精华内容
下载资源
问答
  • 实对称矩阵

    千次阅读 2018-10-18 19:14:30
    实对称矩阵的定义,如果n阶矩阵A满足 则称A为实对称矩阵。 性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的...

    实对称矩阵的定义,如果n阶矩阵A满足

    $A^T=A $

    则称A为实对称矩阵。

    性质1:实对称矩阵的特征值都是实数

    性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交

    性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的特征向量

    性质4:n阶实对称矩阵正交相似于以特征值为对角的对角矩阵。

     

    下面分别证明

           性质1:实对称矩阵的特征值都是实数

                  设为实对称矩阵A的特征值,对应的特征向量为xi

                  则

                 $Ax_i=\lambda_ix_i $

                  两边取共轭可得

                \bar{A} \bar{x_i}=\bar{\lambda_i}\bar{x_i} $

       等号两边同时取转置,并且考虑\bar{A}^T=A$(A为实对称矩阵)可得

                 \bar{x_i}^TA=\bar{\lambda_i}\bar{x_i}^T $

       等号两边同时右乘x可得

               \bar{\lambda_i}\bar{x_i}^Tx=\bar{x_i}^TAx=\bar{x_i}^T \lambda_ix_i=\lambda_i\bar{x_i}x_i $

    于是

              (\lambda_i-\bar{\lambda_i})\bar{x_i}^Tx_i=0 $

                由于

                          \bar{x_i}^Tx_i \neq 0 $

                所以

                           \lambda_i = \bar{\lambda_i} $

                  因此,为实数,性质1得证

         性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交

                  设分别为属于实对称矩阵A特征值的特征向量,则

                                  Ax_i=\lambda_i x_i \\ Ax_j=\lambda_j x_j $

                 等号两边同时转置,并考虑(A 为实对称矩阵)可得

                                 x_i^TA=\lambda_i x_i^T \ \ \ \ \ (1)\\ x_j^T A= \lambda_j x_j^T \ \ \ \ \ (2) $

                 对于等式(2),等号两边同时右乘可得

                                \lambda_jx_j^Tx_i=x_j^TAx_i=\lambda_i x_i^Tx_i $

                 于是

                               (\lambda_j-\lambda_i)x_j^Tx_i=0 $

                由于

                 所以

                            x_j^Tx_i=0 $

                 即正交,性质2得证

     

        性质3:若λ0是A的k重特征值,则与λ0对应的有k个线性无关的特征向量

        性质4:

                  假设n阶实对称矩阵A有m个互不相等的特征值,他们的重数分别是

                   由性质3可知,特征值λi(i=1,2,…,m)个线性无关的特征向量,把他们标准正交化即可得个正交的特征向量。

                  由性质2不同特征值对应的特征向量正交

                  可知:A有n个与特征值对应的相互正交的特征向量,记为,显然Q非奇异

                  则

                           AQ=A(x_1,x_2,...,x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n)=Qdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

                 因此

                                 Q^{-1}AQ=diag(\lamdba_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

     性质4得证

     

     

     

    展开全文
  • 点击蓝字关注每天打卡呦DAY84题型讲解接下来我们开始最后一个板块,矩阵的特征值和特征向量解题思路:第一步:根据实对称矩阵的性质求出矩阵A。第二步:代值计算即可。这个题目做题的题眼在于“实对称矩阵的对角化”...
    b806e04230c5340f2235f918717bc0a8.png

    点击蓝字关注每天打卡呦

    DAY84题型讲解接下来我们开始最后一个板块,矩阵的特征值和特征向量ae02d0bbbe97530ddb5334709bad9ee6.pngdb6533224255b2536cd00bb692148aa7.png

    解题思路:

    第一步:根据实对称矩阵的性质求出矩阵A。

    第二步:代值计算即可。

    这个题目做题的题眼在于“实对称矩阵的对角化

    首先,要弄清楚实对称矩阵的性质。

    实对称矩阵的主要性质

    1.实对称矩阵的特征值均为实数、特征向量可以取为实向量。

    2.实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量是正交的。

    3.实对称矩阵可正交相似对角化。

    其次,这道题只提到了矩阵,怎么判断其是否为实对称矩阵呢?

    判断的方法正是上面提到的第一点性质。

    这个知识点在考试中,老师是默认大家知道的。

    最后,实对称矩阵一定要单位化和正交化吗?

    实对称矩阵本身并不一定非要单位化和正交化,它就是一个实对称矩阵,无需单位化或正交化,它也是实对称矩阵。

    DAY85数学作业

    345e93a215c1002ff0e77fbc7119199a.png

    展开全文
  • 对称矩阵与实对称矩阵

    千次阅读 2019-09-24 11:03:09
    实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 两个概念的不同之处在于:实对称矩阵里的元素全是实数,而对称矩阵只说明A^T=A,...

    对称矩阵(Symmetric Matrices):是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。 [1] 在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。
    实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。
    两个概念的不同之处在于:实对称矩阵里的元素全是实数,而对称矩阵只说明A^T=A,没说明矩阵中的元素是实数,矩阵中的元素不仅可以是实数,也可以是虚数,甚至元素本身就是一个矩阵或其它更一般的数学对象,实对称矩阵就说明了矩阵中的元素要是实数。

    展开全文
  • 实对称矩阵(3):正交变换前 言(1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么...

    1c8cc9e6f0bdaa67cba386c69300aaf9.png

    实对称矩阵(3):正交变换

    b0fb790c70026d4a40ed1e932fdcb06f.png

    前 言

    (1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么样的基本性质, 这里不再赘述, 请同学们注意复习巩固。(3)由之前证明的结论可知, 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。那么这里求正交矩阵的关键就在于, k重特征值的k个线性无关的特征向量不一定是正交的, 那么要做怎样的处理才能使他们正交呢?①Schmidt正交化是比较容易想到的思路和方法。注意“每日一题20201107”对Schmidt正交化的系统讲解, 熟练掌握。②②除了Schmidt正交化, 还有一种“预处理”法, 可以直接求出同一特征值正交的特征向量。注意视频中我对该方法解题思路和方法的系统归纳小结, 尤其是涉及到的一些逻辑推理, 请重点关注、仔细推敲。(4)行列式的计算则是利用A和f(A)特征值的关系, 以及行列式和特征值之间的关系。

    题 目

    dccb2bec4ce697f6d5fab2616856f49b.png

    讲 解

    文 稿

    a07953db1cfdfab94528c3ce61fd5dbd.png

    0fa56d7fc699017558b2144ab4939235.gif

    27829aedffd034dfd5954ba1069a4103.png

    4a40a58b92298df990ed75714d52ad64.png

    展开全文
  • 01 正交矩阵的定义、性质+视频课程上课手稿02 实对称矩阵的定义、性质+视频课程上课手稿03 实对称矩阵用正交矩阵对角化的步骤+视频课程上课手稿 关于视频课程说明现在考研视频遍地开花,资源也很好获得,各种考研...
  • 答案就是实对称矩阵.”3.1实对称矩阵的性质【李老师】主题:实对称矩阵的性质实对称矩阵在特征值与特征向量方面有两个重要性质,一是实对称矩阵的特征值为实数,从而对应的特征向量也是实向量;...
  • 实对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 多人点赞 2018-08-19 16:27:01
    做机器学习的过程中,难免会与矩阵打交道,而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下它的几个性质(这也是很多笔试题中常考的点) 定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的...
  • 机器学习数学基础之二次型与实对称矩阵条件极值
  • 二次型:实对称矩阵

    千次阅读 2020-05-08 14:55:15
    但是还原是不唯一的:二次型和一个实对称矩阵是可以对应的 简单的例子如下: 实对称矩阵 任何一个二次型,都可以写成 一横 一方 一竖 的形式: 就是 未知数 实对称矩阵 未知数: 现在在假设X=CY,其中C可逆 引入...
  • matlab开发-用3实对称矩阵快速计算质量。对于多个3x3实对称矩阵,矢量化矩阵运算,支持GPU计算
  • 实对称矩阵的标准形

    2020-08-27 23:55:32
    实对称矩阵的标准形
  • 要用到对角化,手写了一下证明过程:
  • 实对称矩阵的性质: 说明实对称矩阵进行初等变化得到对角矩阵
  • 实对称矩阵性质速查 (来源于2019年李永乐线性代数辅导笔记P124页) 实对称矩阵必定与对角矩阵相似 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然正交 实对称矩阵A的特征值都是实数 实对称...
  • 定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 主要性质: 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2.实对称矩阵A的特征...
  • 实对称矩阵的拟特征值理论与应用_朱小平-2008,实对称矩阵的拟特征值理论与应用_朱小平-2008,
  • 花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,
  • 科学出版社线性代数自测题之第6章实对称矩阵与二次型自测题答案
  • 实对称矩阵一定可以对角化

    千次阅读 2020-06-28 11:11:44
    实对称矩阵一定可以对角化. 最近看共轭梯度下降的时候看到有人的推导里面用到了这个命题. 虽然以前学过, 但是学得很渣, 所以没有自己想过这个命题怎么样成立的. 现在将这些证明过程梳理一下. 实对称矩阵含有n个实根 ...
  • 实对称矩阵的相似对角化

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...
  • 实对称矩阵特征值的图论意义 实对称矩阵特征值的图论意义
  • 矩阵的特征值与特征向量的计算的matlab实现,幂法、反幂法和位移反幂法、雅可比(Jacobi)方法、豪斯霍尔德(Householder)方法、实对称矩阵的三对角化、QR方法、求根位移QR方法计算实对称矩阵 的特征值、广义特征值问题...
  • 2阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法。因为2阶实对称矩阵的特殊性,可以直接使用初中的2阶方程 x = -b±sqrt(b*b -4*a*c) / 2*a进行求解。这个方法在求解平面点的hessian矩阵很有用处。
  • 正定矩阵定义:设MMM是n阶方阵,如果对于任何非零向量z,都有zTMz&...实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵元素都是实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​=aji​),就称A为实对称矩阵 ...
  • 实对称矩阵的对角化

    千次阅读 2019-09-04 18:09:33
    原来,实对称矩阵对角化是为解决解析几何中二次曲面是何类型而提出的,因为二次曲面的方程可以写成(x,y,z)A(xyz)(x,y,z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}(x,y,z)A⎝⎛​xyz​⎠⎞​的形式,而这里的A就是一个...
  • 一、实对称矩阵 实对称矩阵的几点性质: 1.特征值必是实数 2.不同特征值的特征向量必正交 3.必与对角矩阵相似 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、...
  • 实对称矩阵的定义

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 730
精华内容 292
热门标签
关键字:

实对称矩阵