精华内容
下载资源
问答
  • 2阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法。因为2阶实对称矩阵的特殊性,可以直接使用初中的2阶方程 x = -b±sqrt(b*b -4*a*c) / 2*a进行求解。这个方法在求解平面点的hessian矩阵很有用处。
  • 花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,
  • 矩阵的特征值与特征向量的计算的matlab实现,幂法、反幂法和位移反幂法、雅可比(Jacobi)方法、豪斯霍尔德(Householder)方法、实对称矩阵的三对角化、QR方法、求根位移QR方法计算实对称矩阵 的特征值、广义特征值问题...
  • 考虑以下问题:问题Ⅰ:给定矩阵X∈Rn×m,D∈SRm×m,求(A,B)∈SRn×n,使满足AX =BXD,其中SRn×n为n阶实对称矩阵的集合.问题Ⅱ:给定A^∈Rn×n,B^ )∈Rn×n,求(A^,B^ )∈SAB,使得‖(A^,B^ ) - ( A^,B^ )‖F= inf ∨(A^,B...
  • 针对较高维数矩阵的特征值求解问题,定义实对称矩阵的两个特征值函数,分别用来求解实对称矩阵的前p 个最大特征值和最小特征值的和;讨论了这两个特征值函数的性质,列举这两个函数在现代控制理论等领域中的应用;最后给...
  • 实对称矩阵

    万次阅读 2018-10-18 19:14:30
    实对称矩阵的定义,如果n阶矩阵A满足 则称A为实对称矩阵。 性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的...

    实对称矩阵的定义,如果n阶矩阵A满足

    $A^T=A $

    则称A为实对称矩阵。

    性质1:实对称矩阵的特征值都是实数

    性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交

    性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的特征向量

    性质4:n阶实对称矩阵正交相似于以特征值为对角的对角矩阵。

     

    下面分别证明

           性质1:实对称矩阵的特征值都是实数

                  设为实对称矩阵A的特征值,对应的特征向量为xi

                  则

                 $Ax_i=\lambda_ix_i $

                  两边取共轭可得

                \bar{A} \bar{x_i}=\bar{\lambda_i}\bar{x_i} $

       等号两边同时取转置,并且考虑\bar{A}^T=A$(A为实对称矩阵)可得

                 \bar{x_i}^TA=\bar{\lambda_i}\bar{x_i}^T $

       等号两边同时右乘x可得

               \bar{\lambda_i}\bar{x_i}^Tx=\bar{x_i}^TAx=\bar{x_i}^T \lambda_ix_i=\lambda_i\bar{x_i}x_i $

    于是

              (\lambda_i-\bar{\lambda_i})\bar{x_i}^Tx_i=0 $

                由于

                          \bar{x_i}^Tx_i \neq 0 $

                所以

                           \lambda_i = \bar{\lambda_i} $

                  因此,为实数,性质1得证

         性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交

                  设分别为属于实对称矩阵A特征值的特征向量,则

                                  Ax_i=\lambda_i x_i \\ Ax_j=\lambda_j x_j $

                 等号两边同时转置,并考虑(A 为实对称矩阵)可得

                                 x_i^TA=\lambda_i x_i^T \ \ \ \ \ (1)\\ x_j^T A= \lambda_j x_j^T \ \ \ \ \ (2) $

                 对于等式(2),等号两边同时右乘可得

                                \lambda_jx_j^Tx_i=x_j^TAx_i=\lambda_i x_i^Tx_i $

                 于是

                               (\lambda_j-\lambda_i)x_j^Tx_i=0 $

                由于

                 所以

                            x_j^Tx_i=0 $

                 即正交,性质2得证

     

        性质3:若λ0是A的k重特征值,则与λ0对应的有k个线性无关的特征向量

        性质4:

                  假设n阶实对称矩阵A有m个互不相等的特征值,他们的重数分别是

                   由性质3可知,特征值λi(i=1,2,…,m)个线性无关的特征向量,把他们标准正交化即可得个正交的特征向量。

                  由性质2不同特征值对应的特征向量正交

                  可知:A有n个与特征值对应的相互正交的特征向量,记为,显然Q非奇异

                  则

                           AQ=A(x_1,x_2,...,x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n)=Qdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

                 因此

                                 Q^{-1}AQ=diag(\lamdba_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

     性质4得证

     

     

     

    展开全文
  • 考虑充要条件==, 矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1 矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2 矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化,即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与...

    考虑充要条件==,

    矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1

    矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2

    矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化,即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与各自对应的二次型,均可化为系数为特征值的标准二次型(特征标准二次型)——3

    上述一条,是因为:

    f(x1、x2、x3)=xTAx。对f进行变换,即对x进行线性变化,即x=Cy。代入左式,得f(y1、y2、y3)=yTCTACy=yT(CTAC)y。由此可见,对二次型做变换,必是对其矩阵做合同变换;对二次型的矩阵做合同变换,必可转换为对二次型做变换。而对二次型矩阵仅仅做相似变换C-1BC=A,不能转换为对相应二次型做变换。因为yTC-1ACy无法通过x=Cy转变为xTCx 。

    2+3,得:矩阵A、B均与各自相似标准型合同,且A、B的特征值的正负个数相同==矩阵A、B合同——4

    矩阵是实对称矩阵,则必可同时相似、合同于它的相似标准型。所以实对称矩阵A、B有相同特征值==A、B相似;实对称矩阵A、B正负特征值个数相同==A、B合同

    对于二次型,二次型的标准型不唯一,但特征标准型唯一,系数即为特征值。

    二次型的特征标准型唯一,但它的正交矩阵不唯一。原二次型矩阵以特征向量为基础,选择不同的施密特正交化方式(beta1=α1,α1可从不正交的一组向量中任意选择,因此施密特正交化可得不同的正交向量组),即可得不同的正交矩阵。

    二次型的标准型不唯一,但规范型必唯一,原因是标准型的系数可任意取,而规范型的系数只取1、-1、0。在向量、系数、二次型函数值三个相关量中,标准型有系数和向量两个自由度,减去相关性还有一个自由度,因此可以自由转换;而规范型的系数、二次型函数值都不自由,强迫第三个相关量,即向量也不自由,自由度为零,因此表达式唯一。

    展开全文
  • 要用到对角化,手写了一下证明过程:

    要用到对角化,手写了一下证明过程:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 机器学习数学基础之二次型与实对称矩阵条件极值
  • 实对称矩阵一定可以相似对角化

    千次阅读 2021-09-12 21:46:56
    对于任意的nnn阶实对称矩阵AAA,存在正交矩阵QQQ,使得 Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,…,λn)Q^{-1}AQ=Q^T AQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1​,…,λn​) 其中λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n...

    对于任意的 n n n阶实对称矩阵 A A A,存在正交矩阵 Q Q Q,使得
    Q − 1 A Q = Q T A Q = d i a g ( λ 1 , … , λ n ) Q^{-1}AQ=Q^T AQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) Q1AQ=QTAQ=diag(λ1,,λn)
    其中 λ 1 , … , λ n \lambda_1,\dots,\lambda_n λ1,,λn A A A的特征值

    证明:
    n = 1 n=1 n=1
    I − 1 A I = a 11 I^{-1}AI=a_{11} I1AI=a11
    成立
    假设当 n = k − 1 n=k-1 n=k1时成立
    不妨设 A α 1 = λ 1 α 1 ( ∥ α 1 ∥ 2 = 1 ) A\alpha_1=\lambda_1 \alpha_1(\Vert \alpha_1 \Vert_2=1) Aα1=λ1α1(α12=1)
    由施密特正交化,存在 n − 1 n-1 n1个单位向量 α 2 , α 3 , … , α n \alpha_2,\alpha_3,\dots,\alpha_n α2,α3,,αn(其中 α 2 , α 3 , … , α n \alpha_2,\alpha_3,\dots,\alpha_n α2,α3,,αn不一定是特征值)
    使得 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,,αn两两正交
    Q 1 = ( α 1 , α 2 , … , α n ) Q_1=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) Q1=(α1,α2,,αn)
    Q 1 T A Q 1 = ( α 1 T A α 1 α 1 T A α 2 α 1 T A α 3 ⋯ α 1 T A α n α 2 T A α 1 α 2 T A α 2 α 2 T A α 3 ⋯ α 2 T A α n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ α n T A α 1 α n T A α 2 α n T A α 3 ⋯ α n T A α n ) = ( λ 1 α 1 T α 1 λ 1 α 1 T α 2 λ 1 α 1 T α 3 ⋯ λ 1 α 1 T α n λ 1 α 2 T α 1 α 2 T A α 2 α 2 T A α 3 ⋯ α 2 T A α n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ λ 1 α n T α 1 α n T A α 2 α n T A α 3 ⋯ α n T A α n ) = ( λ 1 0 0 ⋯ 0 0 α 2 T A α 2 α 2 T A α 3 ⋯ α 2 T A α n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 α n T A α 2 α n T A α 3 ⋯ α n T A α n ) = ( λ 1 0 0 S ) \begin{aligned} Q_1^TAQ_1&=\begin{pmatrix} \alpha_1^TA\alpha_1&\alpha_1^TA\alpha_2&\alpha_1^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_1^TA\alpha_n\\ \alpha_2^TA\alpha_1&\alpha_2^TA\alpha_2&\alpha_2^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_2^TA\alpha_n\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \alpha_n^TA\alpha_1&\alpha_n^TA\alpha_2&\alpha_n^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_n^TA\alpha_n\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \lambda_1\alpha_1^T\alpha_1&\lambda_1\alpha_1^T\alpha_2&\lambda_1\alpha_1^T\alpha_3&\cdots &\lambda_1\alpha_1^T\alpha_n\\ \lambda_1\alpha_2^T\alpha_1&\alpha_2^TA\alpha_2&\alpha_2^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_2^TA\alpha_n\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \lambda_1\alpha_n^T\alpha_1&\alpha_n^TA\alpha_2&\alpha_n^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_n^TA\alpha_n\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\alpha_2^TA\alpha_2&\alpha_2^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_2^TA\alpha_n\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&\alpha_n^TA\alpha_2&\alpha_n^TA\alpha_3&\cdots &\alpha_n^TA\alpha_n\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \lambda_1&0\\ 0&S\\ \end{pmatrix} \end{aligned} Q1TAQ1=α1TAα1α2TAα1αnTAα1α1TAα2α2TAα2αnTAα2α1TAα3α2TAα3αnTAα3α1TAαnα2TAαnαnTAαn=λ1α1Tα1λ1α2Tα1λ1αnTα1λ1α1Tα2α2TAα2αnTAα2λ1α1Tα3α2TAα3αnTAα3λ1α1Tαnα2TAαnαnTAαn=λ1000α2TAα2αnTAα20α2TAα3αnTAα30α2TAαnαnTAαn=(λ100S)
    S S S是一个 n − 1 n-1 n1阶实对称矩阵
    由假设
    存在正交矩阵 Q Q Q,使得
    Q T S Q = d i a g ( λ 2 , λ 3 , … , λ n ) Q^T SQ=diag(\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n) QTSQ=diag(λ2,λ3,,λn)
    Q 2 = ( 1 0 0 Q ) Q_2=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&Q \end{pmatrix} Q2=(100Q)
    显然 Q 2 Q_2 Q2 n n n阶正交矩阵
    Q 2 T Q 1 T A Q 1 Q 2 = ( Q 1 Q 2 ) T A ( Q 1 Q 2 ) = d i a g ( λ 1 , … , λ n ) Q_2^T Q_1^TAQ_1 Q_2=(Q_1 Q_2)^TA(Q_1 Q_2)=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) Q2TQ1TAQ1Q2=(Q1Q2)TA(Q1Q2)=diag(λ1,,λn)
    显然 Q 1 Q 2 Q_1 Q_2 Q1Q2是正交矩阵
    由数学归纳法,结论成立

    推论

    Q T A Q = d i a g ( λ 1 , … , λ n ) Q^TAQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) QTAQ=diag(λ1,,λn)
    A Q = Q d i a g ( λ 1 , … , λ n ) AQ=Qdiag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) AQ=Qdiag(λ1,,λn)
    ( A x 1 , … , A x n ) = ( λ 1 x 1 , … , λ n x n ) (Ax_1,\dots,Ax_n)=(\lambda_1 x_1,\dots,\lambda_n x_n) (Ax1,,Axn)=(λ1x1,,λnxn)
    A x i = λ i x i ( i = 1 , 2 , … , n ) Ax_i=\lambda_i x_i(i=1,2,\dots,n) Axi=λixi(i=1,2,,n)
    显然 Q Q Q A A A的特征向量经过施密特正交化和单位化后得到的正交矩阵

    接着证明这个对角矩阵取遍了所有 A A A的特征值,且 k k k重特征值取了 k k k

    等价于证明,实对称矩阵 k k k重特征值恰好有 k k k个线性无关的特征向量

    由几何重复度小于等于代数重复度(by 矩阵论)
    ( A − λ i ) x = 0 (A-\lambda_i)x=0 (Aλi)x=0的基础解系线性无关向量的个数,不会超过 λ i \lambda_i λi的重数
    假设 λ i \lambda_i λi的线性无关特征向量小于 k k k,则必然有一个特征值对应的线性无关特征向量多了一个,矛盾

    展开全文
  • 对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一...
  • 计算许多3x3实对称矩阵的特征值。 计算是非迭代的,基于完全矢量化的 matlab 矩阵运算,并且支持 GPU 计算。 它可以快速有效地同时处理多个 3×3 矩阵。 此代码特别适合 3D 中的张量/黎曼微积分、体积张量图像的可视...
  • 实对称矩阵性质

    2021-06-21 11:02:27
    实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的; 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量; n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值; 若λk\lambda_{k}λk​具有k重特征值, 必有k个...
  • 对称矩阵与实对称矩阵

    千次阅读 2019-09-24 11:03:09
    实对称矩阵:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 两个概念的不同之处在于:实对称矩阵里的元素全是实数,而对称矩阵只说明A^T=A,...
  • 实对称矩阵的对角化

    千次阅读 2019-09-04 18:09:33
    原来,实对称矩阵对角化是为解决解析几何中二次曲面是何类型而提出的,因为二次曲面的方程可以写成(x,y,z)A(xyz)(x,y,z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}(x,y,z)A⎝⎛​xyz​⎠⎞​的形式,而这里的A就是一个...
  • 实对称矩阵一定可以对角化

    万次阅读 多人点赞 2020-06-28 11:11:44
    实对称矩阵一定可以对角化. 最近看共轭梯度下降的时候看到有人的推导里面用到了这个命题. 虽然以前学过, 但是学得很渣, 所以没有自己想过这个命题怎么样成立的. 现在将这些证明过程梳理一下. 实对称矩阵含有n个实根 ...
  • 如果一个方阵 相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是对角矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
  • 在线性代数中,有一些特殊的矩阵具有易于分析和操作的特性。它们的特征向量可能具有特定的特征值或特殊关系。还有一些方法可以将一个矩阵分解成这些“更简单”的矩阵。操作复杂性的降低提高了可伸缩性。然而,即使...
  • 对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,...
  • 本章是特征值与特征向量知识的延续,根据谱定理可知实对称矩阵可以正交对角化,对角阵为其特征值,正交矩阵为其两两正交的单位特征向量。除此之外,还介绍了二次型,标准形,规范形的知识。二次型的化简问题是本章的...
  • 特征值篇1——特征值和特征向量特征值篇1--特征值和特征向量_thompson的博客-CSDN博客​blog.csdn.net特征值篇2——特征子空间特征值篇2--特征子空间_thompson的博客-CSDN博客​blog.csdn.net特征值篇3——矩阵可...
  • 1980年,Bellman,R.在文〔1〕中证明了下面...本文得到了与(1)、(2)类似的不等式tr((AB)~m)≤{tr(A~(2m))tr(B~(2m))}~(1/2) (3) 2tr((AB)~m)≤tr(A~(2m))+tr(B~(2m)) (4) 其中A、B是同阶实对称矩阵,m=2~k(k为非负整数)。
  • 森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系​zhuanlan.zhihu.com森屿瑾年:浅谈矩阵的相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章...我们先讨论实对称矩阵的一些特殊的性质:设 , , ,即矩阵 是实数域 上的一个...
  • 从正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...
  • 设AAA为n×nn\times nn×n实对称矩阵,则 AAA的特征值都是实数; 不同特征值对应的特征向量相互正交; AAA可对角化,即存在一个正交阵(orthogonal matrix)XXX(即X’X=I)和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda...
  • 2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。6.属于A的不同特征值的特征向量线性...
  • 雅可比方法用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量,对于实对称矩阵AAA,必有正交矩阵UUU,使得UTAU=DU^{T}AU=DUTAU=D.DDD是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵AAA的特征值,正交矩阵UUU的每一列对应于属于矩阵DDD的主对角...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 12,332
精华内容 4,932
关键字:

实对称矩阵