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  • 三门问题 概率论

    千次阅读 2016-07-10 11:18:32
    三门问题,亦称为蒙特霍问题(英文:Monty Hall problem),最初的表述形式:参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。...

    概率学派的争端

    对于无穷的情况,不能用常理来考虑

    PS:注意这篇文章的评论

    问题是这样的:
    1、多次抛硬币首先是一个贝努利试验,独立同分布的
    2、每次抛硬币出现正、反面的概率都是1/2
    3、当然硬币是均匀同分布的,而且每次试验都是公正的
    4、在上述假设下,假如我连续抛了很多次,例如100次,出现的都是正面,当然,稍懂概率的人都知道,这是一个小概率事件,但是小概率事件是可能发生的。我要问你,下次也就是我抛第101次,出现正、反的概率是不是相等。我认为是不相等的,出现反面的概率要大于正面。我的理由是,诸如“抛硬币”等独立同分布试验都有无数人试验过,而且次数足够多时,正、反面出现的概率应该是逼近1/2的。也就是说,这个过程,即使是独立同分布的试验它也是有概率的。

    三门问题,亦称为蒙特霍问题(英文:Monty Hall problem),最初的表述形式:

    参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
    
    问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?
    

    很老的问题了,不过在任何时候都能引起激烈的争论,更神奇的是无论直觉派,概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是

    如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了,那么参赛者应该换另一扇门,这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。
    如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门,但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要,胜利概率总是1/2。
    

    简单的证明(如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数):

    我们需要计算P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为1/3;在第一种情况下这个概率为1/2。如果参赛者没有选中汽车门,另一扇门必定是汽车门,所以换门后包含汽车的概率分别为2/3和1/2。
    
    P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车,主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门)             .................(*)
    
    而P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时,主持人打开的必定是山羊门,所以P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。
    
    问题的关键是P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下,主持人每次都有意的打开了山羊们,所以此时P(主持人打开了一个山羊门)=1;在第二种情况下,主持人随机选择了一个门,虽然他是在参赛者选择的门之外选择的,但不难知道这个概率为P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。
    
    将上面数据代入(*)即得出结论。
    

    上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出,从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题「官方」表述将问题严格确定下来(来源:三门问题@wikipedia):

        参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
        主持人知道每扇门后面有什么。
        主持人必须开启剩下的其中一扇门,并且必须提供换门的机会。
        主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
            如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
            如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
        参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道门。
    

    这时候问题被限制在答案的第一种情况,这时候参赛者总是应该选择换一个门。

    要正确理解三门问题,可以再看两个三门问题的翻版:

    女孩的概率

    1. 你结交一位新朋友,问她是否有孩子。她说有,有两个。你问,有女孩吗?她说有。那么,两个都是女孩的概率是多少?

    答:三分之一。

    因为生两个孩子的可能性有四种等可能:BB、GG、BG、GB(即男男、女女、男女、女男)。 因为我们已知至少有一个女儿,所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一,所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

    这对应了三门问题的第一种情况。

    1. 你结交一位新朋友,问她是否有孩子。她说有,有两个。你问,有女孩吗?她说有。第二天,你看见她带了一个小女孩。你问她,这是你女儿吗?她说,是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少?

    答:二分之一。

    这似乎非常奇怪,因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多,但概率却不同。但是这里的问题其实是,那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少?这个概率和生女孩的概率相同,二分之一。

    这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题,必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。
    但是在问题1中,是主动发现的
    你得到的答案依赖于所讲的故事;它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。
    http://zhiqiang.org/blog/science/three-doors-related-problems.html

    如果有大量个门车数量未知,则成为了极大似然估计的范畴

    最大似然估计就是在求似然函数的最大值:
    利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。
    最大似然估计需要分布假设

    似然函数L(α)=∏p(xi | α),右边的连乘表示各个抽样都是统计独立的。这个公式的导出,可以参看维基百科,从贝叶斯公式导出的。
    用维基百科的例子,一个硬币正面朝上的概率是α,如果我们第一次和第二次都是抛出了正面,那α的似然函数L(α)=α*α(两个抽样结果,当然就是两次正面朝上的概率相乘了)

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  • 美国的一个电规游戏节目Let‘s Make a Deal上有一个游戏,规则如下:参赛者会看 见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。...
  • 我与机房里的大佬们轮番舌战,最后才发现了问题的最终解释三门问题 三门问题,也叫蒙提霍尔问题,是一个经典的概率学问题。原题如下:有三扇门,两扇门后面是羊,一扇门后面是车。你随机选择了一扇门,然后主持...

    前言

    关于三门问题和酒鬼问题的矛盾与联系,其实是一个很巨的同学问我,我才开始思考这个问题。我与机房里的大佬们轮番舌战,最后才发现了问题的完美解释。

    三门问题

    三门问题,也叫蒙提霍尔问题,是一个经典的概率学问题。原题如下:有三扇门,两扇门后面是羊,一扇门后面是车。你随机选择了一扇门,然后主持人在剩下的两扇门中打开了一扇门,后面是羊。然后问你的这扇门后面是车的概率是多少。

    正确解法

    一开始选到黑球的概率就是 1 3 \frac{1}{3} 31。主持人给你展示了一扇门后面是羊,这个操作肯定能做到,就和他打了你一拳是一样的,对你选择的球是黑球的概率毫无影响。所以答案是 1 3 \frac{1}{3} 31

    酒鬼问题

    这也是一个经典的概率学问题。原题如下:有一个酒鬼,每天晚上有90%的概率出来喝酒,而他如果出来喝酒的话,将会等概率地去三个酒馆。警察要找这个酒鬼,找了两个酒鬼都没有找到他,问他在第三个酒馆的概率是多少。但在本篇文章中,讨论他在家中的概率是多少。

    错误解法

    酒鬼出门的概率是90%,所以在家的概率是10%。那么排除了两个酒馆,这两个酒馆的概率加在了第三个酒馆上。所以在家里的概率还是10%。

    正确解法

    一开始,在第三个酒馆的概率是30%,在家的概率是10%。排除两个酒馆后,问题的样本容量就发生变化了,在家里的概率就是 10 % 10 % + 30 % = 25 % \frac{10\%}{10\%+30\%}=25\% 10%+30%10%=25%。所以答案是25%。

    两个问题的矛盾

    在三门问题中,排除了一个门,这个门的概率加到了剩下的一个门上;酒鬼问题中,排除了两个酒馆,这些概率却没有加到第三个酒馆上。这是为什么呢?

    两个问题的联系

    上面的矛盾是完全正确的,那这里要解释这个矛盾。
    三门问题用我自己的语言概括一下:有三颗球,两颗白的,一颗黑的,你等概率地选择了一个球,然后另一个人给你展示了剩下的两个球中有一个是白的,问你一开始选到黑球的概率是多少。
    酒鬼问题用我自己的语言概括一下(忽略掉概率的不等):有三颗球,两颗白的,一颗黑的,白的球编号为1和2。你等概率地选择了一个球,然后另一个人给你展示1号白球没有被选。问你选到黑球的概率是多少。
    有没有发现它们的区别?一个在剩下的两个球中挑一个白球展示给你看,一个是给你看某颗球有没有被选。那么它们的答案自然也就不同了。 三门问题,排除了一颗白球,这颗球是黑球的概率自然应该加到剩下的那颗球上,因为所有的球相当于被分成了两个集合,一个集合是被选的球,一个集合剩下的球,而每个集合的总概率是在你选完就已经确定下来了。所以每排除一个球,剩下的那些球的概率都会变大。而在酒鬼问题中,相当于把1号白球拿开,不让你选,所以你选到其它每个球的概率都是平均的。你如果继续排除掉一个固定编号的球,还是相当于一开始这颗小球就不存在。
    现在公布上面两个问题的答案。三门问题模型的答案是 1 3 \frac{1}{3} 31,酒鬼问题模型的答案是 1 2 \frac{1}{2} 21

    总结

    概率是个很神奇又很有趣的东西,一些显而易见的东西却可能不是正确的。多思考,才能发现问题的本质和真谛。

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  • 有趣的概率:三门问题

    千次阅读 2020-06-23 12:14:54
    文章目录什么是三门问题三门问题的意义答案思路1:贝叶斯公式思路2:模拟 什么是三门问题 三门问题亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该...

    在这里插入图片描述

    什么是三门问题

    三门问题亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

    在这里插入图片描述

    三门问题的意义

    换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?

    这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论:虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾,但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

    答案

    参赛选手应该交换另一扇门,因为这样会使得他赢得汽车的概率从1/3增长到2/3。
    不妨先思考一下为什么是这样呢?

    这里我给出两种思路。

    思路1:贝叶斯公式

    假设:
    事件A——选手选择的门后面是汽车
    事件B——主持人开启的一扇门后面是山羊

    注:这里事件B已经发生了,所以P(B) = 1

    好了我们现在要利用贝叶斯中的先验概率的概念,和贝叶斯公式计算P(A|B)

    根据题目不难得到:P(A) = 1/3
    而对于P(B|A) = 1

    P(A|B) = (P(B|A)*P(A)) / P(B)

    • = (P(B|A)*P(A))
    • = 1 * 1/3 = 1/3

    由此我们得到选手一开始选择的门后面是汽车的概率是1/3,因为主持人开启的一扇门后面是山羊,所以最后一扇门是汽车的概率就是2/3。

    如果你想拿汽车的话,还是交换吧。

    思路2:模拟

    就是编程看看呗。
    非常简单,但是结果很有说服力。

    咱们来看看:

    import random
    
    def testThreeDoorsProb(mc = 100000):
        doors = [0, 0, 1]
        host = 0
        braylon = 0
        for _ in range(mc):
            n = random.randint(0, 2)
            if doors[n] != 1:
                boss += 1
            else: 
                braylon += 1
        print('host winning rate : {}%'.format(boss/mc * 100))
        print('Player winning rate : {}%'.format(braylon/mc * 100))
    

    在这里插入图片描述

    三门问题有很多扩展,大家理解底层思路是最好的。
    大家共勉~

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  • 三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门...

    1. 问题描述:

    三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

    2. 一种数学证明方式:

    此问题涉及三个随机变量(是否换门并不是随机变量):

    X : 正 确 的 门 ; X:正确的门; X

    Y : 参 赛 者 选 定 的 门 ; Y:参赛者选定的门; Y

    Z : 主 持 人 开 启 的 门 ; Z:主持人开启的门; Z

    X , Y , Z 可 以 取 值 1 , 2 , 3 ; X,Y,Z可以取值1,2,3; X,Y,Z123

    P { 选 手 换 门 后 获 得 奖 品 } = P { Y = b ∣ X = a , Z = c } = 1 − P { Y = a ∣ X = a , Z = c } ; P\{选手换门后获得奖品\}=P\{Y=b|X=a,Z=c\}=1-P\{Y=a|X=a,Z=c\}; P{}=P{Y=bX=a,Z=c}=1P{Y=aX=a,Z=c};

    P { Y = a ∣ X = a , Z = c } = P { X = a , Y = a , Z = c } P { X = a , Z = c } ; P\{Y=a|X=a,Z=c\}=\dfrac{P\{X=a,Y=a,Z=c\}}{P\{X=a,Z=c\}}; P{Y=aX=a,Z=c}=P{X=a,Z=c}P{X=a,Y=a,Z=c};

    P { X = a , Y = a , Z = c } = P { Z = c ∣ X = a , Y = a } P { Y = a ∣ X = a } P { X = a } = 1 2 × 1 3 × 1 3 = 1 18 ; P\{X=a,Y=a,Z=c\} = P\{Z=c|X=a,Y=a\}P\{Y=a|X=a\}P\{X=a\} = \dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}; P{X=a,Y=a,Z=c}=P{Z=cX=a,Y=a}P{Y=aX=a}P{X=a}=21×31×31=181

    P { X = a , Z = c } = P { X = a , Z = c , Y = a } + P { X = a , Z = c , Y = b } ; P\{X=a,Z=c\}=P\{X=a,Z=c,Y=a\}+P\{X=a,Z=c,Y=b\}; P{X=a,Z=c}=P{X=a,Z=c,Y=a}+P{X=a,Z=c,Y=b};

    P { X = a , Z = c , Y = b } = P { Z = c ∣ X = a , Y = b } P { Y = b ∣ X = a } P { X = a } = 1 × 1 3 × 1 3 = 1 9 ; P\{X=a,Z=c,Y=b\}=P\{Z=c|X=a,Y=b\}P\{Y=b|X=a\}P\{X=a\} = 1×\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}; P{X=a,Z=c,Y=b}=P{Z=cX=a,Y=b}P{Y=bX=a}P{X=a}=1×31×31=91

    所 以 P { X = a , Z = c } = 1 18 + 1 9 = 1 6 所以P\{X=a,Z=c\}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{6} P{X=a,Z=c}=181+91=61

    P { 选 手 获 得 奖 品 } = 1 − 1 18 1 6 = 2 3 P\{选手获得奖品\}=1-\dfrac{\dfrac{1}{18}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{2}{3} P{}=161181=32

    综上所述,选手换另一扇关闭的门后,其获得奖品的概率为 2 3 。 \dfrac{2}{3}。 32

    若选手选择坚持原来的选择,则其获胜的概率为 P { Y = a ∣ X = a , Z = c } = 1 3 P\{Y=a|X=a,Z=c\}=\dfrac{1}{3} P{Y=aX=a,Z=c}=31,论证结束。

    上述各式中a,b,c取值限定为a、b、c互不相等即可,当X=a时,Y=b、Z=c的含义与Y=c、Z=b并没有区别。

    3. 一种直观讨论方式:

    我们只需要把握下面两点:

    • 第一次选择错误时,第二次换门一定会获得奖品;
    • 第一次选择正确时,第二次换门就不会获得奖品;

    所以,第二次换门后获得奖品的概率就等于第一次选择错误的概率,为 2 3 \dfrac{2}{3} 32;若坚持第一次的选择,主持人打开另一扇错误的门与否不影响最后的结果,所以坚持第一次选择,成功的概率为 1 3 。 \dfrac{1}{3}。 31

    4. 一种程序验证方式:

    import random
    
    def reselect(times=10000):
    	winTimes = 0
    
    	for i in range(times):
    		doors = [1,2,3]
    		random.shuffle(doors)
    		
    		cannotOpenDoor = []
    		
    		selectDoor = random.choice(doors)
    		cannotOpenDoor.append(selectDoor)
    
    		winnerDoor = random.choice(doors)
    		cannotOpenDoor.append(winnerDoor)
    
    		if(len(set(doors) - set(cannotOpenDoor)) == 1):
    			winTimes += 1
    
    	print(winTimes / times)
    
    
    
    reselect()
    

    测试结果:

    当times = 1000000时,结果为0.66692近似为2/3

    • 另一种角度:独立性

    (在编程的过程中,很容易发现主持人打开某扇门这一随机事件并不是独立的,所以这一事件的出现影响了最终的结果)。


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空空如也

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三门问题的概率论解释