柯西不等式是欧式几何中最基本，也是最重要的不等式。它的重要之处，不仅在于该结论本身应用之广泛；也在于它的证明思想对于其他定理的证明，有极大的借鉴意义。例如，在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中，就会用到柯西不等式的证明思想。
 
柯西(Cauchy)不等式：对于n维空间上的任意两个向量$x$和$y$都有
 $$|x^{T}y|\le |x||y|$$
 其中
 $$x^{T}y=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$
 是向量$x$和$y$的內积，$|x|$是向量$x$的2范数，也即
 $$|x|=\sqrt{x^{T}x}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}.$$
 
注意. 在我们的符号中，当$a\in \mathbb{R}$时，$|a|$表示$a$的绝对值。例如$x^{T}y$就是內积$x^{T}y$的绝对值。这种表示方法，与2范数的表示方法是一致的。因为，如果我们把$a$看做是1维向量，那么它的2范数就是$|a|=\sqrt{a^2}$。
 
证明，对任意的实数$t\in \mathbb{R}$,都有
 $$(x+ty{)}^T(x+ty)=|x+ty{|}^2\ge 0$$
 将上式左边按多项式展开即得
 $$y^{T}y\cdot t^2+2x^{T}y\cdot t+x^{T}x\ge 0$$
 也即
 $$|y{|}^2\cdot t^2+2x^{T}y\cdot t+|x{|}^2\ge 0$$
 对所有的$t$成立。为了使得上式左边最小，取$t=-\frac{x^{T}y}{|y{|}^2}$便有
 $$-\frac{(x^{T}y{)}^2}{|y{|}^2}+|x{|}^2\ge 0.$$
 整理即得
 $$(x^{T}y{)}^2\le |x{|}^2|y{|}^2.$$
 证毕。
 
三角不等式，其实是柯西不等式的直接推论。
 
三角不等式. 对于任意的n维向量$x$和$y$有
 $$|x+y|\le |x|+|y|.$$
 证明. 将上式两边分别平方便有
 $$|x+y{|}^2=(x+y{)}^T(x+y)=|x{|}^2+|y{|}^2+2x^{T}y$$
 和
 $$（|x|+|y|{)}^2=|x{|}^2+|y{|}^2+2|x||y|.$$
 由于$x^{T}y\le |x||y|$，故有
 $$|x+y{|}^2\le （|x|+|y|{)}^2.$$
 证毕。
 
我们都知道，三角不等式的一个重要推广，是赫赫有名的余弦定理。由于$|x^{T}y|\le |x||y|$，故而有
 $$-1\le \frac{x^{T}y}{|x||y|}\le 1.$$
 这样，若我们令$cos(\theta )=\frac{x^{T}y}{|x||y|}$便有
 $$|x+y{|}^2=(x+y{)}^T(x+y)=|x{|}^2+|y{|}^2+2|x||y|cos(\theta )$$
 这里的$\theta$是向量x和y的夹角，如图。
 
 为了得到三角形中的余弦定理，需要令$y=-z$，此时有
 $$|x-z{|}^2=|x{|}^2+|z{|}^2+2|x||z|cos(\theta )=|x{|}^2+|z{|}^2-2|x||z|cos({\theta }^{\prime })$$
 这里的${\theta }^{\prime }=\pi -\theta$是向量x和z的夹角，如图。
 

泛函分析中柯西不等式证明：
 

 

概率空间中的柯西不等式|a||b|>=|a*b|
 
注：证明方法可能有误，如果您有任何建议请评论
 
$$\begin{gathered} 对于两个随机变量X，Y，若E(X^2),E(Y^2)存在， \\ 则[E(XY){]}^2\le E(X^2)E(Y^2) \end{gathered}$$
 $$P(X=kY)=1，时取等号$$
 证明：
 
$$\begin{gathered} E((tX+Y{)}^2)\ge 0恒成立 \\ =E((t^2{X}^2+2tXY+Y^2)) \\ =E(t^2{X}^2)+2tE(XY)+E(Y^2) \\ =t^{2}E(X^2)+2tE(XY)+E(Y^2) \end{gathered}$$
 则二次函数的判别式$$b^2-4ac\le 0$$知原式成立
 
证明;参考
 
$$E(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$
 $$E(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }yf(y)dx$$
 
 
对称性（共轭对称性）：
 
$$E(xy)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf(x,y)dxdy$$
 
x与y相当于格林函数冲击后的无穷维的向量
 
假设只有整数点的概率不为零，以x*y=6维例
 
 
泛函，实际上随机变量X、Y的线性组合构成了一个线性空间，而(X,Y)=E(XY)定义了一个内积，用内积空间的性质就知道了。
 
$$|ab|=E(xy)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf(x,y)dxdy$$
 $$|aa|=E(xx)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xxf(x,x)dxdx$$
 $$|bb|=E(yy)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }yyf(y,y)dydy$$
 
写成积分的，再用积分的许瓦兹不等式
 
注：证明方法可能有误，如果您有任何建议请评论

 
利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式
 
 编者注：作为一个学生，希望所有人都能够免费共享成果，一起进步，为祖国一起做贡献。
 
 第一次写博客，先适应一下。
 
 已知柯西不等式|(x,y)|<=||x||·||y||,证明三角不等式||x+y||<=||x||+||y||
 
 
 
 
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