向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
如图，这是 $(2,4)\times (3,0)=-12$ ，我们得到了一个实数 $-12$ ，而其绝对值为平行四边形面积。

如图，这是 $(1,0,0)\times (2,4,0)=(0,0,4)$ ，我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量，且其模长为平行四边形面积。

运算定理

$\vec{a},b$ 均为向量，$\theta$ 为 $\vec{a},b$ 的夹角

1，$\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}|\times |\vec{b}|sin\theta$

2，$\vec{a}\times \vec{b}=(l,m,n)\times (o,p,q)=(mq-np,no-lq,lp-mo)$

3，$\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times a)$

运用1，已知三点坐标，求三角形面积

以任意一个点坐标为基准，做差得到两个向量，这两个向量可围成向量三角形
例如点 $A(a,b,c)$ ，点 $B(d,e,f)$ ，点 $C(g,h,i)$
得到向量 $\vec{p}=(d-a,e-b,f-c)$ 和 $\vec{q}=(g-a,h-b,i-c)$
使用公式2，然后取绝对值，得到三角形面积 $S=|\vec{p}\times \vec{q}|/2$

空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面

令
$$n=0，q=0$$
则有
$$\vec{a}\times \vec{b}=(l,m,0)\times (o,p,0)=(0,0,lp-mo)$$
故
$$S=|\vec{a}\times \vec{b}|/2=|lp-mo|/2$$

三角形是最简单的几何图形，而在计算机领域求多边形面积是非常重要的，而用向量外积算出的有向面积，是解决求多边形面积的重要方法，它适用于凸多边形和凹多边形，非常灵活，简洁优美。

运用2，已知平面，求平面的法向量

找到平面内不共线的两向量 $\vec{a},\vec{b}$ ，这两个向量决定了这个平面
使用公式2，得到向量 $\vec{c}$ ，按照向量外积的定义，$\vec{c}$ 垂直于 $\vec{a},\vec{b}$
故所求向量 $\vec{c}$ 即平面的法向量

向量外积得到的法向量，有很多用途，尤其是物理上的，例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要，而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真，光的传播有一个最基本的定理，那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角，而与利用向量外积求平面法线，是最简洁优美的。

运用3，求三棱锥体积

由三个不共面向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 所决定的平行六面体的体积为
$$V=|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|=|\vec{b}\cdot (\vec{a}\times \vec{c})|=|\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})|$$
故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为 $V/6$

运用4，高中数学外挂

用它来做高中数学题简直就是开挂。

已知三点坐标，求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路，无非就是两点间距离公式算三边长，然后要么用海伦公式算面积，要么用余弦定理求出余弦值，换成正弦值，再求面积，这两种方法海伦公式稍微简便一点，但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美，我直接算 $|\vec{a}\times \vec{b}|/2$ 的值就是面积了。

已知平面，求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路，无非找出平面内两个不共线向量 $a,b$ ，然后设平面的法向量 $\vec{c}=(x,y,z)$ 然后根据向量垂直 $\vec{c}\cdot \vec{a}=0$ 和 $\vec{c}\cdot \vec{b}=0$ 联立解得 $x,y,z$ 为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个)，最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积，那就更简单了，$\vec{a}\times b$ 就搞定。

已知三棱锥的各个点坐标，求它的体积这个问题。按照高中数学的套路，无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积，再用向量的余弦定理暴算点到面的距离，然后求出体积。如果使用上述的公式，一步就能算出体积，非常方便。

numpy 中的外积定义和数学中是不同的，其定义如下

示例

import numpy as np
r=np.outer(np.arange(1,4), [5,2,1,4])

结果

array([[ 5,  2,  1,  4],
       [10,  4,  2,  8],
       [15,  6,  3, 12]])