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  • 矩阵的向量组

    千次阅读 2020-09-25 15:04:43
    1、向量组bai的为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组可以引出矩阵的的定义。 2、矩阵的是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 等价向量组相等

    2021-09-26 18:43:44
    首先,我们要知道这样一条定理: 向量组A(α1,α2,…,αm)若能由向量组B(β1,β2,…,βn)...也即,等价向量组相等。 附:已知的定理的证明方法这里由于篇幅原因,不便写出。它实际上也可以很好证明。 ...

    首先,我们要知道这样一条定理:
    向量组A(α1,α2,…,αm)若能由向量组B(β1,β2,…,βn)线性表出,那么r(A)≤r(B)
    (这里m、n是任意的,表示任意两个向量组)
    于是:
    若向量组A能由向量组B线性表示,那么r(A)≤r(B);
    若向量组B能由向量组A线性表示,那么r(B)≤r(A);
    因此,
    若向量组A与向量组B能够互相表示 等价于 r(A)=r(B)。
    也即,等价向量组的秩相等。

    附:关于已知的定理的证明,这里简单说明一下,我们知道:
    (1)如果向量组A可以由向量组B线性表示,而向量组A又线性无关,那么A中向量的个数≤B中向量的个数。
    (2)向量组的线性表出,等价于他们极大无关组的线性表出(向量组和和极大无关组是等价的,等价向量组具有传递性)。
    因此:
    也就是说,向量组A可以由向量组B线性表出,那么A的极大无关组就可以由B的极大无关组线性表出,则由(1)知,向量组A的极大无关组中向量的个数≤向量组B的极大无关组中向量的个数,即r(A)≤r(B)。

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  • 向量组是什么?

    千次阅读 多人点赞 2019-03-24 15:38:44
    @ 向量组是什么? 向量组是什么? 通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。 那么这个向量组就是3。那什么是垃圾向量呢?...

    @ 向量组的秩是什么?

    向量组的秩是什么?

    通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。

    那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢?就是能被别人线性表示的向量。比如说向量α1能被α2和α3线性表示,也就是它的工作能被别人取代。那么α1就是垃圾向量!

    秩是线性代数中最重要的概念,是广大考生一定要掌握的概念。在线性代数中,关于秩有两大类:矩阵的秩以及向量组的秩,这两个概念之间是有区别和联系的。首先,我们来看一下它们各自的概念。

    矩阵的秩:矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩,记为r(A),其中r(A)不超过矩阵行数和列数的最小值。

    矩阵的秩可以化为向量组的秩来计算,向量组的秩也可以化为矩阵的秩来计算。在计算矩阵的秩时,理论上需要计算非零子式来确定,但是有的时候计算量大、计算麻烦,故可以利用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵,最后非零行的个数就是矩阵的秩。

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  • 向量组和矩阵的计算

    千次阅读 2020-04-24 22:48:43
    1. 向量组 设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1​,α2​........αn​)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组 例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),...

    1. 向量组的秩

    设有向量组 ( α 1 , α 2 . . . . . . . . α n ) (\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n) (α1,α2........αn)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的

    例:考虑向量组 α 1 ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 ( 0 , 0 , 1 ) , α 4 ( 1 , 1 , 0 ) , α 5 ( 1 , 1 , 1 ) \alpha_1(1,0,0),\alpha_2(0,1,0),\alpha_3(0,0,1),\alpha_4(1,1,0),\alpha_5(1,1,1) α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),α4(1,1,0),α5(1,1,1)的秩

    解:从题中可明显看出 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性无关,而且 α 5 = α 1 + α 2 + α 3 , α 4 = α 1 + α 2 \alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2 α5=α1+α2+α3,α4=α1+α2,所以 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3是极大线性无关组,向量组 R = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) R=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5) R=(α1,α2,α3,α4,α5)的秩为3

    • 向量组的秩为1,代表所有向量都在同一直线上
    • 向量组的秩为2,代表所有向量都在同一平面上
    • 向量组的秩为n,代表所有向量都在n-1纬空间内
    • 向量组的秩描述里向量在空间中占据的位置

    2. 矩阵的秩

    矩阵的行向量组的秩叫做行秩,矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩,并且成为矩阵的秩

    定理:
    • 给矩阵做初等变换不改变矩阵的秩
    • 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数
    • 任何矩阵都可以经过初等行变化化为阶梯形

    综合以上三条,我们最后得出求矩阵秩的方法:先对矩阵做初等变化化成行阶梯形,判断行阶梯形矩阵的秩即确定其非零行的行数,即为该矩阵的秩

    例: 设 A = ∣ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ∣ , B 为 三 阶 非 零 方 阵 , 且 A B = O , 则 求 t 为 ? 设A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为? A=1432t1231,B,AB=O,t?

    解:
    因 为 A B = O , 所 以 R ( A ) + R ( B ) < = n 因为AB=O,所以R(A)+R(B)<=n AB=O,R(A)+R(B)<=n
    因 为 B 为 三 阶 非 零 方 阵 , 所 以 R ( B ) > 1 因为B为三阶非零方阵,所以R(B)>1 B,R(B)>1
    可 得 R ( A ) < n 可得R(A)<n R(A)<n
    A = ∣ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ∣ − > ∣ 1 2 − 2 0 1 − 1 0 − 3 − t 0 ∣ , 因 R ( A ) < n , 所 以 t = − 3 A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|->|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -3-t & 0 \end{matrix}|,因R(A)<n,所以t=-3 A=1432t1231>100213t210,R(A)<n,t=3

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  • 3.3 向量组

    2019-10-20 11:03:04
    向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​ 中,若存在部分组 αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_...
  • 3) 向量组

    2019-09-13 09:32:47
    1. 向量组的等价 2. 几个重要结论 r是向量组α 的个数,s是向量组β 的个数 ... 向量组的最大无关组与向量组 阶梯形矩阵的行向量的等于它非零行的个数. (去掉都是0的行,就是非零行) ...
  • 向量组

    2020-05-23 15:13:02
    设在线性空间VVV中有一族向量SSS(其中可能只有有限个向量,也可能有无限个向量),如果在SSS中存在一组向量{α1,α2,⋯ ,αr}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}{α1​,α2​,⋯,αr​}适合下列条件: ...
  • §4.3 向量组 4.1 向量组及其线性组合   n n n 个有次序的数 a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} a 1 ​ , a 2 ​ , ⋯ , a n ​ 所组成的数组称为 n n n 维向量,这 n n n 个数...
  • 本篇笔记首先回顾了矩阵的秩,然后通过两个例子引入了极大...然后给出了向量组秩的定义,以及一些结论和定理;向量组的秩与矩阵的秩,定义方式完全不同,但两者之间却有千丝万缕的联系,后面还会总结它们之间的关系。
  • 3.3向量组

    千次阅读 2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量组(与矩阵的定义完全不同)定理行与列定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。 全是0的...
  • 如何理解向量组和矩阵的

    千次阅读 2020-09-13 12:14:40
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数 n-r也为基础...
  • 向量组(I)可由向量组(II)线性表出,且r(I)=r(II),证明向量组r(I)=r(II)
  • 向量组1 极大线性无关组2 向量组3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...
  • 向量组/矩阵/的理解

    千次阅读 2017-01-13 09:34:30
    向量组呢是由一个或者是多个向量组成的一组向量,比如一个向量可以填充整个一位空间。 对于两个向量,只要不共线就能够张成一个平面,平面中的任何一个向量都可以由两个向量的线性组合表示 对于三个向量,只要三...
  • 假设α和β完全线性无关 r3 = r1 + r2 反之:r3 < r1+r2 假设β完全可有α线性表示 max(r1,r2)= r3, 反之: r3>max(r1,r2) ...
  • 1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是等价向量组,且有矩阵的秩=行向量组秩=列向量...
  • matlab-线性代数 rank 向量组

    千次阅读 2019-02-20 23:44:00
    2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...
  • 本篇笔记首介绍了矩阵的行和列,...最后重点介绍了极大线性无关的求法,根据矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系,将矩阵化为行简化阶梯形,然后直接写出极大线性无关和其向量的线性表示。
  • 线性相关性 1、线性表示,线性组合: 若一个向量等于另外几个向量乘以常数相加,则称该向量可用向量a1,s2...an来线性表示 而该向量也被称为是这几个向量的一...向量组1里面的每一个向量都能够由向量组2来线性表示...
  • 第一节 向量组的线性相关性   一.数学概念 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。 定义1. 2 给定向量组A: ,对于任何一组实数 ,...
  • 向量组及极大无关组修改整理-向量组的极大无关组及.doc
  • 向量组和极大无关组(修改整理)向量组的极大无关组和.doc
  • 关于的重要结论(结合向量组、分块矩阵的的方法进行总结) 矩阵的向量组的关系 常用矩阵相关的等式和不等式 ∣r(A)−r(B)∣⩽r(A±B)⩽r(A)+r(B)|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B...
  • 关于的重要结论(结合向量组和矩阵的进行总结) 矩阵的向量组的关系 常用的的等式和不等式 一些重要推论 零矩阵的判定定理 线性方程组的解与向量组 线性方程组的解(初步讨论) 对任意...
  • 向量组PPT课件.pptx
  • 和比法 RSR;什么是和比RSR;创始人田凤调教授于1988年提出; 和比综合评价法基本原理是:在一个n行m列矩阵中 ,通过对每个元素的进行运算,获得无量纲统计量RSR;在此基础上 ,运用 参数统计分析的概念与方法,研究...
  • 1.向量组与最大无关组的引例 2.向量组与最大无关组的定义 3. 最大无关组一般不唯一,是唯一的 4. 若向量组线性无关,则最大无关组是其自身,其即向量个数 ...
  • 向量组
  • ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20191119092742357.png?x-oss- 行列式不为0 — 线性无关 — 满
  • 索引 原问题 证明 原问题   向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关...

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向量组的秩