1、三角面法向量

空间已知三点的位置：
p1(x1,y1,z1),
p2(x2,y2,z2),
p3(x3,y3,z3),
令它们逆时针在空间摆放。这样就可以得到平面的两个向量：
p1p2 = (x2-x1,y2-y1,z2-z1),
p1p3 = (x3-x1,y3-y1,z3-z1)，
而平面法线总是和这两个向量垂直。也就是说，p1p2与p1p3的向量积就是平面的法向量n。

向量积知识点：
已知向量a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)
其向量积可表示为：a×b=(a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1)

简单C++实现代码如下：

// GetNormalBy3Points.cpp : 此文件包含 "main" 函数。程序执行将在此处开始并结束。
//

#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;

//三维double矢量
struct Vec3d
{
	double x, y, z;

	Vec3d()
	{
		x = 0.0;
		y = 0.0;
		z = 0.0;
	}
	Vec3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
	void Set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
};

//计算三点成面的法向量
void Cal_Normal_3D(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d &vn)
{
	//v1(n1,n2,n3);
	//平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
	double na = (v2.y - v1.y)*(v3.z - v1.z) - (v2.z - v1.z)*(v3.y - v1.y);
	double nb = (v2.z - v1.z)*(v3.x - v1.x) - (v2.x - v1.x)*(v3.z - v1.z);
	double nc = (v2.x - v1.x)*(v3.y - v1.y) - (v2.y - v1.y)*(v3.x - v1.x);

	//平面法向量
	vn.Set(na, nb, nc);
}

int main()
{
	Vec3d v1(1.0, 5.2, 0.0);
	Vec3d v2(2.8, 3.9, 1.0);
	Vec3d v3(7.6, 8.4, 2.0);

	Vec3d vn;
	Cal_Normal_3D(v1, v2, v3, vn);

	cout << "法向量为：x= " << vn.x << " y= " << vn.y << " z= " << vn.z << endl;

	return 0;
}

2、共用顶点法向量

在三角网中经常遇到同一个顶点被相邻的多个三角面共用的情况，此时这个顶点的法向量如何计算？其实很简单，只需要把该点对应面的法向量相加就可以了。可以不用求平均，因为反正最后是要正规化的。
具体到DEM上来说，可以将一个DEM的矩形网格分成两个同样顺序排列的三角形，每个点涉及1到6个不等的面法向量。将这些面法向量相加并正则化，就得到了每个点的法向量。

鸣谢：https://blog.csdn.net/charlee44/article/details/95900684

目录

单通道深度图像，转三通道法向图像

opencv 平面法向量_任意两平面求夹角

点云3种法向量估计方法及可视化

单通道深度图像，转三通道法向图像

import cv2
import numpy as np
import mxnet as mx
def depth2normal(depth):
    w,h=depth.shape
    dx=-(depth[2:h,1:h-1]-depth[0:h-2,1:h-1])*0.5
    dy=-(depth[1:h-1,2:h]-depth[1:h-1,0:h-2])*0.5
    dz=mx.nd.ones((w-2,h-2))
    dl = mx.nd.sqrt(mx.nd.elemwise_mul(dx, dx) + mx.nd.elemwise_mul(dy, dy) + mx.nd.elemwise_mul(dz, dz))
    dx = mx.nd.elemwise_div(dx, dl) * 0.5 + 0.5
    dy = mx.nd.elemwise_div(dy, dl) * 0.5 + 0.5
    dz = mx.nd.elemwise_div(dz, dl) * 0.5 + 0.5
    return np.concatenate([dy.asnumpy()[np.newaxis,:,:],dx.asnumpy()[np.newaxis,:,:],dz.asnumpy()[np.newaxis,:,:]],axis=0)
if __name__ == '__main__':
    depth=cv2.imread("depth.png",0)
    normal=np.array(depth2normal(mx.nd.array(depth))*255)
    normal = cv2.cvtColor(np.transpose(normal, [1, 2, 0]), cv2.COLOR_BGR2RGB)         
    cv2.imwrite("normal.png",normal.astype(np.uint8))

原文链接：https://blog.csdn.net/muyouhang/article/details/103649888

opencv 平面法向量_任意两平面求夹角

import math#引入math模块 计算角度用
class point(object):#定义空间点类
	"""docstring for point"""
	def __init__(self,x,y,z,name):
		self.x = x
		self.y = y
		self.z = z
		self.name = name
class plane(object):#定义平面类
	"""docstring for plane"""
	def __init__(self, A,B,C,name):
		self.points=[A,B,C]#一个平面三个点
		self.points_name=[A.name,B.name,C.name]#点的名字
		self.name = name#平面的名字
		self.n=[]#平面的法向量
	def isplane(self):#判断这三个点是否能构成平面
		coors=[[],[],[]]#三个点的xyz坐标分别放在同一个列表用来比较
		for _point in self.points:#对于每个点
			coors[0].append(_point.x)
			coors[1].append(_point.y)
			coors[2].append(_point.z)
		for coor in coors:
			if coor[0]==coor[1]==coor[2]:#如果三个点的x或y或z坐标相等 则不能构成平面
				return print('Points:',*self.points_name,'cannot form a plane')
	def normal(self):#获得该平面的法向量
		self.isplane()#获得该平面的法向量前提是能构成平面
		A,B,C=self.points#对应三个点
		AB=[B.x-A.x,B.y-A.y,B.z-A.z]#向量AB
		AC=[C.x-A.x,C.y-A.y,C.z-A.z]#向量AC
		B1,B2,B3=AB#向量AB的xyz坐标
		C1,C2,C3=AC#向量AC的xyz坐标
		self.n=[B2*C3-C2*B3,B3*C1-C3*B1,B1*C2-C1*B2]#已知该平面的两个向量,求该平面的法向量的叉乘公式
	def angle(self,P2):#两个平面的夹角
		x1,y1,z1=self.n#该平面的法向量的xyz坐标
		x2,y2,z2=P2.n#另一个平面的法向量的xyz坐标
		cosθ=((x1*x2)+(y1*y2)+(z1*z2))/(((x1**2+y1**2+z1**2)**0.5)*((x2**2+y2**2+z2**2)**0.5))#平面向量的二面角公式
		degree=math.degrees(math.acos(cosθ))
		if degree>90:#二面角∈[0°,180°] 但两个平面的夹角∈[0°,90°]
			degree=180-degree
		return print('平面',self.name,P2.name,'的夹角为'+str(round(degree,5))+'°')
		#round(数值,四舍五入位数) math.degrees(弧度)将弧度转换为角度 math.acos(数值)返回该数值的反余弦弧度值
#测试
print('-'*25)
A=point(0,0,1,'A')#六个点
B=point(1,0,1,'B')
C=point(1,1,0,'C')
P1=plane(A,B,C,'P1')#p1平面
D=point(0,1,1,'D')
E=point(1,1,1,'E')
F=point(0.5,0,0,'F')
P2=plane(D,E,F,'P2')#p2平面
P1.normal()#求平面p1 p2的法向量
P2.normal()
P1.angle(P2)#求平面p1 p2的夹角
print('-'*25)
G=point(2,0,0,'G')#六个点
H=point(0,0,0,'H')
I=point(0,3,3**0.5,'I')
P3=plane(G,H,I,'P3')#p3平面
J=point(2/3,4/3,0,'J')
K=point(0,0,0,'K')
L=point(0,3,3**0.5,'L')
P4=plane(J,K,L,'P4')#p4平面
P3.normal()#分别求平面p3 p4的法向量
P4.normal()
P3.angle(P4)#求平面p3 p4的夹角
print('-'*25)
M=point(0,1,0,'M')#六个点
N=point(0,0,0,'N')
O=point(1,1,1,'O')
P5=plane(M,N,O,'P5')#p1平面
Q=point(0,0,2,'Q')
R=point(0,0,0,'R')
S=point(1,1,1,'S')
P6=plane(Q,R,S,'P6')#p2平面
P5.normal()#求平面p1 p2的法向量
P6.normal()
P5.angle(P6)#求平面p1 p2的夹角
print('-'*25)
T=point(12.6,-1,63,'T')#六个点
U=point(0,7,8,'U')
V=point(11,9,83.2,'V')
P7=plane(T,U,V,'P7')#p1平面
W=point(45,2,13,'W')
X=point(9,10,-56,'X')
Y=point(0.5,-7,1,'Y')
P8=plane(W,X,Y,'P8')#p2平面
P7.normal()#求平面p1 p2的法向量
P8.normal()
P7.angle(P8)#求平面p1 p2的夹角

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_36313588/article/details/112189888

点云3种法向量估计方法及可视化

• 1）点云读取可视化
• 2）下采样可视化
• 3）法向量三种估计方式（K近邻估计，半径近邻估计，混合搜索估计）
• 4）点云每个点对应的法向量点存储及可视化
• 5）法向量点和原始点云同时可视化
• 6） 源码

1）点云读取可视化

原始点云：

2）下采样可视化

下采样：

3）法向量三种估计方式（K近邻估计，半径近邻估计，混合搜索估计）

K近邻估计法向量并可视化：

混合搜索近邻估计可视化

4）点云每个点对应的法向量点存储及可视化

法向量对应的点可视化：

5）法向量点和原始点云同时可视化

原始点云灰色，法向量点绿色

6） 源码

# @Description: <Open3D估计法向量，可视化，存储为文件>

import open3d as o3d
import os

path = os.path.abspath(os.path.join(os.getcwd(), "../"))
path = path + "/pcds/bunny.pcd"
normalPath = path.replace(".pcd", "_normal.pcd")
print(path)
print(normalPath)

print("Load a pcd point cloud, print it, and render it")
pcd = o3d.io.read_point_cloud(path)
pcd.paint_uniform_color([0.5, 0.5, 0.5])  # 把所有点渲染为灰色（灰兔子）
print(pcd)  # 输出点云点的个数
# print(o3d.np.asarray(pcd.points))  # 输出点的三维坐标
o3d.visualization.draw_geometries([pcd], "Open3D origin points", width=800, height=600, left=50, top=50,
                                  point_show_normal=False, mesh_show_wireframe=False,
                                  mesh_show_back_face=False)

print("Downsample the point cloud with a voxel of 0.002")
downpcd = pcd.voxel_down_sample(voxel_size=0.002)  # 下采样滤波，体素边长为0.002m
print(downpcd)
o3d.visualization.draw_geometries([downpcd], "Open3D downsample points", width=800, height=600, left=50, top=50,
                                  point_show_normal=False, mesh_show_wireframe=False,
                                  mesh_show_back_face=False)

print("Recompute the normal of the downsampled point cloud")
# 混合搜索  KNN搜索  半径搜索
# downpcd.estimate_normals(
#     search_param=o3d.geometry.KDTreeSearchParamHybrid(radius=0.01, max_nn=20))  # 计算法线，搜索半径1cm，只考虑邻域内的20个点
downpcd.estimate_normals(
    search_param=o3d.geometry.KDTreeSearchParamKNN(knn=20))  # 计算法线，只考虑邻域内的20个点
# downpcd.estimate_normals(
#     search_param=o3d.geometry.KDTreeSearchParamRadius(radius=0.01))  # 计算法线，搜索半径1cm，只考虑邻域内的20个点

o3d.visualization.draw_geometries([downpcd], "Open3D normal estimation", width=800, height=600, left=50, top=50,
                                  point_show_normal=True, mesh_show_wireframe=False,
                                  mesh_show_back_face=False)  # 可视化法线
print("Print a normal vector of the 0th point")
print(downpcd.normals[0])  # 输出0点的法向量值

print("Print the normal vectors of the first 10 points")
print(o3d.np.asarray(downpcd.normals)[:10, :])  # 输出前10个点的法向量

# std::vector<Eigen::Vector3d> with 381 elements. 转换为nparry 以打印访问
# normals = o3d.np.asarray(downpcd.normals)
# print(normals)

# 可视化法向量的点，并存储法向量点到文件
normal_point = o3d.utility.Vector3dVector(downpcd.normals)
normals = o3d.geometry.PointCloud()
normals.points = normal_point
normals.paint_uniform_color((0, 1, 0))  # 点云法向量的点都以绿色显示
o3d.visualization.draw_geometries([pcd, normals], "Open3D noramls points", width=800, height=600, left=50, top=50,
                                  point_show_normal=False, mesh_show_wireframe=False,
                                  mesh_show_back_face=False)
o3d.io.write_point_cloud(normalPath, normals)

空间已知三点的位置p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),p3(x3,y3,z3),令它们逆时针在空间摆放。这样就可以得到平面的两个向量p1p2(x2-x1,y2-y1,z2-z1),p1p3(x3-x1,y3-y1,z3-z1)，而平面法线总是和这两个向量垂直。也就是说，p1p2与p1p3的向量积就是平面的法向量n。

复习一下向量积，已知向量

a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3) 其向量积可表示为： a×b=(a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1)

将其套入到p1p2和p1p3即可。
具体实现代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

//三维double矢量
struct Vec3d
{
	double x, y, z;

	Vec3d()
	{
		x = 0.0;
		y = 0.0;
		z = 0.0;
	}
	Vec3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
	void Set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
};

//计算三点成面的法向量
void Cal_Normal_3D(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d &vn)
{
	//v1(n1,n2,n3);
	//平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
	double na = (v2.y - v1.y)*(v3.z - v1.z) - (v2.z - v1.z)*(v3.y - v1.y);
	double nb = (v2.z - v1.z)*(v3.x - v1.x) - (v2.x - v1.x)*(v3.z - v1.z);
	double nc = (v2.x - v1.x)*(v3.y - v1.y) - (v2.y - v1.y)*(v3.x - v1.x);

	//平面法向量
	vn.Set(na, nb, nc);
}

int main()
{	
	Vec3d v1(1.0, 5.2, 3.7);
	Vec3d v2(2.8, 3.9, 4.5);
	Vec3d v3(7.6, 8.4, 6.2);
	Vec3d vn;
	Cal_Normal_3D(v1, v2, v3, vn);
	cout <<"法向量为："<< vn.x << '\t' << vn.y << '\t' << vn.z << '\n';

	return 0;
}

对于一个空间的平面而言，其法向量可以是两个方向，可以向上也可以向下。所以在OpenGL中默认规定的也是右手法则，右手除拇指之外的四指根据点的逆时针握住，大拇指的方向即为法线方向。其逆时针的一面为正面，可以接受到光照；顺时针为反面，无法接受光照。