精华内容
下载资源
问答
  • 柯西不等式

    2015-09-23 10:57:15
    柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式
  • 柯西不等式在数学的各个领域中均有出现,从竞赛里的放缩到量子力学里的不确定性原理中均有应用,所以本篇文章将证明广义的柯西不等式,即柯西—施瓦茨不等式(Cauchy—Shwarz inequality)。首先我们需要先了解一下...

    21bec393b252ba344553127371f4f8f0.png

    柯西不等式在数学的各个领域中均有出现,从竞赛里的放缩到量子力学里的不确定性原理中均有应用,所以本篇文章将证明广义的柯西不等式,即柯西—施瓦茨不等式(Cauchy—Shwarz inequality)

    首先我们需要先了解一下什么是内积空间(Inner product space)。在数学中(尤其是代数),人们总喜欢将我们平时接触的世界

    进行抽象。人们提取出欧式空间中线性的特点,定义了
    向量空间(Vector space)。在此基础上,他们把欧式空间里的点积(Dot product)推广,定义了广义的内积空间(Inner product space)。其中内积空间就是定义了内积运算(即
    )的向量空间,但是定义的内积需要满足多个属性。其中我们要用到这些(为了表示方便,设V为内积空间,
    为一个数域):
    1. 定义向量的模(norm)
    2. 时,
      (内积空间上的勾股定理)

    有了这些已知条件,我们就可以开始证明了:

    设两个向量

    ,如果u和v线性相关,则设u=kv,其中

    现在代入,可以发现等式明显成立:

    现在我们再来看看u和v线性无关时的情况。我们先定义新向量

    接着再对等式两侧求对v的内积,发现z和v正交:

    现在我们在转换一下等式(1),得到

    根据z和v的正交性,我们可以使用内积空间里的勾股定理:

    根据列出的内积空间的第六条性质,我们可以发现

    。所以去掉右侧等式里的
    项会让等于号变成大于等于,最终帮助我们推导出柯西不等式:

    我们知道欧式空间是一个良好的内积空间。如果我们把欧式空间

    里的内积
    代入到(2)里,就能够哦得到平时数学竞赛里常用的柯西不等式:

    通过柯西不等式,我们还可以推导出量子力学中著名的海森堡不确定性原理(Heisenberg's uncertainty principle),敬请期待下一期——《柯西不等式的应用——不确定性原理》。

    展开全文
  • 柯西不等式类似的有基本不等式,基本不等式就可以推广到多次,本文通过类比基本不等式,粗略地、不严谨地讨论一下。一、证明但是,这有什么用呢?二、高考题为例三、几何意义柯西不等式的几何意义是矢量数量积,那...

    柯西——施瓦茨不等式是二次的,能否推广到多次呢?

    与柯西不等式类似的有基本不等式,基本不等式就可以推广到多次,本文通过类比基本不等式,粗略地、不严谨地讨论一下。


    一、证明

    6a1d8879338c7e7b47580d06c95b3ceb.png

    692e80c989411970c23e58027d3a2903.png

    1282e95bbd78a21bce1e0e379825cc56.png

    f188cd27b265459e83f30682f802ad16.png

    d7345acaf7dc41ae80060c4fa4615c63.png

    但是,这有什么用呢?

    二、高考题为例

    05410b17aa45e6af54ae90c6923b6a3d.png

    三、几何意义

    柯西不等式的几何意义是矢量数量积,那推广的不等式几何意义又是什么呢?本人无法回答,了解的读者欢迎告诉笔者。

    (完)

    展开全文
  • 柯西不等式更是作为高中阶段重中之重的一个基础不等式,因此本篇文章将会详述柯西不等式的基本概念与考查形式2.柯西不等式定理 (柯西不等式的一般形式)设为实数,则:当时,不等式等号成立3. 柯西不等式的证明...

    1.前言

    不等式是高中阶段的很重要的一门必修课,无论是国内竞赛还是国际竞赛会出现它的身影。

    而柯西不等式更是作为高中阶段重中之重的一个基础不等式,因此本篇文章将会详述柯西不等式的基本概念与考查形式

    2.柯西不等式

    定理 (柯西不等式的一般形式)设

    为实数,则:

    时,不等式等号成立

    3. 柯西不等式的证明

    此处给出构造法证明

    证: 若

    , 则不等式成立

    其中之一不为零, 则

    考虑函数:

    因此可知该函数的判别式

    所以

    当等式取等时判别式等于零,因此为函数的零点,此时需要满足

    ,因此此时

    4.柯西不等式的记忆方式

    如果你觉得柯西不等式不好记的话,可以伸出你的左手和右手,把左手的每个手指看作

    , 右手手指看作

    接着把左手手指与之对应的挡在右手手指前面,大拇指,食指等等都是重叠的,因此分别代表了

    ,但是因为两只手合并起来了,所以整体要乘二次方

    简单来说就是左手乘右手

    双手交叉

    5.柯西不等式的考查形式

    下面展现三道题带你了解柯西不等式的考查方式

    5.1 第一题

    已知
    的最小值。

    解:由柯西不等式可知,

    因此

    故知最小值为81, 此时

    , 又因为
    ,可以知道
    ,满足

    5.1.1 小结

    一般当题目当中的式子有一一对应关系且有次数上的联系,我们就可以考虑使用柯西不等式,例如上题当中(

    对应
    ,
    对应
    ,
    对应

    5.2 第二题

    经常考查的对应次数关系还有如下这种

    已知
    ,求
    的最大值

    由柯西不等式可知,

    因此,

    5.2.1 小结

    由这道题可以看出,我们经常需要凑一些常数项来使用柯西不等式,而柯西不等式考查的时候经常会考验二次和一次的转换,(例如本题中的

    5.3 第三题

    已知

    求证:

    因为

    化简得

    又因为等式取等时

    此时x无解

    故等式不成立,可得

    5.3.1 小结

    通过这道题,我们可以发现有些时候柯西不等式是需要构造的,这往往是最难的一步,构造的方法千变万化,但不变的是我们需要创造出常数项去凑柯西不等式,(例如本题当中的

    5.4 总结

    通过这三道题目,我们可以看到柯西不等式实际上由三个式子组成,因此要成功运用柯西不等式,要至少保障其中一到两个式子为常数

    6. AMT真题

    上述三道题都是国内的考试中摘选的,而下面这道题是笔者从国际竞赛AMT中摘选的,对于国际生来说比较有参考意义。

    Given
    positive numbers
    such that
    compute the maximum possible value of

    Solution: By Cauchy-Schwarz,

    Therefore,


    更多的不等式相关的知识将会陆陆续续呈现出来,同时欢迎关注我的微信公众号,理理你的数学,上面会周更优质数学文章。

    展开全文
  • 柯西不等式想到的

    2016-09-15 20:34:15
    好用的柯西不等式

    典型的柯西不等式是:

    ni=1a2ini=1b2ini=1(aibi)2

    由这样的一个不等式可以联想到一个故事。

    我们将ai 看作是一个个体,将bi看作是一个个体。
    这样每一个个体自己的努力可以看作是
    ni=1a2i

    ni=1b2i

    等到他们努力到足够优秀的时候,两者的结合产生的效用非常大。

    而先结合在一起努力的这种形式:

    ni=1(aibi)2

    看着似乎很美好,事实上,结果并不太美妙。


    我想到的是,每一个个体,请尽情的绽放,等你足够优秀,再去找到和你一样优秀的另一半,你们的结合,将带来更加美好的明天!

    以上纯属胡扯。只是为了记忆这组常用的不等式。

    Thats all.

    展开全文
  • 一、柯西不等式 1、基本介绍 设,,其中,则,取等时,,即。 2、证明 取向量,。 因为
  • 柯西不等式原本是我们的选修4-5上的内容,但他在有些时间也是可以解决一些必修题目的。我们一般见到的都是二维柯西不等式当且仅当a/c=b/d时取得等号。首先我先介绍一种简单的推导,向量法推导。这是我目前认为的最...
  • 前两天有学生问柯西不等式,其实在IB、Alevel或者AP等国际数学教材中是不考察这个知识点的。当然,这不是说不考察不等式而是不会考那么难的不等式应用,最多考考绝对值不等式以及高次不等式。不过高考还是要求的,...
  • 柯西不等式证明(cauchy不等式)

    千次阅读 2014-09-15 16:50:16
    泛函分析中柯西不等式证明:
  • 高中数学公式逆用技巧系列3---柯西不等式在解决高考选填题的最值问题中的应用谈到不等式,大家比较熟悉的是均值不等式,而且在现行的高考数学中均值不等式是C级要求。对于不等式除了均值不等式外还有许多其他重要的...
  • 利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式欢迎使用Markdown编辑器新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定...
  • 柯西不等式是欧式几何中最基本,也是最重要的不等式。它的重要之处,不仅在于该结论本身应用之广泛;也在于它的证明思想对于其他定理的证明,有极大的借鉴意义。例如,在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中,就会用到...
  • 原创精华:柯西不等式的所有解法从柯西不等式的变形,我感受到了来自数学世界深深的恶意。哪些不等式能用柯西不等式来解?柯西不等式有哪些常见的变形?整完教材和题库,我们告诉你高考中柯西不等式的所有解法 作为...
  • 概率空间中的柯西不等式|a||b|>=|a*b| 注:证明方法可能有误,如果您有任何建议请评论 对于两个随机变量X,Y,若E(X2),E(Y2)存在,则[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2) 对于两个随机变量X,Y,若E(X^2),E(Y^2)存在,\\则[E(XY...
  • 柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要还是点,它不仅历史悠久,形式优美。也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具! 同学们今天的高中数学柯西不等式的知识点就...
  • 和排序不等式不同,柯西不等式的不等关系不是由排序乱序带来的。 柯西不等式的常见功效: 1,对多项式中的每一项进行乘除改造(称之为对位乘法); 2,对多项式中的每一项进行升根号改造。 例题可见...
  • 转载于考研数学帝柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 ...
  • 新高一数学强基计划学案第五讲《柯西不等式》 各位头条的朋友们,紧张而忙碌的教学工作日复一日,本周我继续收集整理高水平学生的数学讲义,来适应将来的强基计划考试。本周讲义的主题是《柯西不等式》. 柯西不等式...
  • 柯西不等式等号成立的条件得x=9
  • 书书书$""%!!"!!!!#!!$ "!!)*+,-.4567 $$0!!!)P)!-./012 $$0!!!)PQ!-./012 $$#!!!!") $0@"!)*+,-.89: $03!!
  • 近年来看到这几个概念不少次了,都有点混淆了,稍微总结...1. 算数几何均值不等式 这种是中学课本中常见的,对于一组非负实数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​,有 x1x2…xnn≤x1+x2+⋯+xnn \s...
  • 含义就是: 关于a序列的平方和,乘上b序列的平方和,大于等于,a、b序列的乘积和的平方 也可以写为:
  • 柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究,其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等,为数学的发展做出的突出的贡献。柯西对高等数学的贡献包括:无穷级数的敛散性,...
  • 1. 算数几何均值不等式 这种是中学课本中常见的,对于一组非负实数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​,有 x1x2…xnn≤x1+x2+⋯+xnn \sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\leq \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}nx1...
  • 评:此题也可以设$1+cos\theta=t$,平方后变成$t$的单变量利用均值去做. 柯西平衡系数法其实就是待定系数法,利用等号取到的条件。 转载于:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/7379814.html...
  • 附带柯西不等式:   #include #include int main(void) { double a,b; scanf("%lf%lf",&a,&b); double tmp=sqrt(2.0*b-a*a); printf("%.2f %.2f\n",a/2-tmp/2,a/2+tmp/2); return 0; }  

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 11
收藏数 206
精华内容 82
关键字:

柯西不等式