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  • 【数学】 隐函数求导法则

    千次阅读 2021-08-12 22:26:40
    【数学】 隐函数求导法则 本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、...

    【数学】 隐函数求导法则

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
    在这里插入图片描述
    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
    在这里插入图片描述

    例题

    例2
    在这里插入图片描述

    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
    在这里插入图片描述
    开始把定理梳理一下
    在这里插入图片描述

    例题

    例3
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述

    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

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  • 9.5 隐函数求导法则

    千次阅读 多人点赞 2021-01-31 18:56:33
    本篇内容我们说一下隐函数求导法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、概念阐明 1.什么叫隐函数? 形...

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
    在这里插入图片描述
    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
    在这里插入图片描述

    例题

    例2
    在这里插入图片描述

    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
    在这里插入图片描述
    开始把定理梳理一下
    在这里插入图片描述

    例题

    例3
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述

    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

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  • 隐函数求导法则

    2021-03-16 17:14:23
    隐函数求导法则》由会员分享,可在线阅读,更多相关《隐函数求导法则(25页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结,一、一个方程的情形,隐函数...

    《隐函数求导法则》由会员分享,可在线阅读,更多相关《隐函数求导法则(25页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,仅就公式推导如下,记作,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,将,代入得,法2,解,令,则,均连续。,函数的一阶和二阶导数为,解,令,则,两边分别对 x ,y 求导,在,的某邻域内,则,仅就公式推导如下,解,令,则,二、方程组的情形,线性方程组与克莱默法则,这是关于,的,二元线性方程组。,方程组有唯一解。,类似,对,等式两边对 y 求导,,得关于,的线性方程组。,解方程组得,一般不会直接代入公式;而是运用公式推导过程。

    2、用到的的方法,解,将所给方程的两边对 x 求导并移项:,将所给方程的两边对 y 求导,用同样方法得,隐函数的求导法则,三、小结,(分下列几种情况),常用解法:,可用公式法 方程两边求导法,例5.设函数,在点(u,v) 的某一,1) 证明函数组,某一邻域内,2) 求,解: 1) 令,对 x , y 的偏导数.,在点 (x, y, u, v) 的,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组连续且具有连续,偏导数的反函数,式两边对 x 求导, 得,则有,由定理 3 可知结论 1) 成立.,2) 求反函数的偏导数.,从方程组解得,同理, 式两边对 y 求导, 可得,作业,P37 1, 3, 5, 10 (1) (2。

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  • 多元隐函数求导方法

    千次阅读 2021-03-29 15:26:44
    多元隐函数求导方法 一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数(条件1),且 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0 Fy′(x0,y0)≠0 F_{y}^{'} (x0,y0)\...

    多元隐函数求导方法


    一、一个方程的情形

    1.F(x,y)=0

    隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数(条件1),且
    F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x0,y0)=0 F(x0,y0)=0

    F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{y}^{'} (x0,y0)\ne0 Fy(x0,y0)=0

    (条件2)则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的
    某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f (x),它满足条件 ,并有
    d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'} } dxdy=FyFx
    以上同时为隐函数的求导公式为

    1. F(x, y, z) = 0

      隐函数存在定理 2 设函数F(x, y, z)在点 P(x0,y,z0)某一领域内有连续的偏导数(条件1),且F(x0,y,z0)=0,
      F z ’ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_{z}^{’}(x0,y0,z0)\ne 0 Fzx0,y0,z0)=0
      (条件2)则方程F(x, y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一领域内恒有唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0=f(x0,y0),并有
      ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial x}=-\frac{F_{x}^{'} }{F_{z}^{'} } xz=FzFx

      ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \frac{\partial z }{\partial y}=-\frac{F_{y}^{'} }{F_{z}^{'} } yz=FzFy

      对于求二次偏导,可以使用两种该方法:1、等式两边同时求偏导,利用类似一元隐函数的隐函数求导。

      2、利用上文展示的求导公式。

      warning

      在解法一中,我们在对x和y求偏导时,仍要将他们看作是z的自变量,亦指将z看作是(x,y)的二元函数;

      在解法二中,我们求F(x,y,z)的三个偏导数时要注意,要将xyz看作独立的自变量。

    ​ 3、对于一些式子还可以对于等式两边取微分。

    二、方程组的情形
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    隐函数存在定理3 设F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在
    点P(x0,y0,u0,v0)的某一领域内有对各个变量的连续偏导数(条件1,//可见连续偏导是最高级条件),且F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0,(条件2)且偏导数所组成的函数行列式(雅可比式
    J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v ∣ J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u}&\frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u}&\frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} J=(u,v)(F,G)=uFuGvFvG
    在P点函数值不等于零(条件3),则方程组在P 的某一领域内恒有唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且将P点带入,函数成立(条件4//与条件2类似,指符合P点要求)。

    ​ 对于偏导数的求值,应当采用推导证明法。

    例:
    { F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
    有隐函数组:
    { v = v ( x , y ) u = u ( x , y ) \left\{\begin{matrix} v=v(x,y) \\ u=u(x,y) \end{matrix}\right. {v=v(x,y)u=u(x,y)
    则:
    { F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 G ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) ≡ 0 \left\{\begin{matrix} F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0\\ G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0 \end{matrix}\right. {F(x,y,u(x,y),v(x,y))0G(x,y,u(x,y),v(x,y))0
    两边对于x求导
    { F x + F u ⋅ ∂ u ∂ x + F v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 G x + G u ⋅ ∂ u ∂ x + G v ⋅ ∂ v ∂ x = 0 \left\{\begin{matrix} F_{x}+F_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+F_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \\ G_{x}+G_{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+G_{v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{matrix}\right. {Fx+Fuxu+Fvxv=0Gx+Guxu+Gvxv=0
    这是
    ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ x \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x} xvxv
    的线性方程组,对于这个线性方程组运用克拉默法则,求解。

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隐函数求导法则