柯西不等式在数学的各个领域中均有出现，从竞赛里的放缩到量子力学里的不确定性原理中均有应用，所以本篇文章将证明广义的柯西不等式，即柯西—施瓦茨不等式（Cauchy—Shwarz inequality）。
首先我们需要先了解一下什么是内积空间（Inner product space）。在数学中（尤其是代数），人们总喜欢将我们平时接触的世界 
 进行抽象。人们提取出欧式空间中线性的特点，定义了
向量空间（Vector space）。在此基础上，他们把欧式空间里的点积（Dot product）推广，定义了广义的内积空间（Inner product space）。其中内积空间就是定义了内积运算（即 
 ）的向量空间，但是定义的内积需要满足多个属性。其中我们要用到这些（为了表示方便，设V为内积空间， 
 为一个数域）：
定义向量的模（norm） 
当 
 时，
 （内积空间上的勾股定理）
有了这些已知条件，我们就可以开始证明了：
设两个向量 
 ，如果u和v线性相关，则设u=kv，其中 
 。
现在代入，可以发现等式明显成立：
现在我们再来看看u和v线性无关时的情况。我们先定义新向量 
接着再对等式两侧求对v的内积，发现z和v正交：
现在我们在转换一下等式（1），得到
根据z和v的正交性，我们可以使用内积空间里的勾股定理：
根据列出的内积空间的第六条性质，我们可以发现 
 。所以去掉右侧等式里的 
 项会让等于号变成大于等于，最终帮助我们推导出柯西不等式：
我们知道欧式空间是一个良好的内积空间。如果我们把欧式空间 
 里的内积 
 代入到（2）里，就能够哦得到平时数学竞赛里常用的柯西不等式：
通过柯西不等式，我们还可以推导出量子力学中著名的海森堡不确定性原理（Heisenberg's uncertainty principle），敬请期待下一期——《柯西不等式的应用——不确定性原理》。

柯西——施瓦茨不等式是二次的，能否推广到多次呢？
与柯西不等式类似的有基本不等式，基本不等式就可以推广到多次，本文通过类比基本不等式，粗略地、不严谨地讨论一下。
一、证明
但是，这有什么用呢？
二、高考题为例
三、几何意义
柯西不等式的几何意义是矢量数量积，那推广的不等式几何意义又是什么呢？本人无法回答，了解的读者欢迎告诉笔者。
                                                                 （完）

1.前言
不等式是高中阶段的很重要的一门必修课，无论是国内竞赛还是国际竞赛会出现它的身影。
而柯西不等式更是作为高中阶段重中之重的一个基础不等式，因此本篇文章将会详述柯西不等式的基本概念与考查形式
2.柯西不等式
定理 （柯西不等式的一般形式）设
为实数，则：
当
时，不等式等号成立
3. 柯西不等式的证明
此处给出构造法证明
证： 若 
, 则不等式成立
设
其中之一不为零， 则
考虑函数：
因此可知该函数的判别式
所以
当等式取等时判别式等于零，因此为函数的零点，此时需要满足
,因此此时
4.柯西不等式的记忆方式
如果你觉得柯西不等式不好记的话，可以伸出你的左手和右手，把左手的每个手指看作
, 右手手指看作
接着把左手手指与之对应的挡在右手手指前面，大拇指，食指等等都是重叠的，因此分别代表了
,但是因为两只手合并起来了，所以整体要乘二次方
简单来说就是左手乘右手
双手交叉
5.柯西不等式的考查形式
下面展现三道题带你了解柯西不等式的考查方式
5.1 第一题
已知
的最小值。
解：由柯西不等式可知,
因此
故知最小值为81， 此时
, 又因为
，可以知道
，满足
5.1.1 小结
一般当题目当中的式子有一一对应关系且有次数上的联系，我们就可以考虑使用柯西不等式，例如上题当中（
对应
, 
对应
, 
对应
）
5.2 第二题
经常考查的对应次数关系还有如下这种
已知
,求
的最大值
由柯西不等式可知，
因此，
5.2.1 小结
由这道题可以看出，我们经常需要凑一些常数项来使用柯西不等式，而柯西不等式考查的时候经常会考验二次和一次的转换，（例如本题中的
5.3 第三题
已知
， 

求证:
因为
化简得
又因为等式取等时
此时x无解
故等式不成立，可得
5.3.1 小结
通过这道题，我们可以发现有些时候柯西不等式是需要构造的，这往往是最难的一步，构造的方法千变万化，但不变的是我们需要创造出常数项去凑柯西不等式，（例如本题当中的
）
5.4 总结
通过这三道题目，我们可以看到柯西不等式实际上由三个式子组成，因此要成功运用柯西不等式，要至少保障其中一到两个式子为常数。
6. AMT真题
上述三道题都是国内的考试中摘选的，而下面这道题是笔者从国际竞赛AMT中摘选的，对于国际生来说比较有参考意义。
Given 
positive numbers 
 such that
                  compute the maximum possible value of 
Solution: By Cauchy-Schwarz,
Therefore, 
更多的不等式相关的知识将会陆陆续续呈现出来，同时欢迎关注我的微信公众号，理理你的数学，上面会周更优质数学文章。

典型的柯西不等式是：

∑ni=1a2i⋅∑ni=1b2i≥∑ni=1(ai⋅bi)2

由这样的一个不等式可以联想到一个故事。

我们将ai 看作是一个个体，将bi看作是一个个体。 

这样每一个个体自己的努力可以看作是 
∑ni=1a2i

∑ni=1b2i

等到他们努力到足够优秀的时候，两者的结合产生的效用非常大。

而先结合在一起努力的这种形式：

∑ni=1(ai⋅bi)2

看着似乎很美好，事实上，结果并不太美妙。

 

我想到的是，每一个个体，请尽情的绽放，等你足够优秀，再去找到和你一样优秀的另一半，你们的结合，将带来更加美好的明天！ 


以上纯属胡扯。只是为了记忆这组常用的不等式。

That′s all.