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  • 三角恒等式

    千次阅读 2018-06-12 08:50:45
    在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数 不等式 、面积等等。 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶级数 又称三角级数 f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) ...

    两角和与差

    内容
    证明
    取直角坐标系,作单位圆;取一点A,连接OA,与X轴的夹角为α; 取一点B,连接OB,与X轴的夹角为β, 则OA与OB的夹角即为α-β
    ∵A(cosα,sinα),B (cosβ,sinβ),O(0,0)
    OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(向量
    ∴OA·OB=|OA| |OB| cos (α-β) =cos α cos β + sin α sin β
    ∵|OA| = |OB| = 1
    ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
    取β=-β,可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
    以上内容来自: [3] 

    和差化积

    积化和差

    二倍角公式

    三倍角公式

    sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
    cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
    tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
    cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot²α-1)

    n倍角公式

    根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
    将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
    sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
    cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

    半角公式

    sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
    cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
    tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
    cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα
    sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
    csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

    辅助角公式

    公式:
     
    (其中φ满足
      
      

    万能公式

    sina=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]
    cosa=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]
    tana=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]

    降幂公式

    sin²α=[1-cos(2α)]/2
    cos²α=[1+cos(2α)]/2
    tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

    三角和

    sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
    cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
    tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

    幂级数

    c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
    c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
    它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数。

    泰勒展开式

    泰勒展开式又叫幂级数展开法
    f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…
    实用幂级数:
    ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R
    ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
    sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
    cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
    arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)(!!表示双阶乘) [4] 
    arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)
    arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)
    sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
    cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R
    arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)
    arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)
    在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

    傅里叶级数

    傅里叶级数傅里叶级数
    傅里叶级数又称三角级数
    f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
    a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
    an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
    bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

    展开全文
  • 三角恒等式一书是美国阿克倫大學的授课讲义。 阿克伦乃美国俄亥俄州第五大城市,该大學是该地区最具影响力的公立研究型大学,为当地经济的复兴做出了贡献,提供了接受过不同学科训练有素的劳动力,并以创新的高等...
  • 从电阻网络等效电阻的研究出发,解决了一些相关联的数学问题。采用变换与构造的方法,建立并证明了与电阻网络问题相关的6个三角恒等式以及6组恒等式推论,并进一步提出了一个恒等式猜想。
  • 如何判断的有理性?...由这三个子: 问题可化归为判断A,B,C的正弦和余弦是否为有理数,又由余弦定理 以及 cos(arccos x)=x 若x=p/q,则sqrt(1-x^2)=sqrt(q^2-p^2)/q 故只需判断q^2

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3903


    如何判断的有理性?


    由这三个式子:

    \cos(\theta\pm\psi)=\cos\theta\cos\psi\mp\sin\theta\sin\psi\,

    \sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

    \cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

    问题可化归为判断A,B,C的正弦和余弦是否为有理数,又由余弦定理

    \angle A = \arccos \frac{{b^2  + c^2  - a^2 }}{{2bc}}\,\! \angle B = \arccos \frac{{c^2  + a^2  - b^2 }}{{2ca}}\,\!

    \angle C = \arccos \frac{{a^2  + b^2  - c^2 }}{{2ab}}\,\!

    以及

    cos(arccos x)=x

    \sin ( \arccos x)=\sqrt{1-x^2} \,

    若x=p/q,则sqrt(1-x^2)=sqrt(q^2-p^2)/q

    故只需判断q^2-p^2是否为完全平方数即可。


    完整代码:

    /*281ms,356KB*/
    
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int icase;
    	scanf("%d", &icase);
    	__int64 a, b, c, n, m, k;
    	while (icase--)
    	{
    		cin >> a >> b >> c >> n >> m >> k;
    		__int64 d = 4 * b * b * c * c - (b * b + c * c - a * a) * (b * b + c * c - a * a);
    		__int64 e = 4 * b * b * a * a - (a * a + b * b - c * c) * (a * a + b * b - c * c);
    		__int64 f = 4 * a * a * c * c - (a * a + c * c - b * b) * (a * a + c * c - b * b);
    		__int64 x, y, z;
    		x = sqrt(d);
    		y = sqrt(e);
    		z = sqrt(f);
    		if (x * x == d && y * y == e && z * z == f) puts("YES");
    		else puts("NO");
    	}
    }
    

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  • 三角函数恒等式

    千次阅读 2019-04-10 10:01:38
    三角恒等变形 编辑讨论 数学的一类公式,用于三角函数等价代换,可以化简子,方便运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式,也能从诱导公式中延展出其他的公式,其中包括倍角公式,和差化积,万能公式等。 ...

    三角恒等变形

     编辑 讨论

    数学的一类公式,用于三角函数等价代换,可以化简式子,方便运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式,也能从诱导公式中延展出其他的公式,其中包括倍角公式和差化积万能公式等。

    中文名

    三角恒等变换

    外文名

    Angle transformation formulae

    学    科

    数学

    用    途

    三角函数等价代换

    方    法

    图像中推理出诱导公式

    目录

    1. 基础三角恒等式
    2. 两角和与差
    3. 倍角公式
    4. ▪ 二倍角
    5. ▪ 三倍角
    6. ▪ n倍角
    1. ▪ 辅助角
    2. ▪ 半角公式
    3. 诱导公式
    4. ▪ kπ+a
    5. ▪ -a
    6. ▪ π-a
    1. ▪ π/2±a
    2. ▪ 3π/2±a
    3. 恒等变形
    4. 万能代换
    5. 积化和差
    6. 和差化积
    1. 内角公式
    2. 10 降幂公式
    3. 11 证明方法

    基础三角恒等式

    编辑

    sin²α+cos²α=1

    1+tan²α=sec²α

    1+cot²α=csc²α

    sinα/cosα=tanα

    secα/cscα=tanα

    cosα/sinα=cotα

    两角和与差

    编辑

    倍角公式

    编辑

    二倍角

    sin2α = 2cosαsinα

    = sin²(α+π/4)-cos²(α+π/4)

    = 2sin²(a+π/4)-1

    = 1-2cos²(α+π/4)

    cos2α = cos²α-sin²α

    = 1-2sin²α

    = 2cos²α-1

    = 2sin(α+π/4)·cos(α+π/4)

    tan2α = 2tanα/[1-(tanα)²] [1] 

    三倍角

    sin3α = 3sinα-4sin³α

    cos3α = 4cos³α-3cosα

    tan3α = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)

    sin3α = 4sinα·sin(π/3-α)·sin(π/3+α)

    cos3α = 4cosα·cos(π/3-α)·cos(π/3+α)

    tan3α = tanα·tan(π/3-α)·tan(π/3+α)

    n倍角

    根据棣莫弗定理的乘方形式 [2]  (cos θ+i·sin θ)n=cos nθ+i·sin nθ (注:sin θ前的 i 是虚数单位,即-1开方)

    将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

    sin(nα) = ncos(n-1)α·sinα - C(n,3)cos(n-3)α·sin3α + C(n,5)cos(n-5)α·sin5α-…

    cos(nα) = cosnα - C(n,2)cos(n-2)α·sin2α + C(n,4)cos(n-4)α·sin4α

    辅助角

    Asinα+Bcosα = √(A2+B2)sin[α+arctan(B/A)]

    Asinα+Bcosα = √(A2+B2)cos[α-arctan(A/B)]

    半角公式

    sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]

    cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]

    tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

    cot(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

    sec(α/2) = ±√[(2secα/(secα+1)]

    csc(α/2) = ±√[(2secα/(secα-1)]

    诱导公式

    编辑

    kπ+a

    sin(2kπ+α)=sinα

    cos(2kπ+α)=cosα

    tan(kπ+α)=tanα

    cot(kπ+α)=cotα

    sec(2kπ+α)=secα

    csc(2kπ+α)=cscα

    sin(π+α)=-sinα

    cos(π+α)=-cosα

    tan(π+α)=tanα

    cot(π+α)=cotα

    sec(π+α)=-secα

    csc(π+α)=-cscα

    -a

    sin(-α)=-sinα

    cos(-α)=cosα

    tan(-α)=-tanα

    cot(-α)=-cotα

    sec(-α)=secα

    csc(-α)=-cscα

    π-a

    sin(π-α)=sinα

    cos(π-α)=-cosα

    tan(π-α)=-tanα

    cot(π-α)=-cotα

    sec(π-α)=-secα

    csc(π-α)=cscα

    π/2±a

    sin(π/2+α)=cosα

    cos(π/2+α)=-sinα

    tan(π/2+α)=-cotα

    cot(π/2+α)=-tanα

    sec(π/2+α)=-cscα

    csc(π/2+α)=secα

    sin(π/2-α)=cosα

    cos(π/2-α)=sinα

    tan(π/2-α)=cotα

    cot(π/2-α)=tanα

    sec(π/2-α)=cscα

    csc(π/2-α)=secα

    3π/2±a

    sin(3π/2+α)=-cosα

    cos(3π/2+α)=sinα

    tan(3π/2+α)=-cotα

    cot(3π/2+α)=-tanα

    sec(3π/2+α)=cscα

    csc(3π/2+α)=-secα

    sin(3π/2-α)=-cosα

    cos(3π/2-α)=-sinα

    tan(3π/2-α)=cotα

    cot(3π/2-α)=tanα

    sec(3π/2-α)=-cscα

    csc(3π/2-α)=-secα

    恒等变形

    编辑

    tan(a+π/4)=(tan a+1)/(1-tan a)

    tan(a-π/4)=(tan a-1)/(1+tan a)

    asinx+bcosx=[√(a²+b²)]{[a/√(a²+b²)]sinx+[b/√(a²+b²)]cosx}=[√(a²+b²)]sin(x+y)【辅助角公式,其中tan y=b/a,或者说siny=b/[√(a²+b²)],cosy=a/[√(a²+b²)]】

    万能代换

    编辑

    半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

    积化和差

    编辑

    sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

    cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

    cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

    sinα·sinβ= -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)](注:留意最前面是负号)

    和差化积

    编辑

    内角公式

    编辑

    设A,B,C是三角形的三个内角

    sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

    cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

    tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

    cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

    tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

    cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

    (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

    sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

    降幂公式

    编辑

    证明方法

    编辑

    首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA(另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有:AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下,可证明正和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期,可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB

    由此求得以上全部公式

    展开全文
  • 一、二项式定理 、 二、组合恒等式 ( 递推式 1 ) 、 三、组合恒等式 ( 递推式 2 ) 、 四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式 、 五、组合分析方法 、 六、递推式组合恒等式特点





    一、二项式定理



    二项式定理 :

    nn 是正整数 , 对于一切 xxyy , 有以下定理 :

    (x+y)n=k=0n(nk)xkynk(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}


    (nk)\dbinom{n}{k} 表示 nn 元集中取 kk 个元素的组合数 , 是 集合组合数 C(n,k)C(n,k) 的另一种写法 ;


    另一个常用形式 ( y=1y = 1 ) :

    (1+x)n=k=0n(nk)xk(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k


    基本求和公式 ( x=y=1x = y =1 ) :

    2n=k=0n(nk)2^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}





    二、组合恒等式 ( 递推式 1 )



    (nk)=(nnk)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}



    组合分析方法 : (nk)\dbinom{n}{k} 是求 kk 个子集选取方法 , (nnk)\dbinom{n}{n-k} 是求 nkn-k 个子集的选取方法 , 二者是一一对应的 ;


    一般情况下 , (nk)\dbinom{n}{k} 的下项 , 不超过上项的一半 ;
    如果出现 (108)\dbinom{10}{8} , 就可以写成 (102)\dbinom{10}{2}





    三、组合恒等式 ( 递推式 2 )



    (nk)=nk(n1k1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}



    代入组合数的公式 , 可以得到 等号 == 两侧的值是相等的 ;

    该公式用于消去系数的 , 示例如下 :


    计算 k=0nk(nk)\sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} 组合式 :


    此时需要消去 kk 系数 ;


    使用 nk(n1k1)\dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} 代替 (nk)\dbinom{n}{k} , 有以下计算过程 :

    k=0nk(nk)=k=0nknk(n1k1)\begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} = \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array}


    可以将加和式中的 kk 约掉 , 此时 nn 就与求和变量无关了 , 此时可以将 nn 提取到加和符号 \sum 外面 ,

    k=0nk(nk)=k=0nknk(n1k1)=nk=0n(n1k1)\begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} &=& \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \\\\ &=& n \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array}

    然后计算 k=0n(n1k1)\sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} ,

    二项式定理是 : (x+y)n=k=0n(nk)xkynk(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}

    根据二项式定理 , 可以得到 (1+1)n=k=0n(nk)(1 + 1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}

    推导 : (1+1)n1=k=0n1(n1k1)=2n1(1 + 1)^{n-1} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dbinom{n-1}{k-1} = 2^{n-1}

    之后可以继续进行后续计算 ;





    四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式




    (nk)=(n1k)+(n1k1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}



    该递推式 , 用于拆项 :


    可以将 (nk)\dbinom{n}{k} 拆成 (n1k)+(n1k1)\dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} 之和 ;


    (n1k)\dbinom{n - 1}{k} 拆成 (nk)(n1k1)\dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k - 1} 之差 ;


    将 将 (n1k1)\dbinom{n - 1}{k - 1} 拆成 (nk)(n1k)\dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k} 之差;


    在一堆求和的组合数中 , 拆分成两个数之差 , 可以抵消很多组合数 ;

    经常在大的求和公式中进行化简时使用 ;



    使用组合分析的办法证明该公式 :

    nn 元集中选取 kk 子集 , 这是集合组合数 ;


    指定其中某个元素 aa ;

    ① 包含 aa 元素 : kk 子集中包含 aa 元素的情况组合数(n1k1)\dbinom{n - 1}{k - 1} , kk 子集中包含 aa , 只需要在除 aa 元素外 , 剩下的 n1n-1 个元素中 , 选出 k1k-1 个元素即可 ;

    ② 不包含 aa 元素 : kk 子集中不包含 aa 元素的情况组合数 (n1k)\dbinom{n - 1}{k} , kk 子集中不包含 aa , 只需要在除 aa 元素外 , 剩下的 n1n-1 个元素中 , 选出 kk 个元素即可 ;





    五、组合分析方法



    以上面证明 帕斯卡 / 杨辉三角 公式为例


    组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;

    • 指定集合 : nn 元集
    • 指定元素 : 某个特定元素 aa
    • 指定计数问题 :
      • ① 问题 1 : nn 元集 kk 组合数 ;
      • ② 问题 2 : nn 元集中 kk 组合数 , 组合中含有元素 aa , 不含有元素 aa 的两种组合计数 ;




    六、递推式组合恒等式特点



    使用 比较小的组合数 表示 比较大的组合数 , 称为递推式组合恒等式 ;


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    千次阅读 2019-11-24 19:04:27
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