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  • 傅里叶级数
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    2019-05-21 16:00:30

    UTF8gbsn

    Introduction

    首先我们来看看傅里叶级数在做一个什么样的事情。针对的对象是什么,目的是什么。

    • 傅里叶级数针对的对象有两个。(其中,关于收敛性质的一些条件限制,本文暂不
      讨论,主要是为了简单问题。让读者有一个更为清晰的骨架认识。细节部分就像是皮肉,
      可以让知识更加丰满。还需要读者去阅读更为详细的材料。但是有了骨架我相信阅读起
      来就会更为简单和顺畅。)

      • 周期函数,比如 s i n ( 2 x ) + c o s ( 3 x ) sin(2x)+cos(3x) sin(2x)+cos(3x)

      • 非周期函数,但是定义在某个区间上。比如 f ( x ) = { x 2 , 0 ⩽ x ⩽ 2 0 , f(x)=\left\{ \begin{aligned} &x^2, 0 \leqslant x \leqslant 2\\ &0, \end{aligned} \right. f(x)={x2,0x20,

        对于这样的函数,我们可以做周期延拓,让他成为一个周期函数。

      在这里插入图片描述

      而且,我们可以进行周期扩展把任何周期函数的周期变换为 2 π 2\pi 2π,只需要加一个缩
      放因子就好了。所以后面我们讨论的范围只针对周期为 2 π 2\pi 2π,的函数也不会失去一
      般性.

    • 我们再来看傅里叶级数的目的。傅里叶级数的目的是将目标函数 f ( x ) f(x) f(x)展开为一个,
      正弦和余弦的函数的级数。也就是
      f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( n x ) + b n s i n ( n x ) ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) f(x)=2a0+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))
      其中, a n , b n a_n,b_n an,bn是什么东西?
      a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x , ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(nx)dx},(n=0,1,2,...) an=π1ππf(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...)

      b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x ) d x , ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(nx)dx},(n=0,1,2,...) bn=π1ππf(x)sin(nx)dx,(n=0,1,2,...)

      暂时看不明白这个式子不要紧。我们会慢慢展开,从一个比较直观的角度来理解这个级
      数的意义。

    Time and Frequency

    时间和频率的关系和变换是理解傅里叶级数的关键。如果读者忽略了时间和频率的转换关
    系。那么读者将不会真正理解傅里叶级数,进而影响到以后会谈到的傅里叶变换。让我们
    来仔细看看,傅里叶级数在干一件什么事情。

    1. 傅里叶级数的目标函数是定义在时间域上的。也就是说,傅里叶级数的目标函数
      是时变的 f ( t ) f(t) f(t).

    2. 傅里叶级数的生成级数是不同频域信号在时域上的叠加。我们后面会看到是怎么回
      事。

    让我们具体看看一看傅里叶级数的主题是什么。

    • 有人提出一种展开方式(傅里叶级数),可以展开呢定义在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (,)上周期为 2 π 2\pi 2π
      函数 f ( x ) f(x) f(x)

    • 然后有人又证明了这个展开式(傅里叶级数),在有些条件下收敛,且收敛于 f ( x ) f(x) f(x)

    通过这两点,我们就把一个时间域的信号。用多个不同频率的信号叠加生成了。

    From Bottom Up

    我们来看看自低想上来分析傅里叶级数,的物理意义。

    Orthodox Sin and Cos

    首先我们来理解一个非常重要的概念叫做正交三角函数

    ∫ − π π c o s ( n x ) d x , ( n = , 1 , 2 , 3 , . . . ) ∫ − π π s i n ( n x ) d x , ( n = , 1 , 2 , 3 , . . . ) ∫ − π π c o s ( k x ) s i n ( n x ) d x , ( n , k = , 1 , 2 , 3 , . . . ) ∫ − π π c o s ( k x ) c o s ( n x ) d x , ( n , k = , 1 , 2 , 3 , . . . ) ∫ − π π s i n ( k x ) s i n ( n x ) d x , ( n , k = , 1 , 2 , 3 , . . . ) \left. \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)dx},(n=,1,2,3,...)\\ & \int_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)dx},(n=,1,2,3,...)\\ & \int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)sin(nx)dx},(n,k=,1,2,3,...)\\ & \int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)cos(nx)dx},(n,k=,1,2,3,...)\\ & \int_{-\pi}^{\pi}{sin(kx)sin(nx)dx},(n,k=,1,2,3,...)\\ \end{aligned} \right. ππcos(nx)dx,(n=,1,2,3,...)ππsin(nx)dx,(n=,1,2,3,...)ππcos(kx)sin(nx)dx,(n,k=,1,2,3,...)ππcos(kx)cos(nx)dx,(n,k=,1,2,3,...)ππsin(kx)sin(nx)dx,(n,k=,1,2,3,...)

    也就是说

    1 , c o s ( x ) , s i n ( x ) , c o s ( 2 x ) , s i n ( 2 x ) , ⋯ 1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),\cdots 1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),

    之间互相正交。他们两两之间的乘积的积分在 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (π,π)上是0。

    Time Function Map

    我们来看看时域的函数, f ( t ) f(t) f(t)的展开式,注意我们现在只是定义了一个这样的展开式。但
    是并未去证明它的收敛性质。我们把符号 = = =换成一个符号 ↦ \mapsto 。这个展开式就是傅
    里叶级数,但是我们并没有去证明它收敛和相等。我们暂时只是把收敛定理写在这里,不
    做证明。如果需要请参考相应的资料。或者后面另写专题来证明傅里叶级数的收敛性证明

    **定理:**设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,如果它满足

    • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。

    • 在一个周期内至多只有有限个极值点

    f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数收敛,并且当 x x x是连续点是,收敛于 f ( x ) f(x) f(x),而当x是间断点时,收
    敛于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] \frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})] 21[f(x)+f(x+)]

    当然这个定理,可以把它当做既定事实。我们就可以接下来看傅里叶级数的具体计算。

    f ( t ) ↦ A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n ω t + φ n ) f(t)\mapsto A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_nsin(n\omega t+\varphi_n) f(t)A0+n=1Ansin(nωt+φn)

    根据

    A n s i n ( n ω t + φ n ) = A n s i n ( φ n ) c o s ( n ω t ) + A n c o s ( φ n ) s i n ( n ω t ) A_nsin(n\omega t + \varphi_n)=A_nsin(\varphi_n)cos(n\omega t)+A_ncos(\varphi_n)sin(n\omega t) Ansin(nωt+φn)=Ansin(φn)cos(nωt)+Ancos(φn)sin(nωt)

    然后我们令

    { a 0 2 = A 0 a n = A n s i n ( φ n ) b n = A n c o s ( φ n ) ω = π l , ( T = 2 l ) \left\{ \begin{aligned} \frac{a_0}{2}=& A_0\\ a_n= &A_nsin(\varphi_n)\\ b_n= &A_ncos(\varphi_n)\\ \omega =& \frac{\pi}{l},(T=2l) \end{aligned} \right. 2a0=an=bn=ω=A0Ansin(φn)Ancos(φn)lπ,(T=2l)

    那么

    f ( t ) ↦ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n π t l ) + b n s i n ( n π t l ) ] f(t)\mapsto \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(\frac{n\pi t}{l})+b_nsin(\frac{n\pi t}{l})] f(t)2a0+n=1[ancos(lnπt)+bnsin(lnπt)]

    我们实际上把周期为 2 l 2l 2l的映射变换为了周期为 2 π 2\pi 2π的映射.我们再让
    x = t π l x=\frac{t\pi}{l} x=ltπ可得

    f ( t ) ↦ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s i n ( n x ) ] f(t)\mapsto \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(n x)+b_nsin(n x)] f(t)2a0+n=1[ancos(nx)+bnsin(nx)]
    我们来看看变换的具体变量.

    • 原函数为 f ( t ) f(t) f(t),是定义在 − l , l -l,l l,l上的周期函数,也就是说 l ∈ ( − l , l ) l\in (-l, l) l(l,l).

    • 我们来看看我们映射后的变量是 x ∈ ( − π , π ) x \in (-\pi, \pi) x(π,π),其实这还是一个时域的变量。

    • 那么问题来了,那频域去哪里了。那么我们来看一个具体的例子来。比如函数
      f ( t ) = 3 + 3 s i n ( t ) + 5 s i n ( 2 t ) + 6 c o s ( 3 t ) f(t)=3+3sin(t)+5sin(2t)+6cos(3t) f(t)=3+3sin(t)+5sin(2t)+6cos(3t).禁果傅里叶变换后,为
      f ( t ) = 3 + 3 s i n ( t ) + 5 s i n ( 2 t ) + 6 c o s ( 3 t ) f(t)=3+3sin(t)+5sin(2t)+6cos(3t) f(t)=3+3sin(t)+5sin(2t)+6cos(3t)
      (感谢rrii指出的错误.)
      也就是说,这个函数被变换到了由3个不同频域的函数叠加而成。这里我们使用的本来就是一个由正弦余弦构成的函数.自然很容易看出频域成分.但是如果时一个更为复杂的函数,就没那么容易了.但是你可以使用傅里叶变换,它能够帮你分析出里面的频域成分.这也是傅里叶变换重要的作用
      T = 2 π , T = π , T = 2 π 3 T=2\pi,T=\pi,T=\frac{2\pi}{3} T=2π,T=π,T=32π

    • 换言之,这三个频率的函数组合起来,
      就原来的函数 f ( t ) f(t) f(t)。下面的频域函数和
      f ( t ) f(t) f(t)是等价关系,也就是通过一个函数可以计算另一个函数。
      在这里插入图片描述

    这里还要着重强调的一点事,傅里叶级数展开的频率是一定的。也就是说分别展开为周期

    2 π 1 , 2 π 2 , 2 π 3 , . . . , 2 π n , ( n = , 1 , 2 , 3 , . . . . ) \frac{2\pi}{1},\frac{2\pi}{2},\frac{2\pi}{3},...,\frac{2\pi}{n}, (n=,1,2,3,....) 12π,22π,32π,...,n2π,(n=,1,2,3,....)

    注意傅里叶级数是没有频率,比如 3 π 2 \frac{3\pi}{2} 23π的频率成分的。只有上面提到的评率
    成分。而和傅里叶变换不同的地方正式在这里。傅里叶变换的频率成分是连续的。不是如
    上面的式子显示的那样是离散的。

    Get parameters

    让我们来看看如何求 a 0 , a k , b k a_0,a_k,b_k a0,ak,bk

    ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∑ k = 1 ∞ [ a k ∫ − π π c o s ( k x ) d x + b k ∫ − π π s i n ( k x ) d x ] \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{a_0}{2}dx}+\sum_{k=1}^{\infty}[a_k \int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)dx}+b_k \int_{-\pi}^{\pi}{sin(kx)dx}] ππf(x)dx=ππ2a0dx+k=1[akππcos(kx)dx+bkππsin(kx)dx]

    回想一下正交正弦余弦的定义。我们可以得出等式为

    ∫ − π π f ( x ) d x = a 0 2 ⋅ 2 π ⇒ a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi\Rightarrow a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx} ππf(x)dx=2a02πa0=π1ππf(x)dx

    再来看等式

    ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(nx)dx} ππf(x)cos(nx)dx

    a 0 2 ∫ − π π c o s ( n x ) d x + ∑ k = 1 ∞ [ a k ∫ − π π c o s ( k x ) c o s ( n x ) d x + b k ∫ − π π s i n ( k x ) c o s ( n x ) d x ] \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)dx}+\sum_{k=1}^{\infty}[a_k \int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)cos(nx)dx}+b_k \int_{-\pi}^{\pi}{sin(kx)cos(nx)dx}] 2a0ππcos(nx)dx+k=1[akππcos(kx)cos(nx)dx+bkππsin(kx)cos(nx)dx]

    根据正交的性质,我们可以得到(正交的概念一定要理解清楚,这是计算 a n , b n , a 0 a_n,b_n,a_0 an,bn,a0
    的关键

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(nx)dx} an=π1ππf(x)cos(nx)dx
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x ) d x b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(nx)dx} bn=π1ππf(x)sin(nx)dx

    于是我们能求出所有的傅里叶级数

    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( n x ) + b n s i n ( n x ) ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) f(x)=2a0+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))

    The End

    傅里叶级数,就是把一个周期的时域信号,分解为,不同频率的信号的叠加。注意这些频率
    不是连续的而是离散的。因为 n = 1 , 2 , 3 , . . . n=1,2,3,... n=1,2,3,....这个和傅里叶变换最关键的不同之处。后面我
    们会来谈谈傅里叶变换。傅里叶变换的理解,可以从傅里叶级数中来找到灵感了思路。

    我们要强调一点:傅里叶级数的收敛性质我们没有证明,这不影响工程上应用傅
    里叶级数。我们只是陈述一点,也就是只要满足一定条件的周期函数。就可以展开为傅里叶
    级数。而系数的计算则是上一节给出来的。

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    前言

    这是一个系列笔记,在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换,傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式,而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式,这篇文章是第二篇。


    一、傅立叶级数的由来

    数学家们猜测一些周期函数可以写成三角函数的和,即像图中表示的那样(黑色斜线:周期为2Π的函数;红色曲线:各个三角函数的和)。
    在这里插入图片描述
    而傅里叶则猜测任意周期函数都可以写成三角函数的和。

    二、傅立叶级数公式

    在这里插入图片描述
    分析公式(即为什么周期函数可以写成三角函数的和呢?):
    1、常数项C,用来调整整体位置。
    2、因为任意函数都可以分解为奇函数和偶函数之和,所以正弦、余弦函数是组成任意函数的基础,他们之间经过合理的加减组合,可以成为任意函数,必须有!
    在这里插入图片描述
    3、调整振幅(振幅是正弦、余弦函数前边的系数),为了使其尽可能的逼近原函数。
    4、正弦、余弦函数内的系数是为了让他们周期为T,即所有三角函数的和组成的函数要与他们要逼近函数的周期相同。

    三、频域和时域

    有关于为什么要讲到频域和时域,是因为在后边详细推导傅立叶级数公式的时候会用到。

    在上一个笔记里,我们讲到了欧拉公式:
    传送门:傅立叶变换之(一)——欧拉公式
    在这里插入图片描述
    一看到这个,我们就应该想出来这么一幅图:
    在这里插入图片描述即欧拉公式代表的就是单位圆上的点。
    我们把欧拉公式的虚部(也就是纵坐标)记录下来,得到的就是正弦函数。(欧拉公式整体看成是我们熟知的a+bi就可以了,虚部不就是对应欧拉公式中的正弦函数吗?)
    在这里插入图片描述
    同理,我们把实部(也就是横坐标)记录下来,就是余弦函数的曲线。
    在这里插入图片描述
    这两种看待欧拉公式的角度,一个可以观察到旋转的频率,所以称之为频域;另一种可以看到流逝的时间,所以称之为时域
    在这里插入图片描述

    四、傅立叶级数公式的进一步求解

    4-1、抛砖引玉

    假设有函数:
    在这里插入图片描述
    根据上一点对频域和时域的讲解,这里我们把它转化到频域中去。
    由欧拉公式 e i t = cos ⁡ ( t ) + i sin ⁡ ( t ) {\rm e}^{it}=\cos(t)+i \sin(t) eit=cos(t)+isin(t)可以得到:
    e i t + e i 2 t = ( cos ⁡ ( t ) + cos ⁡ ( 2 t ) ) + i ( sin ⁡ ( t ) + sin ⁡ ( 2 t ) ) {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t}=(\cos(t)+\cos(2t))+i( \sin(t)+\sin(2t)) eit+ei2t=cos(t)+cos(2t)+isin(t)+sin(2t)
    即g(x)函数是 e i t + e i 2 t {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t} eit+ei2t 的虚部。
    在这里插入图片描述
    我们令:
    G ( t ) = e i t + e i 2 t G(t)= {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t} G(t)=eit+ei2t
    从线性代数的角度来说: G ( t ) G(t) G(t)是基 e i t {\rm e}^{it} eit e i 2 t {\rm e}^{i2t} ei2t的线性组合。
    注意:基是描述、刻画向量空间的基本工具。
    接下来看如何求正交向量(基)中其中一个向量前边的系数
    假设有:
    w ⃗ = 2 u ⃗ + 3 v ⃗ \vec{w} = 2\vec{u}+ 3\vec{v} w =2u +3v
    其中 u ⃗ = ( − 1 , 1 ) \vec{u}=(-1,1) u =(1,1), v ⃗ = ( 1 , 1 ) \vec{v}=(1,1) v =(1,1)
    因为他们是正交向量,所以:
    u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 u v =0
    结论一(只有正交基才使用)
    u ⃗ \vec{u} u 的系数a可以计算为:
    w ⃗ ⋅ u ⃗ u ⃗ ⋅ u ⃗ = 2 \frac{\vec{w} \cdot \vec{u}} {\vec{u} \cdot \vec{u}} = 2 u u w u =2
    同理:
    v ⃗ \vec{v} v 的系数b可以计算为:
    w ⃗ ⋅ v ⃗ v ⃗ ⋅ v ⃗ = 3 \frac{\vec{w} \cdot \vec{v}} {\vec{v} \cdot \vec{v}} = 3 v v w v =3
    反推:
    w ⃗ ⋅ u ⃗ = a ⋅ u ⃗ ⋅ u ⃗ \vec{w} \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} w u =au u
    ( 2 u ⃗ + 3 v ⃗ ) ⋅ u ⃗ = a ⋅ u ⃗ ⋅ u ⃗ (2\vec{u} +3\vec{v})\cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} (2u +3v )u =au u
    因为他们是正交向量,所以乘积为0,等式成立。

    os:先记住这个结论就好了,不要问那么多为什么,我是个数学渣渣能推到这已经很不容易了,先糊弄过去。

    结论二(函数向量点积的定义)

    os:同样的先记住这个结论。
    在这里插入图片描述

    4-2、傅立叶级数公式进化

    傅立叶级数公式可以写为:
    在这里插入图片描述
    也就是说f(x)的基为:
    在这里插入图片描述
    那么可以得到:
    在这里插入图片描述
    C也可以通过点积来表示:
    在这里插入图片描述


    参考文章:
    如何理解傅立叶级数公式?
    傅里叶系列(一)傅里叶级数的推导
    Cmd Markdown 公式指导手册

    总结

    马上就下班了,今天的摸鱼就到此结束吧。

    展开全文
  • 函数 e^(-x) 在区间 (0,2pi) 上的傅立叶级数 (FS)。 这个程序类似于Matlab Demo of Square wave from Sine wave。 它绘制了 e^(-x) 和前 40 项 FS 之间的误差。 由于近似值(忽略 41 到 inf 项)而出现此错误
  • 此应用程序允许用户定义分段函数,计算三角傅立叶级数展开的系数,并绘制近似值。
  • 傅里叶级数详解

    千次阅读 2021-06-17 19:55:22
    首先,推荐一个有意思的视频:【谜之舒适】12分钟的傅立叶级数动画 下面进入正文。 周期为2π2\pi2π的方波函数: z(t)={−1,−π≤t<01,0≤t<πz(t)=\begin{cases}-1,-\pi\le t\lt 0\

    首先,推荐一个有意思的视频:【谜之舒适】12分钟的傅立叶级数动画
    在这里插入图片描述


    下面进入正文。

    周期为 2 π 2\pi 2π的方波函数:

    z ( t ) = { − 1 , − π ≤ t < 0 1 , 0 ≤ t < π z(t)=\begin{cases}-1,-\pi\le t\lt 0\\\quad 1,\quad0\le t\lt \pi\end{cases} z(t)={1πt<010t<π

    可以展开为三角函数形式的傅里叶级数:

    4 π [ sin ⁡ t + 1 3 sin ⁡ 3 t + ⋯ + 1 2 n + 1 sin ⁡ ( 2 n + 1 ) t + ⋯   ] \frac{4}{\pi}\left[\sin t+\frac{1}{3} \sin 3 t+\cdots+\frac{1}{2 n+1} \sin (2 n+1) t+\cdots\right] π4[sint+31sin3t++2n+11sin(2n+1)t+]

    下图为三角函数形式的傅里叶级数合成方波函数(红色​)的示意图:

    在这里插入图片描述

    为什么可以呢?接下来,我们将详解它的原理:
    在这里插入图片描述

    下文主要分为两个小节,第一节首先介绍了向量的正交分解,然后过渡到函数的正交分解并得出广义傅里叶级数这一概念。基于广义傅里叶级数,第二节首先解释周期函数是如何展开成三角函数的傅里叶级数的,然后由辅助角公式推出其余弦形式,最后根据欧拉公式得出复指数形式的傅里叶级数。

    函数分解为正交函数

    1 向量的正交分解

    (1)向量正交

    若两向量 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2正交,即夹角为90°:
    在这里插入图片描述

    那么,这两正交向量的内积为零
    V 1 → ⋅ V 2 → = ∣ V 1 ∣ ⋅ ∣ V 2 ∣ cos ⁡ 9 0 ∘ = 0 \overrightarrow{V_{1}}\cdot \overrightarrow{V_{2}}=|V_{1}| \cdot |V_{2}| \cos 90^{\circ}=0 V1 V2 =V1V2cos90=0

    (2)正交向量集

    由两两正交的向量组成的向量集合。

    (3)非正交向量的近似表示及误差
    在这里插入图片描述

    ∣ c 12 V 2 ∣ = ∣ V 1 ∣ cos ⁡ θ |c_{12}V_{2}|=|V_{1}| \cos \theta c12V2=V1cosθ

    得:

    c 12 = ∣ V 1 ∣ cos ⁡ θ ∣ V 2 ∣ = ∣ V 1 ∣ ⋅ ∣ V 2 ∣ cos ⁡ θ ∣ V 2 ∣ ⋅ V 2 ∣ = V 1 → ⋅ V 2 → V 2 → ⋅ V 2 → c_{12}= \frac{|V_{1}| \cos \theta}{|V_{2}|}= \frac{|V_{1}| \cdot |V_{2}| \cos \theta}{|V_{2}| \cdot V_{2}|}= \frac{\overrightarrow{V_{1}}\cdot \overrightarrow{V_{2}}}{\overrightarrow{V_{2}}\cdot \overrightarrow{V_{2}}} c12=V2V1cosθ=V2V2V1V2cosθ=V2 V2 V1 V2

    用与 V 2 V_2 V2成比例的向量 c 12 V 2 c_{12}V_2 c12V2近似地表示 V 1 V_1 V1,则误差向量

    V e → = V 1 → − c 12 V 2 → \overrightarrow{V_{e}}= \overrightarrow{V_{1}}-c_{12}\overrightarrow{V_{2}} Ve =V1 c12V2

    显然,当两向量 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2正交时, c 12 = 0 c_{12}=0 c12=0,即 V 1 → ⋅ V 2 → = 0 \overrightarrow{V_{1}}·\overrightarrow{V_{2}}=0 V1 V2 =0

    (4)向量正交分解:任意 N N N维向量可由 N N N维正交坐标系表示。
    在这里插入图片描述

    c 1 = ∣ V ∣ cos ⁡ θ 1 ∣ V 1 ∣ = V → ⋅ V → 1 V 1 → ⋅ V → 1 c_{1}= \frac{|V| \cos \theta _{1}}{|V_{1}|}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V}_{1}}{\overrightarrow{V_{1}}\cdot \overrightarrow{V}_{1}} c1=V1Vcosθ1=V1 V 1V V 1
    c 2 = ∣ V ∣ cos ⁡ θ 2 ∣ V 2 ∣ = V → ⋅ V 2 → V 2 → ⋅ V 2 → c_{2}= \frac{|V| \cos \theta _{2}}{|V_{2}|}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_{2}}}{\overrightarrow{V_{2}}\cdot \overrightarrow{V_{2}}} c2=V2Vcosθ2=V2 V2 V V2

    在这里插入图片描述

    c 1 = ∣ V ∣ cos ⁡ θ 1 ∣ V 1 ∣ = V → ⋅ V → 1 V 1 → ⋅ V → 1 c_{1}= \frac{|V| \cos \theta _{1}}{|V_{1}|}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V}_{1}}{\overrightarrow{V_{1}}\cdot \overrightarrow{V}_{1}} c1=V1Vcosθ1=V1 V 1V V 1
    c 2 = ∣ V ∣ cos ⁡ θ 2 ∣ V 2 ∣ = V → ⋅ V 2 → V 2 → ⋅ V 2 → c_{2}= \frac{|V| \cos \theta _{2}}{|V_{2}|}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_{2}}}{\overrightarrow{V_{2}}\cdot \overrightarrow{V_{2}}} c2=V2Vcosθ2=V2 V2 V V2

    c 3 = ∣ V ∣ cos ⁡ θ 3 ∣ V 3 ∣ = V → ⋅ V 3 → V 3 → ⋅ V 3 → c_{3}= \frac{|V| \cos \theta _{3}}{|V_{3}|}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_{3}}}{\overrightarrow{V_{3}}\cdot \overrightarrow{V_{3}}} c3=V3Vcosθ3=V3 V3 V V3

    推广到 n n n维空间: n n n维空间的任一向量 V V V,可以精确地表示为 n n n个正交向量的线性组合, 即

    V → = c 1 V 1 → + c 2 V 2 → + ⋯ + c r V r → + ⋯ + c n V → n \overrightarrow{V}=c_{1}\overrightarrow{V_{1}}+c_{2}\overrightarrow{V_{2}}+ \cdots +c_{r}\overrightarrow{V_{r}}+ \cdots +c_{n}\overrightarrow{V}_{n} V =c1V1 +c2V2 ++crVr ++cnV n

    式中, V i → ⋅ V j → = 0 ( i ≠ j ) \overrightarrow{V_i}·\overrightarrow{V_j}=0 (i≠j) Vi Vj =0(i=j),第 r r r 个分量的系数

    c r = V → ⋅ V r → V r → ⋅ V → r c_{r}= \frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_{r}}}{\overrightarrow{V_{r}}\cdot\overrightarrow{V}_{r}} cr=Vr V rV Vr

    下面我们将向量空间正交分解的概念可推广到函数空间:在函数空间找到若干个相互正交的函数作为基本函数,使得函数空间中任意函数均可表示成它们的线性组合。

    2 函数的正交分解

    (1) 函数正交

    定义

    ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)区间的两个函数 φ 1 ( t ) \varphi_1(t) φ1(t) φ 2 ( t ) \varphi_2(t) φ2(t),若满足
    ∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = 0 , ∗ 表 示 共 轭 \int_{t_{1}}^{t_{2}}\varphi _{1}(t)\varphi _{2}^*(t)dt=0,*表示共轭 t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0

    即两函数内积为0,则称 φ 1 ( t ) \varphi _{1}(t) φ1(t) φ 2 ( t ) \varphi _{2}(t) φ2(t)在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)正交。

    备注:实数函数的共轭是其本身。

    (2)正交函数集

    n n n个函数 φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , . . . , φ n ( t ) \varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t),...,\varphi _{n}(t) φ1(t),φ2(t),...,φn(t)构成一个函数集,当这些函数在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)内满足
    ∫ t 1 t 2 φ 1 ( t ) φ 2 ∗ ( t ) d t = { 0 , i ≠ j K i ≠ 0 , i = j \int_{t_{1}}^{t_{2}}\varphi _{1}(t)\varphi _{2}^*(t)dt=\left\{ \begin{matrix} 0, \quad i \neq j \\ K_{i}\neq 0, \quad i=j \\ \end{matrix} \right. t1t2φ1(t)φ2(t)dt={0,i=jKi=0,i=j
    则称此函数集为区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)上的正交函数集。

    如果 K i = 1 K_i=1 Ki=1,称为标准正交函数集

    (3)完备正交函数集

    如果在正交函数集 { φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , . . . , φ n ( t ) } \{\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t),...,\varphi _{n}(t) \} {φ1(t),φ2(t),...,φn(t)}之外,不存在任何函数 φ ( t ) ( ≠ 0 ) \varphi(t)(\not=0) φ(t)(=0)满足:
    ∫ t 1 t 2 φ ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \int_{t_{1}}^{t_{2}}\varphi(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt=0,(i=1,2, \cdots ,n) t1t2φ(t)φi(t)dt=0(i=1,2,,n)

    则称此函数集为完备正交函数集


    (4)函数的正交分解

    设有 n n n个函数 φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , ⋯   , φ n ( t ) \varphi_{1}(t), \varphi _{2}(t), \cdots , \varphi _{n}(t) φ1(t),φ2(t),,φn(t)在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)构成要给正交函数空间。将任一函数 f ( t ) f(t) f(t)用这个正交函数的线性组合来近似,可表示为:

    f ( t ) ≈ C 1 φ 1 ( t ) + C 2 φ 2 ( t ) + ⋯ + C i φ i ( t ) ⋯ + C n φ n ( t ) = ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) f(t)\approx C_{1}\varphi _{1}(t)+C_{2}\varphi _{2}(t)+ \cdots +C_{i}\varphi _{i}(t)\cdots +C_{n}\varphi _{n}(t)= \sum _{j=1}^{n}C_{j}\varphi _{j}(t) f(t)C1φ1(t)+C2φ2(t)++Ciφi(t)+Cnφn(t)=j=1nCjφj(t)

    如何找到合适的系数 C i C_i Ci,使得函数与近似函数的误差在 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)最小呢?

    我们可以通过最小化均方误差:
    ε 2 ‾ = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) ] 2 d t \overline{\varepsilon ^{2}}= \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}[ f(t)- \sum _{j=1}^{n}C_{j}\varphi _{j}(t)] ^{2}dt ε2=t2t11t1t2[f(t)j=1nCjφj(t)]2dt

    求系数 C i C_i Ci求偏导并令偏导等于零:
    ∂ ε ‾ 2 ∂ C i = ∂ ∂ C i { 1 t 2 − t 1 ∫ t i t i [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) ] 2 d t } = 0 \frac{\partial \overline{\varepsilon}^{2}}{\partial C_{i}}= \frac{\partial}{\partial C_{i}}\left\{ \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int _{t_{i}}^{t_{i}}[ f(t)- \sum _{j=1}^{n}C_{j}\varphi _{j}(t)] ^{2}dt \right\} =0 Ciε2=Ci{t2t11titi[f(t)j=1nCjφj(t)]2dt}=0

    展开被积函数,并求导,只有两项不为0,写为:
    ∂ ∂ C i { 1 t 2 − t 1 ∫ t i t [ − 2 C i φ i ∗ ( t ) f ( t ) + C i 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) ] d t } = 0 \frac{\partial}{\partial C_{i}}\left\{ \frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int _{t_{i}}^{t}\left[ -2C_{i}\varphi _{i}^{*}(t)f(t)+C_{i}^{2}\varphi _{i}(t)\varphi _{i}^{*}(t)\right] dt \right\} =0 Ci{t2t11tit[2Ciφi(t)f(t)+Ci2φi(t)φi(t)]dt}=0

    即:
    − 2 ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t + 2 C i ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 0 -2 \int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt+2C_{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi _{i}(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt=0 2t1t2f(t)φi(t)dt+2Cit1t2φi(t)φi(t)dt=0
    求得:
    C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 1 K i ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t C_{i}= \frac{\int_{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}{\int _{t_1}^{t_{2}}\varphi _{i}(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}= \frac{1}{K_{i}}\int _{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt Ci=t1t2φi(t)φi(t)dtt1t2f(t)φi(t)dt=Ki1t1t2f(t)φi(t)dt

    可以证明,当所取的项数越多,即 n n n越大时,均方误差越小,当 n → ∞ n\rightarrow \infty n时(成为完备正交函数集),均方误差为零。

    结论

    任意函数可以表示为无穷多个正交函数的和:
    f ( t ) = C 1 φ 1 ( t ) + C 2 φ 2 ( t ) + ⋯ + C i φ i ( t ) + ⋯ = ∑ i = 1 ∞ C i φ i ( t ) f(t)=C_{1}\varphi _{1}(t)+C_{2}\varphi _{2}(t)+ \cdots +C_{i}\varphi _{i}(t)+ \cdots = \sum _{i=1}^{\infty}C_{i}\varphi _{i}(t) f(t)=C1φ1(t)+C2φ2(t)++Ciφi(t)+=i=1Ciφi(t)

    上式称为函数的正交展开式,也称为广义傅里叶级数

    其系数为:
    C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 1 K i ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t C_{i}= \frac{\int_{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}{\int _{t_1}^{t_{2}}\varphi _{i}(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}= \frac{1}{K_{i}}\int _{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt Ci=t1t2φi(t)φi(t)dtt1t2f(t)φi(t)dt=Ki1t1t2f(t)φi(t)dt

    备注 ∗ * 表示共轭,实数函数的共轭是其本身。

    周期函数的傅里叶级数

    在一个周期 ( t 0 , t 0 + T ) ( T = 2 π / Ω ) (t_{0},t_{0}+T)(T=2 \pi / \Omega) (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集有:

    • 三角函数集: { 1 , cos ⁡ ( n Ω t ) , sin ⁡ ( n Ω t ) , n = 1 , 2 , … } \left\{1, \cos(n \Omega t), \sin(n \Omega t),n=1,2, \ldots \right\} {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,}

    • 虚指数函数集: { e j n Ω t , n = ± 1 , ± 2 , ⋯   } \left\{e^{jn \Omega t}, n=\pm 1, \pm 2, \cdots \right\} {ejnΩt,n=±1,±2,}

    1 周期函数三角形式的傅里叶级数

    1.1 三角形式的傅里叶级数

    广义傅里叶级数的 φ i ( t ) \varphi_i(t) φi(t)选择三角函数:

    { 1 , cos ⁡ ( n Ω t ) , sin ⁡ ( n Ω t ) , n = 1 , 2 , … } \left\{1, \cos(n \Omega t), \sin(n \Omega t),n=1,2, \ldots \right\} {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,}

    设周期函数 f ( t ) f(t) f(t),其周期为 T T T,角频率(基波频率) Ω = 2 π / T \Omega=2\pi/T Ω=2π/T,当它满足狄里赫利(Dirichlet)条件(见附录)时,可展开为三角形式的傅里叶级数。
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ ( n Ω t ) f(t)= \frac{a_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n \Omega t)+ \sum _{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(n \Omega t) f(t)=2a0+n=1ancos(nΩt)+n=1bnsin(nΩt)

    系数 a n , b n a_n, b_n an,bn称为傅里叶系数

    由广义傅里叶级数的系数公式:

    C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t ∫ t 1 t 2 φ i ( t ) φ i ∗ ( t ) d t = 1 K i ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ∗ ( t ) d t C_{i}= \frac{\int_{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}{\int _{t_1}^{t_{2}}\varphi _{i}(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt}= \frac{1}{K_{i}}\int _{t_1}^{t_{2}}f(t)\varphi _{i}^{*}(t)dt Ci=t1t2φi(t)φi(t)dtt1t2f(t)φi(t)dt=Ki1t1t2f(t)φi(t)dt

    可以求得 a n , b n a_n,b_n an,bn

    (1)求 K i K_i Ki

    对于正交函数集中的1(实际上是 cos ⁡ ( 0 Ω t ) = 1 \cos(0\Omega t)=1 cos(0Ωt)=1):
    K i = ∫ − T 2 T 2 1 × 1 d t = T K_i=\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}1\times 1dt=T Ki=2T2T1×1dt=T

    备注:半角公式: sin ⁡ 2 x 2 = 1 − cos ⁡ x 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} sin22x=21cosx cos ⁡ 2 x 2 = 1 + cos ⁡ x 2 \quad \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} cos22x=21+cosx

    对于正交函数集中的余弦 cos ⁡ ( n Ω t ) \cos(n \Omega t) cos(nΩt),由半角公式可得:

    K i = ∫ − T 2 T 2 cos ⁡ ( n Ω t ) ⋅ cos ⁡ ( n Ω t ) d t = ∫ − T 2 T 2 1 + cos ⁡ ( 2 n Ω t ) 2 d t = T / 2 K_i=\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(n \Omega t)\cdot \cos(n \Omega t)dt=\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+\cos(2n \Omega t)}{2}dt=T/2 Ki=2T2Tcos(nΩt)cos(nΩt)dt=2T2T21+cos(2nΩt)dt=T/2

    同理,对于正交函数集中的正弦 sin ⁡ ( n Ω t ) \sin(n \Omega t) sin(nΩt)

    K i = ∫ − T 2 T 2 sin ⁡ ( n Ω t ) ⋅ sin ⁡ ( n Ω t ) d t = ∫ − T 2 T 2 1 − cos ⁡ ( 2 n Ω t ) 2 d t = T / 2 K_i=\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(n \Omega t)\cdot \sin(n \Omega t)dt=\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-\cos(2n \Omega t)}{2}dt=T/2 Ki=2T2Tsin(nΩt)sin(nΩt)dt=2T2T21cos(2nΩt)dt=T/2

    (2)得到系数:
    a 0 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d t \frac{a_{0}}{2}= \frac{1}{T}\int _{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt 2a0=T12T2Tf(t)dt
    备注:写成 a 0 2 \frac{a_{0}}{2} 2a0是为了使得 a 0 a_0 a0可以并入 a n a_n an的表达式,因为1对应的 K i K_i Ki与其他不同。

    a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos ⁡ ( n Ω t ) d t a_{n}= \frac{2}{T}\int _{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n \Omega t)dt an=T22T2Tf(t)cos(nΩt)dt
    b n = 2 T ∫ T 2 T 2 f ( t ) sin ⁡ ( n Ω t ) d t b_{n}= \frac{2}{T}\int _{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n \Omega t)dt bn=T22T2Tf(t)sin(nΩt)dt

    备注:积分区间不一定要 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [2T,2T],只要是个整周期区间就行,比如 [ 0 , T ] [0,T] [0,T]

    备注 a n a_n an为关于 n n n的偶函数, b n b_n bn为关于 n n n的奇函数。

    下面给出与文章开头的图相对应的一个例子。

    在这里插入图片描述

    备注:实际上, a n = 0 a_n=0 an=0为关于 n n n的奇函数,可以直接得出 a n = 0 a_n=0 an=0

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    1.2 余弦形式的傅里叶级数

    备注:辅助角公式:

    a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 cos ⁡ ( x + ϕ ) ,  其中  tan ⁡ ϕ = − a / b a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2} \cos ({x}+\phi), \quad \text { 其中 } \tan \phi=-a / b asinx+bcosx=a2+b2 cos(x+ϕ), 其中 tanϕ=a/b

    由辅助角公式,将傅里叶级数
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ ( n Ω t ) f(t)= \frac{a_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n \Omega t)+ \sum _{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(n \Omega t) f(t)=2a0+n=1ancos(nΩt)+n=1bnsin(nΩt)

    n n n次正余弦分量合并,得到:

    f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n Ω t + φ n ) f(t)= \frac{A_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n \Omega t+ \varphi _{n}) f(t)=2A0+n=1Ancos(nΩt+φn)
    其中
    { A n = a n 2 + b n 2 φ n = − arctan ⁡ b n a n \left\{ \begin{matrix} A_{n}= \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\\ \varphi _{n}=- \arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\\ \end{matrix} \right. {An=an2+bn2 φn=arctananbn

    { a n = A n cos ⁡ φ n b n = − A n sin ⁡ φ n \left\{ \begin{matrix} a_{n}=A_{n}\cos \varphi _{n}\\ b_{n}=-A_{n}\sin \varphi _{n}\\ \end{matrix} \right. {an=Ancosφnbn=Ansinφn

    2 复指数形式的傅里叶级数

    备注欧拉公式

    e j x = cos ⁡ x + j sin ⁡ x e^{jx}=\cos x+j\sin x ejx=cosx+jsinx

    sin ⁡ x = e j x − e − j x 2 j \sin x=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j} sinx=2jejxejx

    cos ⁡ x = e j x + e − j x 2 \cos x=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2} cosx=2ejx+ejx

    三角形式的傅里叶级数含义比较明确,但不太方便我们进行运算,因而将其变换为复指数形式的傅里叶级数。

    由欧拉公式可得:

    f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n Ω t + φ n ) f(t)= \frac{A_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n \Omega t+ \varphi _{n}) f(t)=2A0+n=1Ancos(nΩt+φn)
    = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n 2 [ e j ( n Ω t + φ n ) + e − j ( n Ω t + φ n ) ] = \frac{A_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}\frac{A_{n}}{2}\left[ e^{j(n \Omega t+ \varphi _{n})}+e^{-j(n \Omega t+ \varphi _{n})}\right] =2A0+n=12An[ej(nΩt+φn)+ej(nΩt+φn)]

    = A 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n e j φ n e j n Ω t + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n e − j φ n e − j n Ω t = \frac{A_{0}}{2}+ \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty}A_{n}e^{j \varphi _{n}}e^{jn\Omega t}+\textcolor{blue}{ \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty}A_{n}e^{-j \varphi _{n}}e^{-jn\Omega t}} =2A0+21n=1AnejφnejnΩt+21n=1AnejφnejnΩt


    对蓝色部分的公式进行参数变换:
    − n → n -n\rightarrow n nn
    A − n = A n A_{-n}=A_n An=An
    φ − n → − φ n \varphi_{-n}\rightarrow -\varphi_n φnφn
    得到:

    1 2 ∑ n = 1 ∞ A n e − j φ n e − j n Ω t → 1 2 ∑ n = − 1 − ∞ A n e j φ n e j n Ω t \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty}A_{n}e^{-j \varphi _{n}}e^{-jn\Omega t}\rightarrow \textcolor{blue}{\frac{1}{2}\sum _{n=-1}^{-\infty}A_{n}e^{j \varphi _{n}}e^{jn\Omega t}} 21n=1AnejφnejnΩt21n=1AnejφnejnΩt

    在这里插入图片描述


    变换后的公式为:

    f ( t ) = 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n e j φ n e j n Ω t f(t)= \frac{1}{2}\sum _{n=- \infty}^{\infty}A_{n}e^{j \varphi _{n}}e^{jn \Omega t} f(t)=21n=AnejφnejnΩt

    其中 e j n Ω t \mathrm{e}^{j n \Omega t} ejnΩt为复指数函数, A n = a n 2 + b n 2 A_{n}= \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} An=an2+bn2 φ n = − arctan ⁡ b n a n \varphi _{n}=- \arctan \frac{b_{n}}{a_{n}} φn=arctananbn

    A n A_n An为偶函数, φ n \varphi_n φn为奇函数。

    令复数 1 2 A n e j φ n = ∣ F n ∣ e j φ n = F n \frac{1}{2}A_{n}e^{j \varphi _{n}}=|F_{n}|e^{j \varphi _{n}}=F_{n} 21Anejφn=Fnejφn=Fn,称 F n F_n Fn为复傅里叶系数,简称傅里叶系数。

    得到指数形式的傅里叶级数:

    f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t f(t)= \sum _{n=- \infty}^{\infty}F_{n}e^{jn \Omega t} f(t)=n=FnejnΩt
    表明:任意周期函数 f ( t ) f(t) f(t)可分解为许多不同频率的虚指数函数之和 F n F_n Fn是频率为 n Ω nΩ n的分量的系数, F 0 = A 0 / 2 F_0= A_0/2 F0=A0/2为直流分量。

    复傅里叶系数 F n F_n Fn的求解公式:
    F n = 1 2 A n e j φ n = 1 2 ( A n cos ⁡ φ n + j A n sin ⁡ φ n ) = 1 2 ( a n − j b n ) F_{n}= \frac{1}{2}A_{n}e^{j \varphi _{n}}= \frac{1}{2}(A_{n}\cos \varphi _{n}+jA_{n}\sin \varphi _{n})= \frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n}) Fn=21Anejφn=21(Ancosφn+jAnsinφn)=21(anjbn)
    = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos ⁡ ( n Ω t ) d t − j 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) sin ⁡ ( n Ω t ) d t = \frac{1}{T}\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n \Omega t)dt-j \frac{1}{T}\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n \Omega t)dt =T12T2Tf(t)cos(nΩt)dtjT12T2Tf(t)sin(nΩt)dt
    = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n Ω t d t = \textcolor{blue}{\frac{1}{T}\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt} =T12T2Tf(t)ejnΩtdt

    3 三种展开方式关系总结

    三角形式的傅里叶级数:

    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ ( n Ω t ) + ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ ( n Ω t ) f(t)= \frac{a_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n \Omega t)+ \sum _{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(n \Omega t) f(t)=2a0+n=1ancos(nΩt)+n=1bnsin(nΩt)
    f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n Ω t + φ n ) f(t)= \frac{A_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n \Omega t+ \varphi _{n}) f(t)=2A0+n=1Ancos(nΩt+φn)

    { A n = a n 2 + b n 2 φ n = − arctan ⁡ b n a n \left\{ \begin{matrix} A_{n}= \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\\ \varphi _{n}=- \arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\\ \end{matrix} \right. {An=an2+bn2 φn=arctananbn

    { a n = A n cos ⁡ φ n b n = − A n sin ⁡ φ n \left\{ \begin{matrix} a_{n}=A_{n}\cos \varphi _{n}\\ b_{n}=-A_{n}\sin \varphi _{n}\\ \end{matrix} \right. {an=Ancosφnbn=Ansinφn

    指数形式的傅里叶级数:

    f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t f(t)= \sum _{n=- \infty}^{\infty}F_{n}e^{jn \Omega t} f(t)=n=FnejnΩt

    F n = ∣ F n ∣ e j φ n = 1 2 A n e j φ n = 1 2 ( A n cos ⁡ φ n + j A n sin ⁡ φ n ) = 1 2 ( a n − j b n ) F_{n}=|F_{n}|e^{j \varphi _{n}}= \frac{1}{2}A_{n}e^{j \varphi _{n}}= \frac{1}{2}(A_{n}\cos \varphi _{n}+jA_{n}\sin \varphi _{n})= \frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n}) Fn=Fnejφn=21Anejφn=21(Ancosφn+jAnsinφn)=21(anjbn)
    A n = 2 ∣ F n ∣ A_n=2|F_n| An=2Fn

    附 :狄里赫利(Dirichlet)条件

    条件1:在一个周期内,函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在);

    反例(无限个第一类间断点):
    在这里插入图片描述

    条件2:在一个周期内,函数极大值和极小值的数目应为有限个;

    反例:

    在这里插入图片描述
    条件3:在一个周期内,函数绝对可积。

    反例:
    在这里插入图片描述

    参考:

    国家精品课程:信号与系统 ,中国大学MOOC,郭宝龙,朱娟娟

    十分感谢三连支持!最靓的公式送给最靓的你:

    e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0

    展开全文
  • 周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式,共享学习。百度已有,只是这个不用下载券!不用下载券!不用下载券!
  • 该文件简单演示了方波如何通过傅立叶级数近似。 它执行以下操作: 1) 它演示了傅里叶级数系数​​截断的效果,也称为吉布斯现象。 2) 计算超调百分比。 3) 计算原始信号和近似信号之间误差中的能量
  • 傅里叶级数计算
  • 三角函数到傅立叶级数

    千次阅读 2019-12-19 09:34:53
    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!! 下面进入正题 正弦波 信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角...

    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!!

    下面进入正题

    正弦波

    信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关,三角函数又常常叫正弦函数,实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数。(假设θ为自变量,θ称为相位或相角,单位rad

     

    当我们引入动态的概念后(角频率,角速度,相位 θ=ωt+ψ),正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波(同上不管是sin还是cos都称正弦波)正弦波具有三个要素,角频率,初相位和波幅(振幅),通用的公式来描述正弦

    Sean:“波”就是一个动态的概念,三要素能唯一表征出一个正弦波,生活中最常见的交流电就是正弦波

     

     

    三角函数的正交性

    不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

    为什么呢

    因为不同频率的正弦波相乘(不管是sin还是cos)通过积化和差总是可化为两个正弦波之和或差,而我们知道们,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分,取周期),当同频时则结果等于它的周期的一半

     

     

    信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式

     

     

    傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍),的结果必然为0。

    傅立叶级数(实质就是三角级数)

    任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。(所有的目标,谐波表示法)

    直观地可以用下面这个式子来表示

     

    利用三角函数的变换公式,上式可变形为

     

    现在,让我们正式的引入正交性的性质,还记得检波手段么,这里,我们假设对 f(t)用sin(κωt)进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分),那么就有。

    不要问为什么要加上积分,当然是为了利用三角积分的性质

     

    附 :(0,T)代入可得T/2

     

     非无穷函数展开为三解级数

    上面的结论都是针对“波”即随时间变化的无限的函数(定义域为负无究到正无究的函数)通常它含有ωt,角频率的自变量t形式。此时只有周期函数才能展开为傅立叶级数。在信号在信号处理领域我们称傅立叶级数只针对周期函数。

    特别注意实际上如 脉冲函数,一个方波等的函数,定义域也是无究的,只是值域可能为零。但它们是非周期函数,所以不能直接展开为三角级数。这也正是提出傅立叶变换的原因

    跳出信号处理的领域回归更一般的场合--定义域非无究的情况,傅立叶级数的定义为

    (系数的计算和上面方法是类似的)

     

    而且f(x)可以是分段连续的,此时关于其断点的傅立叶级数收敛性有:

     

    波”的傅立叶级数实质就是区间傅立叶级数的周期拓展的结果。

    傅立叶级数的周期延拓

    奇函数的偶函数关于对称区间的积分

     

    余项级数(余弦项的级数)

    因此如果对区间为(0,L) (这里的L来源于绝缘棒的长度)的函数进行偶延拓,则三角级数所有的正弦项系数(奇函数积分)将全为0,因此只有余项级数

     

    如果进行奇延拓,则三角级数只有正弦级数

     

    吉伯斯现象

    对于存在断点的函数的三角级数,在断点处的傅立叶级数的展开式总会有一个上冲。(对连续的部分当然是是随着三角级数项增加而无限接近,但断点处却不能,而总会有一个上冲,而且恒接近于1.09)

     

     

     

    狄利克雷充分条析

    傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为,任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数,但狄利克雷认为,只有在满足一定条件时,周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

    (1 )在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点