费马小定理 订阅
费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出。如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a^(p-1)≡1(mod p)。 [1] 展开全文
费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出。如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a^(p-1)≡1(mod p)。 [1]
信息
提出时间
1636年
提出者
皮埃尔·德·费马
应用学科
数学
中文名
费马小定理
适用领域范围
数论
外文名
Fermat's little theorem
费马小定理发展简史
皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求,但是这个要求实际上是不必要的。1736年,欧拉出版了一本名为“一些与素数有关的定理的证明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)的论文中第一次提出证明,但从莱布尼茨未发表的手稿中发现他在1683年以前已经得到几乎是相同的证明。有些学家独立制作相关的假说(有时也被错误地称为中国的假说),当成立时,p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而,这一假说的前设是错的:例如,341,而341= 11×31是一个伪素数。所有的伪素数都是此假说的反例。如上所述,中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。更极端的反例是卡迈克尔数: 假设a与561互质,则 a560被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数数,561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义,但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。
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  • 费马定理费马小定理
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    2019-08-19 11:19:11

    费马大定理

    费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
    他断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程 xn + yn = zn 没有正整数解。
    德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
    被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

    证明过程:
    过于麻烦,请自己百度。

    推荐例题
    hdu6441:
    地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6441

    题意:对于xn + yn = zn这个式子给出x和n,问你y和z的值。

    解题思路:
    由费马大定理知道,当n>2的时候,是没有正整数解的。又当n=0时,也是无解的,所以直接输出-1,-1。
    当n=1时,只要输出 1 和 x+1就行了。
    当n=2时,式子变为了x2 + y2 = z2,进行变换后得到,x2 = z2 - y2 => x2 = (z-y)(z+y),又容易得到z+y一定大于z-y,所以找到x2的两个约数,让z+y等于大的,z-y等于小的。我们又看到联立方程组后 得到:2z = 大的约数+小的约数。 为了让z为整数,两约数之和必须为偶数。

    AC代码:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    
    typedef long long ll;
    
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int t;
    	
    	cin >> t;
    	
    	while (t--)
    	{
    		ll n, a;
    		
    		scanf("%lld %lld", &n, &a);
    		
    		if (n > 2 || n == 0)
    		{
    			printf("-1 -1\n");
    		}
    		else if (n == 1)
    		{
    			printf("1 %lld\n", a+1);
    		}
    		else
    		{
    			ll b = 0, c = 0;
    			ll d = pow(a, 2);
    			
    			for (int i=1; i<=sqrt(d); i++)
    			{
    				if (d % i == 0 && (i+d/i)%2 == 0)
    				{
    					c = (i+d/i)/2;
    					b = i>d/i ? (i-c):(d/i-c);
    					
    					printf("%lld %lld\n", b, c);
    					break;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	
    	return 0;
    }
    

    费马小定理

    费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出。如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a(p-1)≡1(mod p)。

    推荐例题:
    hdu6440
    地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6440

    题意:给你一个数字p,让你打印出符合(m+n)p=mp+np的加法表和乘法表。

    解题思路:由费马小定理知道 a(p-1)≡1(mod p),又由题意我们看到ap = ap-1a,因此我们得到 ap≡a(mod p)。设a等于m+n的话,得到(m+n)p = (m+n) mod p。对于mp+np,如果对其模p得到(mp mod p + np mod p)mod p,由上面定理的到(m+n) mod p。因此可得出:
    (m+n)p = (m+n) mod p = mp+np ,对于加法表我们推理出来了,乘法表只要把(m
    n)看作a就行了。
    AC代码:

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int t;
    	
    	cin >> t;
    	
    	while (t--)
    	{
    		int p;
    		
    		cin >> p;
    		
    		for (int i=0; i<p; i++)
    		{
    			for (int j=0; j<p; j++)
    			{
    				cout << (i+j) % p;
    				
    				char c = j == p-1 ? '\n':' ';
    				
    				cout << c; 
    			}
    		}
    		
    		for (int i=0; i<p; i++)
    		{
    			for (int j=0; j<p; j++)
    			{
    				cout << (i*j) % p;
    				
    				char c = j == p-1 ? '\n':' ';
    				
    				cout << c; 
    			}
    		}
    	}
    	
    	return 0;
    }
    
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    (1)费马小定理结论:结论是若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数,则有a(p-1)≡ 1(mod p)。(这里的 ≡ 指的是恒等于,a(p-1)≡ 1(mod p)是指a的p-1次幂取模与1取模恒等),再进一步就是ap≡a(mod p)。
    继续学习:中国剩余定理、拓展欧几里得(exgcd)、求除法逆元、费马小定理

    (2)费马大定理结论:又被称为“费马最后的定理”,常见的表述为当整数n>2时,关于xn + yn = zn 的方程没有正整数解。
    当n=0时,实数范围只有x=0,y=0,z=0时才是解,当n=1时,就是一个加减法,当n=2时,就类似于勾股定理。
    构造勾股数的四种表现形式:
    (1)2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数。
    (2)2(n+1)、n2+2n、n2+2n+2(n为正整数)是一组勾股数。
    (3)m2-n2、2mn、m2+n2(m、n表示两个不同的正整数且m>n)是一组勾股数。
    (4)如果a、b、c是一组勾股数那么na、nb、nc(n为正整数)也是一组勾股数。

    应用费马小定理:

    题目链接:杭电oj 6440
    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6440

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    题意:
    给一个质数p,重新定义 + 和 * 使得(m+n)p= mp + np;(其中 m , n 指的是小于p的非负整数 ),使得对于任意的n,m属于[0,p-1],满足式子,最后,输出两个n*n的矩阵表示加法和乘法的结果,对于1到p行,你将要输出第i行与第j列的数相加的结果;对于第p+1行到2p行,你将要输出第i行与第j列相乘的结果。
    题解:个人理解就是让你选一个操作让(m+n)p=mp+np(0<=m,n<p)。成立,最后输出操作之后的值。因为给定的是素数,根据费马小定理得=(m+n)p-1≡1(mod p),因此,mp+np≡m+n(mod p)。所以在模p的意义下,(m+n)p=mp+np(0<=m,n<p)恒成立,且加法运算与乘法运算封闭。
    下面附AC代码:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int t,p;
    int main()
    {
    	cin>>t;
    	while(t--)
    	{
    		cin>>p;
    		for(int i=0;i<p;i++){
                for(int j=0;j<p-1;j++){
                    printf("%d ",(i+j)%p);
                }
                printf("%d\n",(i+p-1)%p);
            }
            for(int i=0;i<p;i++){
                for(int j=0;j<p-1;j++){
                    printf("%d ",(i*j)%p);
            	}
            	printf("%d\n",(i*(p-1))%p);
            }
        }
    	return 0;
    }
    

    应用费马大定理:

    题目链接:杭电oj 6441
    https://acm.dingbacode.com/showproblem.php?pid=6441
    在这里插入图片描述

    题意:
    构造an+bn=cn,a和n给出,求b和c,所以就成了一道构造题。
    题解:
    由费马大定理可得当n=0(因为题目中a>=3)或者n>2时输出-1 -1
    当n=1时,构造一个加减法就可以了。当n=2时,用奇偶构造法求出勾股定理中另外两个数。
    下面附AC代码:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll n,a,t;
    int main()
    {
    	cin>>t;
    	while(t--)
    	{
    		cin>>n>>a;
    		if(n>2||n==0)
    			printf("-1 -1\n");
    		else{
    			if(n==1){
    				printf("1 %d\n",a-1);
    			}
    			else{
    				if(a%2==0){
    					ll ans=a/2-1;
    					printf("%d %d\n",ans*ans+ans*2,ans*ans+ans*2+2);
    				}
    				else{
    					ll ans=(a-1)/2;
    					printf("%d %d\n",2*(ans*ans+ans),2*(ans*ans+ans)+1);
    				}
    			}
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    
    展开全文
  • 对于正整数,对于p的正整数,如果p不除a,我们将... 这就是费马小定理。 该证明是新颖的,它使用了将着色应用于规则多边形的想法来建立数论结果。 传统上(如果模棱两可)归因于Burnside的引理提供了关键的枚举步骤。
  • 一、欧拉定理 1、定义 若a与n互质,则aφ(n)≡1a^{\varphi (n)} \equiv 1aφ(n)≡1 (mod n)。 其中φ(n)\varphi (n)φ(n)指欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的个数。 2、证明 我们假设n的质因子分别是:p1,p2,...,p...

    一、欧拉定理

    1、定义

    若a与n互质,则 a φ ( n ) ≡ 1 a^{\varphi (n)} \equiv 1 aφ(n)1 (mod n)。
    其中 φ ( n ) \varphi (n) φ(n)指欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的个数。

    2、证明

    我们假设n的质因子分别是: p 1 , p 2 , . . . , p φ ( n ) p_1,p_2,...,p_{\varphi(n)} p1,p2,...,pφ(n),记为序列1。
    若给每一项都乘a,得序列2: a p 1 , a p 2 , . . . , a p φ ( n ) ap_1,ap_2,...,ap_{\varphi(n)} ap1,ap2,...,apφ(n)

    因为 a a a与n互质,且 p i p_i pi与n互质,因此 a p i ap_i api也与n互质。且 a p i ap_i api % n各不相同。这个可以用反证法证得:若假设 a p i ≡ a p j ap_i \equiv ap_j apiapj (mod n),则两边同除以a,得 p i ≡ p j p_i \equiv p_j pipj,又因为 p i p_i pi p j p_j pj是n的质因子,其互不相同,则原假设不成立。

    则可得序列2对n取余所得余数就是序列1,小于n的正整数且与n互质的数有且只有 φ ( n ) \varphi (n) φ(n)个,就是这个序列1。

    因此将序列2模n后累乘起来和序列1累乘起来的结果是相同的(模n等同于同余n),即可得: a φ ( n ) ⋅ ( a 1 ⋅ a 2 ⋅ . . . ⋅ a φ ( n ) ) ≡ a 1 ⋅ a 2 ⋅ . . . ⋅ a φ ( n ) a^{\varphi(n)} \cdot (a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{\varphi(n)}) \equiv a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{\varphi(n)} aφ(n)(a1a2...aφ(n))a1a2...aφ(n) (mod n)
    两边同时除以 a 1 ⋅ a 2 ⋅ . . . ⋅ a φ ( n ) a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{\varphi(n)} a1a2...aφ(n)可得 a φ ( n ) ≡ 1 a^{\varphi(n)} \equiv 1 aφ(n)1 (mod n)。


    二、费马小定理

    1、定义

    若a与n互质,且n为质数,则 a n − 1 ≡ 1 a^{n-1}\equiv1 an11 (mod n)。

    2、证明

    费马小定理其实就是欧拉定理的一个特殊情况,当n是质数时,小于n的正整数都和n互质,所以他的欧拉函数就等于 a n − 1 a^{n-1} an1,即 a φ ( n ) = a n − 1 a^{\varphi(n)}= a^{n-1} aφ(n)=an1,则根据欧拉定理,费马小定理成立。

    展开全文
  • 我只能稍微写一下我能听懂的部分orz那么这就是今天我为数不多能听懂一点的之一......QAQ首先先介绍今天的主角:费马小定理————转自维基百科没看懂的话我稍微解释一下,就是假如p是质数,且GCD(a,p)=1,那么 a^(p...

    今天听了ljss神犇的数论课,顿时感觉————我真的是太弱啦!

    我只能稍微写一下我能听懂的部分orz

    那么这就是今天我为数不多能听懂一点的之一......QAQ

    首先先介绍今天的主角:费马小定理

    4a1baefff049dabba227ef4c4301d496.png————转自维基百科

    没看懂的话我稍微解释一下,就是

    假如p是质数,且GCD(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p)(假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1)

    因此我们就似乎有了基于费马小定理的判断素数方式:随机枚举使gcd(a,p)=1的a。判断该表达式是否成立--------记为命题q

    但是仔细想一想,会发现命题q实际是费马小定理的逆命题

    根据我们在高中数学选修2-1学习的内容,真命题的逆命题不一定是真命题....

    似乎出现了一些问题呢x

    所幸的是,这种思路大部分时间是正确的,因为根据某个奇怪的性质,费马小定理只有对于少数数才会出现逆命题不成立的情况,而这类数就被称为卡迈克尔数(Carmichael number)

    卡迈克尔数在正整数中很少,并且随着数的增大会变的越来越少,在1e8范围内只有255个,1e17范围内也才只有不到6e5个,因此可以直接多次应用上述的算法来提高准确性

    不过作为有追求的oier,我们怎么能这么没有梦想呢?

    我们引入新工具:

    二次探测定理 如果p是一个素数,且0

    下面给出简单的证明:

    x^2≡1(mod p)

    →x^2-1≡0(mod p)

    →(x-1)(x+1)≡0(mod p)

    那么我们将二次探测定理转换成

    (a(p-1)/2)2≡1(mod p)

    应用上面这两个定理可以使失误率达到最劣2-t,而实际远远达不到这个数,因此一般3~5次即可保证正确性

    该算法就是Miller_Rabin算法,期望复杂度O(tlog3n)

    代码:(还有些许唐突的地方,待补全)题目为洛谷线性筛模板

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #include

    #define N 10000001

    typedef long long ll;

    const int inf=0x3fffffff;

    const int maxn=2017;

    using namespace std;

    inline int read()

    {

    int f=1,x=0;char ch=getchar();

    while(ch>'9'|ch

    {

    if(ch=='-')

    f=-1;

    ch=getchar();

    }

    while(ch<='9'&&ch>='0')

    {

    x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';

    ch=getchar();

    }

    return f*x;

    }

    ll qmulti(ll a,ll b,ll c)

    {

    ll tem=a,sum=0;

    while(b)

    {

    if(b&1)sum=(sum+tem)%c;

    tem=(tem+tem)%c;

    b>>=1;

    }

    return sum;

    } //防止乘的时候过大爆掉

    ll qpow(ll a,ll b,ll c)

    {

    ll k=1;

    while(b>0)

    {

    if(b&1)k=(k*a)%c;

    a=(a*a)%c;

    b>>=1;

    }

    return k;

    }

    bool witness(int a,int x,int k,int q)

    {

    ll v=qpow(a,q,x);

    if(v==1||v==x-1)return 0;

    while(k--)

    {

    v=v*v%x;

    if(v==x-1)return 0;

    }

    return 1;

    }

    bool miller(ll n)

    {

    int time=5;//随机time次

    if(n==2)return 1;//特判2

    if(n<2||n%2==0)return 0;

    ll a=0,t=0,b=n-1;

    while(!(b&1))

    {

    t++;

    b>>=1;

    }

    for(int i=0;i

    {

    a=rand()%(n-1)+1;

    if(witness(a,n,t,b))return 0;

    }

    return 1;

    }

    int main()

    {

    srand(time(0));

    ll n=read(),m=read();

    for(ll i=1;i<=m;i++)

    {

    ll a=read();

    printf(miller(a)?"Yes\n":"No\n");

    }

    }

    a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688[a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688[a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688[a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688[a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688[a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

    5b71e80b05f598bfd9ac9618c87a94323e41e688

    来源:https://www.cnblogs.com/tsunderehome/p/7517658.html

    展开全文
  • 费马小定理及其应用

    2021-09-05 20:36:59
    费马小定理定理内容 如果p是质数,并且a不是p的倍数。那么就有ap−1=1(mod p)a^{p-1} = 1(mod\space p)ap−1=1(mod p) 其次我们还需要去了解逆元的意义 对于正整数a和p,如果有ax≡1(mod p)ax\...
  • 费马小定理

    2021-07-25 16:57:45
    费马小定理 费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出。如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有ap−1≡1(mod)pa^{p-1}≡1(mod )pap−1≡1(mod)p 根据乘法逆元的定义是:...
  • 费马小定理问题:证明 费马小定理 问题: 对∀(a,p)=1,p是质数∃ ap−1≡1(mod p) 对\forall(a,p)=1,p是质数\\ \exists~a^{p-1}\equiv1(mod~p)\\ 对∀(a,p)=1,p是质数∃ ap−1≡1(mod p) ...
  • 费马小定理【模板例题】

    千次阅读 2020-09-27 12:03:24
    费马小定理: 如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数, 则有a(p-1)≡1(mod p)。 即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 变式延伸:在对质数 p 求余...
  • 原标题:费马小定理,我的理解触碰标题下面一行的“邵勇老师”查看所有文章;触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。 本公众号内容均由邵勇本人独创,欢迎转发,但未经许可不能转载。特别声明,本人未曾...
  • 费马小定理 费马小定理:假如a是一个整数,p是一个质数,那么 如果b是p的倍数,bp≡b(modp)b^p \equiv b(mod p)bp≡b(modp) 如果b不是p的倍数,bp−1≡1(modp)b^{p - 1} \equiv 1(mod p)bp−1≡1(modp) 同余式...
  • 费马小定理 对于一个质数p,任意的整数a(a不是p的倍数),都有: a^(p-1)≡1(mod p) 证明此定理,我们首先需要证明一下欧拉定理。 欧拉定理: 对于互质的两个数a和n,有: 我们设n的简化剩余系( 本 质是比 n ...
  • 费马小定理 (证明)

    千次阅读 2019-08-22 15:34:26
    费马小定理 费马小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)前提:p为质数,且a,p互质 //互质:a和p相同的因数为1. 先来看一下≡是什么: a ≡ b (mod p) <=> a mod p = b mod p //a和b在模p的意义下同余 注释:<=>...
  • 索引费马小定理快速幂模题解 费马小定理 若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数,则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。 总结一下形式,费马小定理就是:在a,p互质的前提下有 a(p−1)≡1(modp)a^{(p-1)}\equiv1\pmod{p}...
  • 费马小定理 费马小定理:假如a是一个整数,p是一个质数,那么 1.如果a是p的倍数, 2.如果a不是p的倍数, (比照逆元定义可知,是a的逆元) 注意上式写成等号应该是这样: (因为是一个非常大的数,而逆元取的是最小正...
  • 1.设p = 23和a = 5,使用费尔马小定理计算a^{2020} mod p? 2. 使用欧拉定理计算2^{100000} mod 55。 手动计算7^{1000}的最后两个数位等于什么?
  • 费马小定理:对于整数 a 与质数 p ,若 a 与 p 互质,则有: a p − 1 ≡ 1 a^{p−1}≡1 a p − 1 ≡ 1 m o d mod m o d p p p 求逆元: a p − 1 ≡ 1 a^{p−1}≡1 a p − 1 ≡ 1 m o d mod m o d p p p...
  • 费马小定理(易懂)

    千次阅读 多人点赞 2019-08-22 16:22:20
    费马小定理: 内容: 若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数,则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。(这里的 ≡ 指的是恒等于,a^(p-1)≡ 1(mod p)是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)(不理解的话请留言) 证明: 这里证明...

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