判断点与圆的位置关系

第一步，创建一个类，代表二维空间的一个点。二维空间确定一个点可参考平面直角坐标系中，确定了x坐标和y坐标，即可确定点的位置

package com.tyl.homework;

import java.util.Scanner;
/**
 * 点类
 */
public class Point {

    //x轴坐标值
    double x;

    //y轴坐标值
    double y;
    
    //Point类的无参构造器
    public Point(){
        
    }

    //Point类的有参构造器
    public Point(double x,double y){
        this.x = x;
        this.y = y;
    }

    //创建一个点的方法
    public  static  Point createPoint(){
        Scanner tools = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请依次输入你想要创建的点的x坐标和y坐标：");
        Point p = new Point(tools.nextDouble(),tools.nextDouble());
        return p;
    }
}

确定圆只需要知道圆的圆心位置和半径长度，圆心可直接定义为上面的Point类引用类型，半径即基本类型中的double类型。代码中的Circle类重写了其中的area（求面积）方法和perimeter（求周长），因为Circle类继承了抽象类Figure，这一步非必需，可选择不继承和重写。

/**
 *圆类
 */
import java.util.Scanner;

import static java.lang.StrictMath.PI;

public class Circle extends Figure{
    
    //圆心：p，自定义的Point类型
    Point p;
    
    //半径：r
    double r;
    
    //Circle类的无参构造器
    public Circle(){
    }
    
    //Circle类的有参构造器
    public Circle(double r){
        this.r = r;
    }
    
    //计算面积的方法：S=圆周率*半径的平方
    @Override
    public double area(){
        //S=圆周率*半径的平方
        return PI*r*r;
    }
    //计算圆的周长 c=2*半径*圆周率
    @Override
    public double perimeter() {
        return 2*r*PI;
    }
    //创建一个圆
    public static Circle createCircle() {
        Scanner tools = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入圆的半径值:");
        Circle c = new Circle(tools.nextDouble());
        //设置圆的圆心坐标
        System.out.println("请输入圆心的x坐标和y坐标：");
        Point p1 = new Point(tools.nextDouble(),tools.nextDouble());
        //把点p1赋值给圆c1的圆心p
        c.p = p1;
        return c;
    }
    //判断点与圆的位置关系
    public void position(Point p1){
        //点到圆心的距离公式（此处distance未开方，因此if中与r平方比较）
        double distance =(p1.x-p.x)*(p1.x-p.x)-(p1.y-p.y)*(p1.y-p.y);
        /*
        点到圆心的距离等于半径，点在圆上
        点到圆心的距离小于半径，点在圆内
        点到圆心的距离大于半径，点在圆外
         */
        if (distance==r*r){
            System.out.println("点在圆上");
        }else if (distance<r*r){
            System.out.println("点在圆内");
        }else if (distance>r*r){
            System.out.println("点在圆外");
        }
    }
}

测试代码

package com.tyl.homework;

/**
 * 计算圆的面积，并判断点与圆的位置关系
 */
public class Demo {
    public static void main(String[] args) {

        Circle c1 = Circle.createCircle();
        //调用周长方法求圆的周长
        System.out.println("所求圆的周长为："+c1.perimeter());

        //调用面积方法计算圆的面积
        System.out.println( "所求圆的面积为："+c1.area());

        //调用createPoint方法创建一个点P2
        Point p2 = Point.createPoint();

        //调用position方法判断点与圆的位置关系
        c1.position(p2);

    }
}

运行结果：

D:\software\jdk-14.0.1\bin\java.exe "-javaagent:D:\software\JetBrains\IntelliJ IDEA 2020.1\lib\idea_rt.jar=51767:D:\software\JetBrains\IntelliJ IDEA 2020.1\bin" -Dfile.encoding=UTF-8 -classpath D:\Code0625\out\production\Code0625 com.tyl.homework.Demo
请输入圆的半径值:
3
请输入圆心的x坐标和y坐标：
2
3
所求圆的周长为：18.84955592153876
所求圆的面积为：28.274333882308138
请依次输入你想要创建的点的x坐标和y坐标：
4
5
点在圆内

Process finished with exit code 0

平面上任意椭圆与点的位置关系

问题描述 : 如上图所示，我们的目的是判断在二维空间中任意一椭圆与任意一点$p_i(x_i,y_i)$的位置关系，这样的位置关系有三种 : 1 点在椭圆上; 2 点在椭圆中; 3 点在椭圆外。

解决思路 :

从最简单的开始讲起, 在初中时候学到过，对于一个焦点在$x$轴或$y$轴的椭圆来讲有标准方程 :
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
或者
$$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$$
利用标准方程，判断点与椭圆的位置关系十分容易，以焦点在$x$轴上的椭圆为例,$\forall p(x_i,y_i)\in R^2$，这里不加证明的给出位置关系的判别式 :
(1) 若
$$\frac{x_i^2}{a^2}+\frac{y_i^2}{b^2}<1$$
点在椭圆内；
(2) 若
$$\frac{x_i^2}{a^2}+\frac{y_i^2}{b^2}=1$$
点在椭圆上；
(3) 若
$$\frac{x_i^2}{a^2}+\frac{y_i^2}{b^2}>1$$
点在椭圆外。
这一块证明的资料很多，在此就不再赘述了。

现在将问题泛化 : 对于任意的一个椭圆如何求其与点$p_i$的关系。根据上面的结论我们可以很自然的思考，如果通过一种坐标系的变换，将任意的椭圆都变为焦点在$x$轴，或$y$轴的椭圆，那么其与点$p_i$位置关系的判断将是十分容易，只需要带入已知公式即可，根据这样的思路，我们建立如下坐标系。

如上图所示，在新的坐标系$x^{\prime }{0}^{\prime }{y}^{\prime }$中，椭圆的焦点处于坐标轴上，可以使用椭圆的标准方程进行求解，唯一的问题是如何将任给一点$p_i$变换到$x^{\prime }{0}^{\prime }{y}^{\prime }$，证明的方式有很多种，在此选用基变换.
下述方法中,变换后向量的起点$0^{\prime }$的坐标是$(x_0,y_0)$点，为了满足这个条件，首先对$p_i$进行简单的平移变换，
$$\begin{gathered} x_i=x_i-x_0 \\ {y}_i=y_i-y_0 \end{gathered}$$
注 :$(x_0,y_0)$ 是椭圆圆心坐标.

求解 :
在原始坐标系$x0y$中选取一组单位正交基 { e 1 ⃗ , e 2 ⃗ } , e 1 ⃗ = ( 1 , 0 ) , e 2 ⃗ = ( 0 , 1 ) \{ \vec{e_1},\vec{e_2} \},\vec{e_1} = (1,0),\vec{e_2} = (0,1) {e1​ ​,e2​ ​},e1​ ​=(1,0),e2​ ​=(0,1)，显然$\overrightarrow{p_i}=x_i\overrightarrow{e_1}+y_i\overrightarrow{e_2}$.
如上图先将$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$旋转$\theta$角，根据向量旋转公式:
$$\begin{gathered} (\overrightarrow{e_1^{\prime }}{)}^T=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right] \\ (\overrightarrow{e_2^{\prime }}{)}^T=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
综上$\overrightarrow{e_1^{\prime }}=\left(\cos \theta ,\sin \theta \right),\overrightarrow{e_2^{\prime }}=(-sin\theta ,cos\theta )$, 显然其满足这几点 :
(1) $\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }}$ 线性无关
(2) $\overrightarrow{e_1^{\prime }}\cdot \overrightarrow{e_2^{\prime }}=0$
(3) $\left|\overrightarrow{e_1^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{e_2^{\prime }}\right|=1$
以上通过旋转矩阵求出了新坐标系下的一组正交基，下面只需要求$\overrightarrow{p_i}$在新的基下的表示即可,解法有多种，下面展示一种通过求过度矩阵来进行求解的方法 :
将$\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }}$通过$\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_2}$进行表示 :
$$\begin{gathered} \overrightarrow{e_1^{\prime }}=\cos \theta \cdot \overrightarrow{e_1}+\sin \theta \cdot \overrightarrow{e_2} \\ \overrightarrow{e_2^{\prime }}=-\sin \theta \cdot \overrightarrow{e_1}+\cos \theta \cdot \overrightarrow{e_2} \end{gathered}$$
由上可以求出过渡矩阵
$$C=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$
所以$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$到$\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }}$的坐标变换表示为 :
$$\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\prime }\\ y_i^{\prime }\end{array}\right]=C^{-1}\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\end{array}\right]$$
整理可以得到 :
$$\begin{gathered} x^{\prime }=\cos \theta \cdot x+\sin \theta \cdot y \\ {y}^{\prime }=-\sin \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y \end{gathered}$$
上述关系式还可以通过向量间的投影关系得到.

最后将变换后的$(x_i^{\prime },y_i^{\prime })$带入判别式，计算即可。