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  • 等额本息公式背后的含义

    千次阅读 2015-07-31 02:56:32
    要得到这个公式,我们需要先从等额本息的意思说起。等额本息的还法是,我每个月的利息先还掉,剩下部分是本金。 比如利用这个公式,先算一个。假设,借本金十万借十年,年利率6.55%,周期是月。

    今天计算提前还贷的时候,留意到等额本息的计算。那个每月还款金额乍一看真的不知道是啥,解释不上来。

    先上公式:


    [本金×月利率×(1+月利率)^还款月数]/(1+月利率)^还款月数-1]


    要得到这个公式,我们需要先从等额本息的意思说起。等额本息的还法是,我每个月的利息先还掉,剩下部分是本金。

    比如利用这个公式,先算一个。假设,借本金十万借十年,年利率6.55%,周期是月。那么我第一个月的利息是545.8333,剩下部分本金数额(先让我用下公式...)

    用以上公式得到每月共交出1138.03,所以本金在第一个月还了 (1138.03-545.83)=592.2元

    第二月的本金就成了(1000000-592.2),然后在这个基础上算第二个月要交的利息,然后1138.03减去那个利息,就是这第二个月还本金。

    这么下去的还款方法就是等额本息法。


    所以要推出上面这个公式,我们走正向思路的话,就开始设值吧(为了了解清楚这货,不惜google了等比数列,好伤心,公式看着蛮陌生的,都不太会变形了)

    设本金为P,利息为R,次数为n,每月还款额为K。

    第一个月还利息 PR, 本金还了K-PR,剩余本金P-(K-PR)=P-K+PR=P(1+R)-K

    第二个月还利息[P-(K-PR)]*R, 本金还去K-([P-(K-PR)]*R),剩余本金P-[K-([P-(K-PR)]*R)]-K+PR=P-K+PR-KR+PR^2-K+PR=P(1+R)^2-K(2+R)

    第三个月还利息PR(1+R)^2-KR(2+R),本金还去K-PR(1+R)^2-KR(2+R),剩余本金P(1+R)^2-K(2+R)-(K-PR(1+R)^2-KR(2+R))=P(1+3R+3R^2+R^3)-K(R^2+3R+3)

    注意红色部分,前一个三次方的公式还好(

    (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
    ),后一个完全是先设了结论再反推回去得到的。说白了就是蒙,好吧,没想到这年纪了,还喜欢动这脑筋,虽然花了我好几个小时...

    =P(1+R)^3-K(1+1+R+(1+R)^2)...做到这里再反推回第二个K(2+R)=K(1+(1+R))

    后面那个等比求和公式就显现了,

    公式后半部分=-K(1-(1+R)^n)/-R

    所以到了最后一轮等额还款的思路在于,它是我现在还没还的本金加上最后这点本金的利息, K=Pn-1+Pn-1 * R

    K=[P(1+R)^(n-1)-K((1+R)^(n-1)-1/R))]*(1+R)

    K(1+[(1+R)^n - 1-R]/R))=P(1+R)^n

    K=RP(1+R)^n/[(1+R)^n-1]

    到此推导结束。回头看看另一个贷款算法,有点想哭,这么点东西弄了三个多小时吧,数学敏感度和应用能力真是不高。

    早上看了下,等额本金还款法的公式要通俗易懂多了。


    遗留问题:到底数学天才们怎么就搞出了这两种说得过去还款方式,然后发现他们之间的总额是差不多的。需要后续慢慢挖掘...





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  • 最近遇到了等额本息问题,高中时应该玩过。 于是又手动推导了一遍, 简单。  我就不输入公式了, 直接在网上找了一个推导, 看一下:    设贷款总额为A,银行月利率为β,总期数为m(个月),月还款额设为X,...

         最近遇到了等额本息问题,高中时应该玩过。 于是又手动推导了一遍, 简单。

         我就不输入公式了, 直接在网上找了一个推导, 看一下:

        

         设贷款总额为A,银行月利率为β,总期数为m(个月),月还款额设为X,则各个月所欠银行贷款为:

         第一个月A(1+β)-X

         第二个月(A(1+β)-X)(1+β)-X=A(1+β)^2-X[1+(1+β)]

         第三个月((A(1+β)-X)(1+β)-X)(1+β)-X =A(1+β)^3-X[1+(1+β)+(1+β)^2] …

         由此可得第n个月后所欠银行贷款为 A(1+β)^n –X[1+(1+β)+(1+β)^2+…+(1+β)^(n-1)]= A(1+β)^n –X[(1+β)^n - 1]/β

     

         由于还款总期数为m,也即第m月刚好还完银行所有贷款,

         因此有 A(1+β)^m –X[(1+β)^m - 1]/β=0

         由此求得 X = Aβ(1+β)^m /[(1+β)^m - 1]

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  • 等额本息和等额本金公式推导,详细的说明了公式的推导过程,看了肯定有所收获的。
  • 等额本息计算公式推导

    千次阅读 2017-04-27 23:17:00
    近期业务开发中刚好遇到等额本息的相关需求,整理记录了一下计算公式与推导过程。 一、等额本息每期还款总金额计算公式  假设贷款总金额为A,月利率为β,贷款期数为k,每期需还款总金额(本金+利息)为x,则: ...

      等额本息、等额本金是两种常见的还款方式,是常见的金融术语,我们购房贷款时也会遇到这两个还款方式的选择。等额本息的每期还款总金额(本金+利息)是固定的,那么这个数值是怎么计算出来的呢?近期业务开发中刚好遇到等额本息的相关需求,整理记录了一下计算公式与推导过程。

    一、等额本息每期还款总金额计算公式

      假设贷款总金额为A,月利率为β,贷款期数为k,每期需还款总金额(本金+利息)为x,则:

      第一期还款后,欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x

      第二期还款后,欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x

      第三期还款后,欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x

      由此可得出,第k期还款后,欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ... = A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。

      我们发现[]内是等比数列,等比数列求和公式是不是又忘记了?我们一起来推导下。设y=1 + β,则Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1),y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k,两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1,从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。

      由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x,第k期还款后贷款结束,因此Qk = 0,即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0,得出等额本息每期还款本息总额 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1],这便是每期需要还款的总金额。

    二、等额本息每期还款本金计算公式

      等额本息每期还款总金额x公式已经有了,那么每期还款的本金是多少呢?假设第n期还款本金为Pn,则:

      第一期需还本金 P1 = x - A * β

      第二期需还本金 P2 = x - (A - P1) * β = x - {A - [x - A * β]} * β = x - A * β + (x - A * β) * β = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)

      第三期需还本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β = x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β = x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β = P1 * (1 + β) ^ 2

      则可以猜测第n期需还本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

      下面我们来论证这个公式,假设公式成立,则 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β = x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n

      由此可以得出,等额本息还款中每期还款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

    三、首期利息与末期本金

    1、首期利息

      等额本息中,首期还款可能存在不足月的情况,这时候本金可以严格按照上述公式得出,但利息肯定不能按满月算了(每期还款利息是按期数-月为单位的),这时候首期利息得需要按实际使用天数进行特殊计算。

      假设第一期还款时实际使用天数为 t,则首期利息 L1 = A * β * t / 30  

      如何计算首期实际使用天数?

      首期实际使用天数计算实性的是“对月对日”,首先找到首期还款日t1对应上一期的还款日t0(若当月t0不存在,则往下延一天,即下月的首日),再比较起息日y和t0的天数差,综合,首期实际使用天数 t = 30 - (y - t0)

      范例:

      1) 起息日2018-02-15,首期还款日2018-03-10,则t0为2018-02-10,得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25

      2) 起息日2018-03-02,首期还款日2018-03-31,则t0为2018-03-01(对应2018-02-31不存在,则顺延一天),得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29

    2、末期本金

      由于每期还款本金是公式计算后取四舍五入的值,存在精度丢失问题,因此末期还款本金金额为 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

    四、总结

      假设贷款总金额为A,月利率为β,贷款期数为k,每期需还款总金额(本金+利息)为x,第n期需还款本金为Pn,第n期需还利息为Ln,则:

      第1至k-1期每期还款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

      第k期还款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

      第1期还款利息 L1 = A * β * t / 30   

      第2期到k期还款利息 Ln = x - Pn

      第1期还款本息总额 w1 = P1 + L1

      第2期至k期还款本息总额 wn = x

    转载于:https://www.cnblogs.com/hanganglin/p/6777838.html

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  • 理财等额本息和等额本金计算公式

    千次阅读 2016-02-23 18:59:53
    等额本息计算公式 等额本金计算公式

    等额本息计算公式:

    〔贷款本金×月利率×(1+月利率)^还款月数〕÷〔(1+月利率)^还款月数-1〕   
    等额本金计算公式:

    每月还款金额 = (贷款本金 ÷ 还款月数)+(本金 — 已归还本金累计额)×每月利率   

    其中^符号表示乘方。

      
    举例说明  
    假设以10000元为本金、在银行贷款10年、基准利率是6.65%,
    比较下两种贷款方式的差异:
    等额本息还款法  月利率=年利率÷12=0.0665÷12=0.005541667    
    月还款本息=〔10000×0.005541667×(1+0.005541667)^120〕÷〔(1+0.005541667)^120-1〕=114.3127元 
    合计还款 13717.52元  
    合计利息 3717.52万元     


    等额本金还款法 :   
    每月还款金额 = (贷款本金÷还款月数)+(本金 — 已归还本金累计额)×每月利率 =(10000  ÷120)+(10000— 已归还本金累计额)×0.005541667 
    首月还款 138.75元  
    每月递减0.462元 
    合计还款 13352.71元  
    利息 3352.71元 

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