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  • 导数与微分

    2018-08-19 20:32:49
    2 导数与微分 2.1导数的概念 引例:速度,加速度:很熟悉了。切线问题:我们不能说一条直线与一段弧长只有一个交点就说该直线是切线。MN是一段弧长上的一条割线,旋转MN直至MN趋于0,该切线的斜率则是导数。  ...

    2 导数与微分

    2.1导数的概念

    引例:速度,加速度:很熟悉了。切线问题:我们不能说一条直线与一段弧长只有一个交点就说该直线是切线。MN是一段弧长上的一条割线,旋转MN直至MN趋于0,该切线的斜率则是导数。

               定义

                              f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

    表示函数f(x)在x_0点的变化率。

               单侧导数:f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}(右导数)

    导数是一个极限,极限存在的充要条件是左极限等于右极限,所以导数存在的充要条件:也是左导等于右导。

    函数可导和连续性之间的关系:可导一定连续,反过来理解:你见过在间断点上求导数的吗。可导意味着\Delta y\Delta x是同阶无穷小,\Delta x=0,\Delta y=0。

    2.2 函数求导法则

    {\displaystyle {{\mbox{d}}(Mf) \over {\mbox{d}}x}=M{{\mbox{d}}f \over {\mbox{d}}x};\qquad [Mf(x)]'=Mf'(x)}

    {{{\mbox{d}}(f\pm g)} \over {{\mbox{d}}x}}={{\mbox{d}}f \over {\mbox{d}}x}\pm {{\mbox{d}}g \over {\mbox{d}}x}\                   线性

    {{\mbox{d}}fg \over {\mbox{d}}x}={{\mbox{d}}f \over {\mbox{d}}x}g+f{\frac  {{\mbox{d}}g}{{\mbox{d}}x}}                         乘法

    {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}{\dfrac {f}{g}}}{{\mbox{d}}x}}={\frac {{\dfrac {{\mbox{d}}f}{{\mbox{d}}x}}g-f{\dfrac {{\mbox{d}}g}{{\mbox{d}}x}}}{g^{2}}}\qquad (g\neq 0)}除法

    {\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}f[g(x)]}{{\mbox{d}}x}}={\frac {{\mbox{d}}f(g)}{{\mbox{d}}g}}{\frac {{\mbox{d}}g}{{\mbox{d}}x}}=f'[g(x)]g'(x)} 复合函数

                反函数的导数是原函数导数的倒数。

        基本初等函数的导数公式:

    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%88%97%E8%A1%A8

    贴上一个维基百科的导数公式列表

     

    2.3 高阶导数

    顾名思义

    莱布尼茨公式\frac{{\rm{d}}^n}{{\rm{d}}x^n}(u\cdot v)=\sum_{k=0}^n C_k^n\frac{{\rm{d}}^{n-k}}{{\rm{d}}x^{n-k}}u\frac{{\rm{d}}^k}{{\rm{d}}x^k}v

    类似于\left ( u+v \right )^n的二项式定理展开式。

    2.4 隐函数 及参数方程确定的函数的导数  相关变化率

               F(x,y)=0,类似于这种方程叫隐函数。

    举例:

    • \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10中y对x的导数。

    10}{\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10

    1.两边皆取其相应的导数,得出

    {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac  {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac  {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac  {dy}{dx}}}+0=0

    对数求导法:

                 

    参数方程确定函数的导数

    {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}

    \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}=df(t)/dg(t)

    相关变化率:dx/dt 与dy/dt 之间的关系

    2.5 函数的微分

    微分的定义:\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})

    \Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)

    可以这样表示 则表示可微。{\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}表示线性主部

    微分法则:

    {\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}; {\displaystyle d(uv)=udv+vdu}; {\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}};

    可微分肯定可导:牢牢记住:可导的条件是导数定义式的那个极限存在,根据微分的定义,A就是那个极限值。

                 微分的几何意义:如下图所示

    微分在近似计算中的应用

    用微分量代替变化量,微分可用导数与自变量来计算。

    举例说明:

    例如:估算sin30度30分。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 高等数学教案第二章导数与微分高等数学课程建设组第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理...

    高等数学教案

    第二章

    导数与微分

    高等数学课程建设组

    第二章导数与微分

    教学目的:

    1

    理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,

    会求平面曲线的切线方程和

    线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之

    间的的关系。

    2

    熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,

    熟练掌握基本初等函数的导数

    式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。

    3

    了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的

    n

    阶导数。

    4

    会求分段函数的导数。

    5

    会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。

    教学重点:

    1

    导数和微分的概念与微分的关系;

    2

    导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;

    3

    基本初等函数的导数公式;

    4

    高阶导数;

    6

    隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

    教学难点:

    1

    复合函数的求导法则;

    2

    分段函数的导数;

    3

    反函数的导数

    4

    隐函数和由参数方程确定的导数。

    §

    1

    导数概念

    一、引例

    1

    .

    直线运动的速度

    设一质点在坐标轴上作非匀速运动

    时刻

    t

    质点的坐标为

    ss

    t

    的函数

    s f(t)

    求动点在时刻

    t

    o

    的速度

    考虑比值

    s S) f(t) f(t

    o

    ) t t

    o

    t t

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  • 导数与微分的概念2.1. 导数与微分的概念2.2. 连续、可导、可微之间的关系2.3. 导数的几何意义2.4. 相关变化率3. 导数公式及求导法则3.1. 基本初等函数的导数公式3.2. 求导法则4. 高阶导数4.1. 高阶导数的定义4.2. ...

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    目录

    • 目录
    • 1. 背景
    • 2. 导数与微分的概念
      • 2.1. 导数与微分的概念
      • 2.2. 连续、可导、可微之间的关系
      • 2.3. 导数的几何意义
      • 2.4. 相关变化率
    • 3. 导数公式及求导法则
      • 3.1. 基本初等函数的导数公式
      • 3.2. 求导法则
    • 4. 高阶导数
      • 4.1. 高阶导数的定义
      • 4.2. 常用的高阶导数公式
      • 4.3. 求高阶导数的方法
    • 5. 总结

    1. 背景

    前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 导数与微分的概念

    2.1. 导数与微分的概念

    • 导数
      • 概念:函数在某一点的变化率
    • 微分
      • 概念:函数值在某一点的改变量的近似值

    2.2. 连续、可导、可微之间的关系

    • 连续与可导
      • 连续不一定可导
      • 可导必定连续
    • 连续与可微
      • 连续不一定可微
      • 可微必定连续
    • 可导与可微(在一元函数中)
      • 可微必定可导
      • 可导必定可微
      • 可导是可微的充分必要条件

    :在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续

    • 证明可导必可微

    根据可导定义,令

    则有

    即有

    ,故
    ,其中
    为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。
    • 证明可微必可导

    根据可微定义

    导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且

    .
    • 常见错误
      • 在某邻域可导
      • 不能推出
        点连续
      • 不能推出
        存在
      • 题型:第一章例
        ,考察洛必达法则的使用条件

    2.3. 导数的几何意义

    导数

    在几何上表示曲线
    在点
    处切线的斜率。

    :法线的斜率是切线斜率的负倒数。

    2.4. 相关变化率

    • 定义

    都是可导函数,而变量
    之间存在某种关系,从而他们的变化率
    之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为
    相关变化率
    • 例题(第二章例

    已知动点

    在曲线
    上运动,记坐标原点与点
    间的距离为
    。若点
    的横坐标对时间的变化率为常数
    ,则当点
    运动到点
    时,
    对时间的变化率是___.

    解:

    已知

    ,则

    带入数值

    ,则

    3. 导数公式及求导法则

    3.1. 基本初等函数的导数公式

    3.2. 求导法则

    3.2.1. 有理运算法则

    处可导,则

    3.2.2. 复合函数求导法

    处可导,
    在对应点可导,则复合函数
    处可导,则

    • 推论

    一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化

    • 证明推论
    1. 奇函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    偶函数
    1. 偶函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    奇函数

    3.2.3. 隐函数求导法

    是由方程
    所确定的可导函数,为求得
    ,可在方程
    两边对
    求导,可得到一个含有
    的方程,从中解出
    即可。

    也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

    3.2.4. 反函数的导数

    在某区间内可导,且
    ,则其反函数
    在对应区间内也可导,且

    3.2.5. 参数方程求导法

    是由参数方程

    确定的函数,则

    1. 都可导,且
      ,则

    1. 都二阶可导,且
      ,则

    3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

    极坐标性质

    极坐标转化为直角坐标的转化公式

    已知经过点

    ,且直线与极轴所成角为
    的直线
    ,其极坐标方程为

    转化为参数方程形式

    3.2.6. 对数求导法

    如果

    的表达式由
    多个因式的乘除、乘幂构成,或是幂指函数的形式,则可先将函数去对数,然后两边对
    求导。

    :对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件


    4. 高阶导数

    4.1. 高阶导数的定义

    含义:一般地,函数

    阶导数为
    ,也可记为
    ,即
    阶导数就是
    阶导函数的导数。

    :如果函数在点

    阶可导,则在点
    的某邻域内
    必定具有一切低于
    阶的导数。

    4.2. 常用的高阶导数公式

    式2.24可类比

    阶二项式公式

    • 推论

    ,则

    • 证明

    通过归纳法,求

    ,推出
    .

    4.3. 求高阶导数的方法

    1. 公式法,带入高阶导数公式
    2. 归纳法,求
      ,归纳

    5. 总结

    1. 导数
    • 定义
    • 求导法则
    • 高阶导数

    2. 微分

      • 定义
      • 微分与可导的关系
      • 微分方程求导
    展开全文
  • 2.1导数概念2.2函数的求导法则2.3高姐函数2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率2.5函数的微分第二章总结:导数与微分如果哪里有错误疏漏,请大家及时指正,谢谢!希望大家共同进步!希望点赞关注转发...

    纯手写!

    自己总结的知识点和习题!

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    2.1导数概念

    2.2函数的求导法则

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    2.3高姐函数

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    2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

    2.5函数的微分

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    第二章总结:导数与微分

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    如果哪里有错误疏漏,请大家及时指正,谢谢!

    希望大家共同进步!

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  • 导数与微分思维导图版。使用mindmanger编写。使用mindmanger打开
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  • 2.1 导数与微分的概念 2.2 导数公式及求导法则 2.3 高阶导数
  • 第二章 导数与微分

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