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  • 对于给定的 y 和 n,展开形式为 (x+y)^n 的二项式,其中 n 是整数,y 可以是任何实数或复数。 该程序使用帕斯卡三角形来确定 (x+1)^n 的系数,创建一个向量来表示 (y^0 y^1 y^2 y^3 ... y^n-1 y^n),并且将两项逐项...
  • 这个 m 文件给出了任何实数或复数 x 和 ... 语法:function bintheor(x,y,n) 输入: x,y - 要展开的一对感兴趣的术语n - 增加二项式定理的系数/幂 输出: - 二项式定理总和的结果(默认) - 二项式定理值的向量(可选)
  • 高二数学二项式展开式性质PPT课件.pptx
  • 算法趣谈--二项式展开

    千次阅读 2018-09-11 16:06:57
    package TUZI; import java.io.IOException; import java.util.Scanner; public class Yanghuisanjiao { static int a; static int b; static int power; static class Term{ ... int po...
    package TUZI;
    
    import java.io.IOException;
    import java.util.Scanner;
    
    public class Yanghuisanjiao {
    	
    	static int a;
    	static int b;
    	static int power;
    	
    	static class Term{
    		
    		int power_a;
    		int power_b;
    		int ratio_term;
    		
    		public Term(int power_a, int power_b, int ratio_term) {
    			super();
    			this.power_a = power_a;
    			this.power_b = power_b;
    			this.ratio_term = ratio_term;
    		}
    				
    	}
    	
    	@SuppressWarnings("null")
    	public static void main(String[] args) throws IOException {
    		
    		System.out.println("请输入a+b的次方数:");
    		Scanner scanner  = new Scanner(System.in);
    		power = scanner.nextInt();
    		
    		Term[] answer = new Term[power+1];
    		answer[0] = new Term(0,0,1);
    		
    		for(int i=1; i <= power;i++){
    			answer[0] = new Term(0, i, 1);
    			answer[i] = new Term(i, 0,1);
    			System.out.print("(a+b)^ "+i+" = a^"+answer[0].power_a+"*b^"+answer[0].power_b+" + ");
    			//首&未不用算,系数
    			for(int j=i-1;j>0;j--){
    			   answer[j].ratio_term =  answer[j-1].ratio_term + answer[j].ratio_term;
    			   answer[j].power_a = j;
    			   answer[j].power_b = i -j;
    			   System.out.print( " "+answer[j].ratio_term+"a^"+answer[j].power_a+"*b^"+answer[j].power_b+" + ");
    			}
    			System.out.println("a^"+answer[i].power_a+"*b^"+answer[i].power_b);
    		}
    	}
    
    }

     

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  • 负指数二项式展开

    2021-07-04 19:20:58
    负指数二项式展开 文章目录负指数二项式展开前言含负数的组合数负指数二项式的麦克劳林展开参考资料 前言 今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时,看到了一个之前未闻的负二项分布,于是上溯到负指数的...

    负指数二项式展开

    前言

    今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时,看到了一个之前未闻的负二项分布,于是上溯到负指数的二项式展开,这方面从前未知,照例学习一番,写篇博客,即入即出。

    含负数的组合数

    我们通常的二项式展开的指数是非负整数,例如:
    ( a + b ) n = ∑ r = 0 n C n r a n − r b r (a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^ra^{n-r}b^r (a+b)n=r=0nCnranrbr
    其中 C n r = n ! r ! ( n − r ) ! C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!} Cnr=r!(nr)!n!,又记做 ( n r ) \tbinom{n}{r} (rn)。我们高中学到的二项式展开, n n n r r r通常是非负整数,如果我们要展开像是 ( a + b ) − 3 (a+b)^{-3} (a+b)3这样指数是负数的二项式,就要把上面的 n n n拓展到负数,而 r r r仍是非负整数。

    n n n拓展到负数以后, ( n r ) \tbinom{n}{r} (rn)的计算方法还是一样的,即:
    ( n r ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) r ! = n ! r ! ( n − r ) ! \tbinom{n}{r}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (rn)=r!n(n1)(nr+1)=r!(nr)!n!
    假设 n n n, k k k为正数,我们根据这个定义计算一下 ( − n k ) \tbinom{-n}{k} (kn):
    ( − n k ) = ( − n ) ( − n − 1 ) ⋯ ( − n − ( k − 1 ) ) k ! = ( − 1 ) k n ( n + 1 ) ⋯ ( n + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k ( n + k − 1 ) ! k ! ( n − 1 ) ! = ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) \begin{aligned} \tbinom{-n}{k} =&\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\\ =&(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k} \end{aligned} (kn)====k!(n)(n1)(n(k1))(1)kk!n(n+1)(n+k1)(1)kk!(n1)!(n+k1)!(1)k(kn+k1)

    负指数二项式的麦克劳林展开

    f ( x ) f(x) f(x)的麦克劳林级数(Maclaurin series )定义为:
    f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f " ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( k ) ( 0 ) k ! x k + ⋯ f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{"}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\cdots f(x)=f(0)+f(0)x+2!f"(0)x2++k!f(k)(0)xk+
    假设 n n n为正数,以 1 ( 1 + x ) n \frac{1}{(1+x)^n} (1+x)n1为例,求其二项式展开。

    首先根据Maclaurin级数展开 1 ( 1 + x ) n \frac{1}{(1+x)^n} (1+x)n1
    f ( x ) = ( 1 + x ) − n ⇒ f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = ( − n ) ( 1 + x ) ( − n − 1 ) ⇒ f ′ ( 0 ) = − n f " ( x ) = ( − n ) ( − n − 1 ) ( 1 + x ) ( − n − 2 ) ⇒ f " ( 0 ) = ( − n ) ( − n − 1 ) ⋮ f ( k ) ( x ) = ( − n ) ( − n − 1 ) ⋯ ( − n − ( k − 1 ) ) ( 1 + x ) − n − k ⇒ f ( k ) ( 0 ) = ( − n ) ( − n − 1 ) ⋯ ( − n − ( k − 1 ) ) ⋮ \begin{aligned} f(x) = (1+x)^{-n}\Rightarrow&f(0)=1\\ f^{'}(x) = (-n)(1+x)^{(-n-1)}\Rightarrow&f^{'}(0)=-n\\ f^{"}(x) = (-n)(-n-1)(1+x)^{(-n-2)}\Rightarrow&f^{"}(0)=(-n)(-n-1)\\ &\vdots\\ f^{(k)}(x) = (-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))(1+x)^{-n-k}\Rightarrow&f^{(k)}(0)=(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))\\ &\vdots \end{aligned} f(x)=(1+x)nf(x)=(n)(1+x)(n1)f"(x)=(n)(n1)(1+x)(n2)f(k)(x)=(n)(n1)(n(k1))(1+x)nkf(0)=1f(0)=nf"(0)=(n)(n1)f(k)(0)=(n)(n1)(n(k1))
    代入得:
    f ( x ) = 1 + ( − n ) x + ( − n ) ( − n − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + ( − n ) ( − n − 1 ) ⋯ ( − n − ( k − 1 ) ) k ! x k = ∑ k = 0 ∞ ( − n k ) x k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) x k \begin{aligned} f(x)&=1+(-n)x+\frac{(-n)(-n-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\tbinom{-n}{k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k}x^k \end{aligned} f(x)=1+(n)x+2!(n)(n1)x2++k!(n)(n1)(n(k1))xk=k=0(kn)xk=k=0(1)k(kn+k1)xk

    参考资料

    [1] Negative Binomial Theorem

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  • 二项式展开推广与微积分的关系

    千次阅读 2016-05-22 11:23:05
    二项式展开推广与微积分的关系牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。 我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点:...

    二项式展开推广与微积分的关系

    牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。
    我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点: z=x0y(t)dt 出发,认为 y(t) 既然能分解成无穷级数 y(t)=A+Bx+Cx3+... ,因此由 y 包围的面积应该由展开的二项式来求,就不知道然后呢。因为,首先,每一个单项式求积分如何求,这是个死循环的思路,另外,展开为无穷级数,无穷啊,无穷个积分相加,也不对头。还好《一念非凡》后面有参考文献:《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》[美]邓纳,看了之后茅塞顿开。我只能说对伟大思想的发明,你想理解他,首先要认识到伟大思想的雏形是朴实的或者是粗糙的,如果你想证明这个伟大的思想,想感怀那个伟人证明之路,一定要认识这一点。否则,你一开始证明的目标会变成后来不断美化的思想结论,如这里的z=x0y(t)dt,那这块的工作不仅仅就是牛顿的工作,多少科学巨擘你都得瞻仰才行。
    - 好了,开始来干货。
    牛顿对二项式展开进行推广,得到 (P+PQ)mn 的展开公式。然后,牛顿有一天对求面积格外感兴趣,他证明的目标是指数函数的面积,证明的结论如下:简单曲线的面积:如果 y=axmn 是曲线AD的函数,其中a是常数,m和n是正整数,那么,区域ABD的面积为 anm+nxm+nn ,这一法则和另外两条法则就是微积分的发明,看,并不是漂亮的数学公式 z=x0y(t)dt ,而是粗糙的,对简单函数面积的证明,进而推广到一般函数。
    - 证明过程
    这里写图片描述

    证明思路就是利用面积为 z(x+o) 的面积逼近 z(x) .
    首先,牛顿认为 z(x)=anm+nxm+nn 并求 z(x) 的瞬时变化率。为书写方便,暂时令 c=anm+n p=m+n ,于是 z(x)=cxpn ,且
    [1]

    [z(x)]n=cnxp
    ,则 z(x+o) 就是面积 Aβδ ,该面积分解为面积ABD和面积 BβδD ,牛顿断定 z(x+o)=z(x)+ov ,带入[1],得到
    [z(x)+ov]n=[z(x+o)]n=cn(x+o)p

    展开最左边和最右边的多项式,得到
    z(x)n+n[z(x)]n1ov+n(n1)2[z(x)]n2o2v2+...=cnxp+cnpxp1o+cnp(p1)2x(p2)o2+...
    ,利用[1]消去等式两边最左边的项,并除以o,得到
    n[z(x)]n1v+n(n1)2[z(x)]n2ov2+...=cnpxp1+cnp(p1)2x(p2)o+...

    牛顿假定 Bβ 为无限减小并消失的量,或者o为零,那么,v和y在这种情况下会相等 BK=BD ,并且含o的项将消失。即
    [2]
    n[z(x)]n1y=cnpxp1

    要注意的是,o作除数时不为0,但是为了逼近,又变成0,这里出现了逻辑混乱,困扰了一个多世纪。所以说啊, 大胆的假设与丢盔弃甲的证明是值得借鉴的,不能为严谨而丢弃伟大的思想,don’t care繁琐的细节!
    代换z(x), c=anm+n p=m+n
    y=cnpxp1n[z(x)]n1=axmn
    也就是说,牛顿从他的假设“ABD的面积 z(x)=anm+nxm+nn 出发,推出曲线AD必定满足方程 y=axmn .从本质上说,他微分了积分,然后,在没有证明的情况下,指出,与此相反,如果 axmn=y ,那么就有 anm+nxm+nn=z
    对于这里面出现的逻辑漏洞或是特别扭曲的逻辑,牛顿用幽默的语言说道“流树术的一种简洁的难以理解的形式”
    其实这个过程的证明真的是朴(jian)素(dan),一会就看明白了。可是当时谁会那么勇敢,大胆的去想这样的事情,毕竟逻辑不通。啊,这一刻,我感受到了思想的超时代性,大胆假设与思想胜于严谨逻辑!

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  • 高中数学讲义微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题.pdf
  • 这个 m 文件给出了任何... 语法:函数 negbins(x,y,n) 输入: x,y - 要展开的一对感兴趣的术语n - 增加二项式定理的系数/幂(它是文件自动给出的负整数) 输出: - 负二项式序列和的结果- 负二项式序列的向量(可选)
  • /*********************************...******用循环队列解决(a+b)i次方的二项式展开式的系数***** ************************************************/ #include #define MAXSIZE 50 int main(void) { int num
    /***********************************************
    ******用循环队列解决(a+b)i次方的二项式展开式的系数*****
    ************************************************/
    #include<stdio.h>
    #define MAXSIZE 50
    int main(void)
    {
        int num[MAXSIZE];
        //first队头指针,rear对尾指针,last当前项的最后一个系数=rear-1
        int first,rear,last;
        int n,i;
        while((scanf("%d",&n))!=EOF)//幂为n
        {
            num[0]=1;num[1]=1;//第一项
            first=0;rear=2;
            for(i=1;i<n;i++)//从幂为1到幂为n需要的循环次数
            {
                //从幂为m-1到幂为m的变化
                last=rear-1;
                while(first!=last)
                {
                    num[rear]=num[first]+num[(first+1)%MAXSIZE];
                    first=(first+1)%MAXSIZE;
                    rear=(rear+1)%MAXSIZE;
                }
                num[rear]=1;
                rear=(rear+1)%MAXSIZE;
            }
     
    
            while(first!=rear)
            {
                printf("%d ",num[first]);
                first=(first+1)%MAXSIZE;
            }
            putchar('\n');
        }
     
    
        return 0;
    }
    展开全文
  • 二项式展开公式

    千次阅读 2012-05-13 21:22:38
    http://blog.csdn.net/onewalkingman/article/details/4572549 
  • C语言实现 求二项式各项系数(迭代,递归法)
  • 牛顿二项式定理 二项式定理 对于一个这样的式子:(x+y)n(x+y)^n(x+y)n 展开式如下: (x+y)n=∑i=0n(in)xn−iyi(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{(^n_i)x^{n-i}y^{i}}(x+y)n=i=0∑n​(in​)xn−iyi 其中(in)=n(n−1)...(n−i+1)i...
  • C语言——二项式定理

    千次阅读 2019-12-04 20:40:46
    最后打印出展开式和二项式 这个题主要是数学公式转换成代码,稍微不留神可能会出错,主要是很绕(刚开始给绕进去了,丢人了) 不多说,看代码看代码 代码如下: #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #inc...
  • 泰勒公式和二项式展开定理的共同点对于f(x)=(1+x)^n,采用泰勒展开法有:f(x)=fk0(0)*(x)^0/0!+fk1(0)(x)^1/1!+fk2(0)(x)^2/2!...其中fk0(0),fk1(0).. 分别代表fk(x)的k阶导数,并且传0代替k阶导数中的x,所以有:fk0...
  • 广义二项式定理

    千次阅读 2018-08-17 20:53:17
    当 −1≤x≤1−1≤x≤1,且n为正整数时  推导过程如下: ...*(x-a)^n(泰勒展开式) 现在f(x)=1/(1-x) 那么求导得到f'(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2 f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3 ...
  • hdu3483之二项式展开+矩阵快速幂

    千次阅读 2013-09-02 15:12:08
    Sn+1=1^x * x^1 + 2^x * x^2 +...+ n^x * x^n+(n+1)^x * x^(n+1)=Sn+(n+1)^x * x^(n+1),将(n+1)^x二项式展开然后用矩阵快速幂 构造矩阵: |1 xC(x,0) xC(x,1) xC(x,2) ... xC(x,x)| |Sn | |S(n+1) | |0 xC(0,0) 0 ...
  • 牛顿二项式定理

    千次阅读 2017-01-20 09:04:15
    牛顿二项式定理 (Binomial theorem)flyfish1 排列组合 2 杨辉三角 二项式系数(binomial coefficient) 3牛顿二项式定理(a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2(a2 + 2ab + b2)(a+b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a3 + 3a2b + 3...
  • #include<cstdio> #define ull unsigned long long using namespace std; ull s=1; int n; ull gcd(ull a,ull b){return (b==0)?a:gcd(b,a%b);} void work(int n) { printf("(a+b)^%d=",n);...}
  • 巧用杨辉三角求二项展开式的系数标签: C语言 杨辉三角 二项式展开式by 小威威1.引入我们知道,求二项式展开式系数可根据牛顿的二项式定理,即利用组合数求系数。其实,二项式展开式系数其实也是满足杨辉三角的。在...
  • 二项式定理公式推导

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  • 二项式定理与二项分布 二项式定理 二项式定理我们在高中就学过了,即: (a+b)n=(n0)anb0+(n1)an−1b1+....+(nn−1)a1bn−1+(nn)a0bn=∑i=0n(ni)an−ibi(a+b)^n = {n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1+......
  • 二项式定理学习笔记(详解)

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  • 牛顿广义二项式定理-母函数

    千次阅读 2019-03-28 23:54:26
      好久没写博客了,有好多都是写成了草稿没写完。列个清单慢慢补。。 数论专题。 概率\期望专题 划分树专题 ...搜出来是广义组合数,对应的有广义二项式定理。一看这个玩意儿ACM经常用就学一下。...
  • 二项式定理的各种证明

    千次阅读 2019-11-23 15:57:30
    二项式定理 (a+n)n=∑k=0nCnkakbn−k (a+n)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k} (a+n)n=k=0∑n​Cnk​akbn−k 证明: 数学归纳法,当n=1是,(a+b)1=Cnkakbn−k=a+b(a+b)^1=C_{n}^ka^kb^{n-k}=a+b(a+b)1=Cnk​akbn−k=a+...

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