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  • 高阶导数

    2020-02-20 17:04:07
    一、高阶高数 1.1、由加速度引出二阶导数 1.2、高阶导数的定义

    一、高阶高数

    1.1、由加速度引出二阶导数

    在这里插入图片描述

    1.2、高阶导数的定义

    在这里插入图片描述

    二、习题

    2.1、习题1: 添加中间变量

    在这里插入图片描述
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  • 前言:高阶导数对于一阶二阶导数来说更难一些,更富有技巧性,大多数情况下不允许你蛮干,有些常用的规律必须得记住,当然学会这些知识的前提,还是得把16个基本求导公式得背熟,背不熟做一步卡一步。正文:1.高阶...

    前言:高阶导数对于一阶二阶导数来说更难一些,更富有技巧性,大多数情况下不允许你蛮干,有些常用的规律必须得记住,当然学会这些知识的前提,还是得把16个基本求导公式得背熟,背不熟做一步卡一步。

    正文:

    1.高阶导数的定义:

    700862a21573f427683083a37d33bc18.png 函数 700862a21573f427683083a37d33bc18.png 的导数9d9a70980ac057bd2c819f8393b4ac42.png 仍是 x 的函数,通常把导函数9d9a70980ac057bd2c819f8393b4ac42.png 的导数叫做函数的二阶导数,记作c8f4eb893be82c879388a4d024712bea.png 

    4bec7c18e67896f4a7a975ad54925d27.png或者可以写成:1991846b0a7380e5e5f9af74f2fd065a.png

    类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地,n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数,即

    742327f2eda888a95c1635c00922d26c.png分别记作7c51f7a73089c1fd69f5a36e4e0c5073.png

    或者写为95b548ab33fbf77be4a0bb6877e2e292.png二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。        *该词条来自于百度百科

    2.高阶导数运算方法

    ①归纳法(思想是逐次求导,找出规律得通式)

    栗子1

    01338f37443d59146ba5de0602ada6a2.png

    它的一阶导数到n阶导数的式子如下

    f04e3f07ea8c5334f494a2a7541c52a7.png

    得出通式得

    9a7764d26b35a50ef5325f9bf349f012.png

    栗子2

    5995fbbf06efe3077a3eac25260b8eb7.png

    栗子3

    0dc1f3b0d1057ce27382ca20d3d98020.png

    通过若干阶导数的计算可看出,sinx的高阶导数具有一种循环性,其循环规律涉及两个因素,一是总在sin x 和 cos x 之间交互转换,二是符号交互变化

    由于涉及两个变化因素,使得确定导数规律相对困难,故考虑改写各阶导数形式,以减少其间变化因素,并使其和导数阶数发生联系

    重要的高阶求导公式

    45d1227030f5b46ad0b9db424cace007.png

    4766f050e2dde1aafb21d282b8de4bfa.png

    ②用高阶导数求导公式

    5f4b8d6e8b02e5478e608497e75ab421.png

    445ae201c494b70ad577d434e3106041.png个公式被称为莱布尼兹公式

    如果见到两个乘积的高阶导数,一般用莱布尼兹公式即可,同时要结合上述所给的公式来求解,若求一个高阶导数比较困难时,若能转化成两个函数乘积的形式,亦用莱布尼兹公式

    栗子4

    9a30f4f72d7483e58f5fe2cd861792df.png

    栗子5

    e3116572ea6e772dfb544d649698b2d3.png

    栗子6

    9b3884b8b973a9aa0eb7bb940537a1a0.png

    3.泰勒公式或麦克劳林公式,比较系数

    如果52b0dccc35723adb476670f516dedf88.png 在点x=x0具有任意阶导数,则幂级数

    1e001af7fdb9e0014a7807306f3c6c6a.png

    称为 52b0dccc35723adb476670f516dedf88.png 在点x0处的泰勒级数在泰勒公式中

    取x0=0,得到的级数7045801d013e385f6d195bc578e309f4.png称为麦克劳林级数

    常见的幂级数展开式

    bdc3ba2340f238bbad622a0601df3ee2.png

    栗子7

    cf55cb7607ff3b49afa0ef0dce0edb21.png

    4da902f50219eb258952dd2ab45a66af.gif

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  • 高阶导数的概念(掌握、重点);2.简单函数的高阶导数(掌握:数学归纳法、莱布尼茨公式);二、考研必做习题同济6版《高等数学》习题2-3:2(9),3(3),6(9)、(10),7(8),8(4),9,10(2),11(4)(9);一、高阶导数的概念...
    考研要求一、主要内容及考研要求

    1. 高阶导数的概念(掌握、重点);

    2. 简单函数的高阶导数(掌握:数学归纳法、莱布尼茨公式);二、考研必做习题同济6版《高等数学》习题2-3: 2(9),3(3),6(9)、(10),7(8),8(4),9,10(2),11(4)(9)

    681be375bdc05924f36198a12d921e42.png

    一、高阶导数的概念

    引例: 变速直线运动S= s(t)

    85f822059720f1d4295b7b793225b2c5.png

    2.二阶导数的力学意义

    若x表示时间变量,f(x)表示物体作直线运动时的路程函数,则f"(x)是物体的加速度函

    数.

    c41dfb0c94b13a81b6029136b018ec4c.png

    类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推,n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作

    c0d7561792318415f6b686a2c489eb1f.png

    4ea27cfd3366a7432607dc94a90e875b.png

    注意:上述公式中μ≥n.

    21f9b312398ad836e8133b03266978c6.png

    dd5649b7ff5a2b99761bea9342e1a989.png

    二、高阶导数的运算法则

    莱布尼茨(Leibniz) 公式:

    设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数,则

    95016acca1815817882f59526c8cc02d.png

    03b4cafd6a11d32e256ed9802c793326.png

    08f53923b8b8310311e747b1ef6e8853.png

    内容小结高阶导数(n阶导数)的求法:对给定的函数y = f(x) , 我们可逐阶求导法求出高阶导数. 对某些函数如何求出n阶导数表达式? 常用如下方法:方法1(归纳法): 先逐一求出y=f(x)的一、二、三阶导数等,若能观察出规律性,就可写出y(n)的公式,然后用数学归纳法证明; 方法2(分解法): 通过恒等变形将函数f(x)分解成f(x)=f1(x) +f2(x). 若能求 f1(x) 与f2(x)的n阶导数, 则f1(x) 与f2(x)的n阶导数就为f(x) 的n阶导数.方法3(莱布尼茨公式):

    9a39fcd3cd84a8c83757dce9412387d6.png

    方法4(利用初等函数的n阶导数公式)常用的高阶导数公式:

    6f1b2d66986d265f0cd18c36f4ee6354.png

    ad57e87fe1a88aefed97ec501f6291e7.png

    90d92c3d344424b3526c10b9a461f9d7.png

    597adc06587bb8b55b35ab46aeb7c017.png

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    0045c8d381049086fbc46faee1e175fd.png

    思考与练习:如何求下列函数的 n 阶导数?

    65c4593e68a0d045c7f340d01cc4d3bd.png

    222e8f776cbbdaef899062e14c6e3b87.png

    780ea083a036b97a0c23617e35f8da91.png

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  • 今年的考研大纲已经发布了,数学可是一点变化都没有啊。所以大家接下来需要做的...高阶导数的解题方法高阶导数的题有三种最常见的解题方法:归纳法莱布尼茨公式法展开式法今天我们来学习一下归纳法有的同学可能会说...

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    今年的考研大纲已经发布了,数学可是一点变化都没有啊。所以大家接下来需要做的就是按照自己的节奏稳扎稳打的复习就欧克了。如果小可爱们比较迷茫,不知道接下来如何复习是好,点击【 2020考研数学7-12月详细复习规划】查看哦。

    今天我们来学习一下数学二必考知识点——高阶导数。

    高阶导数的解题方法27aaabcb75be9f5ef16ae81d7021476d.png

    高阶导数的题有三种最常见的解题方法:

    1. 归纳法

    2. 莱布尼茨公式法

    3. 展开式法

    今天我们来学习一下归纳法

    有的同学可能会说归纳法真的是太小儿科了,太没技术含量了。考试一定不会考。

    那你就大错特错了,在你未来的研究生生涯中,会有无数的实验数据需要你去总结寻找规律。所以一定不要轻视归纳法。

    例题讲解27aaabcb75be9f5ef16ae81d7021476d.png

    接下来我们来做一道经典例题

    cf2912642e39f345563f17679589078b.png

    一般归纳法我们就求3~4次导就可以找到规律了。如果没发现就要想着其他方法。

    9260569e81d4b9be6a9d745b9693c247.png

    根据观察我们可以轻易得到

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    一元微分学往期回顾

    1.考点之导数的定义及用法

    2.求导的方法之四则运算法则

    3.求导技巧之取对数求导法

    【注】第一讲极限的考点已经给大家整理完了, 点击菜单【爱启航】-【数学考点】,到达下面这个页面,进行回顾哦。

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  • 结论:该函数的高阶导数为证明过程如下:两个可导函数的乘积的高阶通式为下面我们用归纳法证明多个函数的高阶导数的通式!首先,当k=2时此时命题成立。然后,我们假设当k=m时,该命题也成立。即,下面的等式成立。...
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    2017-11-30 09:11:53
    高阶导数
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  • 自然数学-高阶导数

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