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  • 柯西不等式

    2015-09-23 10:57:15
    柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式
  • 柯西不等式在数学的各个领域中均有出现,从竞赛里的放缩到量子力学里的不确定性原理中均有应用,所以本篇文章将证明广义的柯西不等式,即柯西—施瓦茨不等式(Cauchy—Shwarz inequality)。首先我们需要先了解一下...

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    柯西不等式在数学的各个领域中均有出现,从竞赛里的放缩到量子力学里的不确定性原理中均有应用,所以本篇文章将证明广义的柯西不等式,即柯西—施瓦茨不等式(Cauchy—Shwarz inequality)

    首先我们需要先了解一下什么是内积空间(Inner product space)。在数学中(尤其是代数),人们总喜欢将我们平时接触的世界

    进行抽象。人们提取出欧式空间中线性的特点,定义了
    向量空间(Vector space)。在此基础上,他们把欧式空间里的点积(Dot product)推广,定义了广义的内积空间(Inner product space)。其中内积空间就是定义了内积运算(即
    )的向量空间,但是定义的内积需要满足多个属性。其中我们要用到这些(为了表示方便,设V为内积空间,
    为一个数域):
    1. 定义向量的模(norm)
    2. 时,
      (内积空间上的勾股定理)

    有了这些已知条件,我们就可以开始证明了:

    设两个向量

    ,如果u和v线性相关,则设u=kv,其中

    现在代入,可以发现等式明显成立:

    现在我们再来看看u和v线性无关时的情况。我们先定义新向量

    接着再对等式两侧求对v的内积,发现z和v正交:

    现在我们在转换一下等式(1),得到

    根据z和v的正交性,我们可以使用内积空间里的勾股定理:

    根据列出的内积空间的第六条性质,我们可以发现

    。所以去掉右侧等式里的
    项会让等于号变成大于等于,最终帮助我们推导出柯西不等式:

    我们知道欧式空间是一个良好的内积空间。如果我们把欧式空间

    里的内积
    代入到(2)里,就能够哦得到平时数学竞赛里常用的柯西不等式:

    通过柯西不等式,我们还可以推导出量子力学中著名的海森堡不确定性原理(Heisenberg's uncertainty principle),敬请期待下一期——《柯西不等式的应用——不确定性原理》。

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  • 柯西不等式类似的有基本不等式,基本不等式就可以推广到多次,本文通过类比基本不等式,粗略地、不严谨地讨论一下。一、证明但是,这有什么用呢?二、高考题为例三、几何意义柯西不等式的几何意义是矢量数量积,那...

    柯西——施瓦茨不等式是二次的,能否推广到多次呢?

    与柯西不等式类似的有基本不等式,基本不等式就可以推广到多次,本文通过类比基本不等式,粗略地、不严谨地讨论一下。


    一、证明

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    692e80c989411970c23e58027d3a2903.png

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    但是,这有什么用呢?

    二、高考题为例

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    三、几何意义

    柯西不等式的几何意义是矢量数量积,那推广的不等式几何意义又是什么呢?本人无法回答,了解的读者欢迎告诉笔者。

    (完)

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  • 柯西不等式想到的

    2016-09-15 20:34:15
    好用的柯西不等式

    典型的柯西不等式是:

    ni=1a2ini=1b2ini=1(aibi)2

    由这样的一个不等式可以联想到一个故事。

    我们将ai 看作是一个个体,将bi看作是一个个体。
    这样每一个个体自己的努力可以看作是
    ni=1a2i

    ni=1b2i

    等到他们努力到足够优秀的时候,两者的结合产生的效用非常大。

    而先结合在一起努力的这种形式:

    ni=1(aibi)2

    看着似乎很美好,事实上,结果并不太美妙。


    我想到的是,每一个个体,请尽情的绽放,等你足够优秀,再去找到和你一样优秀的另一半,你们的结合,将带来更加美好的明天!

    以上纯属胡扯。只是为了记忆这组常用的不等式。

    Thats all.

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  • 一、柯西不等式 1、基本介绍 设,,其中,则,取等时,,即。 2、证明 取向量,。 因为

    一、柯西不等式

    1、基本介绍

    a_{i}b_{i}\in R,其中i=1,2,...,n,则(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}\leq (\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2}),取等时,\frac{a_{1}}{b_{1}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}},即a_{i}=\lambda b_{i}

    2、证明

    取向量\overrightarrow{m}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\overrightarrow{n}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})

    因为\left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right|=\left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right|\cdot cos\theta \leq \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right|

    \left ( \left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right| \right )^{2}=(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}\left ( \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right| \right )^{2}=(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2})

    所以(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}\leq (\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2})成立,取等时cos\theta =1,此时\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}a_{i}=\lambda b_{i}

    根据以上的证明所得(\left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right|)^{2}\leq \left ( \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right| \right )^{2},我们可以将柯西不等式理解为:两个向量的内积的模长的平方,小于等于两者模长的平方的积

    3、向量的柯西不等式

    以上的柯西不等式,其实是向量柯西不等式在代数上的推广,向量的柯西不等式有:-\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right| \leq \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|

    证明:根据余弦函数的性质,对任意的\theta,有-1 \leq cos\theta \leq 1,两边同时乘以\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|,有-\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right| \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|cos\theta \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|

    两个向量\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}的大小固定时,有下图(1)、(2)、(3) 的 3 种关系。

    根据柯西 - 施瓦茨不等式 (3),可以得出以下性质:

    • 当两个向量方向相反时,内积取得最小值。

    • 当两个向量不平行时,内积取平行时的中间值。

    • 当两个向量方向相同时,内积取得最大值。

    性质①就是梯度下降法的基本原理。

    另外,可以认为内积表示两个向量在多大程度上指向相同方向。如果将方向相似判定为“相似”,则两个向量相似时内积变大。我们考察卷积神经网络时,这个观点就变得十分重要。

     

     

     

     

     

     

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  • 柯西不等式证明(cauchy不等式)

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    柯西,施瓦茨不等式

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