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  • 重磁异常场及其高阶导数的正演公式与程序,带程序,很经典的教材
  • 本文介绍了高阶导数的定义、莱布尼茨(Leibniz)等高阶导数运算公式以及几个函数的高阶导数求导公式。

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    一、定义

    一般地,函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数。我们把y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y’‘或
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    相应地,把y=f(x)的导数f’(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数。类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数······一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作:
    y"’,y(4),…,y(n)

    在这里插入图片描述

    函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n 阶可导。如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

    求高阶导数就是按前面学过的求导法则多次接连地求导数,若需要函数的高阶导数公式,则需要在逐次求导过程中,善于寻求某种对应的规律。

    二、几个初等函数的高阶导数

    1、指数函数y=ex的高阶导数

    y=ex的高阶导数:y(n)=(ex)(n)=ex

    2、正弦函数、余弦函数的高阶导数

    y(n)=(sinx)(n)=sin(x+n×π/2)
    y(n)=(cosx)(n)=cos(x+n×π/2)

    3、对数ln(1+x)的高阶导数

    y(n)=[ln(1+x)](n)=(-1)n-1(n-1)!/(1+x)(n)

    4、幂函数y=xu的高阶导数

    当n<=u时:

    y(n)=(xu)(n)=u(u-1)…(u-n+1)xu-n

    当u=n时,实际上上述公式的结果值为:n!,即:(xn)(n)=n!

    当n>u时,(xu)(n)=0

    三、高阶导数运算公式

    1、加减法

    (u ± v)(n)=u(n) ± v(n)

    2、乘法

    在这里插入图片描述
    上述公式称为莱布尼茨(Leibniz)公式。例如:

    (u v)"=u"v+2u’v’+uv"
    (u v)"’=u"‘v+3u"v’+3u’v"+uv"’

    四、小结:

    本文介绍了高阶导数的定义、莱布尼茨(Leibniz)等高阶导数运算公式以及几个函数的高阶导数求导公式。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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  • 求导法则和高阶导数

    2020-12-18 06:04:19
    示例1:y=(sinx)10求导 这是一个典型的符合函数,内部函数是u=sinx,外部函数是y=u10,根据公式: 示例2:sin(10x)求导 高阶导数 高阶导数实际上是对导数求导,也就是不断求导。 二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶...

    https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/7410517.html

    和、差、积、商求导法则

    设u=u(x),v=v(x)都可导,则:

    (Cu)’ = Cu’, C是常数

    (u ± v)’ = u’ ± v’

    (uv)’ = u’v + uv’

    (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

    1、2不解释,下面给出3、4的推导过程

    乘法法则的推导过程

    乘法法则可扩展:

    除法法则的推导过程

    示例1:f'(1/x)

    根据除法法则:

    示例2:f'(x-n)

    根据除法法则:

    上式结果也可直接根据幂函数求导法则得出,幂函数f(x) = Xn的导数:f’(x) = nxn-1

    示例3:(secx)’

    链式求导法则

    链式求导法则也称为复合函数求导法则。若u=g(x)在x点可导,y=f(u)在u=g(x)点可导,则y=f(g(x))在x点可导,其导数是:

    第二种写法看起来更好理解。

    示例1:y=(sinx)10求导

    这是一个典型的符合函数,内部函数是u=sinx,外部函数是y=u10,根据公式:

    示例2:sin(10x)求导

    高阶导数

    高阶导数实际上是对导数求导,也就是不断求导。

    二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶导数u’’’;四阶导数不能再用撇号表示了,需要使用上标u(4);n阶导数u(n)。在训练集中,上标也被表示为第几组训练集,在此我们看到,数学中的符号经常会被重用,在不同上下文中有不同的含义。

    sinx的二阶导数:(sinx)’’=(cosx)’=-sinx

    高阶导数也有不同的表示法,以三阶导数为例:

    看起来越来越乱了-_-|||

    幂函数的高阶导数

    D1xn = nxn-1

    D2xn = ( D1xn)’= (nxn-1)’=n(xn-1)’=n(n-1)(xn-2)

    D3xn= (D2xn)’ = n(n-1)(n-2)(xn-3)

    ……

    Dn-1xn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)x1

    Dnxn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)x0 = n!

    Dn+1xn = (n!)’ = 0

    高阶导数的意义

    几何意义比较容易理解,一阶导数是切线的斜率,二阶是斜率的变化率,三阶是斜率的变化率的变化率……阶数越高,刻画的变化越精细。

    物理意义是百度来的,用时间、距离、速度举例:

    位移相对于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度,三阶导数是急动度(加速度的的变化率),四阶导数是什么痉挛度(不知道是不是瞎编出来的,从这开始就理解不了了)……当一辆小车尾部遭受撞击时,加速度会突然改变,小车具有急动度。汽车工程师用急动度作为评判乘客不舒适程度的指标;按照这一指标,具有恒定加速度和零急动度的人体感觉最舒适。在竞技举重中,举重运动员进行所有将杠铃举过头顶的动作时都有急动度。当轮船到达溪谷,突然减速时,轮船有急动度,因为轮船加速度的大小和方向都要改变。

    总结

    1.函数的和、差、积、商求导法则

    1)         (Cu)’ = Cu’, C是常数

    2)         (u ± v)’ = u’ ± v’

    3)         (uv)’ = u’v + uv’

    4)         (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

    2.链式求导法则(复合函数求导法则)

    3.高阶导数

    对导数求导,u’’,u’’’,u(4)

    Dnxn = n!

    Dn+1xn = 0

    展开全文
  • 高数——高阶导数

    千次阅读 2019-10-18 10:31:07
    高阶导数的用处 高阶导数非常有用,二阶导可以判断函数图像的凹凸性;泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的,而泰勒级数的作用非常强大,它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。 高阶导数 什么是...

    高阶导数的用处

    高阶导数非常有用,二阶导可以判断函数图像的凹凸性;泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的,而泰勒级数的作用非常强大,它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。

    高阶导数

    什么是高阶导数呢?就是我求完一次导数之后,我再求一遍导数的导数,以此类推,我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写,我先举几个例子之后再讲。举个例子(下面的几个例子我都只求到二阶):
    在这里插入图片描述
    它的导数就是y′=3,但是我要是再求一遍导数(求y′=3的导数)那就是0了。再换个例子:
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    它的导数为y′=6x+4,还是再求一遍导数,y″=6。最后再看一个三角函数的:
    在这里插入图片描述
    这个我们都应该背过,它的导数没有什么说的就是cosx,二阶导数就是-sinx。

    高阶导数的符号

    举了这么多的例子,我就是为了让你能够更好的理解它的符号:
    大家可能对y″比较容易理解,可是对d²y/dx²不太明白,你可以这样来理解,由于我求导的对象始终为x,所以分母的平方可以放在x上,而我求导的对象y却在不断地改变(一阶导数求导对象是原函数,二阶导数求导对象为一阶导数,以此类推),那么平方就不能放在y上了,就只能放在d上了。

    二阶导数

    我们来看看二阶导数, 设函数为 f(x) , 那么导数可以理解为 x 点处所对应的图像的斜率. 图像很陡对应导数的值很大, 向下倾斜说明导数是负的.

    而二阶导数是导数的导数,它表示斜率的变化情况. 最直观的方法就是观察 f(x) 曲线的弯曲方向, 让它向上弯曲, 斜率在增加, 这时二阶导数就是正的.当它向下弯曲斜率再减少, 二阶导数就是负的.

    实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子, 假设物体沿直线运动,并且你有一个它的距离-时间函数, 或许它的图像看起来就是像下面这样,随着时间的持续的增加.

    它的导数就是每一时间点的速度, 其实导数的图像就像是个小山包, 先增加到一个最大值,然后减小到 0.

    所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率,这就是加速度.

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    本文转载自:https://www.jianshu.com/p/1a41df6eb14d

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  • 高阶导数

    2020-02-20 17:04:07
    一、高阶高数 1.1、由加速度引出二阶导数 1.2、高阶导数的定义

    一、高阶高数

    1.1、由加速度引出二阶导数

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    1.2、高阶导数的定义

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    二、习题

    2.1、习题1: 添加中间变量

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  • 导函数的奇偶与周期性质受原函数奇偶性与周期性影响
  • 构造恒等式,求高阶
  • 我发现您的代码存在以下问题:变量名不能以数字开头:1in您有未定义的变量Y。我想您想与字符串文本进行比较,所以改为写"Y"。在python的if运算符中不需要括号,但后面必须有冒号。else也是如此。...
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  • 隐函数存在定理&&隐函数的高阶导数

    千次阅读 2020-11-08 14:24:59
    也可用一阶微分形式的不变性证明)欲证y=y(x)存在,求dxdy​,由链式求导法则将F对x求导Fx​+Fy​∗dxdy​=0解出dxdy​即可(注:也可用一阶微分形式的不变性证明) 隐函数的高阶导数 例: 求y′′,y=y(x)由ey=xy确定由...
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  • §2.5 高阶导数 我们知道,变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数,即 或 。 而加速度 又是速度 对时间 的导数,即  或 这种导( 函 )数的导数 或 叫做对的二阶导数,记作  或 。 一、高阶导数的定义 ...
  •  高阶导数实际上是对导数求导,也就是不断求导。  二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶导数u’’’;四阶导数不能再用撇号表示了,需要使用上标u(4);n阶导数u(n)。在训练集中,上标也被表示为第几组训练集,在...
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  • 030 高阶导数求导之推导归纳法、公式法
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空空如也

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高阶导数

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