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  • 向量组的秩
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    2021-09-26 18:43:44

    首先,我们要知道这样一条定理:
    向量组A(α1,α2,…,αm)若能由向量组B(β1,β2,…,βn)线性表出,那么r(A)≤r(B)
    (这里m、n是任意的,表示任意两个向量组)
    于是:
    若向量组A能由向量组B线性表示,那么r(A)≤r(B);
    若向量组B能由向量组A线性表示,那么r(B)≤r(A);
    因此,
    若向量组A与向量组B能够互相表示 等价于 r(A)=r(B)。
    也即,等价向量组的秩相等。

    附:关于已知的定理的证明,这里简单说明一下,我们知道:
    (1)如果向量组A可以由向量组B线性表示,而向量组A又线性无关,那么A中向量的个数≤B中向量的个数。
    (2)向量组的线性表出,等价于他们极大无关组的线性表出(向量组和和极大无关组是等价的,等价向量组具有传递性)。
    因此:
    也就是说,向量组A可以由向量组B线性表出,那么A的极大无关组就可以由B的极大无关组线性表出,则由(1)知,向量组A的极大无关组中向量的个数≤向量组B的极大无关组中向量的个数,即r(A)≤r(B)。

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    不等价。

    在代数中,矩阵等价和向量组等e69da5e887aa62616964757a686964616f31333431373234价是不一样的。

    矩阵等价的充要条件是秩相等,向量组等价的充要条件是能够相互线性表出。

    假设有4个线性无关的4维列向量,a1,a2,a3,a4,

    第一个向量组取a1,a2,a3 第二个向量组取a2,a3,a4

    显然它们满足你说的条件,但是它们不能相互线性表出,所以不是等价的向量组。

    矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩,记为r(A),其中r(A)不超过矩阵行数和列数的最小值。

    矩阵的秩可以化为向量组的秩来计算,向量组的秩也可以化为矩阵的秩来计算。在计算矩阵的秩时,理论上需要计算非零子式来确定,但是有的时候计算量大、计算麻烦,故可以利用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵,最后非零行的个数就是矩阵的秩。

    扩展资料

    两矩阵等价,不能得到列向量组(或者行向量组)相互等价,但可以得到结论:两个矩阵的秩相等。

    在代数中,因为如果两个向量组等价,则他们有相对的秩。

    等价向量组的性质

    1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样,线性相关性也可以不一样。

    2、任一向量组和它的极大无关组等价。

    3、向量组的任意两个极大无关组等价。

    4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

    5、等价的向量组具有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。

    6、如果向量组A可由向量组B线性表示,且R(A)=R(B),则A与B等价。

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    code

    clear

    clc

    a1=[1;1;1];

    a2=[2;0;-2];

    a3=[0;2;4];

    a=[a1 a2 a3]

    rank(a)

    result

    a =

    1     2     0

    1     0     2

    1    -2     4

    ans =

    2

    >>

    resource

    [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab[文档] ww2.mathworks.cn/help/simulink[平台] www.oschina.net[平台] gitee.com

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  • 2013-11-21一个向量组和它本身的部分向量组一定等价么?没错呀设ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。。。,as的一个极大无关组根据极大无关组的定义有1。 ai1,ai2,。。。,air 线性无关2。 向量组a1,a2,。。 。,as中...

    2013-11-21

    一个向量组和它本身的部分向量组一定等价么?

    没错呀

    设ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。。。,as的一个极大无关组

    根据极大无关组的定义有

    1。 ai1,ai2,。。。,air 线性无关

    2。 向量组a1,a2,。。 。,as中任一向量可由ai1,ai2,。。。,air 线性表示

    所以 向量组a1,a2,。。。,as 可由极大无关组 ai1,ai2,。。。,air 线性表示

    而ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。 。。,as的一个部分组

    所以 ai1,ai2,。。。,air 可由向量组a1,a2,。。。,as线性表示

    所以向量组与其极大无关组ai1,ai2,。。。,air 等价。

    因为向量...全部

    没错呀

    设ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。。。,as的一个极大无关组

    根据极大无关组的定义有

    1。 ai1,ai2,。。。,air 线性无关

    2。 向量组a1,a2,。。

    。,as中任一向量可由ai1,ai2,。。。,air 线性表示

    所以 向量组a1,a2,。。。,as 可由极大无关组 ai1,ai2,。。。,air 线性表示

    而ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。

    。。,as的一个部分组

    所以 ai1,ai2,。。。,air 可由向量组a1,a2,。。。,as线性表示

    所以向量组与其极大无关组ai1,ai2,。。。,air 等价。

    因为向量组a1,a2,。

    。。,as中任一向量可由ai1,ai2,。。。,air 线性表示,

    所以向量组本身中属于最大无关组的组向量也能由最大无关组表示

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空空如也

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