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  • 超几何分布

    千次阅读 2019-03-19 21:12:00
    超几何分布 一般的,在含有\(M\)件次品的\(N\)件产品中,任取\(n\)件,其中恰有\(X\)件次品,则事件\(\{X=k\}\)发生的概率为\(P(X=k)=\cfrac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\),(\(k=0,1,2,\cdots,m\)),...

    前言

    一、数学模型

    • 超几何分布

    一般的,在含有\(M\)件次品的\(N\)件产品中,任取\(n\)件,其中恰有\(X\)件次品,则事件\(\{X=k\}\)发生的概率为\(P(X=k)=\cfrac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\),(\(k=0,1,2,\cdots,m\)),其中\(m=min\{M,n\}\),且\(n\leq N\)\(M\leq N\)\(n\)\(M\)\(N\in N^*\),称这样的分布列为超几何分布列,如果随机变量\(X\)的分布列具有下表的形式,则称随机变量\(X\)服从超几何分布。

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    如果\(X\)服从参数为\(n\)\(M\)\(N\)的超几何分布,记作\(X\sim H(n,M,N)\),其数学期望\(E(X)=\cfrac{nM}{N}\)

    二、应用实例

    ①10件产品中含有3件次品,从中任意取4件产品,所取出的次品件数服从超几何分布;

    ②袋中有8红球4白球,从中任意摸出5个球,摸出红球个数服从超几何分布;

    ③某班45个学生,女生20人,现从中选7人做代表,代表中所含女生的人数服从超几何分布;

    ④15张卡片中含有5件写有“奖”字,从中任意取3件产品,所取出的卡片中含有奖字的卡片张数服从超几何分布;

    ⑤10位代表中有5位支持候选人\(A\),随机采访3人,其中支持候选人\(A\)的人数服从超几何分布;

    ⑥盘中装有10个粽子,豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,从中任选3个,取到的豆沙粽的个数服从超几何分布;

    注意:在具体题目中,可能需要将上述的三类数据转化为两类数据:豆沙粽子和非豆沙粽子。

    三、典例剖析

    例1【2015高考天津卷】

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    解后反思:

    ①超几何分布的特点是:总体有A,B两类元素(如男女、正品次品等)组成,从总体中不放回的取出一定数目的元素,其中含有一类元素的个数即服从超几何分布;

    ②在具体题目中给定的数据种类比较多时,可能需要将其转化为需要的两类。比如本题目第(1)问中,为求解选出的4人中有2个种子选手,且种子选手来自同一协会,我们需要将甲乙两个协会的给定人数转化为两类:情形一,一类为甲协会的2个种子选手,另一类为3个非种子选手,此时将乙协会的两个人不予考虑;情形二,一类为乙协会的3个种子选手,另一类为3个非种子选手,此时将甲协会的两个人不予考虑;本题目第(2)问中,需要将8人分为两类:一类是5个种子选手,另一类是3个非种子选手。

    ③超几何分布中随机变量取各个值的概率是古典概型,使用古典概型的分式进行计算。

    例2【2018聊城模拟】
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    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10534758.html

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  • 超几何分布 百度解释 https://baike.baidu.com/item/超几何分布/4782968?fr=aladdin 通俗解释 超几何分布中的参数是M,N,n,超几何分布记作X~H(N,M,n) 。假如一共有100颗球,20颗为红球,80颗为白球,从中不放回地...

    超几何分布

    百度解释

    https://baike.baidu.com/item/超几何分布/4782968?fr=aladdin

    通俗解释

    超几何分布中的参数是M,N,n,超几何分布记作X~H(N,M,n) 。假如一共有100颗球,20颗为红球,80颗为白球,从中不放回地拿出10个球,抽中k次红球的概率为在这里插入图片描述或者在这里插入图片描述,其中N = 100, M = 20, n = 10。
    满足这种分布的被称为超几何分布。

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  • 伯努利随机变量、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布导语 对于任何一个学习概率论的童鞋来说,各种分布都是很头痛的一件事情,本篇主要讨论的是离散型随机变量.伯努利分布 伯努利分布就是我们常见的0-1分布...

    导语

           对于任何一个学习概率论的童鞋来说,各种分布都是很头痛的一件事情,本篇主要讨论的是离散型随机变量.

    伯努利分布

           伯努利分布就是我们常见的0-1分布,即它的随机变量只取0或者1,各自的频率分别取 1p p ,当x=0或者 x=1 时,我们数学定义为:

    p(x)=px(1p)1x

           其它情况下 p(x)=0 ,伯努利分布是一个非常好理解的分布,也是很多其它分布的基础。

    离散型随机变量期望: E(x)=xp(x)
    方差: D(x)=E(x2)E2(x)

           对于伯努利分布来说, E(x)=1p+0(1p)=p,D(x)=12pp2=p(1p)

    二项分布

           二项分布是这样一种分布,假设进行n次独立实验,每次实验“成功”的概率为 p ,失败的概率为1p,所有成功的次数 X 就是一个参数为n p 的二项随机变量.数学公式定义为:

    p(k)=(nk)pk(1p)nk

           二项分布公式基于伯努利分布得到,因为二项分布中每项实验都是独立的,因此每一次实验都是一次伯努利实验,在 n 次实验中,成功k次,排列方式有 (nk) 种,根据乘法原理,即可得到二项分布的公式。

    话外:对于均值和方差的计算, Xi 是标准的伯努利分布,总发生次数 X=n1Xi ,所以 E(X)=E(n1Xi)=n1E(Xi)=np ,同理方差 D(x)=n1D(Xi)=np(1p)

    几何分布和负二项分布

           这是一个比较简单的分布,其中负二项分布是几何分布的一般形式,几何分布与二项分布类似,也是由 n 次伯努利分布构成,随机变量X表示第一次成功所进行试验的次数,则

    p(k)=P(X=k)=p(1p)k1,k=1,2,3,...

           负二项分布是几何分布的一般形式,表示直到成功r次停止,显而易见,当r=1时,它就是几何分布,则
    P(X=k)=(k1r1)pr(1p)kr

    关于几何分布的期望与方差, E(X)=1/p D(x)=(1p)/p2 ,关于期望的证明, E(X)=n=1npqn1=pn=1(qn)=p(n=1qn)=1/p ,方差证明与期望证明类似,不再赘述…

    超几何分布

           非常常见的一种分布,常用来表示在 N 个物品中有指定商品M个,不放回抽取 n 个,抽中指定商品的个数,即X~ H(N,n,M) ,则抽中k件的概率为:

    p(k)=P(X=k)=(Mk)(NMnk)(Nn)

           实际应用中超几何分布例子很多,比如彩票开奖你所符合的数字个数等。

    泊松分布

           泊松分布是离散型随机变量分布中相对较难的一种,泊松频率函数定义为:

    P(X=k)=λkeλk!k=0,1,2,3,...

           泊松分布是二项分布的极限形式,可有二项分布概率公式推导得出,其中 λ=np ,当 n>>p 时,
    p(k)=(nk)pk(1p)nk=n!pk(1p)nkk!(nk)!=n!(λn)k(1λn)nkk!(nk)!=λkk!n!(nk)!k!(1λn)n(1λn)k

    n ->时, λn ->0, n!(nk)!k! ->1, (1λn)n -> eλ (1λn)k ->1,所以
    p(k)>λkeλk!

    泊松分布的期望和方差均为 λ ,证明过程严格按照定义即可,注意在证明过程中使用到了 eλ

           泊松分布主要用来研究单位时间或单位空间内某时间的发生次数,同时事件的发生必须是相互独立的,比如单位时间内通过某一交通灯的车辆数等。 λ 大概等于20时,泊松分布基本可以近似为正态分布进行处理。
           泊松分布用来衡量事件的稳定性是一个不错的方法,再配合一些统计学上的检验方法,能够做很多东西,在之后的连续型随机变量中,有一种分布叫指数分布,它与泊松分布密不可分,可由泊松分布推导出…..敬请期待.

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  • 伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布都是离散型随机变量。 1 伯努利分布:就是常见的0-1 分布,各自的频率为1-p和p ,当x=0 或者x=1 的时候,: p(x) = 期望: 方差: 对于伯努利分布来说 ,...

    伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布都是离散型随机变量。

    1 伯努利分布:就是常见的0-1 分布,各自的频率为1-p和p ,当x=0 或者x=1 的时候,:

    p(x) =

    期望:   方差: 

    对于伯努利分布来说 ,期望

    2 二项分布:

    假设·n次独立实验,每次实验成功的概率为p,所有成功的次数X就是一个参数为n和p的二项随机变量,数据公式为:

    二项分布的每一次实验都是伯努利分布,n次实验,成功k次,排列方式有种。

    总发生次数,,均值:,方差:

     

    3 几何分布和二项分布:

    负二项分布是几何分布的一般形式,与二项分布类似,也是有n次伯努利分布构成,随机变量X 表示第一次成功所进行试验的次数:

    p(k)=P(X=k)=,k=1,2,3,...

    负二项分布是几何分布的一般形式,表示直到成功r次停止,显而易见,当r=1 的时候,它就是几何分布:

    几何分布的期望和方差

    4 超几何分布:

    常用来表示N个物品中有指定商品M个,不放回抽取n个,抽中指定商品的个数,即X-H(N,n,M) 则抽中k件的概率为:

    5 泊松分布:

    频率函数定义为,k=0,1,2,3,...

    泊松分布是二项分布的极限形式。

     

     

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