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• 0、线性代数中的几何学 Solve 2x+y=3x−2y=−1 \begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x -2y &=-1 \end{aligned} 2x+yx−2y​=3=−1​ and find out is “row picture” and “column picture” 1、核心思想概述 ...
MIT 习题课地址
0、线性代数中的几何学

Solve

2

x

+

y

=

3

x

−

2

y

=

−

1

\begin{aligned} 2x + y &= 3 \\ x -2y &=-1 \end{aligned}

and find out its “row picture” and “column picture”
1、核心思想概述

Suppose

A

A

is a matrix such that the complete solution to

A

x

=

[

1

4

1

1

]

Ax=\begin{bmatrix}1\\4\\1\\1\end{bmatrix}

is

x

=

[

0

1

1

]

+

c

[

0

2

1

]

x=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}

，what can you say about columns of

A

A

？
2、矩阵的消去法

Solve using the method of elimination:

x

−

y

−

z

+

u

=

0

2

x

+

2

z

=

8

−

y

−

2

z

=

−

8

3

x

−

3

y

−

2

z

+

4

u

=

7

\begin{aligned} x-y-z+u&=0\\ 2x+2z&=8\\ -y-2z&=-8\\ 3x-3y-2z+4u&=7 \end{aligned}

3、逆矩阵

Find the conditions on

a

a

and

b

b

that make the matrix A invertible, and find

A

−

1

A^{-1}

when it exists.

A

=

[

a

b

b

a

a

b

a

a

a

]

A=\begin{bmatrix}a&b&b\\a&a&b\\a&a&a\end{bmatrix}

4、LU分解

Find the LU-decomposition of the matrix

A

A

when it exists. For which real numbers

a

a

and

b

b

does it exist?

A

=

[

1

0

1

a

a

a

b

b

a

]

A=\begin{bmatrix}1&0&1\\a&a&a\\b&b&a\end{bmatrix}

5、三维空间的子空间

x

1

=

[

0

1

3

]

x_1=\begin{bmatrix}0\\1\\3\end{bmatrix}

,

x

2

=

[

2

4

0

]

x_2=\begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}

Find subspace

V

1

V_1

generated by

x

1

x_1

，subspace

V

2

V_2

generated by

x

2

x_2

，Describe

V

1

∩

V

2

V_1 \cap V_2

Find subspace

V

3

V_3

generated by

[

x

1

x

2

]

\begin{bmatrix}x_1&x_2 \end{bmatrix}

, Is

V

3

V_3

equal to

V

1

∪

V

2

V_1\cup V_2

? Find a subspace

S

S

of

V

3

V_3

such that

x

1

∉

S

,

x

2

∉

S

x_1 \notin S, x_2 \notin S

.What is

V

3

∩

{

x

y

p

l

a

n

e

}

V_3 \cap \{xy\mathbb{ plane}\}

?
6、向量子空间

Which are subspaces of

R

3

=

{

[

l

1

l

2

l

3

]

}

\mathbb{R}^3 = \{\begin{bmatrix} l_1\\l_2\\l_3\end{bmatrix}\}

l

1

+

l

2

−

l

3

=

0

l_1+l_2-l_3=0

l

1

l

2

−

l

3

=

0

l_1l_2-l_3=0

[

l

1

l

2

l

3

]

=

[

1

0

0

]

+

c

1

[

1

0

−

1

]

+

c

2

[

1

0

1

]

\begin{bmatrix} l_1\\l_2\\l_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix}

[

l

1

l

2

l

3

]

=

[

0

1

0

]

+

c

1

[

1

0

−

1

]

+

c

2

[

1

0

1

]

\begin{bmatrix} l_1\\l_2\\l_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix}

7、解

A

x

=

0

Ax=0

The set

S

S

of points

P

(

x

,

y

,

z

)

P(x,y,z)

such that

x

−

5

y

+

2

z

=

9

x-5y+2z=9

is a ____ in

R

3

\mathbb{R}^3

. It is ____ to the ____

S

0

S_0

of

P

(

x

,

y

,

z

)

P(x,y,z)

such that

x

−

5

y

+

2

z

=

0

x-5y+2z=0

8、解

A

x

=

b

Ax=b

Find all solutions, depending on

b

1

b_1

，

b

2

b_2

，

b

3

b_3

：

x

−

2

y

−

2

z

=

b

1

2

x

−

5

y

−

4

z

=

b

2

4

x

−

9

y

−

8

z

=

b

3

\begin{aligned} x-2y-2z&=b_1\\ 2x-5y-4z&=b_2 \\ 4x-9y-8z&=b_3 \end{aligned}

9、向量空间的基底与维数

Find the dimension of the vector space spanned by the following vectors

[

1

1

−

2

0

−

1

]

[

1

2

0

−

4

1

]

[

0

1

3

−

3

2

]

[

2

3

0

−

2

0

]

\begin{bmatrix}1&1&-2&0&-1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}1&2&0&-4&1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}0&1&3&-3&2\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}2&3&0&-2&0\end{bmatrix}

and find a basis for that space.
10、四个基本子空间的计算

Suppose

B

=

[

1

2

1

−

1

0

1

]

B=\begin{bmatrix}1&&\\2&1\\-1&0&1\end{bmatrix}

[

5

0

3

0

1

1

0

0

0

]

\begin{bmatrix}5&0&3\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}

Find a basis for and compute the dimension of each of the 4 fundamental subspaces of

B

B

.
11、矩阵的空间

Show that the set of

2

×

3

2 \times 3

matrices whose null space contains

[

2

1

1

]

\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}

is a vector subspace, and find a basis for it. What about the set of those whose column space contains

[

2

1

]

\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}

.
12、测验题目讲解1

A

=

[

1

1

1

1

2

3

3

4

k

]

A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&3\\3&4&k\end{bmatrix}

a) For which

k

k

does

A

x

=

[

2

3

7

]

Ax=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}

have a unique solution
b) Which

k

k

, does

A

x

Ax

has infinitely many solution.
c) When

k

=

4

k=4

, find LU decomposition.
d) For all

k

k

, find complete solution.
13、图像与网络

Find incidence matrix

A

A

N

(

A

)

N(A)

,

N

(

A

T

)

N(A^T)

T

r

(

A

T

A

)

\mathbb{Tr}(A^TA)

14、正交向量和子空间

S

S

is spanned by

[

1

2

2

3

]

\begin{bmatrix}1&2&2&3\end{bmatrix}

and

[

1

3

3

2

]

\begin{bmatrix}1&3&3&2\end{bmatrix}

.
Find a basis for

S

⊥

S^{\perp}

Can every

v

v

in

R

4

\mathbb{R}^4

be written uniquely in terms of

S

S

and $S^{\perp}$
15、子空间上的投影

Find the orthogonal projection matrix onto the plane:

x

+

y

−

z

=

0

x+y-z=0

16、最小二乘逼近

Find the quadratic equation through the origin that is a best fit for the points

(

1

,

1

)

,

(

2

,

5

)

,

(

−

1

,

−

2

)

(1,1), (2,5),(-1,-2)

17、Gram-Schmidt 正交化

Find

q

1

,

q

2

,

q

3

q_1,q_2,q_3

( orthogonal) from columns of

A

A

. Then write

A

A

as

Q

R

QR

(

Q

Q

orthogonal,

R

R

upper triangular)

A

=

[

1

2

4

0

0

5

0

3

6

]

A=\begin{bmatrix}1&2&4\\0&0&5\\0&3&6\end{bmatrix}

18、行列式的性质

Find the determinants of

A

=

[

101

201

301

102

202

302

103

203

303

]

A=\begin{bmatrix}101&201&301\\102&202&302\\103&203&303\end{bmatrix}

B

=

[

1

a

a

2

1

b

b

2

1

c

c

2

]

B=\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}

C

=

[

1

2

3

]

[

1

−

4

5

]

C=\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-4&5 \end{bmatrix}

D

=

[

0

1

3

−

1

0

4

−

3

−

4

0

]

D=\begin{bmatrix}0&1&3\\-1&0&4\\-3&-4&0\end{bmatrix}

19、行列式

Find the determinants of

A

=

[

x

y

0

0

0

0

x

y

0

0

0

0

x

y

0

0

0

0

x

y

y

0

0

0

x

]

A=\begin{bmatrix}x&y&0&0&0\\0&x&y&0&0\\0&0&x&y&0\\0&0&0&x&y\\y&0&0&0&x\end{bmatrix}

B

=

[

x

y

y

y

y

y

x

y

y

y

y

y

x

y

y

y

y

y

x

y

y

y

y

y

x

]

B=\begin{bmatrix}x&y&y&y&y\\y&x&y&y&y\\y&y&x&y&y\\y&y&y&x&y\\y&y&y&y&x\end{bmatrix}

Hint: You may combine two of the methods: (1) Elimination (2)

∑

±

a

1

α

a

2

β

a

3

γ

\sum\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}

(3) By cofactors
20、行列式与体积

T

T

is a tetrahedron with vertex

O

(

0

,

0

,

0

)

,

A

1

(

2

,

2

,

−

1

)

,

A

2

(

1

,

3

,

0

)

,

A

3

(

−

1

,

1

,

4

)

O(0,0,0), A_1(2,2,-1),A_2(1,3,0),A_3(-1,1,4)

, Compute Vol(T). If

A

1

A_1

,

A

2

A_2

are fixed, but

A

3

A_3

is moved to

A

3

′

(

−

201

,

−

199

,

104

)

A_3^{'}(-201,-199,104)

, compute Vol(T) again.
21、特征值和特征向量

Given the invertible

A

=

[

1

2

3

0

1

−

2

0

1

4

]

A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&-2\\0&1&4\end{bmatrix}

, find the eigenvalues and eigenvectors of

A

2

A^2

,

A

−

1

−

I

A^{-1}-I

22、矩阵的方幂

Find a formula for

C

k

C^k

where

C

=

[

2

b

−

a

a

−

b

2

b

−

2

a

2

a

−

b

]

C=\begin{bmatrix}2b-a&a-b \\2b-2a&2a-b\end{bmatrix}

, calculate

C

100

C^{100}

when

a

=

b

=

−

1

a=b=-1

23、微分方程与exp(At)

Solve the differential equation

y

′

′

′

+

2

y

′

′

−

y

′

−

2

y

=

0

y^{'''}+2y^{''}-y^{'}-2y=0

for the general solution. What is the matrix

A

A

. Find the first column of exp(

A

t

At

)
24、马尔科夫矩阵

A particle jumps between positions A and B with the following probabilities.  If it starts at A, what is the probability it is at A and B after i) 1 step ii) n steps iii)

∞

\infin

steps
25、测验题目讲解2

A

=

[

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

9

10

0

0

11

12

]

A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\0&0&9&10\\0&0&11&12\end{bmatrix}

Find all the non-zero terms in the big formula

d

e

t

A

=

∑

±

a

1

α

a

2

β

a

3

γ

a

4

δ

\mathbb{det}A=\sum\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}a_{4\delta}

and compute $\mathbb{det}A$Find cofactors

C

11

C_{11}

,

C

12

C_{12}

,

C

13

C_{13}

and

C

14

C_{14}

Find column 1 of

A

−

1

A^{-1}

26、对称矩阵与正定矩阵
Explain why each of the following is true.
a) Every positive definite matrix is invertible
b) The only positive definite projection matrix is

P

=

I

P = I

c) D is diagonal with positive entries is positive definite
d)

S

S

symmetric with

d

e

t

S

>

0

\mathbb{det}S>0

might not be positive definite
27、复矩阵
Diagonalize

A

A

by constructing its eigenvalue matrix

Λ

\Lambda

and eigenvector matrix

S

S

A

=

[

2

1

−

i

1

+

i

3

]

=

A

ˉ

T

=

A

H

A=\begin{bmatrix}2&1-i\\1+i&3\end{bmatrix}=\bar{A}^T=A^H

28、正定矩阵与极小值  For which values of c is

B

=

[

2

−

1

−

1

−

1

2

−

1

−

1

−

1

2

+

c

]

B=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2+c\end{bmatrix}

positive definite?positive semidefinite?
29、相似矩阵

Which of the following statements are true? Explain
(a) If

A

A

and

B

B

are similar matrices, then

2

A

3

+

A

−

3

I

2A^3+A-3I

and

2

B

3

+

B

−

3

I

2B^3+B-3I

are similar
(b) If

A

A

and

B

B

are

3

×

3

3 \times 3

matrices with eigenvalues 1,0,-1， then

A

A

and

B

B

are similar.

J

1

=

[

−

1

1

0

0

−

1

1

0

0

−

1

]

J_1=\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{bmatrix}

and

J

2

=

[

−

1

1

0

0

−

1

0

0

0

−

1

]

J_2=\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

are similar
30、奇异值分解的运算

Find the singular value decomposition of the matrix

C

=

[

5

5

−

1

7

]

C=\begin{bmatrix}5&5\\-1&7\end{bmatrix}

31、线性变换

Let

T

(

A

)

=

A

T

T(A)=A^T

,

A

A

is

2

×

2

2 \times 2

why is T linear? What is T^{-1}?  Write down the matrix of T in

v

1

=

[

1

0

0

0

]

v_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}

,

v

2

=

[

0

1

0

0

]

v_2=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}

,

v

3

=

[

0

0

1

0

]

v_3=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}

,

v

4

=

[

0

0

0

1

]

v_4=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}

w

1

=

[

1

0

1

0

]

w_1=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}

,

v

2

=

[

0

0

0

1

]

v_2=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}

,

v

3

=

[

0

1

1

0

]

v_3=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}

,

v

4

=

[

0

1

−

1

0

]

v_4=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}

3） Eigenvalues / eigenvectors of T?
32、基的变换

the vector space of all polynomials in x of degree

≤

2

\leq 2

has a basis

1

,

x

,

x

2

1,x,x^2

. Let

ω

1

,

ω

2

,

ω

3

\omega_1,\omega_2,\omega_3

be a different basis of polynomials whose values at x = -1,-,1 are given by:
a) Express

y

(

x

)

=

−

x

+

5

y(x)=-x+5

in this basis
b) Find the change of basis matrices (

1

1

,

x

x

,

x

2

x^2

)

↔

(

w

1

,

w

2

,

w

3

)

\leftrightarrow (w_1,w_2,w_3)

c) Find the matrix of taking derivatives in both basis
33、广义逆

Given

A

=

[

1

2

]

A=\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}

i) What is

A

+

A^+

(pseudoinverse)
ii)

A

A

+

AA^+

and

A

+

A

A^+A

iii) If

x

x

is in

N

(

A

)

N(A)

, what is

A

+

A

x

A^+Ax

iv) If

x

x

is in

C

(

A

T

)

C(A^T)

, what is

A

+

A

x

A^+Ax

34、测验题目讲解3

Find the eigenvalues and eigenvectors of the following
i) Projection

P

=

a

a

T

a

T

a

P=\frac{aa^T}{a^Ta}

,

a

=

[

3

4

]

a=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}

ii)

Q

=

[

0.6

−

0.8

0.8

0.6

]

Q=\begin{bmatrix}0.6&-0.8\\0.8&0.6\end{bmatrix}

iii)

R

=

2

P

−

I

R=2P-I

35、期末考试题讲解

A

=

[

1

0

1

0

1

1

1

1

0

]

A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}

. Two eigenvalues:

λ

1

=

1

\lambda_1=1

,

λ

2

=

2

\lambda_2=2

, First two pivots:

d

1

=

d

2

=

1

d_1=d_2=1

(a) Find

λ

3

\lambda_3

and

d

3

d_3

(b) What is the smallest

a

33

a_{33}

that would make

A

A

positive semidefinite? What is the smallest c that

A

+

c

I

A+cI

is positive semi-definite？
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liangjiu2009 2020-04-14 20:48:37
• ## 扬州大学《线性代数》课后习题答案.pdf 线性代数

1.05MB weixin_44573410 2021-02-20 15:35:39
• ## MIT线性代数习题全解 线性代数 机器学习

习题集1 第一 这里实际上用到了这个等式: cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos⁡(β−α)=cos⁡(β)cos⁡(α)+sin⁡(β)sin⁡(α)\cos(\beta - \alpha) = \cos(\beta)\cos(\alpha) + \sin(\...
习题集1
第一题

这里实际上用到了这个等式:

cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)

cos

⁡

(

β

−

α

)

=

cos

⁡

(

β

)

cos

⁡

(

α

)

+

sin

⁡

(

β

)

sin

⁡

(

α

)

$\cos(\beta - \alpha) = \cos(\beta)\cos(\alpha) + \sin(\beta)\sin(\alpha)$
第二题
三个向量，两两夹角大于90度
第三题
x1,x2,x3为w1,w2,w3线性组合的系数，向量之间的线性组合为零向量即为向量相互依赖的定义。由于3个向量不独立，因此在3维空间中形成了一个2维的超平面
第四题
可以看出C中第一行和第五行的组合可以形成第三行，因此只会有4个向量来构成平面，即在5维空间中的四维超平面。
第五题

总量不变为马尔科夫变换的性质。可以想象为两地之间的人口迁徙，无论怎么迁徙，人口总数是不变的。
第六题

如下为这题的python代码:
from numpy import *
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

u = mat([[1, 0]]).transpose()
A = mat([[.8, .3], [.2, .7]])
k = [i for i in range(7)]
res = []
for i in range(7):
u = A * u
res.append((u.A[0][0], u.A[1][0]))

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(k, res)
plt.show()
u = mat([[0, 1]]).transpose()
res = []
for i in range(7):
u = A * u
res.append((u.A[0][0], u.A[1][0]))

ax.plot(k, res)
plt.show()
第七题
如果行向量或者列向量不独立，则矩阵奇异。不独立的定义就是线性组合为0向量。通过第一行和第二行的线性组合构造第三行，调整b值，使其不满足等式
第八题

很简单的奇异矩阵的性质问题。
第九题
E为消元法中用到的行转换矩阵，例如:

E21=⎡⎣⎢1−10010001⎤⎦⎥

E

21

=

[

1

0

0

−

1

1

0

0

0

1

]

$E_{21} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$表示一个第二行减去第一行的转换
第十题
考察行转换矩阵E的一题。其中通过多次E的转换到I的过程实际就是消元法的过程
第十一题

第十二题

第十三题
主要考察的是，row1 + row 2 = row3 -> b1 + b2 = b3
习题集2
第一题
通过Gauss-Jordan得出逆矩阵，公式为

UI−>IU−1

U

I

−

>

I

U

−

1

$UI -> IU^{-1}$
第二题

第三题
我们可以得到

E=⎡⎣⎢⎢⎢1−1−1−101−1−1001−10001⎤⎦⎥⎥⎥

E

=

[

1

0

0

0

−

1

1

0

0

−

1

−

1

1

0

−

1

−

1

−

1

1

]

$E = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]$将E除对角线以外元素乘以-1即可得到L，因为L相当于把U还原成A的矩阵。
第四题

第五题

第六题

第七题

第八题

第九题
标准正交矩阵Q的几个性质
第十题
子空间的定义:在子空间中任意向量的线性组合仍在子空间中
第十一题

如果b为列向量的线性组合，即在列空间中，则增加b不会增加列空间，而这也正对应了Ax = b有解，因为Ax = b有解的条件就是b在列空间中
第十二题

第十三题

习题集3
第一题

第二题
由列向量可以得出m = 3,由零空间向量可以得出n = 3
第三题

第四题
有4个节点，由于它们的入度与初度之和等于0，可以得到4个等式，构造

Ax=0

A

x

=

0

$Ax = 0$,通过消元法确定主元和自由变量，得到零空间的解
第五题

第六题

第七题
需要注意的一点是，行转换不会改变零空间
第八题

第九题

第十题

第十一题

第十二题

第十三题

第十四题

习题集4
第一题

第二题
需要注意的是，行空间与零空间垂直，因此第三问直接选第一行就可以
第三题

第四题
这题有个小错误.

P21P32=⎡⎣⎢010001100⎤⎦⎥

P

21

P

32

=

[

0

0

1

1

0

0

0

1

0

]

$P_{21}P_{32} = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$
第五题
四个子空间的关系，行空间，列空间为r维，零空间和转置零空间为n - r维，m - r维
第六题

第七题

第八题

第九题

第十题

习题集5
第一题

第二题

第三题

第四题

第五题

第六题

第七题

第八题
注意,P投影到列空间，

I−P

I

−

P

$I - P$投影到左零空间
第九题

第十题

第十一题

第十二题

第十三题

习题集6
第一题

第二题

第三题

第四题

第五题

第六题

第七题

第八题

第九题

第十题
注意，若矩阵奇异，则行列式为0,。
第十一题
对行进行操作不会改变行列式的值
第十二题

第十三题

习题集7
第一题
将三对角线矩阵的行列式按cofacors展开，可以发现满足斐波拉契数列的性质
第二题

第三题

第四题
注意,

ACT

A

C

T

$AC^T$为

detAI

d

e

t

A

I

$detAI$
第五题

第六题

第七题

第八题

第九题

第十题

第十一题
注意，这里求

S−1

S

−

1

$S^{-1}$有点小技巧,行列式的倒数乘以cofactors矩阵的转置
第十二题

第十三题

习题集8
第一题
注意，转换用到了泰勒展开
第二题

第三题

第四题

第五题

第六题

第七题

第八题

第九题
对称矩阵，特征值为实数
第十题

第十一题

第十二题

第十三题

习题地址为:  https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/assignments/  有空的话建议还是去看看~  持续更新~
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LaputaFallen 2018-03-21 00:21:29
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1.41MB qq_35661896 2020-04-16 13:28:55
• 1.35MB olongingfor 2018-08-27 17:44:19
• 1.23MB weixin_38702726 2021-01-20 22:40:53
• 1.1MB weixin_42920567 2018-08-09 11:11:20
• 19.19MB m0_58140038 2021-06-09 16:29:19
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