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  • 上下三角矩阵

    千次阅读 2018-09-23 15:45:43
    三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。 若矩阵U具有下列形式: 则称为上三角矩阵三角矩阵的性质: 1)上...

    上三角矩阵
    主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。
    若矩阵U具有下列形式:
    在这里插入图片描述
    则称为上三角矩阵

    上三角矩阵的性质:
    1)上三角矩阵的行列式为对角线元素相乘;
    2)上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵;
    3)上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵;
    4)上三角矩阵的逆矩阵也仍然是上三角矩阵。
    这些事实说明:所有上三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。

    下三角矩阵
    一个矩阵称为下三角矩阵如果对角线上方的元素全部为0。类似地,一个矩阵称为上三角矩阵如果对角线下方的元素全部为0。

    定义:若矩阵L具有下列形式:
    在这里插入图片描述
    则称为下三角矩阵

    性质:
    许多矩阵运算保持下三角性不变,实际上以下性质对上三角矩阵也成立
    1)两个下三角矩阵的和下三角。
    2)两个下三角矩阵的乘积是下三角。
    3)一个可逆的下三角矩阵的逆是下三角。
    4)下三角矩阵与常数相乘是一个下三角矩阵。

    下三角矩阵友情链接:https://baike.baidu.com/item/下三角矩阵/3557246?fr=aladdin

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  • 下三角矩阵

    千次阅读 2018-05-25 10:14:00
    **下三角矩阵(lower triangular):**M是一个下三角矩阵,当且仅当i时,M(i,j)=0 在一个n行的下三角矩阵中,非0区域的第一行有1个元素,第二行有2个元素,……第n行有个元素。 在一个上三角矩阵中,非0区域的第一行...

    **下三角矩阵(lower triangular):**M是一个下三角矩阵,当且仅当i<j时,M(i,j)=0
    在一个n行的下三角矩阵中,非0区域的第一行有1个元素,第二行有2个元素,……第n行有个元素。
    在一个上三角矩阵中,非0区域的第一行有n个元素,第二行有n-1个元素,……,第n行有1个元素。
    这两种三角形非0区域共有n(n+1)/2个非零元素。
    考察一个下三角矩阵的元素L(i,j)。如果i<j,则L(i,j)=0;
    如果i>=j,则L(i,j)位于非0区域。
    上下三角矩阵
    lowerTriangularMatrix.cpp

    /*
     * 下三角矩阵的测试函数
     * lowerTriangularMatrix.cpp
    */
    #include<iostream>
    #include"lowertriangularmatrix.h"
    
    using namespace std;
    
    int main(void)
    {
        lowerTriangularMatrix<int> x(20);
        x.set(1,1,22);
        x.set(5,3,44);
        x.set(8,5,0);
        x.set(10,2,55);
        x.set(8,5,0);
    
        cout << x.get(10,2) << endl;
        cout << x.get(5,3) << endl;
        cout << x.get(1,1) << endl;
        cout << x.get(10,14) << endl;
        cout << x.get(8,5) << endl;
    
        return 0;
    }
    

    lowerTriangularMatrix.h

    /*
     * 下三角矩阵的类定义
     * lowerTriangularMatrix.h
    */
    #ifndef LOWERTRIANGULARMATRIX_H
    #define LOWERTRIANGULARMATRIX_H
    
    #include"myexceptions.h"
    using namespace std;
    
    template<class T>
    class lowerTriangularMatrix
    {
      public:
        //构造函数和析构函数
        lowerTriangularMatrix(int theN = 10);
        ~lowerTriangularMatrix(){delete [] element;}
    
        T get(int,int) const;//获取矩阵中元素
        void set(int,int,const T&);//设置矩阵元素值
    private:
        int n;//矩阵非零元素最大个数
        T *element;//矩阵中元素存储所在数组
    };
    
    //构造函数
    template<class T>
    lowerTriangularMatrix<T>::lowerTriangularMatrix(int theN)
    {
        if(theN < 1)
            throw illegalParameterValue("Matrix size must be > 0");
    
        n = theN;
        element = new T [n*(n + 1)/2];
    }
    
    
    //get()函数的实现
    template<class T>
    T lowerTriangularMatrix<T>::get(int i, int j) const
    {
        if(i < 1 || j < 1 || i > n || j > n)
            throw matrixIndexOutOfBounds();
    
        if( i >= j)
            //矩阵非零元素按照行主映射方式,第一行元素个数为1,第二行为2,……,第i行为i
            //所以元素在数组中的顺序应该为i*(i-1)/2+j-1
            return element[i*(i - 1)/2+j-1];
        else
            return 0;
    }
    
    
    //set()函数的实现
    template<class T>
    void lowerTriangularMatrix<T>::set(int i, int j, const T& newValue)
    {
        if(i < 1 || j < 1 || i > n || j > n)
            throw matrixIndexOutOfBounds();
    
        if(i >= j)
            element[i*(i-1)/2+j-1] = newValue;
        else
            if(newValue != 0)
                throw illegalParameterValue
                    ("elements not in lower triangle must be zero");
    }
    
    #endif // LOWERTRIANGULARMATRIX_H
    

    myExceptions.h

    /*
     * 异常类
     * myExceptions.h
    */
    
    #ifndef MYEXCEPTIONS_H
    #define MYEXCEPTIONS_H
    #include<string>
    
    using namespace std;
    
    class illegalParameterValue
    {
      public:
        illegalParameterValue(string theMessage = "Illegal parameter value")
        {
            message = theMessage;
        }
        void outputMessage()
        {
            cout<<message<<endl;
        }
    private:
        string message;
    };
    
    class matrixIndexOutOfBounds
    {
    public:
        matrixIndexOutOfBounds
        (string theMessage = "Matrix index out of bounds")
        {
            message = theMessage;
        }
        void outputMessage()
        {
            cout << message <<endl;
        }
    private:
        string message;
    };
    
    class matrixSizeMismatch
    {
      public:
        matrixSizeMismatch(string theMessage =
                "The size of the two matrics doesn't match")
        {
            message = theMessage;
        }
        void outputMessage()
        {
            cout << message <<endl;
        }
    private:
        string message;
    };
    
    #endif // MYEXCEPTIONS_H
    

    转载于:https://my.oschina.net/u/1771419/blog/1818474

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  • 主对角线以上都是零的方阵称为下三角矩阵。 性质 行列式为对角线元素相乘 上(下)三角矩阵乘以系数后也是上(下)三角矩阵 上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵。 求逆 三阶 上三角、...

    定义

    • 主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。
    • 主对角线以上都是零的方阵称为下三角矩阵。

    性质

    • 行列式为对角线元素相乘
    • 上(下)三角矩阵乘以系数后也是上(下)三角矩阵
    • 上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵。

    求逆

    展开全文
  • 答2、下三角矩阵的逆矩阵将下三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其逆矩阵结果如下图。3、只有主对角线不为零的矩阵主对角元素取倒数,原位置不变。4、只有副对角线不为零的矩阵副对角元素取倒数,位置颠倒。示例...

    1、上三角矩阵的逆矩阵

    cf586df4ec11d73a08a02fe1a667fa3a.png

    将上三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其逆矩阵结果如下回图。答

    8192ed38f2bd870e179e548ee3b09bb5.png

    2、下三角矩阵的逆矩阵

    de64bc1007a6c9e2ffb8ff777578d4ea.png

    将下三角矩阵划分成块矩阵,如上图所示,则其逆矩阵结果如下图。

    1d9c4b6f7e024d1bcb6039f8ce117cc6.png

    3、只有主对角线不为零的矩阵

    主对角元素取倒数,原位置不变。

    4、只有副对角线不为零的矩阵

    副对角元素取倒数,位置颠倒。

    示例如下:

    bd98d5164d15a4ffbbea3011ea9c08cf.png

    扩展资料

    矩阵求逆的求法

    (1)初等变换法,通过初等变换将A矩阵变换成单位矩阵,则对应的单位矩阵变换成B矩阵,B矩阵即为A矩阵的逆矩阵,(A I)->(I  B);

    (2)伴随阵法,公式为:c02497dce28aeff4663fe834586f18d4.png

    (3)利用定义求逆矩阵

    设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵。

    (4)恒等变形法

    恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义,此方法也常用与矩阵的理论推导上,就是通过恒等变形把要求的值化简出来,题目中的逆矩阵可以不求,利用 b4d935cebedbb4f03d6ff51e6ae857c4.png ,把题目中的逆矩阵化简掉。

    参考资料来源:百度百科--矩阵求逆

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