    【注】 平面方程是一个三元一次方程 .反之,一个三元一次方程在几何上表示一个平面 .

    平面的一般方程讨论

    π : A x + B y + C z + D = 0 ( A , B , C \pi: A x+B y+C z+D=0 \quad(A, B, C π:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C 不全为0 ) ) )

    (1) 当 D = 0 D=0 D=0 时, 平面 π : A x + B y + C z = 0 \pi: A x+B y+C z=0 π:Ax+By+Cz=0 过原点;

    (2) 当 A = 0 A=0 A=0 时, 平面 π : B y + C z + D = 0 \pi: B y+C z+D=0 π:By+Cz+D=0 平行于 x x x 轴;

    B = 0 B=0 B=0 时, 平面 π : A x + C z + D = 0 \pi: A x+C z+D=0 π:Ax+Cz+D=0 平行于 y y y

    C = 0 C=0 C=0 时, 平面 π : A x + B y + D = 0 \pi: A x+B y+D=0 π:Ax+By+D=0 平行于 z z z

    (3) 当 A = 0 , D = 0 A=0, D=0 A=0,D=0 时, 平面 π : B y + C z = 0 \pi: B y+C z=0 π:By+Cz=0 x x x 轴;

    B = 0 , D = 0 B=0, D=0 B=0,D=0 时, 平面 π : A x + C z = 0 \pi: A x+C z=0 π:Ax+Cz=0 y y y 轴;

    C = 0 , D = 0 C=0, D=0 C=0,D=0 时, 平面 π : A x + B y = 0 \pi: A x+B y=0 π:Ax+By=0 z z z

    (4) 当 A = 0 , B = 0 A=0, B=0 A=0,B=0 时, 平面 π : C z + D = 0 \pi: C z+D=0 π:Cz+D=0 平行于 x O y x O y xOy

    B = 0 , C = 0 B=0, C=0 B=0,C=0 时, 平面 π : A x + D = 0 \pi: A x+D=0 π:Ax+D=0 平行于 y O z y O z yOz

    A = 0 , C = 0 A=0, C=0 A=0,C=0 时,平面 π : B y + D = 0 \pi: B y+D=0 π:By+D=0 平行于 z O x z O x zOx 面.

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 求过 M 0 ( 2 , 1 , 1 ) M_{0}(2,1,1) M0(2,1,1) 且平行于 π 1 : x + 2 y − 3 z + 7 = 0 \pi_{1}: x+2 y-3 z+7=0 π1:x+2y3z+7=0 的平面方程

    【解法一】 因所求平面 π \pi π 与已知平面 π 1 \pi_{1} π1 平行, 则 π 1 \pi_{1} π1法向量
    n = ( 1 , 2 , − 3 ) n=(1,2,-3) n=(1,2,3)
    也是 π \pi π 的法向量,则平面 π \pi π点法式方程为
    1 ⋅ ( x − 2 ) + 2 ⋅ ( y − 1 ) + ( − 3 ) ⋅ ( z − 1 ) = 0 1 \cdot(x-2)+2 \cdot(y-1)+(-3) \cdot(z-1)=0 1(x2)+2(y1)+(3)(z1)=0
    整理得平面 π \pi π 的一般方程为
    x + 2 y − 3 z − 1 = 0 x+2 y-3 z-1=0 x+2y3z1=0
    【解法二 】因所求平面 π \pi π 与已知平面 π 1 \pi_{1} π1 平行, 设平面 π \pi π 的一般方程为
    x + 2 y − 3 z + D = 0 x+2 y-3 z+D=0 x+2y3z+D=0
    代入点 M 0 ( 2 , 1 , 1 ) M_{0}(2,1,1) M0(2,1,1) 的坐标, 得 2 + 2 − 3 + D = 0 , 2+2-3+D=0, \quad 2+23+D=0, D = − 1. D=-1 . D=1.

    于是平面 π \pi π 的方程为
    x + 2 y − 3 z − 1 = 0 x+2 y-3 z-1=0 x+2y3z1=0
    例 2 \Large\color{violet}{例2} 2 已知一平面 π \pi π 与三个坐标轴的交点分别为
    P ( a , 0 , 0 ) , Q ( 0 , b , 0 ) , R ( 0 , 0 , c ) ( a , b , c ≠ 0 ) P(a, 0,0), \quad Q(0, b, 0), \quad R(0,0, c) \quad(a, b, c \neq 0) P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(a,b,c=0)
    求平面 π \pi π 的方程 .

    【解法一】由平面的三点式方程知
    ∣ x − a y − 0 z − 0 0 − a b − 0 0 − 0 0 − a 0 − 0 c − 0 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-a & y-0 & z-0 \\ 0-a & b-0 & 0-0 \\ 0-a & 0-0 & c-0 \end{array}\right|=0 xa0a0ay0b000z000c0=0
    整理得平面 π \pi π 的一般方程为 b c x + a c y + a b z − a b c = 0. \quad b c x+a c y+a b z-a b c=0 . bcx+acy+abzabc=0.

    进一步整理得 π : x a + y b + z c = 1. ⟶ \quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad \longrightarrow π:ax+by+cz=1. 称为平面 π \pi π 截 距 式 方 程 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{截距式方程}}}

    【解法二 】 设平面 π \pi π 的一般方程为 π : A x + B y + C z + D = 0 , \pi: A x+B y+C z+D=0, π:Ax+By+Cz+D=0,
    { A a + D = 0 B b + D = 0 C c + D = 0 \left\{\begin{array}{l} A a+D=0 \\ B b+D=0 \\ C c+D=0 \end{array}\right. Aa+D=0Bb+D=0Cc+D=0
    解得 A = − D a , B = − D b , C = − D c . A=-\frac{D}{a}, B=-\frac{D}{b}, C=-\frac{D}{c} . A=aD,B=bD,C=cD. A , B , C A, B, C A,B,C 不全为 0 , 0, 0, D ≠ 0 D \neq 0 D=0. 于是得
    π : x a + y b + z c = 1 \quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 π:ax+by+cz=1
    例 3 \Large\color{violet}{例3} 3 已知空间四点 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 1 , 3 ) , C ( 1 , 2 , 5 ) , P ( 2 , 3 , t ) A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t) A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t)

    问:当 t t t 为何值时, 这四点在一个平面上? 并求出该平面方程.

    【解 】 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 1 , 3 ) , C ( 1 , 2 , 5 ) , P ( 2 , 3 , t ) A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t) A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t) 四点共面的充要条件是三向量 A P → = ( 1 , 3 , t ) , A B → = ( 1 , 1 , 3 ) , A C → = ( 0 , 2 , 5 ) \overrightarrow{A P}=(1,3, t), \overrightarrow{A B}=(1,1,3), \overrightarrow{A C}=(0,2,5) AP =(1,3,t),AB =(1,1,3),AC =(0,2,5) 共面, \quad
    ∣ 1 3 t 1 1 3 0 2 5 ∣ = 2 t − 16 = 0 ,  即  t = 8 \left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & t \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=2 t-16=0, \text { 即 } t=8 110312t35=2t16=0,  t=8
    所以, 当 t = 8 t=8 t=8 时, A 、 B 、 C 、 P A 、 B 、 C 、 P ABCP 四点共面.

    该平面的三点式方程为
    ∣ x − 1 y − 0 z − 0 2 − 1 1 − 0 3 − 0 1 − 1 2 − 0 5 − 0 ∣ = ∣ x − 1 y z 1 1 3 0 2 5 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-0 & z-0 \\ 2-1 & 1-0 & 3-0 \\ 1-1 & 2-0 & 5-0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=0 x12111y01020z03050=x110y12z35=0
    整理得平面的一般方程为 x + 5 y − 2 z − 1 = 0 x+5 y-2 z-1=0 x+5y2z1=0.

    注 : \Large\color{violet}{注:} 也可以先求出由 A 、 B 、 C A 、 B 、 C ABC 三点所确定的平面的方程
    x + 5 y − 2 z − 1 = 0 x+5 y-2 z-1=0 x+5y2z1=0
    再代入点P的坐标,得 t = 8 t=8 t=8.

    小结:平面方程的几种形式

    设点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) M0(x0,y0,z0) 在平面上, n = ( A , B , C ) \quad \boldsymbol{n}=(A, B, C) n=(A,B,C) 是平面的法向量

    1、平面的点法式方程
    A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0
    2、平面的一般式方程
    A x + B y + C z + D = 0 A x+B y+C z+D=0 Ax+By+Cz+D=0

    3 、平面的截距式方程

    x a + y b + z c = 1. \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad ax+by+cz=1. 其中 a , b , c a, b, c a,b,c 为平面在三个坐标轴上的截距.

    4 、平面的三点式方程

    M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 是平面上不共线的三点, 则
    ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0
    5 、平面的参数式方程 π : { x = x 0 + λ a 1 + μ b 1 y = y 0 + λ a 2 + μ b 2 , z = z 0 + λ a 3 + μ b 3 \quad \pi:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2}, \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right. π:x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2,z=z0+λa3+μb3

    6 、平面的行列式方程 ∣ x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = 0 \quad\left|\begin{array}{ccc}x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|=0 xx0a1b1yy0a2b2zz0a3b3=0.

    7 、平面的向量式方程 π : r = r 0 + λ a + μ b \quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b π:r=r0+λa+μb.

    参考资料

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 1、一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,平面及其方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面方程,向量,量,则有,故,例1.求过三点,即,解: 取该平面...

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    1、一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,平面及其方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程,法向量,量,则有,故,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程,利用点法式得平面 的方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况,过三点,的平面方程为,说明,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等。

    2、价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程,特殊情形,当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面,当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴,A x+C z+D = 0 表示,A x+B y+D = 0 表示,C z + D = 0 表示,A x + D =0 表示,B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面,平行于 z 轴的平面,平行于 xoy 面 的平面,平行于 yoz 面 的平面,平行于 zox 面 的平面,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程,解,因平面通过 x 轴,设所求。

    3、平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角,特别有下列结论,因此有,例4. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d,则P0 到平面的距离为,点到平面的距离公式,解: 设球心为,求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程,从而,例6,内容小结,1.平面基本方程,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直,平行,夹角公式,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,练习题。

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空空如也

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