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  • 随机微分方程

    2013-01-16 17:30:46
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    教材

    STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS AND APPLICATION(Second Edition)

    Author:Professor Xuerong Mao

    前言

    最近约了一个酒局,跟朋友“小酌一二”,酒酣耳热,好不热闹。最后也是靠着这位朋友,我才回到了家,进去便放下电脑包,脱掉外套,然后便砸在了床上,不知世事。醒来时已是深夜,头昏脑胀,想睡又睡不着,不如回来填坑。今天讲一下随机微分方程理论,争取把第二章写完,实在不行先写一点,后面再补(不会咕,不会咕)。我个人脑子不太好使,经常会忘记一些东西,所以每次上课时也都会帮助同学们复习一下之前的内容。这也是一个好的方法,以避免讲完了第二章,然后就直接讲到了第四章。(我真的干过这样的事情)。知乎上搞随机微分方程的朋友也比较少,大家也可以自由转载,如果要是修改或者拿去干别的事情,那最好还是联系一下笔者吧。

    前情提要

    在上一篇文章当中,我们讲述了布朗运动和随机积分的基本概念。其中,随机过程是建立在概率空间与测度空间上的,关于时间和随机变量的函数。因而我们会利用σ-代数作为分析的基本工具,并且要求在时间轴上的可测、连续等性质。后面我们讲述了停时,我们可以直观地理解为,在知道了t时刻及以前的信息后,就可以断定当前过程是否已经停下,而后面的随机变量值与现在的随机变量值是否相关。鞅可以理解为“公平游戏”,未来的期望等同于现在的值。二次变分可以理解为小区间段函数值差的平方逐项累计求和,而由此给出布朗运动的定义和性质。之后我们给出了Ito积分的定义与Ito公式,在M2空间和L2空间讨论积分的可积性问题,并且为第二章Ito型随机微分方程的一般理论进行铺垫。


    正文

    Ito型随机微分方程理论脱胎于Ito积分和Ito公式,我们给出其一般形式:

    其中f和g都是给定的普通Borel可测函数,B是给定的m维Brownian运动

    对于式子(1.2)我们自然有如下的问题:

    1. 方程1.2的解是什么,具有什么样的意义
    2. 在什么条件下方程1.2的解存在且唯一
    3. 方程1.2的解具有什么样的性质(分析学性质、轨道性质),并且解是否具备稳定性
    4. 我们对给定的一个类似1.2的方程,能否求其近似解

    1. 随机微分方程解的意义

    2.解的存在唯一性定理

    定理1 对于具有初值的d维Ito型随机微分方程

    的系数f(x,t)和g(x,t),如果存在两个正常数m和M,使得

    那么该方程存在唯一的解x(t)且属于M2([t_0,T]; R^d)空间。该结论显然,留给读者自证(大雾)

    条件2.3和2.4在作为假设条件下,所能够得出结论的强度是十分令人满意的,能够保证解的存在且唯一。但是这个假设太强了,有一些函数比如|x|^2,sin(x^2)都不满足一致Lipschitz条件,所有下面我们引入两个稍弱一些的条件,但是同样可以用来确保解的存在唯一性。我们将一致Lipschitz条件替换为了局部Lipschitz条件,而线性增长条件改为了单调性条件。

    其实解的存在唯一性并不是直接放进来的,一开始会给出一个反例,来说明某个随机微分方程(甚至是退化后的常微分方程)中不存在(唯一)解。之后我们也会讨论全局解和局部解的概念,但是这里就不展开说明了。顺便一提,解的存在唯一性定理证明过程还是比较复杂的,会用到Picard迭代过程和Gronwall不等式,而这些东西都是研究随机微分方程的常用工具。

    3. 解的估计

    • 解的L-p矩估计
    • 解的几乎处处渐进估计
    • 解的轨道估计

    4. Ito型随机微分方程的近似解

    • Caratheodory近似解
    • Eular-Maruyama近似解

    5. SDE与PDE的桥梁: Feynman-Kac公式

    随机微分方程在数学当中的主要应用之一就是偏微分方程解的随即表示(明明是我先来的),我们用随机微分方程的解来表示一些偏微分方程的解,而这个表达式就是Feynman-Kac公式。

    6. 随机微分方程解的Markov性

    总结?

    我醒酒了,摸了,RUA~

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