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  • 二重积分对称性证明

    2021-05-09 16:37:50
    1.二重积分对称性证明 1.1.积分区域D关于坐标轴对称 定理:如果积分区域D关于xxx轴对称,f(x,y)f(x,y)f(x,y)为yyy的奇偶函数,则二重积分 ∬Df(x,y)dxdy={0,f(x,−y)=−f(x,y)2∬D1f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y) \iint...

    1.二重积分对称性证明

    1.1.积分区域D关于坐标轴对称

    定理:如果积分区域D关于 x x x轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y y y的奇偶函数,则二重积分
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , − y ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f(x,-y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02D1f(x,y)dxdy,,f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)
    其中 D 1 D_1 D1是x轴的上半面部分
    证明
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y + ∬ D 2 f ( x , y ) d x d y \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y+\iint_{D_{2}} f(x, y) d x d y Df(x,y)dxdy=D1f(x,y)dxdy+D2f(x,y)dxdy
    若区域D对称于x轴,对任意 P ( x , y ) ∈ D 1 P(x, y) \in D_{1} P(x,y)D1,其对称点 P ′ ( x , − y ) ∈ D 2 P^{\prime}(x,-y) \in D_{2} P(x,y)D2
    D 1 = { 0 ≤ y ≤ φ ( x ) , a ≤ x ≤ b } , D 2 = { − φ ( x ) ≤ y ≤ 0 , a ≤ x ≤ b } D_{1}=\{0 \leq y \leq \varphi(x), a \leq x \leq b\}, \quad D_{2}=\{-\varphi(x) \leq y \leq 0, a \leq x \leq b\} D1={0yφ(x),axb},D2={φ(x)y0,axb},令
    { x = x y = − t \left\{\begin{array}{l} x=x \\ y=-t \end{array}\right. {x=xy=t
    D 2 D_2 D2变化为 x o t xot xot坐标面上的 D 1 = { 0 ≤ t ≤ φ ( x ) , a ≤ x ≤ b } D_{1}=\{0 \leq t \leq \varphi(x), \quad a \leq x \leq b\} D1={0tφ(x),axb},且雅克比行列式
    ∂ ( x , y ) ∂ ( x , t ) = ∣ 1 0 0 − 1 ∣ = − 1 \frac{\partial(x, y)}{\partial(x, t)}=\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right|=-1 (x,t)(x,y)=1001=1

    ∬ D 2 f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 f ( x , − t ) ⋅ ∣ − 1 ∣ d x d t = ∬ D 1 f ( x , − y ) d x d y = { ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , − y ) = f ( x , y ) − ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , − y ) = − f ( x , y ) \begin{aligned} \iint_{D_{2}} f(x, y) d x d y &=\iint_{D_{1}} f(x,-t) \cdot|-1| d x d t=\iint_{D_{1}} f(x,-y) d x d y \\ &=\left\{\begin{array}{cc} \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(x,-y)=f(x, y) \\ -\iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(x,-y)=-f(x, y) \end{array}\right. \end{aligned} D2f(x,y)dxdy=D1f(x,t)1dxdt=D1f(x,y)dxdy={D1f(x,y)dxdyD1f(x,y)dxdy,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)=f(x,y)
    带入上式得:
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( x , y ) = − f ( x , − y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x , y ) = f ( x , − y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f(x, y)=-f(x,-y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(x, y)=f(x,-y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02D1f(x,y)dxdy,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)=f(x,y)

    例题一:计算 ∬ D y ln ⁡ ( 1 + x 2 + y 2 ) d x d y \iint_{D} y \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) d x d y Dyln(1+x2+y2)dxdy,其中区域D: x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0 x2+y21,x0
    解析 f ( x , y ) = y ln ⁡ ( 1 + x 2 + y 2 ) f(x, y)=y \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) f(x,y)=yln(1+x2+y2)是关于 y y y的奇函数且D关于 x x x轴对称,
    所以
    ∬ D y ln ⁡ ( 1 + x 2 + y 2 ) d x d y = 0 \iint_{D} y \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) d x d y=0 Dyln(1+x2+y2)dxdy=0

    例题二:计算 ∬ D sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y \iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y Dsin(x2+y2)dxdy,其中区域D: x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0 x2+y24,x0
    解析:因为 f ( x , y ) = sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) f(x, y)=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right) f(x,y)=sin(x2+y2)是关于 y y y的偶函数,且D关于 x x x轴对称,所以
    ∬ D sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y = 2 ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 2 r sin ⁡ r 2 = π 2 ( 1 − cos ⁡ 4 ) \iint_{D} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{2} r \sin r^{2}=\frac{\pi}{2}(1-\cos 4) Dsin(x2+y2)dxdy=202πdθ02rsinr2=2π(1cos4)

    1.2.积分区域D关于 y y y轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为D上的连续函数

    定理:如果积分区域D关于 y y y轴对称, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) x x x的奇偶函数,则二重积分
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( − x , y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D f ( x , y ) d x d y , f ( − x , y ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{lll} 0 & , & f(-x, y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D} f(x, y) d x d y & , & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02Df(x,y)dxdy,,f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)
    其中 D 1 D_1 D1 D D D y y y轴的右半面部分。

    证明:若区域D对称于 y y y轴,对任意 P ( x , y ) ∈ D 1 P(x, y) \in D_{1} P(x,y)D1,对称点 P ′ ( − x , y ) ∈ D 2 P^{\prime}(-x, y) \in D_{2} P(x,y)D2,类似上述定理得证明可得
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( − x , y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( − x , y ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f(-x, y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02D1f(x,y)dxdy,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)=f(x,y)

    例题三:计算 ∬ D ( x + x 3 y 2 ) d x d y \iint_{D}\left(x+x^{3} y^{2}\right) d x d y D(x+x3y2)dxdy,其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 D: \quad x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0 D:x2+y24,y0
    解析
    f ( x , y ) = x + x 3 y 2 f ( − x , y ) = − x − x 3 y 2 = − ( x + x 3 y 2 ) = − f ( x , y ) \begin{array}{c} f(x, y)=x+x^{3} y^{2} \\ f(-x, y)=-x-x^{3} y^{2}=-\left(x+x^{3} y^{2}\right)=-f(x, y) \end{array} f(x,y)=x+x3y2f(x,y)=xx3y2=(x+x3y2)=f(x,y)
    且区域D关于 y y y轴对称,所以
    ∬ D ( x + x 3 y 2 ) d x d y = 0 \iint_{D}\left(x+x^{3} y^{2}\right) d x d y=0 D(x+x3y2)dxdy=0

    例题四:计算 ∬ D x 2 y d x d y \iint_{D} x^{2} y d x d y Dx2ydxdy,其中区域 D : − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 D:-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 D:1x1,0y1
    解析 f ( x , y ) = x 2 y f(x, y)=x^{2} y f(x,y)=x2y是关于 x x x的偶函数,且区域D关于 y y y轴对称,所以
    ∬ D x 2 y d x d y = 2 ∫ 0 1 d y ∫ 0 1 x 2 y d x = 2 ∫ 0 1 y d y ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 \iint_{D} x^{2} y d x d y=2 \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} x^{2} y d x=2 \int_{0}^{1} y d y \int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3} Dx2ydxdy=201dy01x2ydx=201ydy01x2dx=31

    1.3.积分区域D关于坐标区域内任意直线对称

    定理:如果积分域D关于直线 y = a x + b y=a x+b y=ax+b对称,则二重积分
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , \quad f\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy=02D1f(x,y)dxdy,f(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))=f(x,y),f(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))=f(x,y)
    其中 D 1 D_1 D1 D D D在以直线 y = a x + b y=ax+b y=ax+b为轴的右半面部分。
    设区域D对称于直线 y = a x + b y=ax+b y=ax+b,不妨设 a > 0 a>0 a>0,即倾斜角 θ \theta θ为锐角,首先,平移坐标轴,得到坐标系 x ′ o ′ y ′ x^{\prime} o^{\prime} y^{\prime} xoy
    { x ′ = x + b a y ′ = y \left\{\begin{array}{c} x^{\prime}=x+\frac{b}{a} \\ y^{\prime}=y \end{array}\right. {x=x+aby=y

    { x = x ′ − b a y = y ′ \left\{\begin{array}{c} x=x^{\prime}-\frac{b}{a} \\ y=y^{\prime} \end{array}\right. {x=xaby=y
    其次,将坐标系 x ′ o ′ y ′ x^{\prime} o^{\prime} y^{\prime} xoy沿逆时针方向旋转,旋转角为 θ ( tan ⁡ θ = a ) \theta(\tan \theta=a) θ(tanθ=a),使 x ′ x^{\prime} x与直线 y = a x + b y=ax+b y=ax+b重合,得到新坐标系 u O ′ v : u O^{\prime} v: uOv:
    { x ′ = ( u − v tan ⁡ θ ) cos ⁡ θ = u − a v 1 + a 2 y ′ = ( u − v tan ⁡ θ ) sin ⁡ θ + v sec ⁡ θ = a u + v 1 + a 2 \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=(u-v \tan \theta) \cos \theta=\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}} \\ y^{\prime}=(u-v \tan \theta) \sin \theta+v \sec \theta=\frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}} \end{array}\right. {x=(uvtanθ)cosθ=1+a2 uavy=(uvtanθ)sinθ+vsecθ=1+a2 au+v
    根据上式,可得
    { x = u − a v 1 + a 2 − b a y = a u + v 1 + a 2 \left\{\begin{array}{l} x=\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a} \\ y=\frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}} \end{array}\right. {x=1+a2 uavaby=1+a2 au+v

    { u = 1 + a 2 ( x + b a ) + a ( y − a x − b ) 1 + a 2 v = y − a x − b 1 + a 2 \left\{\begin{array}{l} u=\sqrt{1+a^{2}}\left(x+\frac{b}{a}\right)+\frac{a(y-a x-b)}{\sqrt{1+a^{2}}} \\ v=\frac{y-a x-b}{\sqrt{1+a^{2}}} \end{array}\right. {u=1+a2 (x+ab)+1+a2 a(yaxb)v=1+a2 yaxb
    x O y xOy xOy坐标面内对称于直线 y = a x + b y=ax+b y=ax+b的区域D,在新坐标系 U O ′ V U O^{\prime} V UOV内对应的区域 D ′ D^{\prime} D关于 u u u轴对称,
    x o y xoy xoy面内任一点 P ( x , y ) ∈ D 1 P(x, y) \in D_{1} P(x,y)D1,在 u o ′ v u o^{\prime} v uov面内对应点 P 1 ( u , v ) ∈ D 1 ′ P_{1}(u, v) \in D_{1}^{\prime} P1(u,v)D1
    u = 1 + a 2 ( x + b a ) + a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , v = y − a x − b 1 + a 2 u=\sqrt{1+a^{2}}\left(x+\frac{b}{a}\right)+\frac{a(y-a x-b)}{\sqrt{1+a^{2}}}, \quad v=\frac{y-a x-b}{\sqrt{1+a^{2}}} u=1+a2 (x+ab)+1+a2 a(yaxb),v=1+a2 yaxb
    P 1 ( u , v ) P_{1}(u, v) P1(u,v)关于 u u u轴对称点 P 1 ′ ( u , − v ) ∈ D 2 ′ P_{1}^{\prime}(u,-v) \in D_{2}^{\prime} P1(u,v)D2 P 1 ′ ( u , − v ) P_{1}^{\prime}(u,-v) P1(u,v) x o y xoy xoy面内对应点为
    P ′ ( u − a ( − v ) 1 + a 2 − b a , a u + ( − v ) 1 + a 2 ) ∈ D 2 P^{\prime}\left(\frac{u-a(-v)}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+(-v)}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) \in D_{2} P(1+a2 ua(v)ab,1+a2 au+(v))D2
    u , v u,v u,v带入,并化简得到:
    P ′ ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) ∈ D 2 P^{\prime}\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right) \in D_{2} P(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))D2
    因此, x o y x o y xoy面内点 P ( x , y ) ∈ D 1 P(x, y) \in D_{1} P(x,y)D1关于直线 y = a x + b y=a x+b y=ax+b的对称点为
    P ′ ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) ∈ D 2 P^{\prime}\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right) \in D_{2} P(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))D2
    雅克比行列式为
    ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ 1 1 + a 2 − a 1 + a 2 a 1 + a 2 1 1 + a 2 ∣ = 1 \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}} & \frac{-a}{\sqrt{1+a^{2}}} \\ \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}} \end{array}\right|=1 (u,v)(x,y)=1+a2 11+a2 a1+a2 a1+a2 1=1
    于是
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( u − a v 1 + a 2 − b a , a u + v 1 + a 2 ) d u d v \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D} f\left(\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) d u d v Df(x,y)dxdy=Df(1+a2 uavab,1+a2 au+v)dudv
    则可得
    ∬ D 1 f ( u − a v 1 + a 2 − b a , a u + v 1 + a 2 ) d u d v = { 0 f ( u + a v 1 + a 2 − b a , a u − v 1 + a 2 ) = − f ( u − a v 1 − a 2 − b a , a u + v 1 + a 2 ) 2 ∬ D 1 f ( u − a v 1 + a 2 − b a , a u + v 1 + a 2 ) d u d v f ( u + a v 1 + a 2 − b a , a u − v 1 + a 2 ) = f ( u − a v 1 + a 2 − b a , a u + v 1 + a 2 ) \begin{array}{l} \qquad \iint_{D_{1}} f\left(\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) d u d v \\ =\left\{\begin{array}{ll} 0 & f\left(\frac{u+a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u-v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right)=-f\left(\frac{u-a v}{\sqrt{1-a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) \\ 2 \iint_{D_{1}} f\left(\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) d u d v & f\left(\frac{u+a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u-v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right)=f\left(\frac{u-a v}{\sqrt{1+a^{2}}}-\frac{b}{a}, \frac{a u+v}{\sqrt{1+a^{2}}}\right) \end{array}\right. \end{array} D1f(1+a2 uavab,1+a2 au+v)dudv=02D1f(1+a2 uavab,1+a2 au+v)dudvf(1+a2 u+avab,1+a2 auv)=f(1a2 uavab,1+a2 au+v)f(1+a2 u+avab,1+a2 auv)=f(1+a2 uavab,1+a2 au+v)

    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 , f ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) = − f ( x , y ) 2 ∭ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( x + 2 a ( y − a x − b ) 1 + a 2 , a x + b + ( a 2 − 1 ) ( y − a x − b ) 1 + a 2 ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , f\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right)=-f(x, y) \\ 2 \iiint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f\left(x+\frac{2 a(y-a x-b)}{1+a^{2}}, a x+b+\frac{\left(a^{2}-1\right)(y-a x-b)}{1+a^{2}}\right)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy=02D1f(x,y)dxdy,f(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))=f(x,y),f(x+1+a22a(yaxb),ax+b+1+a2(a21)(yaxb))=f(x,y)
    推论一:如果积分域D关于直线 y = x y=x y=x对称,则二重积分
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( y , x ) d x d y \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D} f(y, x) d x d y Df(x,y)dxdy=Df(y,x)dxdy
    例题一:设 f ( x ) f(x) f(x)为恒正的连续函数,计算积分
    ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( x ) + b f ( y ) f ( x ) + f ( y ) d x d y \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d x d y x2+y2r2f(x)+f(y)af(x)+bf(y)dxdy
    解析:由于积分区域 x 2 + y 2 ≤ r 2 x^{2}+y^{2} \leq r^{2} x2+y2r2关于直线 y = x y=x y=x对称,可得
    ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( x ) + b f ( y ) f ( x ) + f ( y ) d x d y = ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( y ) + b f ( x ) f ( y ) + f ( x ) d x d y \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d x d y=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(y)+b f(x)}{f(y)+f(x)} d x d y x2+y2r2f(x)+f(y)af(x)+bf(y)dxdy=x2+y2r2f(y)+f(x)af(y)+bf(x)dxdy
    于是
    2 ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( x ) + b f ( y ) f ( x ) + f ( y ) d x d y = ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( x ) + b f ( y ) f ( x ) + f ( y ) d x d y + ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( y ) + b f ( x ) f ( y ) + f ( x ) d x d y = ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 ( a + b ) d x d y = π ( a + b ) r 2 \begin{aligned} & 2 \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d x d y \\ =& \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d x d y+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(y)+b f(x)}{f(y)+f(x)} d x d y \\ =& \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}}(a+b) d x d y=\pi(a+b) r^{2} \end{aligned} ==2x2+y2r2f(x)+f(y)af(x)+bf(y)dxdyx2+y2r2f(x)+f(y)af(x)+bf(y)dxdy+x2+y2r2f(y)+f(x)af(y)+bf(x)dxdyx2+y2r2(a+b)dxdy=π(a+b)r2

    ∬ x 2 + y 2 ≤ r 2 a f ( x ) + b f ( y ) f ( x ) + f ( y ) d x d y = π 2 ( a + b ) r 2 \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d x d y=\frac{\pi}{2}(a+b) r^{2} x2+y2r2f(x)+f(y)af(x)+bf(y)dxdy=2π(a+b)r2

    推论二:若积分区域关于直线 y = − x y=-x y=x对称且满足 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) f(-x,-y)=-f(x, y) f(x,y)=f(x,y),则有
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = 0 \iint_{D} f(x, y) d x d y=0 Df(x,y)dxdy=0
    或满足 f ( − x , − y ) = f ( x , y ) f(-x,-y)=f(x, y) f(x,y)=f(x,y),则有
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y \iint_{D} f(x, y) d x d y=2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y Df(x,y)dxdy=2D1f(x,y)dxdy

    1.4.积分区域D关于坐标原点对称

    如果积分区域D关于原点对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)同时为 x , y x,y x,y的奇偶函数,则二重积分
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( − x , − y ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & f(-x,-y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y, & f(-x,-y)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02D1f(x,y)dxdy,f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)
    其中 D 1 D_1 D1 D D D的上半面部分
    证明:若区域对称于原点,对任意 P ( x , y ) ∈ D 1 P(x, y) \in D_{1} P(x,y)D1,对称点 P ′ ( − x , − y ) ∈ D 2 P^{\prime}(-x,-y) \in D_{2} P(x,y)D2 D 1 = { ψ ( x ) ≤ y ≤ φ ( x ) , a ≤ x ≤ b } , D 2 = { − φ ( − x ) ≤ y ≤ − ψ ( − x ) , − b ≤ x ≤ − a } D_{1}=\{\psi(x) \leq y \leq \varphi(x), \quad a \leq x \leq b\}, \quad D_{2}=\{-\varphi(-x) \leq y \leq-\psi(-x),-b \leq x \leq-a\} D1={ψ(x)yφ(x),axb},D2={φ(x)yψ(x),bxa},令
    { x = − u y = − v \left\{\begin{array}{l} x=-u \\ y=-v \end{array}\right. {x=uy=v
    则区域 D 2 D_2 D2变化为 u O v u O v uOv坐标平面内区域 D 1 = { ψ ( x ) ≤ y ≤ φ ( x ) , a ≤ x ≤ b } D_{1}=\{\psi(x) \leq y \leq \varphi(x), \quad a \leq x \leq b\} D1={ψ(x)yφ(x),axb},雅克比行列式
    ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ − 1 0 0 − 1 ∣ = 1 \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right|=1 (u,v)(x,y)=1001=1
    所以
    ∬ D 2 f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 f ( − u , − v ) d u d v = ∬ D 1 f ( − x , − y ) d x d y \iint_{D_{2}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(-u,-v) d u d v=\iint_{D_{1}} f(-x,-y) d x d y D2f(x,y)dxdy=D1f(u,v)dudv=D1f(x,y)dxdy
    = { − ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , f ( − x , − y ) = f ( x , y ) =\left\{\begin{array}{ll} -\iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(-x,-y)=-f(x, y) \\ \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , f(-x,-y)=f(x, y) \end{array}\right. ={D1f(x,y)dxdyD1f(x,y)dxdy,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)=f(x,y)
    代入
    ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y + ∬ D 2 f ( x , y ) d x d y \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y+\iint_{D_{2}} f(x, y) d x d y Df(x,y)dxdy=D1f(x,y)dxdy+D2f(x,y)dxdy

    ∬ D f ( x , y ) d x d y = { 0 ,  若  f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d x d y , 若 f ( − x , − y ) = f ( x , y ) \iint_{D} f(x, y) d x d y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & , \quad \text { 若 } f(-x,-y)=-f(x, y) \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) d x d y & , 若 f(-x,-y)=f(x, y) \end{array}\right. Df(x,y)dxdy={02D1f(x,y)dxdy,  f(x,y)=f(x,y),f(x,y)=f(x,y)

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  • 二重积分对称性

    2021-09-04 15:19:36
    首先二重积分对称性的前提是其积分区域关于某条直线对称(常见的有x轴、y轴和y=x),被积函数关于某平面对称。 举个例子(以下出现的对称性可以从二重积分几何意义曲顶柱体的体积的角度来考虑) 一、积分区域关于x轴对称...

    以下内容来自知乎:怎样理解二重积分的对称性?

    首先二重积分对称性的前提是其积分区域关于某条直线对称(常见的有x轴、y轴和y=x),被积函数关于某平面对称。
    举个例子(以下出现的对称性可以从二重积分几何意义曲顶柱体的体积的角度来考虑)
    一、积分区域关于x轴对称,若被积函数关于平面yoz对称(同号),这时整个区域的积分是一半区域上积分的2倍;若被积函数关于平面yoz对称(异号),这时整个区域的积分值就为0,这就是常说的偶倍奇零。
    二、积分区域关于直线y=x对称,若被积函数满足f(x,y)=f(y,x),即交换x和y的位置后函数表达式不变,这时积分值为一半区域积分的2倍;若f(x,y)=-f(y,x),则积分值为0。
    三、轮换对称。积分区域关于直线y=x对称,则交换被积函数x和y的位置得到的函数的积分和原来的函数的积分值相等。

    作者:花火
    链接:https://www.zhihu.com/question/456001763/answer/1849647573
    来源:知乎
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  • 老师介绍郭啸龙老师--考研辅导名师!20多年大学授课一线经验;数学博士、硕导、教授;考研阅卷组组长;授课风格幽默诙谐,通俗易懂,简单好记。让你学起高数来,变得更简单,更...曲线积分与曲面积分第十二章...无...

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    课程介绍

    课程主旨与特色

    听完课会做题,名师授课;

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    课程目录

    第八章...向量代数与空间解析几何

    第九章... 多元函数微分学及其应用

    第十章...重积分

    第十一章...曲线积分与曲面积分

    第十二章...无穷级数

    今日推文--第十章目录

    1、直角坐标下的二重积分

    2、极坐标下的二重积分

    3、二重积分的对称性

    4、三重积分的坐标面投影法

    5、三重积分的坐标轴投影法

    6、三重积分的柱面坐标

    7、三重积分的球面坐标

    8、三重积分的对称性

    9、重积分的应用

    听课方法

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    明日预告

    重积分(下)

    5、三重积分的坐标轴投影法

    6、三重积分的柱面坐标

    7、三重积分的球面坐标

    8、三重积分的对称性

    9、重积分的应用

    End

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  • 二重积分坐标系转化多了个r,rd原理; 二重积分几何意义: 二重积分物理意义: 二重积分求导: sinθ+cosθ推导: cosθ+sinθ==√2(sin45*cosθ+cos45*sinθ)==√2sin(θ+π/4) 和差化积公式 积化和差 ...
    展开全文
  • 二重积分

    2020-08-25 18:48:22
    二重积分中值定理 ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) ⋅ σ 0 \iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\sigma_0 ∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ0​其中 σ 0 \sigma_0 σ0​ 为区域 D D D 的面积
  • 积分——二重积分

    2020-05-28 20:49:33
    二重积分 (1)概念 (2)性质 将二重积分与曲面柱体的体积联系,便于理解 ①(数乘):∬Dkf(x, y)dσ = k∬Df(x, y)dσ , k为常数。...⑦(对称性定理): (3)计算 ①先X后Y ②先Y后X ③极坐标 标志:出现x2 + y
  • 二重积分,三重积分

    2020-03-26 23:44:32
    个人重点 1.★画图,穿线,定积分 2.几何意义 3.性质(线面对称,奇偶性,...极坐标下的二重积分 柱坐标下的三重积分· 球坐标下的三重积分 //另外两个直角坐标 奇偶性对称性 ...
  • 二重积分的计算

    2020-11-28 23:52:59
    1.轮换对称性 2.二重积分的计算方法 例1.12.3 3.极坐标二重积分计算 例1.12.5
  • 文章目录前言二重积分1. 二重积分的计算基础计算 —— 章技巧计算 —— 章特殊形式被积函数和积分域的计算 ——章2. 二重积分的求导——节二重积分可以直接求导二重积分无法直接求导3. 二重积分的证明相关定理——节...
  • 各类积分对称性详细总结

    万次阅读 多人点赞 2020-05-30 20:24:54
    D区域关于y轴对称,且被积函数f关于x为奇函数,则二重积分为0; D区域关于x轴对称,且被积函数f关于y为奇函数,则二重积分为0; D区域关于中心对称,且被积函数f关于(xy)为奇函数,则二重积分为0; ...
  • 二重积分方法

    2020-11-27 08:47:07
    直角坐标 先y后x 先x后y 极坐标 先 ρ 后θ 如果被积函数适合(根号下圆,y/x),一般就用极坐标;... 如果被积函数适合,积分区域适合(圆、同心圆、在...对称性和变量对称性都是积分域关于一条线对称; ...
  • 多变量微积分笔记(3)——二重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-06-20 17:26:47
    多重积分——二重积分(Double Integrals)3.1 直角坐标系下二重积分二重积分的定义如何选择积分上下限3.2 极坐标下的二重积分微元及二重积分表达式如何选择积分上下限3.3 二重积分中的换元方法直角坐标系与极坐标...
  • 二重积分的几何意义是计算物体的体积,但是在实际问题中,二重积分还可以用来计算面积和均值。
  • Part 6 二重积分

    2020-03-23 16:23:00
    二重积分的概念 Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处可导。 与定积分概念密切相连:分割,求和,取极限。 分划成为网状分割,每个交点处横截 横截:函数在P点横截,如果两个切线方程的线性子空间的维数...
  • 二重积分计算(几何法)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-06 15:59:42
    利用二重积分的定义来计算二重积分显然是实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ; ...
  • 第六章——二重积分

    2021-04-10 16:03:03
    9.1 二重积分的概念和性质 9.1.1 二重积分的概念 定积分 二重积分 区间内一点函数值乘小区间长度 区域内一点函数值乘小区域面积 定积分是一个和式的极限 二重积分是一个和式的极限 用定积分定义求和式...
  • 二重积分若干例题分析

    千次阅读 2020-04-03 16:41:40
    二重积分辅导的若干总结
  • 第五章(二重积分

    2021-09-17 13:35:09
    二重积分P166 1. 基本概念及性质(166)2. 二重积分的基本计算(168)3.利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分(175)4.分块函数积分的计算(179)5. 交换积分次序及坐标系(180) 1. 基本概念及性质(166) ...
  • 1.直角坐标求二重积分 2.极坐标求二重积分 可利用对称性加快解题速度 技巧:排除法,将参数取一个特殊值,进行带入计算。 利用函数奇偶性,可以判断函数的区域积分是否为0,减少计算量 ...
  • 第十二讲:二重积分

    千次阅读 2020-09-08 14:49:35
    交换变量名或者积分的先后次序,并会改变二重积分的最终结果。 积分技巧 直角坐标系 ∫∫Df(x,y)=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)dy\int\int_Df(x,y)=\int_a^bdx\int_{φ_1(x)}^{φ_2(x)}dy∫∫D​f(x,y)=∫ab​dx∫φ1​(x...
  • 二重积分-

    2021-09-10 09:24:49
    知识点 提醒 利用变量的对称性 一般函数可以举特例 - 画图也占分 李正元9.1 偏心圆用偏移的极坐标 - 形心法,被积函数只能是x或者y,而且形心要好找 - 利用就行平移 形心法 李正元例9.45 分部积分法 - 拉格朗日中值...
  • 高等数学复习之二重积分

    千次阅读 多人点赞 2020-12-25 13:34:50
    备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题,对于其中的原理怎么也不是很理解,看到书上讲到了二重积分,就从二重积分开始再复习下吧!也作为高等数学的备考内容来准备着。 1、为什么说定积分积分范围是直线的? ...
  • 二重积分_高数

    2020-04-05 21:32:57
    性质 1.普通对称性 2.轮换对称性
  • 二重积分的计算
  • 一:二重积分的概念与性质 1.二重积分的概念 2.二重积分的性质 二:二重积分计算 1.利用直角坐标计算 2.利用极坐标计算 3.利用对称性和奇偶性计算 4.利用变量对称性计算 三:常考题型方法...
  • 09 二重积分

    2021-06-30 11:44:42
    文章目录二重积分二重积分的性质二重积分的计算知识点注意点技巧问题方法具体方法1. 极坐标二重积分换序1. 1 法一1.2 法二2. 二重积分定限问题2.1 三角函数3. 怎么化二次积分为极坐标形式的积分? 二重积分 二重积分...
  • 文章目录第十二讲 二重积分概念、性质和对称性计算 第十二讲 二重积分 概念、性质和对称性 根据保号性有 根据谁的函数越大,那积分出来也应该越大 轮换对称性 计算 命题老师如果给你的是dxdy 那...
  • 二重积分概念 一元函数积分是数轴一个区间。 多元函数的积分把积分范围推广值平面和空间的一个区域,以及平面和空间中的曲线和曲面。 函数积分思想为:分割,近似,求和,取极限。 设f(x,y)f(x,y)f(x,y)是有界闭...

空空如也

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