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  • 三维坐标系
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    2021-06-11 14:54:17

    三维笛卡尔坐标系是在二维笛卡尔坐标系的基础上根据右手定则增加第三维坐标(即Z轴)而形成的。同二维坐标系一样,AutoCAD中的三维坐标系有世界坐标系WCS(World Coordinate System)和用户坐标系UCS(User Coordinate System)两种形式。

    中文名

    三维坐标系

    形成基础

    二维笛卡尔坐标系形式种类

    世界坐标系、用户坐标系

    包含定理

    右手定则

    三维坐标系右手定则

    编辑

    在三维坐标系中,Z轴的正轴方向是根据右手定则确定的。右手定则也决定三维空间中任一坐标轴的正旋转方向。

    要标注X、Y和Z轴的正轴方向,就将右手背对着屏幕放置,拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指,如图1所示,食指指向Y轴的正方向,中指所指示的方向即是Z轴的正方向。

    d723922ba8a24848214c8f2925c35b6c.png

    图1要确定轴的正旋转方向,如图1所示,用右手的大拇指指向轴的正方向,弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向。

    三维坐标系世界坐标系

    编辑

    在AutoCAD中,三维世界坐标系是在二维世界坐标系的基础上根据右手定则增加Z轴而形成的。同二维世界坐标系一样,三维世界坐标系是其他三维坐标系的基础,不能对其重新定义。

    三维坐标系用户坐标系

    编辑

    用户坐标系为坐标输入、操作平面和观察提供一种可变动的坐标系。定义一个用户坐标系即改变原点(0,0,0)的位置以及XY平面和Z轴的方向。可在AutoCAD的三维空间中任何位置定位和定向UCS,也可随时定义、保存和复用多个用户坐标系。详见本章第3节。

    三维坐标系三维坐标形式

    编辑

    在AutoCAD中提供了下列三种三维坐标形式:

    1.三维笛卡尔坐标

    三维笛卡尔坐标(X,Y,Z)与二维笛卡尔坐标(X,Y)相似,即在X和Y值基础上增加Z值。同样还可以使用基于当前坐标系原点的绝对坐标值或基于上个输入点的相对坐标值。

    2.圆柱坐标

    圆柱坐标与二维极坐标类似,但增加了从所要确定的点到XY平面的距离值。即三维点的圆柱坐标可通过该点与UCS原点连线在XY平面上的投影长度,该投影与X轴夹角、以及该点垂直于XY平面的Z值来确定。例如,坐标“10

    圆柱坐标也有相对的坐标形式,如相对圆柱坐标“@ 10

    3.球面坐标

    球面坐标也类似与二维极坐标。在确定某点时,应分别指定该点与当前坐标系原点的距离,二者连线在XY平面上的投影与X轴的角度,以及二者连线与XY平面的角度。例如,坐标“10

    同样,圆柱坐标的相对形式表明了某点与上个输入点的距离,二者连线在XY平面上的投影与X轴的角度,以及二者连线与XY平面的角度。

    注:

    1) 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得 a=向量OP=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

    2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知,有且只有一组实数(x,y, z)向量的坐标表示

    ,使得 a=向量OP=xi+yj+zk,因此把实数对(x,y, z)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y, z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y, z),也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

    三维坐标系三维笛卡尔坐标系

    三维笛卡尔坐标(X,Y,Z)是在三维笛卡尔坐标系下的点的表达式,其中,x,y,z分别是拥有共同的零点且彼此相互正交的x轴,y轴,z轴的坐标值。

    三维坐标系圆柱坐标系

    圆柱坐标(ρ,θ,z)是圆柱坐标系上的点的表达式。设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数ρ,θ,z来确定,其中ρ为点P在xoy平面的投影M与原点的距离,θ为有向线段PO在xoy平面的投影MO与x轴正向所夹的角。圆柱坐标系和三维笛卡尔坐标系的点的坐标的对应关系是,x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z。

    三维坐标系球面坐标系

    球面坐标系由到原点的距离、方位角、仰角三个维度构成。 球面坐标(ρ,θ,φ)是球面坐标系上的点的表达式。设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点P间的距离,θ为有向线段与z轴正向所夹的角,φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r,φ,θ叫做点P的球面坐标,这里r,φ,θ的变化范围为 r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π], θ∈[0, π] . r = 常数,即以原点为心的球面; θ= 常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面; φ= 常数,即过z轴的半平面。 其中 x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ

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    最近很多网友表示自己不清楚几何画板如何绘制三维坐标系的操作,而本篇文章就来给大家讲解几何画板绘制三维坐标系的操作流程,大家都来一起学习吧。

    几何画板绘制三维坐标系的操作方法

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    添加自定义工具。在广大版友的努力下,开发了许多可以直接使用而无须在画板中画图就可以使用的基本图形的工具,这些工具都可以加载在几何画板自定义工具下,在做课件的时候可以调用。

    按住左侧工具箱“自定义工具”按钮不放,在弹出的快捷菜单中选择“3D基本工具”,在下一级菜单中有“建立三维坐标系”,这里就选择此菜单,如图所示。

    1db5005bc0f49a94e2ccb8a230de5e92.png

    选择好工具后,鼠标在画板空白区域点击,就可以画出三维坐标系,该三维坐标系工具下还包括了“三视图”、“水平和垂直旋转”、“隐藏坐标系和栅格”等操作按钮,可以演示该坐标系的三视图,且旋转该坐标系,便于观看在该坐标系下绘制的立体图形。

    21e83bffc3d8408fd79c9286a8b867e2.png

    若要做其他的事情,例如:绘制点,可以使用“3D基本工具”中的“正交视图定点”,该工具下包括了在三维坐标系下的基本作图,大家可以自己去慢慢尝试。

    还不了解几何画板绘制三维坐标系的相关操作的朋友们,不要错过小编带来的这篇文章哦。

    展开全文
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    空间坐标系以及空间两三维坐标系转换矩阵解释

    因为工作的原因,需要进行不同坐标系的一个转换,在查阅了众多的网页之后,发现有用的没几个,而且众多都是抄的同一篇文章,而且都是罗列以下旋转的方式,几乎没有解释旋转角的物理意义,也不说这个旋转角怎么得到的。在折腾了一天之后,终于弄清楚了,特意写下来,既能有助于记忆,又能装b,很好很强大。

    基础背景

    空间三维坐标系转换,大多出现在像我似的搞地图的这群B人里,当然还有搞游戏的大佬们。所以需要对空间三维坐标系做一个小的总结,来防止忘记或者混乱。

    具体图形可百度,赖的放图

    • 地心坐标系
      空间三维坐标系,左手系
    • 高斯坐标系
      在搞激光点云的人眼里,基本上就指的是,当前度带(分3度带和6度带)中的高斯直角坐标系,右手系,点云中记录的点坐标大多有经纬度坐标、高斯坐标,两种坐标。
    • 像空间坐标系
      z轴正方向,与主光轴方向重合,x、y轴方向与相平面坐标系平行。右手系
    • 像平面坐标系
      xy轴方向与像素坐标系平行,单位为m,是一个物理坐标系
    • 像素坐标
      单位为像素,在与像平面坐标系进行转换的时候,需要知道每个像素的物理尺寸

    三维坐标系转换

    为了通用性,前边的空间坐标系只做一个概念上的罗列,这里针对任意两空间直角坐标系的相互转换进行解释。

    • 世界坐标系XYZ:仅仅用于表述,不代表物理意义上世界坐标系
    • 局部坐标系xyz
    • 旋转角:重点需要搞清楚,这个旋转角是从哪个坐标系旋转到哪个坐标系,在地图行业里的多传感器的联合标定中,这个旋转角是由相应的标定文件提供的。

    已知条件

    1. 世界坐标系的三个坐标轴:world_x(1,0,0),world_y(0, 1, 0),world_z(0,0,1)
    2. 局部坐标系的三个坐标轴:local_x(g,h,i),local_y(d,e,f)local_z(a,b,c)
      其中,局部坐标系的坐标轴坐标均为世界坐标系下的坐标值,这点非常重要,同时,两空间三维坐标系还有个平移向量,因为只是很简单的坐标值平移,这里就不再赘述,默认两坐标系的原点相同。

    旋转原理

    这里盗一张图(找了好久,看到的一个良心博客 http://www.skcircle.com/?id=515)
    在这里插入图片描述
    如上图,P点为局部坐标系的z轴上一点,q为点P在世界坐标系ZOY平面上的投影点,r为点P在经过旋转之后的对应点,如果你去查看了贴的那个网页博客,请不要看他的旋转方式,并不是大佬描述错误,而是不适用空间三维坐标系的相互转换,因为这里涉及到一个很蛋疼的说法,这个旋转矩阵描述的是A坐标系到B坐标系转换方式

    世界坐标系到局部坐标系的旋转矩阵R

    注意:XYZ与xyz,我都会严格注意,不会写错!(写错老子就改!看其他博客的时候,就深受其害),为了描述方便,世界坐标系的轴或者坐标都会用大写的XYZ来代替,局部坐标用xyz来代替,而且为了防止0与O不好分辨,所有的0都用汉字零来表示

    问:如何理解旋转矩阵究竟是描述的A到B,还是B到A?

    答:旋转世界坐标系,使得世界坐标系与局部坐标系重合,那么得到的这个旋转矩阵,描述的是,世界坐标系到局部坐标系转换关系,用公式来表达

    							 local = R * world 
    

    结合上方图片:(注意理解旋转角)

    1. 逆时针旋转世界坐标系X轴,使得局部坐标系的 z轴 与世界坐标系的 XOZ 平面共面,结合上图(那个椭圆就是为了方便理解,而虚拟出来的点P的旋转轨迹),要想OP出现在XOZ平面上,就需要逆时针旋转X轴,旋转的角度为θ(注意,α为向量夹角,范围0 - 180,如果这个角不会求,要不,再去从小学开始复读一下吧)。但是注意,旋转角是有方向的,图里的例子,如果要逆时针把OZ,旋转到Oq,那么旋转的角度应该是360 - α。

    注意:其实顺时针也可以,只需要保证所有的轴都同时为逆时针或者顺时针即可,不过大家都通用逆时针而已,所以,请把顺时针给从脑子里删除

    • 如何来获取旋转角度θ(而非向量夹角)
      就需要用到向量的叉乘,来确定向量的左右侧。这里要将OZ旋转到Oq,那么OZ就是基准,需要知道Oq在OZ的左侧还是右侧,图里是在右侧,与逆时针相反,用叉乘表示: OZ ✖ Oq 得到的向量与X轴的乘积小于零,那么旋转角度就应该是θ = 360 - α,如果在OZ的左侧的话,向量夹角就是旋转角度,θ = α。

      旋转的是X轴,那么矩阵描述应该为Rx
      在这里插入图片描述

    1. 经过步骤1之后,局部坐标系的z轴现在就表现为图里的Or,接着逆时针旋转世界坐标系的Y轴,使得世界坐标系的Z轴与局部坐标系得z轴重合,同理,观察Or在OZ得左侧,那么这一步得旋转角度θ = β。
      旋转的是轴,那么矩阵描述应该为Ry
      在这里插入图片描述
    2. 经过前两步得旋转,此时世界坐标系得Z轴与局部坐标系得z轴已经重合了,那么接着逆时针旋转世界坐标系Z轴,就是一个简单得二维上得旋转了,就会很好理解了,如下图所示
      在这里插入图片描述
      同理,求出旋转角θ,这次旋转的是世界坐标系的Z轴,那么旋转矩阵就是Rz,
      在这里插入图片描述

    结束
    经过上边的三步旋转,就将世界坐标系,旋转到了局部坐标系上,通过矩阵的左乘,就能得到世界坐标系到局部坐标系的旋转矩阵R
    R = Rz * Ry * Rx

    完整坐标值形式(加上偏移值)
    local = R * world + T
    其中T为世界坐标系原点在 局部坐标系中的坐标

    局部坐标系到世界坐标系的旋转矩阵

    但是现实中,往往是知道局部坐标系原点在世界坐标系中的坐标,因此,基本上都是求得局部坐标系到世界坐标系得旋转矩阵(上边的R,求个逆即可,自己玩去吧您那,赖的写了)
    2021.11.12号,补充
    还是写清楚吧,方便各位跟我一样的小白。
    上边的旋转矩阵R,描述的是world到local的旋转方式,那么将R求逆得到W,同时知道局部坐标系原点在世界坐标系中的坐标O,那么local坐标转到world坐标的方式如下

    									world = W * local + O
    
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  • cesium 三维坐标系绘制

    2022-07-16 17:15:19
    cesium 三维坐标系绘制 ------ 本文为讲解+源码形式,本文将三维坐标系分解成六部来为大家大接,每一步都有源码和介绍,每行代码都有标注来讲解该步骤

    cesium 三维坐标系绘制 ------ 本文为讲解+源码形式,本文将三维坐标系分解成六部来为大家大接,每一步都有源码和介绍,每行代码都有标注来讲解该步骤

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    一、绘制思路讲解

    1. 所需要的数据为,开始经纬度与结束经纬度,高度,经度点数,维度点数,高度点数
    2. 首先我们将三维坐标轴分解,分为底部与两个侧面
    3. 底部可以认为是一个矩形,cesium加载矩形就相当简单了,底部还有经纬线和坐标轴数据,(坐标轴数据可以用cesium 中label来加载
    4. 两个侧面面,可以用cesium中wall立体围墙去做,上面的坐标线,只需要改变经纬点高度就能画出来
    5. 本位引用了turf.js作为计算工具

    二、下面我们来一步步完成(如哪一步有错误,可以直接看最下面,完整代码)

    首先我们先创建一个class类,及所需要的数据,和所需要的计算方法(求角度,距离,与目标点的方法)

    
                                            
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