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  • 多元隐函数求导

    2020-04-05 13:01:19
    多元隐函数求导求助

    多元隐函数求导求助

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  • 031 隐函数求导

    2017-10-06 20:15:38
    031 隐函数求导

    031 隐函数求导


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  • 高数篇:隐函数求导

    2021-01-12 18:42:26
    高数篇:隐函数求导高数篇:隐函数求导求解隐函数前提条件(基础知识)隐函数的表达形式解析隐函数的求导转载需注明出处 高数篇:隐函数求导 隐函数的定义笔者就不在这里复制粘贴了,教材里面的解释专业的多的多,...

    高数篇:隐函数求导

    1. 隐函数的定义笔者就不在这里复制粘贴了,教材里面的解释专业的多的多,认真读个十几分钟就能理解清楚;
    2. 主要记录下隐函数求解过程中需要了解清楚的东西,笔者认为这里还是有需要搞懂的细节点,特别是到了后面的多元微分求导就显得炒鸡重要了,没有理解清楚这些知识点,可能看到教材后面的解题步骤脑子里会有很多个十万个为什么;
    3. 笔者也是菜鸡,文中如有理解错误望各位大佬笔下留情且指点一二,3Q;

    求解隐函数前提条件(基础知识)

    1. 四则求导法则(重中之重)
    2. 复合求导法则(重点)
    3. 隐函数的定义

    为了复习方便,下面给出隐函数的大概介绍。

    隐函数的表达形式

    有隐就有显,在提出隐函数之前,先看看显函数是怎样的,显函数就是初高中数学书中的常见的函数表达形式,例如:
    在这里插入图片描述
    而隐函数就是以下这种函数的表达形式了:
    在这里插入图片描述
    两者区别在于:前者是等号左右端分别是因变量和自变量的符号,后者则更多的是把x和y都当成变量并且根据函数式计算等于右端值。

    PS知识点(为啥隐函数求导又不同于显函数):
    而隐函数转化显函数的形式又称为:隐函数的显化。
    众所周知,显函数求导相较于隐函数求导来说是简单的多的(不解释),但不是所有的隐函数都能转化为显函数而后再求导。
    那么不能转化,隐函数又怎么进行求导呢?

    解析隐函数的求导

    不能转化的,只能强行求导。/狗头
    Sorry,这里笔者自己就不编栗子了,下面我就上教材的栗子了:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (重中之重):
    很明显的教材也把重点注释了出来,在隐函数求导的过程中,只含x的变量式或者常数项是明显的显式求导,但:

    1. y的变量式或者含有y的变量式则把y当成了是关于x的函数(因为x和y本来就存在一种映射关系)。
    2. y的变量式或者含有y的变量式则是通过四则求导法则复合函数求导法则进行求解的。
      例如上述方程求导中,e的y次幂关于x的求导,则是利用了复合函数求导法则:(设u=e^y)du/dy*dy/dx=du/dx,则求出了e的y次幂关于x的导数。

    对数求导法(特定条件)

    满足一定条件的求导,可以应用对应的方法快速解答,如以下形式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    运用对数求导法需要了解清楚对数变形的四则运算性质,这个初高中的知识笔者就不介绍了,看的不是很懂的兄弟们就得复习下对数的相关知识了,上面如果看数学介绍就头晕的兄弟们可以直接看下面栗子:
    在这里插入图片描述
    提问:为什么要引入这个方法,用原始的求导法不行吗?
    对于上述幂指函数,这种特别的函数方程,原始的求导法肯定也是可以的,但是那样会增加计算的复杂程度和计算时间,如果采用对数求导法,就远远的把很多因素甩掉了,所以为什么不呢?

    [1]: 高等数学 第7版 上册 同济大学

    转载需注明出处

    https://blog.csdn.net/qq_49710945/article/details/112541377

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  • 9.5 隐函数求导法则

    2021-01-31 18:56:33
    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、概念阐明 1.什么叫隐函数? 形...

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
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    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
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    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
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    例题

    例2
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    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
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    开始把定理梳理一下
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    例题

    例3
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    例4
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    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

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