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  • tensorflow 自定义向量外积
    千次阅读
    2019-05-09 10:52:58

    貌似在当前 tensorflow 版本中没有定义外积操作

    dim = 6
    
    template1 = np.zeros([dim,dim*dim])
    for i in range(dim):
        for j in range(dim):
            template1[i,dim*i+j] = 1
    log_info(template1)
    ''' 
    dim = 4
    [[1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1.]] 
    
    '''
    template2 = np.zeros([dim,dim*dim])
    for i in range(dim):
        for j in range(dim):
            template2[i,dim*j+i] = 1
    log_info(template2)
    '''
    dim = 4
    [[1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.]
     [0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0.]
     [0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0.]
     [0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1.]] 
    '''
    
    def outer_product(a, b):
        tml1 = tf.convert_to_tensor(template1, dtype=float)
        tml2 = tf.convert_to_tensor(template2, dtype=float)
        return tf.matmul(a,tml1)*tf.matmul(b,tml2)
    

    给定两个同维向量 a b

    a = np.array([[i+1 for i in range(dim)]])
    b = a.copy()
    log_info(a)
    log_info(b)
    
    [[1 2 3 4 5 6]] 
    [[1 2 3 4 5 6]] 
    

    求它们的外积

    a = tf.convert_to_tensor(a, dtype=float)
    b = tf.convert_to_tensor(b, dtype=float)
    c = outer_product(a, b)  
    c = tf.reshape(c,[-1,dim,dim])
    print(c.shape)
    with tf.Session() as sess:
        print(sess.run(c))
    
    (1, 6, 6)
    [[[ 1.  2.  3.  4.  5.  6.]
      [ 2.  4.  6.  8. 10. 12.]
      [ 3.  6.  9. 12. 15. 18.]
      [ 4.  8. 12. 16. 20. 24.]
      [ 5. 10. 15. 20. 25. 30.]
      [ 6. 12. 18. 24. 30. 36.]]]
    
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    本篇文章采用直接了当的方法讨论向量的外积公式。很多人只知道用向量内积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或列向量在

    维空间上张成的平行多面的体积,实职上是

    面体。并且我们也会很容易理解子式的意义。

    首先我们来定义外积:假设向量

    ,

    的逆时针夹角为

    , 则定义外积为

    显然从定义可知,外积的绝对值表示两个向量张成的平行四边形的面积。

    为了推导该公式的坐标形式,我们先证明外积运算满足乘法分配律:如下图

    假设

    ,

    注意

    逆时针夹角是

    , 非

    . 到此为止,我们便证明了向量的外积运算满足乘法分配律。

    有了乘法分配律,我们再来看向量的坐标形式,不妨假设

    其中倒数第二步是因为根据定义,共线的向量外积为零,所以只剩下两项。

    如此,我们便得到了外积的坐标形式,由外积的定义,我们知道,外积的绝对值就是两个向量张成的平行四边形的面积。其实我们将外积公式稍微变形

    其中

    的与

    轴的夹角,

    是向量

    轴的夹角。其实这正是高中所学的正弦公式。其实正弦公式本质上就是向量外积,余弦公式本质上就是向量内积,后者读者可根据分配律自己证明。

    其实,外积公式与内积公式也可以相互推得,这是因为

    故可由一个公式的坐标形式推导令一个公式的坐标形式。

    其实矩阵的行列式就是向量的外积在高维空间上的直接推广,请读者自己思考。

    另外,请感兴趣的读者关注我的知乎专栏:数学妙谈,高等代数精深简明讲义,古诗文以及公众号丞申通汇文化平台,随时更新新内容。本人电话:18612313613(微信同)

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  • 在网上看到向量外积的公式,大部分都只写定义,没有说明公式的推导,本文尝试进行推导,以满足各位的求知欲。
  • 高中数学之向量外积的运用

    千次阅读 2018-06-16 22:43:20
    关于向量外积的运用 公式(a,b均为向量,θ为a,b的夹角) 1,|**a** * **b**| = |**a**|*|**b**|sinθ 2,**a** * **b** = (l, m, n)*(o, p, q) = (mq - np, no - lq, lp - mo) 3,**a** * **b** = - **b** * **...

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
    如图,这是 ( 2 , 4 ) × ( 3 , 0 ) = − 12 (2, 4) × (3, 0) = -12 (2,4)×(3,0)=12 ,我们得到了一个实数 − 12 -12 12 ,而其绝对值为平行四边形面积。

    如图,这是 ( 1 , 0 , 0 ) × ( 2 , 4 , 0 ) = ( 0 , 0 , 4 ) (1, 0, 0) × (2, 4, 0) = (0, 0, 4) (1,0,0)×(2,4,0)=(0,0,4) ,我们得到了一个垂直与已知两向量的法向量,且其模长为平行四边形面积。

    运算定理

    a ⃗ , b \vec{a},b a ,b 均为向量, θ θ θ a ⃗ , b \vec{a},b a ,b 的夹角

    1, a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ × ∣ b ⃗ ∣ s i n θ \qquad\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}| \times |\vec{b}|sinθ a ×b =a ×b sinθ

    2, a ⃗ × b ⃗ = ( l , m , n ) × ( o , p , q ) = ( m q − n p , n o − l q , l p − m o ) \qquad\vec{a}\times \vec{b}=(l,m,n) \times (o,p,q)=(mq-np,no-lq,lp-mo) a ×b =(l,m,n)×(o,p,q)=(mqnp,nolq,lpmo)

    3, a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ) \qquad\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b} \times a) a ×b =(b ×a)

    运用1,已知三点坐标,求三角形面积

    以任意一个点坐标为基准,做差得到两个向量,这两个向量可围成向量三角形
    例如点 A ( a , b , c ) A (a, b, c) A(a,b,c) ,点 B ( d , e , f ) B (d, e, f) B(d,e,f) ,点 C ( g , h , i ) C (g, h, i) C(g,h,i)
    得到向量 p ⃗ = ( d − a , e − b , f − c ) \vec{p} = (d - a, e - b, f - c) p =(da,eb,fc) q ⃗ = ( g − a , h − b , i − c ) \vec{q} = (g - a, h - b, i - c) q =(ga,hb,ic)
    使用公式2,然后取绝对值,得到三角形面积 S = ∣ p ⃗ × q ⃗ ∣ / 2 S = | \vec{p} \times \vec{q} | / 2 S=p ×q /2

    空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面


      n = 0 , q = 0 \ n = 0,q = 0  n=0q=0
    则有
    a ⃗ × b ⃗ = ( l , m , 0 ) × ( o , p , 0 ) = ( 0 , 0 , l p − m o ) \vec{a} ×\vec{b}= (l, m, 0) × (o, p, 0) = (0, 0, lp - mo) a ×b =(l,m,0)×(o,p,0)=(0,0,lpmo)

    S = ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ / 2 = ∣ l p − m o ∣ / 2 S = |\vec{a}×\vec{b}| / 2 = | lp - mo | / 2 S=a ×b /2=lpmo/2

    三角形是最简单的几何图形,而在计算机领域求多边形面积是非常重要的,而用向量外积算出的有向面积,是解决求多边形面积的重要方法,它适用于凸多边形和凹多边形,非常灵活,简洁优美。

    运用2,已知平面,求平面的法向量

    找到平面内不共线的两向量 a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a ,b ,这两个向量决定了这个平面
    使用公式2,得到向量 c ⃗ \vec c c ,按照向量外积的定义, c ⃗ \vec c c 垂直于 a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a ,b
    故所求向量 c ⃗ \vec c c 即平面的法向量

    向量外积得到的法向量,有很多用途,尤其是物理上的,例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要,而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真,光的传播有一个最基本的定理,那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角,而与利用向量外积求平面法线,是最简洁优美的。

    运用3,求三棱锥体积

    由三个不共面向量 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a ,b ,c 所决定的平行六面体的体积为
    V = ∣ a ⃗ ⋅ ( b ⃗ × c ⃗ ) ∣ = ∣ b ⃗ ⋅ ( a ⃗ × c ⃗ ) ∣ = ∣ c ⃗ ⋅ ( a ⃗ × b ⃗ ) ∣ V=|\vec{a} \cdot ({\vec{b} \times} \vec{c})|=|\vec{b} \cdot ({\vec{a} \times} \vec{c})|=|\vec{c} \cdot ({\vec{a} \times} \vec{b})| V=a (b ×c )=b (a ×c )=c (a ×b )
    故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为 V / 6 V/6 V/6

    运用4,高中数学外挂

    用它来做高中数学题简直就是开挂。

    已知三点坐标,求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是两点间距离公式算三边长,然后要么用海伦公式算面积,要么用余弦定理求出余弦值,换成正弦值,再求面积,这两种方法海伦公式稍微简便一点,但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美,我直接算 ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ / 2 |\vec{a}×\vec{b}| / 2 a ×b /2 的值就是面积了。

    已知平面,求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路,无非找出平面内两个不共线向量 a , b a,b a,b ,然后设平面的法向量 c ⃗ = ( x , y , z ) \vec{c} = (x, y, z) c =(x,y,z) 然后根据向量垂直 c ⃗ ⋅ a ⃗ = 0 \vec{c} \cdot\vec{a}= 0 c a =0 c ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{c} \cdot\vec{b}= 0 c b =0 联立解得 x , y , z x,y,z x,y,z 为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个),最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积,那就更简单了, a ⃗ × b \vec{a} × b a ×b 就搞定。

    已知三棱锥的各个点坐标,求它的体积这个问题。按照高中数学的套路,无非就是用余弦定理和正弦定理暴算一个面的面积,再用向量的余弦定理暴算点到面的距离,然后求出体积。如果使用上述的公式,一步就能算出体积,非常方便。

    展开全文
  • numpy.outer 计算向量外积

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    numpy 中的外积定义和数学中是不同的,其定义如下 示例 import numpy as np r=np.outer(np.arange(1,4), [5,2,1,4]) 结果 array([[ 5, 2, 1, 4], [10, 4, 2, 8], [15, 6, 3, 12]])

    numpy 中的外积定义和数学中是不同的,其定义如下
    在这里插入图片描述
    示例

    import numpy as np
    r=np.outer(np.arange(1,4), [5,2,1,4])
    

    结果

    array([[ 5,  2,  1,  4],
           [10,  4,  2,  8],
           [15,  6,  3, 12]])
    
    展开全文
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