常微分方程 订阅
常微分方程,属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。 [1] 展开全文
常微分方程,属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。 [1]
信息
外文名
Ordinary differential equation
学科所属
数学
理论基础
极限理论
中文名
常微分方程
数学范畴
高等数学-纯数学
相    对
偏微分方程
常微分方程概念
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:物质在一定条件下的运动 变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等,要以现有数据求得出形式上的函数解析式,而不是以已知函数来计算特定的未知数。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械动力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 [2] 
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  • matlab常微分方程常微分方程组的求解-matlab常微分方程常微分方程组的求解.pdf matlab常微分方程常微分方程组的求解
  • 常微分方程

    2014-06-14 00:34:11
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    参考《常微分方程》第三版(王高雄)

    《非线性动力学与混沌》 第二版

    第1、2节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:1、2节

    第3节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:3节

    第4节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:4节

    讨论了单参数一维和二维微分方程的分支,分析Lorenz方程在相空间中的轨线性态,从而引出奇异吸引子和混沌现象。——6.5

    6.5 分支与混沌

    6.5.1 常微分方程单参数分支

    考虑含参数的常微分方程

    b9320285f529d2fe6b98ebd77374925b.png

    其中

    为参数(最普通的参数是方程的系数作为参数)。

    微分方程的分支(分叉):对含参数的微分方程,当参数变化时方程的解特别是平衡解的个数和性态是否发生变化,即方程是否结构稳定。相对于某参数值

    方程(6.55)不是结构稳定时称此方程为
    分支方程,对应的参数值
    称为
    分支值
    分支:随着某一参数的变化,如果相图的拓扑结构发生改变,我们就说发生了分支。《非线性动力学与混沌》

    首先回顾:如何判断非线性系统在每个平衡点处的稳定性,可参考方法有:1.在平衡点线性化以后用线性系统理论判断,2.定义李雅普诺夫函数,在平衡点附近的领域内判断,3.求该非线性的雅克比矩阵,然后代入平衡点,得到其线性化了的矩阵。再看这个矩阵的特征值。

    这里,我们主要讨论单参数(m=1(6.55中的m))分支。若有

    ,则称
    系统的平衡解

    对于单参数的一维常微分方程

    可表示成
    的多项式形式,有
    等组合:考虑以下几种典型的分支类型:

    (1)鞍结点分支

    分析:

    时,没有平衡点;

    时,有平衡点
    ,且
    , 平衡点
    稳定。

    时,有平衡点
    ,且
    ,故平衡点
    稳定,而
    ,故平衡点
    不稳定。

    参数平面上,平衡点为一条抛物线,(如图)其上支(连同原点)上的点是稳定的,下支上的点是不稳定的。

    原点是分支点:

    变到
    时系统的平衡点从
    一个稳定一个不稳定变为一个半稳定再变为不存在
    为分支点,称为
    鞍结点分支点

    21d95eb3795739a0f988a203bb333da9.png

    (2)跨临界分支

    分析:令

    ,得到方程的两个平衡点为

    时,
    ,故平衡点
    稳定,

    ,故平衡点
    不稳定;

    时,两个平衡点均为
    ,且稳定。

    时,
    ,故平衡点
    不稳定,

    ,故平衡点
    稳定;

    参数平面上,平衡点为一条直线,(如图)其第一象限(连同原点)上的点是稳定的,第三象限上的点是不稳定的。

    原点是分支点:

    时系统有
    一个稳定和一个不稳定的两个平衡点,
    时系统有一个
    半稳定平衡点(原点),因此
    为分支点,称为
    跨临界分支点

    587887c6a55f575dafe73116dc0323ff.png

    (3)叉式分支

    分析:

    时, 方程只有一个平衡点
    ,且
    ,稳定

    时,令
    ,得到方程的三个平衡点为

    ,故平衡点
    不稳定,

    故平衡点
    稳定;

    故平衡点
    稳定;

    参数平面上,平衡点为一条抛物线,(如图)整个抛物线上的点在
    时都是稳定的。

    原点是分支点:

    时系统有
    两个稳定和一个不稳定的三个平衡点,
    时系统有一个
    稳定平衡点(原点),因此
    为分支点,称为
    叉式分支点

    5657ba57bea5a0a4a1ee46d778287343.png

    (4)复合分支

    时有一个稳定平衡点;
    时有一个稳定和一个不稳定的两个平衡点,而
    时有两个稳定和一个不稳定的三个平衡点,因此
    是分支点,称为复合分支点。

    ——————————————————————————————————————

    以上是针对一维微分方程,对于平面微分方程,除平衡点分支(局部分支)外,还有大范围分支(包括极限环、同宿环、异宿环),下面对单参数二维微分方程的分支情况举几个典型例子。(p311)

    1.平面鞍结点分支

    89371ddc97edaf99d42438ffd1c765f1.png

    其中方程组中第一个方程与一维鞍结点分支的方程类型相同。

    e8f9bfec15010fde24ef5021184164a2.png

    c9fdd732d4c199e514303c2b9764c679.png

    2.Hopf分支:由于参数的变化而跳出极限环的分支

    f2fe1a080a5e3fc58aff638c57301ed9.png

    其中化解后的方程组中第一个方程与一维叉式分支的方程类型相同。

    39a7c996a63c82badaa13b8fdb122be5.png

    3.同宿分支

    以下两种暂不用上面分析的方法来做,等日后再补充。

    f380d182372f372f5f69d4d6c8cebf85.png
    同宿分支(鞍-环):极限环部分与鞍点离得越来越近。在分支处,环与鞍点相交变成一个同宿轨。《非线性动力学与混沌》

    4.异宿分支(p313)

    32e839db9cefcac219f0aba3d8cb070d.png

    ——————————————————————————————————————

    分支方程、

    开折(unfolding)、普适开折、余维数的定义:

    对带参数的方程组

    107a5c0ce0683332449e5f9e60dc6465.png

    时相应的系统为

    16e3bf6355b3b7dc3024f7bdf28fd922.png
    • 分支方程

    若(6.56)是不稳定的,则称(6.55)是一个分支方程

    • 开折(unfolding)、普适开折、余维数

    时,系统(6.55)称为(6.56)的一个
    开折
    (unfolding)。如果所选的参数包括了方程(6.55)可能出现的各种拓扑结构,则称这个开折为普适开折。普适开折中对应参数最少的个数称为余维数
    分支问题的研究可简化为对余维数的分支方程的研究,并通过特殊变换化为一种称为规范化的标准形式进行讨论。
    转化:分支问题—>余维数的分支方程—>规范化的标准形式

    关于开折、普适开折、余维数的应用,可参考p314的例5.

    由一维微分方程判断余维数、普适开折的取法定理:

    8b6ed98aaff02ebb402b068fb1896a36.png

    6.5.2 Lorenz方程与混沌

    前面讨论的多是一维、二维驻定微分方程组,仅有奇点、极限环、同宿轨、异宿轨等几种特殊轨线。

    对于三维及以上的驻定微分方程组,或二维及以上的非驻定微分方程组,轨线可能出现非常复杂的性态。Lorenz方程便是其中一个典型模型。

    Lorenz方程

    6a2e1cc2f853a0c5d1a725aa08935ba6.png

    72efc5b4a6452d861e062b34608b3601.png

    不变集:参考

    Chenglin Li:非线性系统(十二)相关的基本概念zhuanlan.zhihu.com
    f2e426d93de92fe4f70d8f62d4987588.png

    对于Lorenz方程轨线的性态可参考p317-320.

    奇异吸引子:Lorenz方程出现的这种轨线的极限集是在一有限区内的吸引集,但它与通常了解的吸引集不同,既不是平衡点也不是极限环或周期变化的点集.我们称这种吸引集为奇异吸引子(奇怪吸引子),奇异吸引子还有对初值敏感的特性.

    混沌存在奇异吸引子这种复杂现象又称为混沌,混沌也可简单解释为对初值的敏感性,初值的细微差异引起后续的巨大不同,无法预测。

    2020.11.26

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  • 【微积分3】第四章第一节 常微分方程第四章 常微分方程1. 内容要点2. 常考题型1. 微分方程求解2. 综合题3. 应用题 第四章 常微分方程 1. 内容要点 2. 常考题型 1. 微分方程求解 2. 综合题 3. ...

    第四章 常微分方程

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    1. 内容要点

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    2. 常考题型

    1. 微分方程求解

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    2. 综合题

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    3. 应用题

    在这里插入图片描述
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  • 常微分方程.3 微分方程的向量场二、 积分曲线的图解法 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式, 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想...

    常微分方程.3 微分方程的向量场

    二、 积分曲线的图解法 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式,  根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法 求解的方程极少,用图解法来分析积分曲线的  性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律  就有很重要的指导意义。 §1.3 微分方程的向量场 一、 向量场 设一阶微分方程 满足解的存在唯一性定理的条件。 过 中任一点 有且仅有 一个解 ,满足 将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。 就是该曲线 上的点 处的切线斜率, 曲线上点   的切线斜率就是    。      的一条曲线, 几何意义: 解 就是通过点 解曲线在区域中任意点 的切线斜率是   。 如果我们在区域内每一点 都画上一个以值 为斜率中心在 点的线段,我们 就得到一个方向场. 尽管我们不一定能求出方程的解, 但我们知道 向量场中的一条曲线,该曲线所经过的每一点都与 从几何上看,方程 的一个解 就是位于 向量场在这一点的方向相切。 方向行进的曲线,求方程 满足初始值    的解, 的一条曲线。 就是求通过点 形象的说,解 就是始终沿着向量场中的   因为,可根据向量场的走向来近似求积分曲线,同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。 在该点的向量相重合。 定理1.3 L为 的积分曲线的充要条件是: 曲线 在L上任一点, L的切线与 所确定的向量场 向量场对于求解微分方程的近似解和研究 微分方程的几何性质极为重要, 例1.3.1 在区域 内画出方程 的向量场和几条积分曲线。 解:可以用计算各点斜率的方法在网格点上 手工画出向量场的方向可以得到向量场, 但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。 Maple指令: DEtools[phaseportrait] # 画向量场及积分曲线 ([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x), # 定义微分方程 x=-2..2, # 指定x范围 [[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值 dirgrid=[17,17], # 定义网格密度 arrows=LINE, # 定义线段类型 axes=NORMAL; # 定义坐标系类型类型 回车后Maple就在 三条积分曲线。 的图形,并给出了过点 的网格点上画出了向量场 的 方程 所决定的曲线上任意一点   处 方程的向量场的方向都相同。 称为微分方程 我们把 所确定的曲线 的等倾线。 例如:微分方程 的等倾线为 的等倾线为 零等倾线 称为极值曲线。 拐点曲线: 设 有连续的偏导数,则一个点成为 的拐点的必要条件是 , 例1.3.4 讨论方程 的拐点曲线。 解:由方程得 ,令 ,得 容易验证 不是方程的积分曲线, 在区域 上, 是方程的拐点曲线。 上, 在区域 平面分为 和 两部分, 它将 内容小结 微分方程的向量场 P28 1(1)(2),2(1)(2) 作 业 积分曲线的图解法

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  • 参考《常微分方程》第三版(王高雄)第1、2节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:1、2节第3节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:3节讨论平面非线性微分方程组解的全局图貌,给出相平面...

    参考《常微分方程》第三版(王高雄)

    第1、2节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:1、2节

    第3节:juliar:常微分方程:(第六章)非线性微分方程:3节

    讨论平面非线性微分方程组解的全局图貌,给出相平面上极限环的存在性判断方法和相平面轨线图貌画法。——6.4

    6.4 极限环和平面图貌

    6.4.1 极限环

    极限环:孤立的周期解(闭轨线),在相平面上称为极限环。(p295)[孤立:意味着邻近的轨迹不是闭的,它们盘旋着接近或远离极限环][本质上是非线性现象,它们不能发生在线性系统中]

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    主要内容:

    寻求极限环的方法

    (1)求出特解;

    (2)本迪克松方法(参见第一节补充知识)—构造特殊的环域来寻求极限环(依据定理8

    极限环不存在定理定理9):通过构造具有别的特殊性质的域来否定周期解(极限环)的存在。

    对某类型方程讨论如何确定极限环及其稳定性态的问题有重要意义,范德波尔方程、李纳微分方程(定理10:表明在对f和g适当的假设下,系统有唯一的稳定极限环)

    主要定理:

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    15ea895a62f37921bda5f421e36f7430.png

    范德波尔方程:

    李纳微分方程:

    定理10中
    的假设理解:这个结果是合理的。对
    的假设意味着回复力的作用像一个弹簧,趋向于位移的减缓,然而对
    的假设意味着当
    很小时,阻力是负的,当
    很大时,阻力是正的。因为小振荡被激起且大振荡被压制,所以系统往往会进入一个自我维持的一些中间振幅的振荡也就不足为奇了。《非线性动力学与混沌》

    6.4.2 平面图貌

    相平面上两种特殊的轨线——奇点、极限环。

    对于画一般的轨线图貌,一种是画方向场,另一种是等倾斜法

    定义回顾(p19)

    • 方向场(向量场)、等倾斜线(等斜线)

    1db74eabab0bce50e9f65150a4131201.png

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    6d22206f8516ba7b7d4f268bed58a90b.png
    • 垂直等倾斜线、水平等倾斜线

    147c93486adc4fa9444fb6f63298990d.png

    f85e5863ba24c87bd48438bad28fed9e.png

    应用:可以运用上述等倾斜线法分析1.1中例5的两种群模型(6.52)和2.1.1中例2,得到以下定理:

    3f9022873f32aa067bf46e3b1d884afc.png

    97a2a6dc3d4fb2473305100bcb5ada58.png

    分界线:在相平面分析中除奇点和极限环两种特殊轨线外,还有一种从奇点到奇点的轨线,这类轨线称为分界线。

    同宿环(轨):如果一条分界线与一个奇点构成一个环,则称为同宿环(轨)

    《非线性动力学与混沌》同宿轨:把出发点和终点都为同一不动点的轨道,称为同宿轨。当
    时,轨迹都逼近原点。

    异宿轨:如果一条分界线两端是不同奇点,则分界线称为异宿轨

    《非线性动力学与混沌》异宿轨:成对的鞍点被一对轨迹连接起来,它们被叫做异宿轨道。

    异宿环:当多条分界线与多个奇点构成一个环时则称此环为异宿环

    上述定义中可以将奇点换为极限环。

    c0326579b951a92ff7289617e7d553ba.png

    拓扑等价:如果两个常微分方程的所有解之间存在一对一的对应(同胚)关系,且保接轨线定向,则可称这两个常微分方程是拓扑等价的.

    结构稳定:给定了一个平面驻定常微分方程,对与之非常接近的所有平面驻定常微分方程,可以用相平面上的点的向量非常接近来表示,如果它们是拓扑等价的,则称给定的常微分方程是结构稳定的。

    结构稳定的充要条件:数学家安德罗诺夫(Andronov)和庞特里亚金(Pon-tryagin)曾给出:

    6d2678d0b987431fab692a4139c9fb72.png

    matlab解微分方程、绘制轨线图

    1.编写微分方程组的M文件,保存文件名为odefile.m。(注意要保存在当前matlab执行的文件夹下)

    参考matlab怎么调用自定义函数

    function dy=odefile(t,y,p1,p2)
    dy=[f1;f2;...;fn]

    2.调用微分方程数值函数

    [T,Y]=ode45('odefile',[a,b],y0)

    其中ode45为龙格-库塔(4,5)法,其他有:

    ode23龙格一库塔(2,3)法;

    ode113多步 Adams-Bashforth-Moulton法.

    %积分曲线图:
    plot(TY(:,1),’-r’,TY(:,2)'.g’)
    %轨线图:
    plot(Y(:,1),Y(:,2),'-r')

    3.绘制向量场与等高线图

    %向量场:
    quiverxyuv)向量起始点和终点坐标;
    quiver3xyzuvw)向量起始点和终点坐标。
    %等高线图:
    contourXYZm)绘制m条等高线平面图contour3XYZ[ab])绘制Z在[ab]范围的等高线立体图.

    p398例4:解微分方程

    • 首先编写要调用的ode1.m文件
    function dy=ode1(x,y)
    dy=[1;1-y(2)^2];
    • 绘制轨线图
    clear 
    c=0.01;
    x0=-3.1:0.2:3.;
    y0=-3.:0.2:3.1;
    [x,y]=meshgrid(x0,y0); 
    d=sqrt(1+(1-y.^2).^2);
    u=c./d;
    v=c*(1-y.^2)./d;
    hold on
    quiver(x,y,u,v)
    hold off
    [X,Y]=ode45('ode1',[-3,3],[-3;-0.99]);
    >> hold on
    >> plot(X,Y(:,2),'-r')
    >> hold off

    e102552bc6e29b77b9dcf9ebe0267471.png

    p399例5:哈密顿函数

    的轨线图(等势图)
    clear
    [X,Y]=meshgrid(-2:.1:2); 
    Z=Y.*Y/2-X.*X/2+X.^4/4; 
    >> mesh(X,Y,Z)
    hold on 
    contour(X,Y,Z)
    hold off 
    hold on 
    contour3(X,Y,Z)
    hold off

    774b3749fbf0dc1e521efd9e93ad937e.png

    p399例6:V函数

    的等高线图及微分方程
    的轨线图。
    • 先编写fexa6.m
    function dx=fexa6(t,x)
    dx=[x(2);-2*x(1)-3*x(2)];
    • 绘制轨线图
    clear
    [X,Y]=meshgrid(-10:.1:10); 
    Z=(8*X.*X+4*X.*Y+Y.*Y)/2; 
    hold on 
    contour(X,Y,Z,[0.2 13 8 15 2540 80 200 500 1000])
    axis([-10 10 -10 10])
    hold off
    [T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[-10;10]); 
    hold on 
    plot(X(:,1),X(:,2),'-r')
    hold off
    [T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[-8;-10]); 
    hold on 
    plot(X(:,1),X(:,2),'-g')
    hold off
    [T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[8;10]);
    hold on 
    plot(X(:,1),X(:,2),'-r')
    hold off
    [T,X]=ode45('fexa6',[020],[8;-10]); 
    hold on 
    plot(X(:,1),X(:,2),'-g')
    hold off

    4a6da5e63f317840cfa7fc3238cfc3e9.png

    ——————————————————————————————————————

    Matlab绘制极限环

    参考:

    Chenglin Li:非线性系统(一)极限环zhuanlan.zhihu.com
    581abeb466d03f2232798ebf35b8a938.png
    参考列表 - MATLAB & Simulink - MathWorks 中国ww2.mathworks.cn

    1.稳定极限环

    实例:p294例1

    2ec0ea5ac7d67a495d838884521bba5c.png
    streamslice(x,y,f1,f2) f1、f2是x、y的函数方程组,streamslice表示以适中的间距绘制一族带箭头的流线图;
    meshgrid用于生成网格数据
    [x,y]=meshgrid(linspace(-2,2,100));
    streamslice(x,y, x+y-x.*(x.^2+y.^2), -x+y-y.*(x.^2+y.^2));
    axis([-2,2,-2,2])
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Limit Circle')

    04da5bb36d9522773b99c4ea48747f0a.png

    2.不稳定极限环

    32b34bde4ad1618932791d27c87299eb.png
    [x1,x2]=meshgrid(linspace(-2,2,100));
        streamslice(x1,x2, x2+x1.*(x1.^2+x2.^2-1), -x1+x2.*(x1.^2+x2.^2-1));
        axis([-2,2,-2,2])
        grid on
        xlabel('x1')
        ylabel('x2')
        title('Limit Circle')

    f1096ec326a0a6daaf8be8186cf29b0d.png

    3.半稳定极限环

    49a47a456ba89442f289931b69ba4fda.png
    [x1,x2]=meshgrid(linspace(-5,5,100));
        streamslice(x1,x2, x2-x1.*(x1.^2+x2.^2-1).^2, -x1-x2.*(x1.^2+x2.^2-1).^2  );
        axis([-5,5,-5,5])
        grid on
        xlabel('x1')
        ylabel('x2')
        title('Limit Circle')

    09dd8ccafc0248983875463d7238ba1f.png

    2020.11.24

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