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  • 柯西不等式是欧式几何中最基本,也是最重要的不等式。...柯西(Cauchy)不等式:对于n维空间上的任意两个向量xxx和yyy都有 ∣xTy∣≤∣x∣∣y∣|x^Ty|\leq |x||y|∣xTy∣≤∣x∣∣y∣ 其中 xTy=∑...

    柯西不等式是欧式几何中最基本,也是最重要的不等式。它的重要之处,不仅在于该结论本身应用之广泛;也在于它的证明思想对于其他定理的证明,有极大的借鉴意义。例如,在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中,就会用到柯西不等式的证明思想。

    柯西(Cauchy)不等式:对于n维空间上的任意两个向量 x x x y y y都有
    ∣ x T y ∣ ≤ ∣ x ∣ ∣ y ∣ |x^Ty|\leq |x||y| xTyxy
    其中
    x T y = ∑ i = 1 n x i y i x^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_i xTy=i=1nxiyi
    是向量 x x x y y y的內积, ∣ x ∣ |x| x是向量 x x x的2范数,也即
    ∣ x ∣ = x T x = ∑ i = 1 n x i 2 . |x|=\sqrt{x^Tx}=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}. x=xTx =i=1nxi2 .

    注意. 在我们的符号中,当 a ∈ R a\in\mathbb{R} aR时, ∣ a ∣ |a| a表示 a a a的绝对值。例如 x T y x^Ty xTy就是內积 x T y x^Ty xTy的绝对值。这种表示方法,与2范数的表示方法是一致的。因为,如果我们把 a a a看做是1维向量,那么它的2范数就是 ∣ a ∣ = a 2 |a|=\sqrt{a^2} a=a2

    证明,对任意的实数 t ∈ R t\in\mathbb{R} tR,都有
    ( x + t y ) T ( x + t y ) = ∣ x + t y ∣ 2 ≥ 0 (x+ty)^T(x+ty)=|x+ty|^2\geq 0 (x+ty)T(x+ty)=x+ty20
    将上式左边按多项式展开即得
    y T y ⋅ t 2 + 2 x T y ⋅ t + x T x ≥ 0 y^Ty \cdot t^2 + 2x^Ty \cdot t + x^Tx \geq 0 yTyt2+2xTyt+xTx0
    也即
    ∣ y ∣ 2 ⋅ t 2 + 2 x T y ⋅ t + ∣ x ∣ 2 ≥ 0 |y|^2 \cdot t^2 + 2x^Ty \cdot t + |x|^2 \geq 0 y2t2+2xTyt+x20
    对所有的 t t t成立。为了使得上式左边最小,取 t = − x T y ∣ y ∣ 2 t=-\frac{x^Ty}{|y|^2} t=y2xTy便有
    − ( x T y ) 2 ∣ y ∣ 2 + ∣ x ∣ 2 ≥ 0. -\frac{(x^Ty)^2}{|y|^2} + |x|^2\geq 0. y2(xTy)2+x20.
    整理即得
    ( x T y ) 2 ≤ ∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 . (x^Ty)^2 \leq |x|^2|y|^2. (xTy)2x2y2.
    证毕。

    三角不等式,其实是柯西不等式的直接推论。

    三角不等式. 对于任意的n维向量 x x x y y y
    ∣ x + y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ . |x+y| \leq |x| + |y|. x+yx+y.
    证明. 将上式两边分别平方便有
    ∣ x + y ∣ 2 = ( x + y ) T ( x + y ) = ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 + 2 x T y |x+y|^2=(x+y)^T(x+y)=|x|^2 + |y|^2 +2x^Ty x+y2=(x+y)T(x+y)=x2+y2+2xTy

    ( ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ) 2 = ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 + 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ . (|x|+|y|)^2=|x|^2 + |y|^2 +2|x||y|. x+y)2=x2+y2+2xy.
    由于 x T y ≤ ∣ x ∣ ∣ y ∣ x^Ty\leq|x||y| xTyxy,故有
    ∣ x + y ∣ 2 ≤ ( ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ) 2 . |x+y|^2 \leq (|x|+|y|)^2. x+y2x+y)2.
    证毕。

    我们都知道,三角不等式的一个重要推广,是赫赫有名的余弦定理。由于 ∣ x T y ∣ ≤ ∣ x ∣ ∣ y ∣ |x^Ty|\leq|x||y| xTyxy,故而有
    − 1 ≤ x T y ∣ x ∣ ∣ y ∣ ≤ 1. -1\leq \frac{x^Ty}{|x||y|}\leq1. 1xyxTy1.
    这样,若我们令 c o s ( θ ) = x T y ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos(\theta)=\frac{x^Ty}{|x||y|} cos(θ)=xyxTy便有
    ∣ x + y ∣ 2 = ( x + y ) T ( x + y ) = ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 + 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ c o s ( θ ) |x+y|^2=(x+y)^T(x+y)=|x|^2 + |y|^2 + 2|x||y|cos(\theta) x+y2=(x+y)T(x+y)=x2+y2+2xycos(θ)
    这里的 θ \theta θ是向量x和y的夹角,如图。
    在这里插入图片描述
    为了得到三角形中的余弦定理,需要令 y = − z y=-z y=z,此时有
    ∣ x − z ∣ 2 = ∣ x ∣ 2 + ∣ z ∣ 2 + 2 ∣ x ∣ ∣ z ∣ c o s ( θ ) = ∣ x ∣ 2 + ∣ z ∣ 2 − 2 ∣ x ∣ ∣ z ∣ c o s ( θ ′ ) |x-z|^2=|x|^2 + |z|^2 + 2|x||z|cos(\theta)=|x|^2 + |z|^2 - 2|x||z|cos(\theta') xz2=x2+z2+2xzcos(θ)=x2+z22xzcos(θ)
    这里的 θ ′ = π − θ \theta'=\pi-\theta θ=πθ是向量x和z的夹角,如图。
    在这里插入图片描述

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  • 柯西不等式证明(cauchy不等式

    千次阅读 2014-09-15 16:50:16
    泛函分析中柯西不等式证明:

    泛函分析中柯西不等式证明:


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  • 概率空间中的柯西不等式|a||b|>=|a*b| 注:证明方法可能有误,如果您有任何建议请评论 对于两个随机变量X,Y,若E(X2),E(Y2)存在,则[E(XY)]2≤E(X2)E(Y2) 对于两个随机变量X,Y,若E(X^2),E(Y^2)存在,\\则[E(XY...

    概率空间中的柯西不等式|a||b|>=|a*b|

    注:证明方法可能有误,如果您有任何建议请评论

    对 于 两 个 随 机 变 量 X , Y , 若 E ( X 2 ) , E ( Y 2 ) 存 在 , 则 [ E ( X Y ) ] 2 ≤ E ( X 2 ) E ( Y 2 ) 对于两个随机变量X,Y,若E(X^2),E(Y^2)存在,\\则[E(XY)]^2\leq E(X^2)E(Y^2) XYE(X2),E(Y2)[E(XY)]2E(X2)E(Y2)
    P ( X = k Y ) = 1 , 时 取 等 号 P(X=kY)=1,时取等号 P(X=kY)=1
    证明:

    E ( ( t X + Y ) 2 ) ≥ 0 恒 成 立 = E ( ( t 2 X 2 + 2 t X Y + Y 2 ) ) = E ( t 2 X 2 ) + 2 t E ( X Y ) + E ( Y 2 ) = t 2 E ( X 2 ) + 2 t E ( X Y ) + E ( Y 2 ) E((tX+Y)^2)\geq 0恒成立\\=E((t^2X^2+2tXY+Y^2))\\=E(t^2X^2)+2tE(XY)+E(Y^2)\\=t^2E(X^2)+2tE(XY)+E(Y^2) E((tX+Y)2)0=E((t2X2+2tXY+Y2))=E(t2X2)+2tE(XY)+E(Y2)=t2E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)
    则二次函数的判别式 b 2 − 4 a c ≤ 0 b^2-4ac\leq0 b24ac0知原式成立

    证明;参考

    E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(x)= \int_{-\infin }^{+ \infin }xf(x)dx E(x)=+xf(x)dx
    E ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d x E(y)= \int_{-\infin }^{+ \infin }yf(y)dx E(y)=+yf(y)dx

    在这里插入图片描述

    对称性(共轭对称性):

    E ( x y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y E(xy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xyf(x,y)dxdy E(xy)=++xyf(x,y)dxdy

    x与y相当于格林函数冲击后的无穷维的向量

    假设只有整数点的概率不为零,以x*y=6维例

    在这里插入图片描述

    泛函,实际上随机变量X、Y的线性组合构成了一个线性空间,而(X,Y)=E(XY)定义了一个内积,用内积空间的性质就知道了。

    ∣ a b ∣ = E ( x y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y |ab|=E(xy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xyf(x,y)dxdy ab=E(xy)=++xyf(x,y)dxdy
    ∣ a a ∣ = E ( x x ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x x f ( x , x ) d x d x |aa|=E(xx)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }xxf(x,x)dxdx aa=E(xx)=++xxf(x,x)dxdx
    ∣ b b ∣ = E ( y y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ y y f ( y , y ) d y d y |bb|=E(yy)= \int_{-\infin }^{+ \infin } \int_{-\infin }^{+ \infin }yyf(y,y)dydy bb=E(yy)=++yyf(y,y)dydy

    写成积分的,再用积分的许瓦兹不等式

    注:证明方法可能有误,如果您有任何建议请评论

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  • 利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式欢迎使用Markdown编辑器新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定...

    利用Cauchy柯西不等式证明三角不等式


    编者注:作为一个学生,希望所有人都能够免费共享成果,一起进步,为祖国一起做贡献。
    第一次写博客,先适应一下。
    已知柯西不等式|(x,y)|<=||x||·||y||,证明三角不等式||x+y||<=||x||+||y||

    欢迎交流,邮箱279644543@qq.com或者sy950812@buaa.edu.cn

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  • 柯西不等式

    2015-09-23 10:57:15
    柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式
  • 柯西不等式证明 柯西不等式(以下简称柯西),是形式如下的不等式 (∑ai2)(∑bi2)≥(∑aibi)2 (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge(\sum a_i b_i)^2 (∑ai2​)(∑bi2​)≥(∑ai​bi​)2 这里来讲一下最简单的证明方式——...
  • 线性代数——柯西不等式

    千次阅读 2020-05-17 19:21:08
    一、柯西不等式 1、基本介绍 设,,其中,则,取等时,,即。 2、证明 取向量,。 因为
  • The finite-dimensional case of this inequality for real vectors was proven by Cauchy in 1821, and in 1859 Cauchy's student  Bunyakovsky  noted that by taking limits one can obtain an integral form...
  • 近年来看到这几个概念不少次了,都有点混淆了,稍微总结...1. 算数几何均值不等式 这种是中学课本中常见的,对于一组非负实数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​,有 x1x2…xnn≤x1+x2+⋯+xnn \s...
  • 2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4_5
  • 2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题新人教A版选修4_5
  • 2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4_520180802375
  • 2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4_520180802373
  • 2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第2课时一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5
  • 2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第一课时二维形式的柯西不等式练习新人教A版选修4_5
  • 2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第1课时二维形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5
  • 2020_2021学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式课时作业含解析新人教A版选修4_5202102051133
  • 2020_2021学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式课时作业含解析新人教A版选修4_5202102051135
  • 2020_2021学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第2课时一般形式的柯西不等式作业含解析新人教A版选修4_520210401185
  • 2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第2课时一般形式的柯西不等式课后提能训练新人教A版选修4_5
  • 2020_2021学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第1课时二维形式的柯西不等式作业含解析新人教A版选修4_520210401184
  • 2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第1课时二维形式的柯西不等式课后提能训练新人教A版选修4_5
  • 含义就是: 关于a序列的平方和,乘上b序列的平方和,大于等于,a、b序列的乘积和的平方 也可以写为:
  • Cauchy不等式及其整体性质,李汉巨,,本文初步总结了Cauchy不等式的多种形式(有限和、级数、积分形式等),给出了Cauchy不等式与内积空间里的Cauchy-Schwarz不等式的一些关�
  • 第三讲柯西不等式与排序不等式.ppt
  • 第三讲柯西不等式与排序不等式 .ppt
  • 竞赛讲座:基本不等式柯西不等式.pdf

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柯西不等式