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  • 隐函数求导
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    2021-04-18 06:30:55

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    Matlab中求函数全微分的命令为: diff ? z, x ? ? diff ? z, y ? (3)隐函数求导 Fx dy 方程 F ( x, y) ? 0 所确定的隐函数 y ? y ( x) ......

    , 连续两次利用 命令就可以求出结 (3)隐函数求导 方程 方程 所确定的隐函数 确定的隐函数 ,其导数为 ,其导数为 在Matlab中按照上述公式,分别求出函数的偏......

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    多元隐函数求导方法


    一、一个方程的情形

    1.F(x,y)=0

    隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数(条件1),且
    F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0

    F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{y}^{'} (x0,y0)\ne0 Fy(x0,y0)=0

    (条件2)则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的
    某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f (x),它满足条件 ,并有
    d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'} } dxdy=FyFx
    以上同时为隐函数的求导公式为

    1. F(x, y, z) = 0

      隐函数存在定理 2 设函数F(x, y, z)在点 P(x0,y,z0)某一领域内有连续的偏导数(条件1),且F(x0,y,z0)=0,
      F z ’ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_{z}^{’}(x0,y0,z0)\ne 0 Fzx0,y0,z0)=0
      (条件2)则方程F(x, y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一领域内恒有唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有
      ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial x}=-\frac{F_{x}^{'} }{F_{z}^{'} } xz=FzFx

      ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial y}=-\frac{F_{y}^{'} }{F_{z}^{'} } yz=FzFy

      对于求二次偏导,可以使用两种该方法:1、等式两边同时求偏导,利用类似一元隐函数的隐函数求导。

      2、利用上文展示的求导公式。

      warning

      在解法一中,我们在对x和y求偏导时,仍要将他们看作是z的自变量,亦指将z看作是(x,y)的二元函数;

      在解法二中,我们求F(x,y,z)的三个偏导数时要注意,要将xyz看作独立的自变量。

    ​ 3、对于一些式子还可以对于等式两边取微分。

    二、方程组的情形
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    隐函数存在定理3 设F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在
    点P(x0,y0,u0,v0)的某一领域内有对各个变量的连续偏导数(条件1,//可见连续偏导是最高级条件),且F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,(条件2)且偏导数所组成的函数行列式(雅可比式
    J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v ∣ J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} J=(u,v)(F,G)=uFuGvFvG
    在P点函数值不等于零(条件3),则方程组在P 的某一领域内恒有唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且将P点带入,函数成立(条件4//与条件2类似,指符合P点要求)。

    ​ 对于偏导数的求值,应当采用推导证明法。

    例:
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    有隐函数组:
    { v = v ( x , y ) u = u ( x , y ) \left\{\begin{matrix} v=v(x,y) \\ u=u(x,y) \end{matrix}\right. {v=v(x,y)u=u(x,y)
    则:
    { F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 G ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0\\ G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u(x,y),v(x,y))0G(x,y,u(x,y),v(x,y))0
    两边对于x求导
    { F x + F u ⋅ ∂ u ∂ x + F v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 G x + G u ⋅ ∂ u ∂ x + G v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 \left\{\begin{matrix} F_{x}+F_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+F_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \\ G_{x}+G_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+G_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{matrix}\right. {Fx+Fuxu+Fvxv=0Gx+Guxu+Gvxv=0
    这是
    ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ x \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x} xvxv
    的线性方程组,对于这个线性方程组运用克拉默法则,求解。

    展开全文
  • 【数学】 隐函数求导法则

    万次阅读 多人点赞 2021-08-12 22:26:40
    【数学】 隐函数求导法则 本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、...

    【数学】 隐函数求导法则

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
    在这里插入图片描述
    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
    在这里插入图片描述

    例题

    例2
    在这里插入图片描述

    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
    在这里插入图片描述
    开始把定理梳理一下
    在这里插入图片描述

    例题

    例3
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述

    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

    展开全文
  • 本文介绍了利用隐函数、对数、以及参数方程求导的概念和方法。

    一、隐函数概念

    用y=f(x)这种方式定义的函数叫显函数,而隐函数是指没有使用这种方式定义,而是用类似F(x,y)=0这种方程方式来定义x和y关系的方式。

    一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

    把一隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。例如从方程x+y-1=0解出y=1-x,就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的,但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。

    二、隐函数求导

    隐函数实际上是一个方程,对于方程F(x,y)=0,可以对该方程两边对x求导,求导的结果还是一个方程。但求导中要注意,该方程隐含了y=f(x),因此y不能看做常数处理。例如,针对方程:
    xy=0
    两边对x求导,可以得到的方程是:(xy)’=x’y+y’x=y+xy’=0
    这样就能得到一个关于x、y、y’的方程,如果能将y’用x和y的方式表达出来,就得到了隐函数y的导数公式,当点(x0,y0)的坐标值确定时,在该点的导数值就能确定。

    为了清楚说明,下面贴一个书中的例子:
    在这里插入图片描述

    三、对数求导法求导

    求函数y=f(x)的导数在某些情况下,将函数两边先同时进行取对数运算再求导有助于化复杂为简单。老猿认为这是应为对数可以把指数或求根运算转换为乘积运算,可以把乘积运算转换为加减运算,实现了运算的降维。

    指数运算转换为乘积运算的案例请见《y=x^sinx(y=x的sinx次方)为什么不能用复合函数直接求导数?》。

    乘积、方根运算转换请见书中如下案例:
    在这里插入图片描述

    四、参数方程求导法

    前面第二部分介绍的隐函数是对F(x,y)=0的方程求导,但有时x和y不是建立直接关系,而是各自与第三个参数建立方程关系,此时的方程就是参数方程。

    一般地,方程组:
    x=g(t)
    y=h(t)
    确定了y与x之间的函数关系,上述方程组就是参数方程,由该参数方程确定的y与x的关系函数y=f(x)就称为参数方程确定的函数。

    针对参数方程确定的函数y=f(x)求导,由于二者之间都是通过t关联,要将其表达为y=f(x)方式需要去除参数t,但有些情况t不容易去掉,这时可能可以通过参数方程计算出y=f(x)的导数。

    上述参数方程所确定的y关于x的函数的求导公式如下:
    在这里插入图片描述
    如果h(t)、g(t)是二阶可导的,那么从上述一阶导数可以得到函数对应的二阶导求导公式如下:
    在这里插入图片描述

    参数方程求导的一个应用案例

    在这里插入图片描述

    五、小结

    本文介绍了利用隐函数、对数、以及参数方程求导的概念和方法。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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    2021-05-26 01:58:49
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空空如也

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隐函数求导