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傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 展开全文
傅立叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
信息
提出时间
1807年
别    称
傅立叶展开
提出者
傅立叶
应用学科
数字信号处理
中文名
傅立叶变换
适用领域范围
电工学,信号处理
外文名
Fourier Transform
傅里叶变换简介
Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。* 傅里叶变换属于谐波分析。* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;*卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). [1] 
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  • 傅里叶变换 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么...

    傅里叶变换

    傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

     

    一、什么是频域

    从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。

    先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:

    在你的理解中,一段音乐是什么呢?

    这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:


    好的!下课,同学们再见。

    是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。

    现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。

    将以上两图简化:

    时域:


    频域:

    在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。

    所以

    你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

    抱歉,这不是一句鸡汤文,而是黑板上确凿的公式:傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。

    而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

     

    二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

    还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

    如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

    第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos(x)

    第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

    第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

    第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

    随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?

    (只要努力,弯的都能掰直!)

    随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。(上帝:我能让你们猜着我?)

    不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

    还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

    在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。

    这里,不同频率的正弦波我们称为频率分量。

    好了,关键的地方来了!!

    如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

    对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。

    (好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)

    时域的基本单元就是“1 秒”,如果我们将一个角频率为\omega_{0}的正弦波 cos(\omega_{0}t)看作基础,那么频域的基本单元就是\omega_{0}

    有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0 频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

    接下来,让我们回到初中,回忆一下老师是怎么定义正弦波的吧。

    正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

    想看动图的同学请戳这里:

    File:Fourier series square wave circles animation.gif

    File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

    以及这里:

    File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

    介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:


    这是什么奇怪的东西?

    这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是——

    再清楚一点:

    可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。

    File:Fourier series and transform.gif

    动图请戳:

    File:Fourier series and transform.gif

    老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

    但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的,当时想想似懂非懂,直到有一天我学到了傅里叶级数……

    三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

    上一章的关键词是:从侧面看。这一章的关键词是:从下面看

    在这一章最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?这段相对比较枯燥,已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

    先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事:

    先在纸上画一个sin(x),不一定标准,意思差不多就行。不是很难吧。

    好,接下去画一个sin(3x)+sin(5x)的图形。

    别说标准不标准了,曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧?

    好,画不出来不要紧,我把sin(3x)+sin(5x)的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把 sin(5x) 给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。

    但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。

    所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。

    再说一个更重要,但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。(这段有点难度,看不懂的可以直接跳过这段)微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法,大学数学瞬间变小学算术有没有。

    傅里叶分析当然还有其他更重要的用途,我们随着讲随着提。

    ————————————————————————————————————

    下面我们继续说相位谱:

    通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。

    鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。


    这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。

    在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。”

    注意到,相位谱中的相位除了0,就是Pi。因为cos(t+Pi)=-cos(t),所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi,pi],所以图中的相位差均为Pi。

    最后来一张大集合:

    四、傅里叶变换(Fourier Tranformation)

    相信通过前面三章,大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过,这个例子是一个公式错误,但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢?

    傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的(离散的)正弦波,但是宇宙似乎并不是周期的。是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢?抱歉,真没有。

    比如傅里叶级数,在时域是一个周期且连续的函数,而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴,实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。

    而在我们接下去要讲的傅里叶变换,则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。

    算了,还是上一张图方便大家理解吧:

    或者我们也可以换一个角度理解:傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

    所以说,钢琴谱其实并非一个连续的频谱,而是很多在时间上离散的频率,但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

    因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢?

    你见过大海么?

    为了方便大家对比,我们这次从另一个角度来看频谱,还是傅里叶级数中用到最多的那幅图,我们从频率较高的方向看。

    以上是离散谱,那么连续谱是什么样子呢?

    尽情的发挥你的想象,想象这些离散的正弦波离得越来越近,逐渐变得连续……

    直到变得像波涛起伏的大海:

    很抱歉,为了能让这些波浪更清晰的看到,我没有选用正确的计算参数,而是选择了一些让图片更美观的参数,不然这图看起来就像屎一样了。

    不过通过这样两幅图去比较,大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧?原来离散谱的叠加,变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

    不过,这个故事还没有讲完,接下去,我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片,但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续,这个工具就是——

     

    五、宇宙耍帅第一公式:欧拉公式

    虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意义是什么呢?


    这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3 的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1 的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

    我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

    同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。

    现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——


    这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。


    经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底,用这个公式来给妹子解释数学之美:”石榴姐你看,这个公式里既有自然底数e,自然数 1 和0,虚数i还有圆周率 pi,它是这么简洁,这么美丽啊!“但是姑娘们心里往往只有一句话:”臭屌丝……“

    这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:

    欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

    关于复数更深的理解,大家可以参考:

    复数的物理意义是什么?

    这里不需要讲的太复杂,足够让大家理解后面的内容就可以了。

     

    六、指数形式的傅里叶变换

    有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?

      光波

    高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:

    所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。

    但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

    这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:

    第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。

    另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:

    e^{it}=cos (t) +i.sin (t)
    e^{-it}=cos (t)-i.sin (t)

    将以上两式相加再除2,得到:

    这个式子可以怎么理解呢?

    我们刚才讲过,e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!

    举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。

    这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。

    好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:

    想象一下再往下翻:

    是不是很漂亮?

    你猜猜,这个图形在时域是什么样子?

    哈哈,是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

    顺便说一句,那个像大海螺一样的图,为了方便观看,我仅仅展示了其中正频率的部分,负频率的部分没有显示出来。

    如果你认真去看,海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的,每一条螺旋线都有着不同的振幅(旋转半径),频率(旋转周期)以及相位。而将所有螺旋线连成平面,就是这幅海螺图了。

    好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:

     

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    qq_33083519 2021-03-18 08:56:58
  • 作者丨咚懂咚懂咚@知乎(已授权)来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818转载丨极市平台导读想要正确的认识小波变换就必须先了解傅里叶变换,本文作...
    
    

    作者丨咚懂咚懂咚@知乎(已授权)

    来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

    转载丨极市平台

    导读

     

    想要正确的认识小波变换就必须先了解傅里叶变换,本文作者按照傅里叶-短时傅里叶变换-小波变换的顺序,由浅到深的解释小波变换的缘由以及思路。帮助初学者们深入理解傅里叶变换和小波变换。

    从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。

    下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。(反正题主要求的是通俗形象,没说简短,希望不会太长不看。。)

    一、傅里叶变换

    关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。(在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换)

    下面我们主要讲傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案就是@方沁园所说的“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:

    做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

    做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。

    然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform, STFT)

    一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了,“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

    看图:

    时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!

    用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”

    图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。

    是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

    使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?

    窗太宽太窄都有问题:

    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。

    (这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)

    看看实例效果吧:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”

    上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

    所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

    三、小波变换

    那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。

    但事实上小波并不是这么做的(关于这一点,方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)
    至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

    于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~

    【解释】

    来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。

    傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实本质并非平移,而是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

    仔细体会可以发现,这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。

    看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。

    如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~

    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩平移量 τ控制小波函数的平移尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间

    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分

    看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!

    做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱

    ↑:时域信号

    ↑:傅里叶变换结果

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
    ↑:小波变换结果

    小波还有一些好处,比如,我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:

    然而衰减的小波就不一样了:

    以上,就是小波的意义。

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

    以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。
    在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:
    1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:Ihttp://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html)
    2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES
    3. A Really Friendly Guide to Wavelets
    4. Conceptual wavelets

    但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~

    ------

    一些问题的回答:

    1. 关于海森堡不确定性原理

    不确定性原理,或者叫测不准原理,最早出自量子力学,意为在微观世界,粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学,有很多物理量都有这样的特征,比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是:一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中;一个函数时域越“窄”,它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。

    如果有兴趣深入研究一下的话,这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连,比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述,最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗?

    2. 关于正交化

    什么是正交化?为什么说小波能实现正交化是优势?

    简单说,如果采用正交基,变换域系数会没有冗余信息,变换前后的信号能量相等,等于是用最少的数据表达最大的信息量,利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。

    比如典型的正交基:二维笛卡尔坐标系的(1,0)、(0,1),用它们表达一个信号显然非常高效,计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达,则会有信息冗余,有重复表达。

    但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强,有时候反而希望能有一些冗余信息,更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。

    3. 关于瞬时频率

    原问题:图中时刻点对应一频率值,一个时刻点只有一个信号值,又怎么能得到他的频率呢?

    很好的问题。如文中所说,绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值,当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率,所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率,思想也类似。(不过到了Hilbert变换,思路就不一样了,以后有机会细讲)

    4. 关于小波变换的不足

    这要看和谁比了。

    A.作为图像处理方法,和多尺度几何分析方法(超小波)比:
    对于图像这种二维信号的话,二维小波变换只能沿2个方向进行,对图像中点的信息表达还可以,但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线,这时候ridgelet(脊波), curvelet(曲波)等多尺度几何分析方法就更有优势了。

    B. 作为时频分析方法,和希尔伯特-黄变换(HHT)比:
    相比于HHT等时频分析方法,小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚,某种尺度下,不能在时间和频率上同时具有很高的精度;以及小波是非适应性的,基函数选定了就不改了。

    5. 关于文中表述的严谨性

    评论中有不少朋友提到,我的一些表述不够精准。这是肯定的,并且我也是知道的。比如傅里叶变换的理解部分,我所说的那种“乘出一个大的值”的表述肯定是不够严谨的。具体我也在评论的回答中做了解释。我想说的是通俗易懂和精确严谨实在难以兼得,如果要追求严谨,最好的就是教科书上的数学表达,它们无懈可击,但是对于初学者来说,恐怕存在门槛。如果要通俗解释,必然只能侧重一个关键点,而出现漏洞。我想这也是教科书从来不把这些通俗解释写出来的原因吧——作者们不是不懂,而是怕写错。所以想深入理解傅里叶变换和小波变换的朋友还请认真学习教材,如果这篇文章能给一些初学者一点点帮助,我就心满意足了。

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    algorithmPro 2021-01-21 11:40:00
  • 这篇文章介绍了首先介绍点的概念,从简单的点到复杂的点然后再从点到函数,接着引出傅里叶变换,介绍了它的优缺点,根据缺点提出改进的措施。

    这篇文章首先介绍点的概念,从简单的点到复杂的点,讲解如何用表示这些点。然后再从复杂的点到函数,引出傅里叶分析,并介绍了傅里叶变换的优缺点,根据其缺点提出改进措施。

    一、点的概念

    1.1 一个简单的点

    点在一个直线上可以表示为一个数,在二维平面上可以表示为 x + j y = α e j φ x + jy = \alpha {e^{j\varphi }} x+jy=αejφ。在实数的n维空间中,可以表示为 [ x 1 , x 2 , … , x n ] T {[{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}]^T} [x1,x2,,xn]T。当有很多点的时候,用上述方式就不太可行了。我们希望用少量的资源,表示出所有的点。那么,如何做呢?

    1.2 基

    大家应该都听过这个名字。那为什么要有基的概念呢?

    基:就是用更少的资源,表示全部。
    平凡基(一般坐标系): p 1 = [ 1 , 0 , … , 0 ] T , p 2 = [ 0 , 1 , … , 0 ] T , ⋯   , p n = [ 0 , 0 , … , 1 ] T p_{1}=[1,0, \ldots, 0]^{T},p_{2}=[0,1, \ldots, 0]^{T}, \cdots, p_{n}=[0,0, \ldots, 1]^{T} p1=[1,0,,0]T,p2=[0,1,,0]T,,pn=[0,0,,1]T 空间中任意点,都可以用这个坐标表示。

    举个栗子,现有一点的坐标是 [ 1 , 2 , 3 ] T [1,2,3]^{T} [1,2,3]T,这个就是又上面 n = 3 n=3 n=3的平凡基构成的。如果,我想要用更少的资源去表示这个点,我只需要将平凡基换成 p 1 = 1 14 [ 1 , 2 , 3 ] T , p 2 = 1 5 [ − 2 , 1 , 0 ] T , p 3 = 1 47 [ 3 , 6 , − 5 ] T p_{1}=\frac{1}{\sqrt{14}}[1,2,3]^{T}, \quad p_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[-2,1,0]^{T}, \quad p_{3}=\frac{1}{\sqrt{47}}[3,6,-5]^{T} p1=14 1[1,2,3]T,p2=5 1[2,1,0]T,p3=47 1[3,6,5]T(其中 p 1 , p 2 , p 3 p_{1},p_{2},p_{3} p1,p2,p3是正交的,改变的基不唯一哦)。因此,在这个新基下,同一空间中的点可以表示为 [ 14 , 0 , 0 ] T [\sqrt{14},0,0]^{T} [14 ,0,0]T。这样,我们就将3个数表示的点变成了1个数。看下图,可以更加直观的感受。
    红色是修改后的基
    (蓝色是平凡基,红色是修改后的基)

    1.3 函数

    这里给出另一个角度来理解函数。将上面介绍的有限维的点 p ( x 1 , x 2 , … , x n ) p(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) p(x1,x2,,xn)左右延伸,变成 p ( … , x − 1 , x 0 , x 1 , … ) p(\ldots,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots) p(,x1,x0,x1,)无限维,这时无数点联合起来就变成了一个函数。函数又分为周期函数和非周期函数。

    二、傅里叶分析

    从函数的角度出发,如何用上面谈到的基来表示任意复杂函数呢?Fourier在1807年提出傅里叶级数。 f ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ α k e i k t f(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_{k} e^{i k t} f(t)=k=+αkeikt,只有确定系数 α k {\alpha _k} αk,该函数就可以表达出来了。
    意义:
    1)不同函数的差异就体现在系数 α k {\alpha _k} αk上。
    2)对不同特点的函数的分析,可以选择不同的基。
    缺点:
    对于随着时间变换的非平稳信号,它没法区分频谱。只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。
    解决办法:
    所以,这里提出两种解决办法。①加入局部参数,比如加窗。②换基。
    关于傅里叶级数和傅里叶变换的具体公式推导总结,见https://blog.csdn.net/weixin_46017950/article/details/114691667。

    三、短时傅里叶变换STFT

    方法一:加窗。
    STFT在傅里叶变换的基础上加窗,分段做FFT变换,假定认为信号在窗宽度的时间内是平稳的。但是,窗宽度太窄,信号太短信息少,频率分析不准确,频率分辨率差;窗太宽时间分辨率差。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。(高频,顾名思义就是信号变化很快,所以,在时域中,需要小窗口,时间分辨率高。)然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。不采用可变窗的STFT,是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

    四、小波变换

    方法二:换基。
    何为小波呢?“小”是指衰减性,比如有些小波基只有局部是非零,这也称为紧支性。“波”是指波动性。
    小波变换直接把傅里叶变换的基给换了——将
    无限长的三角函数基
    换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间,获取时频分析。目标:时间分辨率和频率分辨率可以随着本身信号特变进行自适应调整。这里的“自适应”是很难的。
    W T ( a , b ) = 1 a ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ∗ ψ ( t − b a ) d t W T(a, b)=\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) * \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) d t WT(a,b)=a 1f(t)ψ(atb)dt
    小波还有一些好处,比如,我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用有限长的频率信号是怎么也拟合不好突变信号的。

    JPEG2000压缩就是用正交小波变换。比如典型的正交基:二维笛卡尔坐标系的(1,0)、(0,1),用它们表达一个信号显然非常高效,计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达,则会有信息冗余,有重复表达。但是并不意味着正交一定优于不正交。比如,如果是做图像增强,有时候反而希望能有一些冗余信息,更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。

    4.1 小波变换的应用

    1、数据压缩。目前许多应用领域(如卫星监测、地震勘探、天气预报)都存在海量数据传输或存储问题,如果不对数据进行压缩,数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此,伴随小波分析的诞生,数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一,并由此带来巨大的经济效益和社会效益。
    2、语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括:清/浊音分割;基音检测与声门开启时刻定位;去噪、压缩、重建几个方面。
    3、瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息,例如,机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等,都对应于测试信号的突变点。因此,小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。
    4、神经网络与小波分析相结合,分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术,模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究,没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析,也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。

    下一篇文章写一写小波变换在图像方面的分析与应用(Matlab代码)。

    展开全文
    weixin_46017950 2021-03-08 12:01:56
  • 傅里叶级数是周期信号的时域表达式,而傅里叶变换是非周期信号或周期信号的频谱(频域函数),要想了解它们之间的关系,需要你耐心看完下面内容。学过"信号与系统"等课程的人往往会被许多问题所困惑,如:(1)周期信号...

    傅里叶级数是周期信号的时域表达式,而傅里叶变换是非周期信号或周期信号的频谱(频域函数),要想了解它们之间的关系,需要你耐心看完下面内容。

    学过"信号与系统"等课程的人往往会被许多问题所困惑,如:

    (1)周期信号傅里叶级数表示什么内容?

    (2)信号的频谱表示什么?

    (3)通过信号的频谱我们能知道什么?

    (4)信号的时域和频域的关系是什么?

    (5)傅里叶级数、傅里叶系数、傅里叶变换的关系是什么?

    (6)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数物理意义是什么?

    (7)周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数与非周期信号傅里叶变换的关系是什么?

    (8)非周期信号的傅里叶变换到底是什么意思?

    (9)傅里叶变换的物理意义是什么?

    (10)复数形式的傅里叶变换的物理意义?

    (11)为什么周期信号的傅里叶变换在相应频率处出现冲激函数?

    (12)为什么正弦(或余弦)信号的傅里叶变换是冲激函数?

    上述问题尽管看上去有些零碎,其实它们是有联系的,下面,我从头到尾把这些问题串起来,内容可能比较多,如果你想知道结果,则需要你耐心阅读,并希望下面的内容能对你有所帮助,更详细的内容和应用还请参见我写的《信号与系统分析和应用》一书,本书在高等教育出版社出版发行。

    如果你手里有《信号与系统分析和应用》教材,请你关注“信号与系统分析”微信公众号,那里面列出书中发现的问题。

    要知道傅里叶变换把时域信号变换为频域函数(频谱),首先需要知道信号的频谱是什么。我在教学的时候,规定时域是“信号”,频域是“函数”。

    注意,下面我站在求解“频谱”的角度来说问题!

    一、周期信号及其频谱

    1、先从周期信号说起

    周期信号的频谱表示了这个周期信号含有的所有不同频率余弦信号的频率、幅度和初相位这三个“参数”,每个余弦的这“三个参数”表征了这个余弦的全部信息,信号的频谱是用原周期信号含有的所有各个频率余弦信号的“三参数”来表征原时域信号的组成成分和分量(傅里叶级数是在时域用余弦信号的形式来表征周期信号的组成。注意:傅里叶级数是时域的,它的自变量是时间t)。

    我们不能总是喋喋不休地只讨论一个复杂的时间信号是由哪些基本信号合成的,而我们真正要关心的是这个复杂信号的“组成成分”和这些“成分的分量”。我非常赞赏网友用的“配方”这个词,它一针见血地指出了一个混合物(相当于时域信号)和它的组成成分及其分量(频谱---信号配方)。可以看到,周期信号的“配方”就是组成这个周期信号的各个频率的余弦的“频率”、“幅度”和“初相位”这“三个参数”。

    如一副中药相当于原时域信号,而它的“药单”相当于其“频谱”。

    一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你从下面图中看不出组成它的各成分的分量。一副混合好的中药(相当于一个复杂信号),你看不出组成它的各成分的分量

    要想知道它的组成成分和分量,你一定要拿到它的药单。

    药单上列出了一副中药的组成成分和各味药的“分量”。对应我们讨论的信号来说,药名相当于“余弦信号的频率”,重量相当于“余弦信号的幅度”。可以看到,这个药单图只有“各个味药”和它的重量,这个药单其实相当于“信号的幅度谱”。我们也可以把各味药的产地标上(也可以理解为余弦信号的初相位)。反过来,我们按着“药单”去抓药就能构成一副中药。

    2、傅里叶积分公式(对非周期信号来说就是它的傅里叶变换)的伟大之处在哪里?

    在这里为什么我要说“傅里叶积分公式”而不说“傅里叶变换”?因为,求周期信号的频谱是用傅里叶积分公式,而求非周期信号的频谱的公式我们通常称其为“傅里叶变换”,其实,傅里叶变换也是傅里叶积分公式。

    傅里叶积分公式的伟大之处在于:利用信号的“正交性”,通过积分公式能求出原信号的“配方”或者说求出组成原信号所有不同频率余弦(或正弦)信号的“三参数”,也就是我们在信号与系统课程中讲到“频谱”。

    傅里叶积分公式要完成两个任务:第一个是利用信号的“正交性”,从一个“混合物”(一个复杂信号)中分离出其中的一个成分(某个频率的余弦),另一个是它像一杆秤似的称出被分离出来的那个成分的“分量”(余弦的幅度和初相位)。我们不但要知道一个混合物的“成分”,还要知道其中某个成分的“分量”。所以,傅里叶积分公式兼有“成分分离器”和“秤”的双重作用。

    下面就让我们去看看如何从复杂信号中分离出一个余弦,然后怎样求出被分离出来的这个余弦的幅度和初相位(这是一个真正伟大的工作)。

    3、周期信号的表示以及它的频谱的求解

    我们先看看一个周期信号的时域表示(傅里叶级数),然后就让我们去见证一个伟大的傅里叶积分公式,它是如何求出这个周期信号的“配方”(频谱),也就是用傅里叶积分公式如何从周期信号中分离出一个余弦以及怎样求出这个余弦的幅度和初相位的(这是一个真正伟大的工作)。

    (1)周期信号三角函数形式的傅里叶级数

    为了尽快完成下面内容,下面我把我写的《信号与系统分析和应用》书上内容直接复制过来,更详细内容还请参见这本书。

    请注意:为什么我把周期信号三角函数形式的傅里叶级数写成下面的形式,而不是公式(4.2-8)的形式?因为只有这样才能充分理解信号频谱以及频谱的作用、傅里叶系数、非周期确知信号的傅里叶变换的物理意义,才能充分理解我写的下面的内容。

    特别要注意:所谓的傅里叶级数是在时域用不同频率的余弦信号或正弦信号来表示原周期信号的组成。

    由公式(4.2.2)可知:

    这样就能计算出一个周期信号的频谱了(“配方”或“药单”)。我们将所有“三参数”按频率的位置表示出来就是原周期信号的“频谱”了,因此,下面的周期信号的傅里叶级数公式才是与“频谱”对应的周期信号三角函数形式的傅里叶级数。

    用上面公式表示周期信号三角函数形式的傅里叶级数才能更好地理解信号的“频谱”到底表示了什么?以及后面我要说的非周期信号傅里叶变换的“物理意义”是什么,才能更好理解信号频域分析的目的。那么,公式(4.2-8)可以看做求解信号频谱的中间环节,当然,它也是三角函数形式的傅里叶级数,只是用它不利于理解信号频谱表示的内容(也有特殊情况)。

    可以说,公式(4.2-10)以及(4.2-11)是“最伟大的积分公式”之一。这两个公式为什么能计算出an和bn?我们需要讨论信号的正交性问题。

    下面把《信号与系统分析和应用》书上内容复制过来。

    注意:上面积分区间一定在是整倍周期期间才成立。

    这样,下面的积分公式的物理意义就很清楚了:

    想必大家已经领略到了数学的伟大魔力了吧。

    4、周期信号组成成分的表示---信号频谱

    可以看到,频谱图(a)和(b)表示了组成原周期信号的所有不同频率余弦信号的“频率”(横坐标)、“幅度”以及“初相位”这三个参数,这与公式(4.2.2)是对应的,这就是为什么我将周期信号傅里叶级数写成公式(4.2.2)的根本原因。

    信号频谱的作用就是用图形(频谱图)或公式(向量形式)来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” (幅度、初相和频率或角频率),也就是说,频谱是用“参数”的形式表示原信号的组成成分,我们不但要知道信号的组成成分还要知道这些成分的份额,这就是大家说到的“原信号的配方”。从频谱图上,我们就能看到原周期信号含有的所有频率的余弦(或正弦)信号的幅度和相位的大小,也就知道了周期信号含有的所有频率成分以及这些频率成分对原信号的贡献大小。上面图(c)是将图(a)和(b)合成一个图(合成的原则请参见《信号与系统分析和应用》书)。

    周期信号的傅里叶级数是在时域用不同频率的余弦信号或正弦信号来表示原周期信号的组成,而周期信号的频谱是用“参数”的形式表示这个周期信号的组成成分。

    5、周期信号复指数形式的傅里叶级数与信号频谱

    周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn是用复数的形式表示每个余弦信号的幅度和初相位信息(包含余弦信号的两个参数)。

    一定注意:傅里叶系数Xn的积分公式其实还是求an和bn(系数为0.5),只是用一个积分公式的实部和虚部一起求出的,它还是利用“正交性”,傅里叶系数Xn就是复数形式的原周期信号的“频谱”(“药单”或“配方”)。

    特别强调一下:将傅里叶系数Xn的虚部看成是余弦信号的初相是不对的,它的虚部0.5bn是“正弦分量”的幅度信息,不是余弦信号的初相位,而余弦信号的初相是公式(4.4-17),下面讨论非周期信号傅里叶变换也是这个问题,即绝对可积非周期信号的傅里叶变换是一个复函数,它的虚部也不是任意角频率w的余弦信号的初相位。

    二、非周期信号的傅里叶变换

    非周期信号的傅里叶变换是从周期信号复指数形式傅里叶级数中的傅里叶系数Xn推导来的(注意:不是从傅里叶级数推导来的!),所以,非周期信号的傅里叶变换就是非周期信号的“频谱”。

    绝对可积信号的傅里叶变换是自变量为频率或角频率的复函数,它含有原时域信号含有的所有频率余弦信号的“三参数”信息(频率信息是由傅里叶变换的自变量来表征的),它是一个复函数(他跟周期信号傅里叶级数中的傅里叶系数Xn的物理意义相似),它的实部表示原信号含有的任意角频率w余弦信号的同相分量(余弦分量)的幅度信息,其虚部表示信号含有的任意角频率w余弦信号的正交分量(正弦分量)的幅度信息。但是,绝对可积非周期信号含有的每个余弦信号的幅度都趋于无穷小,非周期信号的傅里叶变换中的幅度谱是每个余弦信号无穷小的幅度乘上一个无穷大的周期。如果一个非周期信号是确知信号,则它的傅里叶变换就是一个自变量为频率或角频率的确知相量函数(所以,不能把它叫做信号),这说明,这个原确知时间信号含有的所有频率余弦信号的幅度和初相不是孤立的,他们满足一定关系,这个关系就是以自变量为频率或角频率的“频域函数”。更多内容请参看我写的《信号与系统分析和应用》书上第4章和第5章内容。

    下面举个信号的例子:

    上面是信号傅里叶变换是复函数的物理意义。下面看看因果稳定系统的频率响应的物理意义。

    因果稳定系统的频率响应是此系统单位冲激响应的傅里叶变换,由于此系统是因果稳定系统,则其频率响应也是复函数。

    可以看到,信号的傅里叶变换与系统单位冲激响应的傅里叶变换即使都是复函数,但是,它们的物理意义是不同的。

    三、周期信号的傅里叶变换以及冲激函数的作用

    除了上述对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱以及对系统单位冲激响应进行傅里叶变换而得到系统频率响应,这些“傅里叶变换”都有其物理意义,人们还发现时域信号经过傅里叶变换后在变换域内其频域函数之间的运算比时域简单,人们借助于频域运算可以简化时域里的运算。最后,简单总结一下傅里叶变换:

    (1)对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱;

    (2)对系统单位冲激响应进行傅里叶变换得到系统频率响应;

    (3)经过傅里叶变换后能使运算简单;

    如果你手里有《信号与系统分析和应用》教材,请你关注“信号与系统分析”微信公众号,那里面列出书中发现的问题。

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空空如也

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傅立叶变换