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  • 2020-10-09 10:11:03

    一:向量叉积

    设两个点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)

    叉积PxQ=(y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1)

    代码实现(vb.net封成一个函数):

    Private Function Cross(ByVal Mat4() As Double, ByVal Mat5() As Double)
            Dim Mat6() As Double
            Mat6 = {Mat4(1) * Mat5(2) - Mat5(1) * Mat4(2), Mat4(2) * Mat5(0) - Mat4(0) * Mat5(2), Mat4(0) * Mat5(1) - Mat5(0) * Mat4(1)}
            Return Mat6
     End Function

     

    二:向量叉积的模

    向量积的模=两向量组成的平行四边形面积

    |PxQ|= sqrt((x1y2-x2y1)^2+(y1z2-y2z1)^2+(z1x2-z2x1)^2)

     

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    向量叉积

    叉乘
    仅在三维空间,两个向量的叉积才有定义,记作 u ^ v
    定义为:
    u ^ v = ||u|| ||v|| sin(θ) n
    其中,θ表示uv 的夹角, ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 uv 的模,n 则是uv 所构成平面的法向(垂直于uv平面的单位向量),方向由右手定则决定。

    矩阵表示

    叉积可以表示成如下行列式:
    在这里插入图片描述
    其中, u = (u1, u2, u3),v = (v1, v2, v3),ijk为基向量,为三维坐标系的x, y, z方向的单位向量。
    这个行列式可以使用拉普拉斯在展开和萨吕法则计算。
    使用拉普拉斯展开可以沿第一展开为:
    在这里插入图片描述
    使用萨吕法则可以展开为:
    在这里插入图片描述

    几何意义

    根据定义可以得出,向量叉积的几何意义是以uv为零边的平行四边形的有向面积。

    应用

    在计算机图形学中,向量叉乘的应用广泛。比如,判断线段的相对位置,线段相交,点在多边形内,求凸包等。

    判断两条线段的相对位置

    在这里插入图片描述
    在二维平面上有两条线段,分别是AB和AC,如何通过向量叉积来确定他们的相对位置关系
    点A、B、C的坐标为
    A(xa, Ya)
    B(Xb, Yb)
    P(Xp, Yp)
    首先构造两个向量AB和AC,
    在这里插入图片描述
    由于二维空间不存在叉积的定义,所以引入z轴,将向量AB、AC扩展到三维空间,可以将二位向量可看作z轴恒为0的三维向量,
    那么,两个向量叉积的则可表示为:
    在这里插入图片描述
    res > 0, AC在AB的逆时针方向
    res = 0, AB和AC共线
    res < 0, AC在AB的顺时针方向

    展开全文
  • 向量叉积

    2019-12-07 11:55:15
    叉积 叉积-百度百科 Python numpy.cross import numpy as np from numpy import cross a = np.array([1,2,0]) b = np.array([2,3,0]) cross_ab = cross(a,b) print(cross_ab) [ 0 0 -1]

    叉积

    叉积-百度百科

    Python

    numpy.cross

    import numpy as np
    from numpy import cross
    
    a = np.array([1,2,0])
    b = np.array([2,3,0])
    
    cross_ab = cross(a,b)
    print(cross_ab)
    
    [ 0  0 -1]
    
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    两个矢量 可以用 "叉积 " 的方法来 "相乘"(也去看看 点积))

    两个矢量的叉积 a × b 是与这两个矢量垂直的 矢量:



    1.基本运算

    叉积是这样计算的:

    • |a|是矢量a的量值(长度)

    • |b|是矢量b的量值(长度)

    • θ是ab之间的夹角

    • nab垂直的单位矢量[](单位矢量:长度为1 的矢量 "说明")。

    2.解析几何运算

    如果ab的起始点是(0,0,0),叉积的终点便会在:

    上述运算也可以写成行列式的计算形式:

    3.例子

    ■  a=(2,3,4),  b=(5,6,7),计算a,b的叉积。

    答案:a×b=(-3,6,-3)



    若叉积指着相反的方向,它仍然是垂直于相乘的两个矢量,所以我们这样来求正确的方向:

    "右手定则"

    把食指指着矢量 a 的方向,把中指指着矢量 b 的方向:拇指指着的方向便是叉积的方向。


    叉积是个 矢量,也称为 矢量积。

    还有一个积,叫 点积。点积是个标量 (普通的数),也称为 标量积。

    • 文章内容来自:Maths Fun[1]

    参考资料

    [1]

    Maths Fun: https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-cross-product.html#:~:text=A%20vector%20has%20magnitude%20%28how%20long%20it%20is%29,both%3A%20And%20it%20all%20happens%20in%203%20dimensions%21

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