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  • 洛必达法则

    2019-01-28 21:27:24
    洛必达法则 0/0 型洛必达法则 洛必达法则证明的关键点是运用柯西中值定理以及假定f(a) = 0,F(a) = 0 对于条件3,可能出现极限不存在的情况,这时不能说原式的极限不存在 其他形式的洛必达法则 对于 无穷/...

    洛必达法则

    1. 0/0 型洛必达法则

    在这里插入图片描述

    洛必达法则证明的关键点是运用柯西中值定理以及假定f(a) = 0,F(a) = 0

    对于条件3,可能出现极限不存在的情况,这时不能说原式的极限不存在

    1. 其他形式的洛必达法则

    在这里插入图片描述

    对于 无穷/无穷 的情况也是成立的

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  • 洛必达法则的使用条件

    千次阅读 多人点赞 2020-12-06 16:11:03
    使用洛必达法则求导n阶导数之后的得到的n+1阶导数存在且连续。2.洛必达法则使用的常用结论是什么?3.那么,为什么函数n阶可导,我们可以使用洛必达n-1次?4.为什么在常规的极限计算时不需要注意洛必达的适用条件,而...

    前言:

    本文主要讨论和解释了洛必达的使用条件,以及常用的结论,希望可以帮助你解除在使用洛必达的时候疑惑。【划重点:①已知f(x)存在n阶可导,推:f(x)在n-1阶必连续。洛必达使用得到的导数必须连续。

    1.使用洛必达法则求导n阶导数之后的得到的n+1阶导数存在且连续。

    答:
    在这里插入图片描述

    解释一下,是什么意思?

    就是说,洛必达法则使用的条件是洛完之后确定得到的导数必须连续才可以使用洛必达。

    例如:已知f(x)可导,且f(0)=0。在计算lim(x->0) f(x)/(3 * x) 这个表达式的时候,结果是1/3 * f’(0)。【使用洛必达虽然结果是对的,但是过程是错的,因为题目没有说f'(x)连续!正确的做法是:原式=1/3 * [f(x)-f(0)]/(x-0) =1/3*f’(0)!

    2.洛必达法则使用的常用结论是什么?

    答:一般来说,条件里面出现了函数n阶可导,我们可以使用洛必达n-1次,最后一步我们去凑n阶导数定义;条件里面出现了函数n阶连续可导,我们可以使用洛必达n次

    3.那么,为什么函数n阶可导,我们可以使用洛必达n-1次?

    在这里插入图片描述

    答:因为函数n阶可导可以推导出该函数的n-1阶必连续;但是注意,若函数的n-1阶连续,则推不出n阶可导。(简单的理解就是:可导推原函数连续,原函数连续不一定可导!)

    4.为什么在常规的极限计算时不需要注意洛必达的适用条件,而只要在大题中出现求导就要考虑导数定义,以及是否可以使用洛必达法则?

    答:很简单,因为大题中的题设只要考点是导数定义题,必定f(x)是抽象函数,抽象函数的可导和连续情况都是未知的,只有通过题设的条件给出或者推理。现在,我们应该明白为什么计算题可以直接无脑地使用洛必达法则了,因为只要是具体给出的函数(因为考研范围内的函数必定是初等函数,初等函数都是在定义域内无穷阶连续可导的。),就是必定无穷阶连续可导,所以,小伙计遇到这种计算题,想怎么洛必达就怎么洛必达了。
    在这里插入图片描述
    听说看完这篇文章的人,都哭了,你呢?我也是疑惑好久才想明白。。。害。

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  • 洛必达法则使用前提

    千次阅读 多人点赞 2020-08-17 14:56:49
    文章目录0、洛必达法则使用的前提1、 不是不定型,肯定不能用2、未化成分式,肯定不能用3、不降反升次,越洛越桑心4、永无宁日的Shi循环5、标准不定型中混入看似可忽略的项,也有可能出现Shi循环 0、洛必达法则使用...

    0、洛必达法则使用的前提

    其实这个问题非常简单,就一句话:如果一个极限能够最终转化为00,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}时,那么就可以使用洛必达法则进行计算。

    注意:这里只是说可以,也就是说它只是充分条件!!!

    具体有哪些它不能使用的情况呢?

    1、 不是不定型,肯定不能用

    limx32x+74x+1=limx3ddx(2x+7)ddx(4x+1)=limx324=12 \begin{aligned} \lim_{x\to 3}\frac{2x + 7}{4x+1} & = \lim_{x\to 3}\frac{\color{blue}{\frac d {dx}(2x + 7)}}{\color{red}{\frac d {dx}(4x+1)}} = \lim_{x\to 3}\frac{\color{blue} 2}{\color{red} 4} = \frac 1 2 \end{aligned}

    原因:本例不是不定型。

    正解:
    limx32x+74x+1=2(3)+74(3)+1=1313=1 \lim_{\color{blue}{x\to3}} \frac{2x + 7}{4x+1} = \frac{2\color{blue}{(3)}+7}{4\color{blue}{(3)}+1} = \frac{13}{13} = 1

    2、未化成分式,肯定不能用

    limx0+lnxsinx=limx0+ddx(lnx)ddx(sinx)=limx0+1xcosx=limx0+cosxx=cos00=10= \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \ln x\cdot \sin x & = \lim_{x\to0^+} \color{blue}{\frac d {dx}\left(\ln x\right)}\cdot \color{red}{\frac d {dx}\left(\sin x\right)}\\[6pt] & = \lim_{x\to0^+} \color{blue}{\frac 1 x}\cdot \color{red}{\cos x}\\[6pt] & = \lim_{x\to0^+} \frac{\cos x} x\\[6pt] & = \frac{\cos 0} 0\\[6pt] & = \frac 1 0\\[6pt] & = \infty \end{aligned}

    原极限没有化为标准的:00,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}

    正解:
    limx0+lnxsinx=limx0+lnxcscx=limx0+(lnx)(cscx)=limx0+1xcotxcscx=limx0+1x1tanxcscx(cscx+)=limx0+tanxx1cscx=0 \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \ln x\cdot \sin x & = \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\color{blue}\csc x}\\ & = \lim_{x\to0^+}\frac{(\ln x)\prime}{\color{blue}(\csc x)^\prime}\\ & = \lim_{x\to0^+}\frac{{1\over x}}{\color{blue}-\cot x \cdot\csc x}\\ & = \lim_{x\to0^+}\frac{{1\over x}}{\color{blue}-{1\over \tan x} \cdot\csc x}\quad \color{purple}{(\csc x\rightarrow +\infty)}\\ & = \lim_{x\to0^+}-\frac{\color{blue}\tan x}{x}\cdot\frac{1}{\color{purple}{\csc x} }\\ & = 0 \end{aligned}

    3、不降反升次,越洛越桑心

    limx0+lnx1/x=limx0+ddx(lnx)ddx(1/x)=limx0+1/x1/x2==limx0+ddx(1/x)ddx(1/x2)=limx0+1/x22/x3==limx0+ddx(1/x2)ddx(2/x3)=limx0+2/x36/x4= \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{1/x} & = \lim_{x\to0^+} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}\left(\ln x\right)}}{\color{red}{\frac d {dx}\left(1/x\right)}} && {洛一次}\\ & = \lim_{x\to0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \frac \infty {-\infty}\\[6pt] & = \lim_{x\to0^+} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}\left(1/x\right)}}{\color{red}{\frac d {dx}\left(-1/x^2\right)}} && {洛二次}\\ & = \lim_{x\to0^+} \frac{-1/x^2}{2/x^3} = \frac {-\infty} \infty\\[6pt] & = \lim_{x\to0^+} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}\left(-1/x^2\right)}}{\color{red}{\frac d {dx}\left(2/x^3\right)}} && {洛三次}\\ & = \lim_{x\to0^+} \frac{2/x^3}{-6/x^4} = \frac \infty {-\infty} \end{aligned}

    可以玩一天,但就是得不到正确结果。

    一切无法降次反升的方法都是耍流氓!!!!

    正解

    先洛一次:
    limx0+lnx1/x=limx0+ddx(lnx)ddx(1/x)=limx0+1/x1/x2 \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{1/x} & = \lim_{x\to0^+} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}\left(\ln x\right)}}{\color{red}{\frac d {dx}\left(1/x\right)}} = \lim_{x\to0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} \end{aligned}
    洛完赶紧调整,再洛一次:
    limx0+1/x1/x2=limx0+1x(x21)=limx0+x2x=limx0+x=0 \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} & = \lim_{x\to0^+} \frac 1 x\cdot \left(\frac{x^2}{-1}\right) = \lim_{x\to0^+} -\frac{x^2} x = \lim_{x\to0^+} -x = 0 \end{aligned}

    4、永无宁日的Shi循环

    limx4x2+3x+3=limx(4x2+3)1/2x+3=limxddx(4x2+3)1/2ddx(x+3)=limx12(4x2+3)1/28x1=limx4x(4x2+3)1/2= \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{x+3} & = \lim_{x\to\infty} \frac{(4x^2+3)^{1/2}}{x+3} && \\ & = \lim_{x\to\infty} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}(4x^2+3)^{1/2}}}{\color{red}{\frac d {dx}(x+3)}} &&{洛必达法则}\\[6pt] & = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac 1 2(4x^2+3)^{-1/2}\cdot 8x}{1}\\[6pt] & = \lim_{x\to\infty} \frac{4x}{(4x^2+3)^{1/2}} &&{化简整理}\\[6pt] & = \frac \infty \infty \end{aligned}

    倒过来还是被虐:
    limx4x(4x2+3)1/2=limxddx(4x)ddx(4x2+3)1/2=limx412(4x2+3)1/28x=limx(4x2+3)1/2x= \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{4x}{(4x^2+3)^{1/2}} & = \lim_{x\to\infty} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}(4x)}}{\color{red}{\frac d {dx}(4x^2+3)^{1/2}}} && {洛必达法则}\\[6pt] & = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{\frac 1 2(4x^2+3)^{-1/2}\cdot 8x}\\[6pt] & = \lim_{x\to\infty} \frac{(4x^2+3)^{1/2}}{x} &&{化简整理}\\[6pt] & = \frac \infty \infty \end{aligned}

    注意:这种是典型的死循环型。一般来说只要长这样都要小心:f(x)=线.f(x) = \color{red}\frac{\sqrt{二次函数}}{线性函数}.

    正解:

    提出公因式,将所有xx都转换成1x{1 \over x}
    limx4x2+3x+3=limxx2(4+3x2)x+3=limxx24+3x2x+3=limxx4+3x2x+3 \begin{aligned}% \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{x+3} & = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^2\left(4+\frac 3 {x^2}\right)}}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{x+3} = \lim_{x\to\infty} \frac{|x|\cdot\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{x+3} \end{aligned}
    注意这里分子上是x|x|,因此只需要考虑xx\rightarrow \infty
    limxx4+3x2x+3=limxx4+3x2x(1+3x)=limx4+3x21+3x \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{x\cdot\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{x+3} = \lim_{x\to\infty} \frac{x\cdot\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{x\left(1+\frac 3 x\right)} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{1+\frac 3 x}
    代入数值得到:
    limx4+3x21+3x=4+01+0=41=2 \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{4+\frac 3 {x^2}}}{1+\frac 3 x} = \frac{\sqrt{4+0}}{1+0} = \frac{\sqrt 4} 1 = 2

    5、标准不定型中混入看似可忽略的项,也有可能出现Shi循环

    limxexexex+ex=0+0= \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} & = \frac{\infty - 0}{\infty + 0} = \frac \infty \infty \end{aligned}

    limxexexex+ex=limxddx(exex)ddx(ex+ex)=limxex+exexex= \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} & = \lim_{x\to\infty} \frac{\color{blue}{\frac d {dx}\left(e^x - e^{-x}\right)}}{\color{red}{\frac d {dx}\left(e^x + e^{-x}\right)}} = \lim_{x\to\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac \infty \infty \end{aligned}

    正解:
    limxexexex+ex=limx(exex)(ex+ex)exex=limx1e2x1+e2x=101+0=1 \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} & = \lim_{x\to\infty} \frac{\left(e^x - e^{-x}\right)}{\left(e^x + e^{-x}\right)} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1+ 0} = 1 \end{aligned}

    6、小心周期函数

    limx0xsintdtx=sint=???????? \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\int_0^{x}\sin tdt}{x}=\sin t =????????

    虽然满足标准不定型,但洛后的极限本身不存在!

    正解:

    由于分子一定有界:
    10xsintdt1 -1\le\int_0^{x}\sin tdt\le1
    因此原极限本质是有界量乘以无穷小,因此:
    limx0xsintdtx=0 \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\int_0^{x}\sin tdt}{x}=0

    还是这个周期函数,没完没了

    limx0xsintdtx=sint=???????? \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\int_0^{x}|\sin t|dt}{x}=|\sin t| =????????

    原因和上面一样。

    正解: 这题比较麻烦,要分好几步来证明,最简单的方法是用夹逼准则:

    • I. 先考察0nπsintdt\int_0^{n\pi}|\sin t|dt

    注意到
    0πsintdt=2 \int_0^{\pi}|\sin t|dt=2
    因此:
    0nπsintdt=2n(1) \int_0^{n\pi}|\sin t|dt=2n \tag{1}

    这一点从图象上也很容易看出来,当然也可以由sinx\sin x 的周期为 π\pi 来简单证明。

    首先,在任意周期内

    nπ(n+1)πsintdt=2\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|dt=2

    那么显然:

    0nπsintdt=k=1n(k1)πkπsintdt=k=1n1=2n\int_0^{n\pi}|\sin t|dt=\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin t|dt=\sum_{k=1}^{n} 1=2n

    • II. 再证明一个有用的结论

    注意一个事实:xx 一定可以放在一个长度为 π\pi 的区间内,那么一定存在一个nn,使得
    nπx(n+1)π(2) n\pi\le x \le (n+1)\pi \tag{2}
    那么一定有:
    0nπsintdt(n+1)π0nπsintdtx0nπsintdtnπ \frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt}{(n+1)\pi} \le \frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt}{x}\le \frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt}{n\pi}
    再回顾结论(1)式,不难得到:
    2n(n+1)π0nπsintdtx2nnπ \frac{2n}{(n+1)\pi} \le \frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt}{x}\le \frac{2n}{n\pi}
    显然:
    limx2n(n+1)π=limx2nnπ=2π \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2n}{(n+1)\pi}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2n}{n\pi}=\frac{2}{\pi}
    由夹逼准则:
    limx0nπsintdtxlimx0nπsintdtxlimx0(n+1)πsintdtx \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt }{x} \le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt}{x} \le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{(n+1)\pi}|\sin t|dt}{x}

    注意:由于有关系式(2),当xx\rightarrow\infty时一定有nn\rightarrow \infty

    于是这个重要的结论就得到了:
    limx0nπsintdtx=2π(3) \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{{\color{Red} n\pi} }|\sin t|dt}{x}=\frac{2}{\pi} \tag{3}

    注意此时上限是nπn\pi

    同时还需要另外一个结论,可以同理得到:
    limx0(n+1)πsintdtx=2π(4) \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{{\color{Red} (n+1)\pi} }|\sin t|dt}{x}=\frac{2}{\pi} \tag{4}

    这步很简单,可以自行练习一下。

    • III. 最后收尾

    再次使用不等关系(2),于是原变限积分满足不等关系:
    0nπsintdt0xsintdt0(n+1)πsintdt \int_0^{n\pi}|\sin t|dt \le \int_0^{x}|\sin t|dt \le \int_0^{(n+1)\pi}|\sin t|dt
    于是:
    limx0nπsintdtxlimx0xsintdtxlimx0(n+1)πsintdtx \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin t|dt }{x} \le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{{\color{Red} x} }|\sin t|dt}{x} \le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{(n+1)\pi}|\sin t|dt}{x}
    上述不等式链中左右两式分别是(3)和(4),因此:
    2πlimx0xsintdtx2π \frac{2}{\pi} \le \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{{\color{Red} x} }|\sin t|dt}{x} \le \frac{2}{\pi}
    由夹逼准则:
    limx0xsintdtx=2π \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{{\color{Red} x} }|\sin t|dt}{x} = \frac{2}{\pi}

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  • 高数——洛必达法则

    千次阅读 2019-10-18 16:48:15
    洛必达法则 洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 应用条件: 在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);二是分子分母在...

    洛必达法则

    洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

    应用条件:
    在这里插入图片描述
    在运用洛必达法则之前,首先要完成两项任务:一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大);二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

    如果这两个条件都满足,接着求导并判断求导之后的极限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决;如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

    扩展资料:

    洛必达法则的注意事项:

    求极限是高等数学中最重要的内容之一,也是高等数学的基础部分,因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限 。

    ⑴ 在着手求极限以前,首先要检查是否满足构型,否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

    ⑵ 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。

    ⑶ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

    ⑷ 洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。
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  • 3.2 洛必达法则

    2020-05-01 16:35:06
    本节主要介绍洛必达法则,并对等价无穷小与洛必达法则求极限时的矛盾做出了解释说明。
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  • 高数 03.02洛必达法则

    2017-12-01 09:14:42
    洛必达法则
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  • 洛必达法则求函数的极限是一种很重要的方法。同济大学数学系主编的《高等数学》第六版教材中给出了洛必达法则的简单证明,本文对洛必达法则的证明作了详细的补充,以便于学生自学。
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    2018-12-05 23:27:49
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  • 2-4(2)洛必达法则.pdf

    2021-02-26 14:57:18
    2-4(2)洛必达法则.pdf
  • 高等数学——详解洛必达法则

    千次阅读 2020-02-28 09:14:07
    今天和大家一起复习的是洛必达法则,这个法则非常重要,在许多问题的解法当中都有出现。虽然时隔多年,许多知识点都已经还给老师了,但是我仍然还记得当年大一的时候,高数老师在讲台上慷慨激昂的样子。 上篇文章...
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  • 洛必达法则【截图】

    2020-06-29 18:09:25
    洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但最好能与其他求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简捷。 ...

空空如也

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洛必达法则