---

前言

这是一个系列笔记，在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换，傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式，而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式，这篇文章是第二篇。

---

一、傅立叶级数的由来

数学家们猜测一些周期函数可以写成三角函数的和，即像图中表示的那样（黑色斜线：周期为2Π的函数；红色曲线：各个三角函数的和）。

而傅里叶则猜测任意周期函数都可以写成三角函数的和。

二、傅立叶级数公式

分析公式（即为什么周期函数可以写成三角函数的和呢？）：
1、常数项C，用来调整整体位置。
2、因为任意函数都可以分解为奇函数和偶函数之和，所以正弦、余弦函数是组成任意函数的基础，他们之间经过合理的加减组合，可以成为任意函数，必须有！

3、调整振幅（振幅是正弦、余弦函数前边的系数），为了使其尽可能的逼近原函数。
4、正弦、余弦函数内的系数是为了让他们周期为T，即所有三角函数的和组成的函数要与他们要逼近函数的周期相同。

三、频域和时域

有关于为什么要讲到频域和时域，是因为在后边详细推导傅立叶级数公式的时候会用到。

在上一个笔记里，我们讲到了欧拉公式：
传送门：傅立叶变换之（一）——欧拉公式

一看到这个，我们就应该想出来这么一幅图：
即欧拉公式代表的就是单位圆上的点。
我们把欧拉公式的虚部(也就是纵坐标)记录下来，得到的就是正弦函数。（欧拉公式整体看成是我们熟知的a+bi就可以了，虚部不就是对应欧拉公式中的正弦函数吗？）

同理，我们把实部（也就是横坐标）记录下来，就是余弦函数的曲线。

这两种看待欧拉公式的角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称之为频域；另一种可以看到流逝的时间，所以称之为时域。

四、傅立叶级数公式的进一步求解

4-1、抛砖引玉

假设有函数：

根据上一点对频域和时域的讲解，这里我们把它转化到频域中去。
由欧拉公式${\mathrm{e}}^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$可以得到：
$${\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}=（\cos (t)+\cos (2t)）+i（\sin (t)+\sin (2t)）$$
即g(x)函数是 ${\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}$ 的虚部。

我们令:
$$G(t)={\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}$$
从线性代数的角度来说：$G(t)$是基${\mathrm{e}}^{it}$和${\mathrm{e}}^{i2t}$的线性组合。
注意：基是描述、刻画向量空间的基本工具。
接下来看如何求正交向量（基）中其中一个向量前边的系数：
假设有:
$$\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$$
其中$\vec{u}=(-1,1)$, $\vec{v}=(1,1)$。
因为他们是正交向量，所以：
$$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$
结论一(只有正交基才使用)：
$\vec{u}$的系数a可以计算为：
$$\frac{\vec{w}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}=2$$
同理：
$\vec{v}$的系数b可以计算为：
$$\frac{\vec{w}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}=3$$
反推：
$$\vec{w}\cdot \vec{u}=a\cdot \vec{u}\cdot \vec{u}$$
$$(2\vec{u}+3\vec{v})\cdot \vec{u}=a\cdot \vec{u}\cdot \vec{u}$$
因为他们是正交向量，所以乘积为0，等式成立。

os：先记住这个结论就好了，不要问那么多为什么，我是个数学渣渣能推到这已经很不容易了，先糊弄过去。

结论二(函数向量点积的定义)：

os：同样的先记住这个结论。

4-2、傅立叶级数公式进化

傅立叶级数公式可以写为：

也就是说f（x）的基为：

那么可以得到：

C也可以通过点积来表示：

---

参考文章：
如何理解傅立叶级数公式？
傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导
Cmd Markdown 公式指导手册

总结

马上就下班了，今天的摸鱼就到此结束吧。

首先，推荐一个有意思的视频：【谜之舒适】12分钟的傅立叶级数动画

---

下面进入正文。

周期为$2\pi$的方波函数：

$$z(t)=\{\begin{array}{l}-1，-\pi \le t<0\\ 1，0\le t<\pi \end{array}$$

可以展开为三角函数形式的傅里叶级数：

$$\frac{4}{\pi }\left[\sin t+\frac{1}{3}\sin 3t+\cdots +\frac{1}{2n+1}\sin (2n+1)t+\cdots \right]$$

下图为三角函数形式的傅里叶级数合成方波函数（红色​）的示意图：

为什么可以呢？接下来，我们将详解它的原理：

下文主要分为两个小节，第一节首先介绍了向量的正交分解，然后过渡到函数的正交分解并得出广义傅里叶级数这一概念。基于广义傅里叶级数，第二节首先解释周期函数是如何展开成三角函数的傅里叶级数的，然后由辅助角公式推出其余弦形式，最后根据欧拉公式得出复指数形式的傅里叶级数。

函数分解为正交函数

1 向量的正交分解

（1）向量正交

若两向量$V_1$与$V_2$正交，即夹角为90°：

那么，这两正交向量的内积为零
$$\overrightarrow{V_1}\cdot \overrightarrow{V_2}=|V_1|\cdot |V_2|\cos 90^{\circ }=0$$

（2）正交向量集

由两两正交的向量组成的向量集合。

（3）非正交向量的近似表示及误差

由

$$|c_{12}{V}_2|=|V_1|\cos \theta$$

得：

$$c_{12}=\frac{|V_1|\cos \theta }{|V_2|}=\frac{|V_1|\cdot |V_2|\cos \theta }{|V_2|\cdot V_2|}=\frac{\overrightarrow{V_1}\cdot \overrightarrow{V_2}}{\overrightarrow{V_2}\cdot \overrightarrow{V_2}}$$

用与$V_2$成比例的向量$c_{12}{V}_2$近似地表示$V_1$，则误差向量

$$\overrightarrow{V_e}=\overrightarrow{V_1}-c_{12}\overrightarrow{V_2}$$

显然，当两向量$V_1$与$V_2$正交时，$c_{12}=0$，即$\overrightarrow{V_1}\cdot \overrightarrow{V_2}=0$。

（4）向量正交分解：任意$N$维向量可由$N$维正交坐标系表示。

$$c_1=\frac{|V|\cos {\theta }_1}{|V_1|}=\frac{\overrightarrow{V}\cdot {\overrightarrow{V}}_1}{\overrightarrow{V_1}\cdot {\overrightarrow{V}}_1}$$
$$c_2=\frac{|V|\cos {\theta }_2}{|V_2|}=\frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_2}}{\overrightarrow{V_2}\cdot \overrightarrow{V_2}}$$

$$c_1=\frac{|V|\cos {\theta }_1}{|V_1|}=\frac{\overrightarrow{V}\cdot {\overrightarrow{V}}_1}{\overrightarrow{V_1}\cdot {\overrightarrow{V}}_1}$$
$$c_2=\frac{|V|\cos {\theta }_2}{|V_2|}=\frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_2}}{\overrightarrow{V_2}\cdot \overrightarrow{V_2}}$$

$$c_3=\frac{|V|\cos {\theta }_3}{|V_3|}=\frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_3}}{\overrightarrow{V_3}\cdot \overrightarrow{V_3}}$$

推广到$n$维空间：$n$维空间的任一向量$V$，可以精确地表示为$n$个正交向量的线性组合， 即

$$\overrightarrow{V}=c_1\overrightarrow{V_1}+c_2\overrightarrow{V_2}+\cdots +c_r\overrightarrow{V_r}+\cdots +c_n{\overrightarrow{V}}_n$$

式中，$\overrightarrow{V_i}\cdot \overrightarrow{V_j}=0(i\ne j)$，第 $r$ 个分量的系数

$$c_r=\frac{\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V_r}}{\overrightarrow{V_r}\cdot {\overrightarrow{V}}_r}$$

下面我们将向量空间正交分解的概念可推广到函数空间：在函数空间找到若干个相互正交的函数作为基本函数，使得函数空间中任意函数均可表示成它们的线性组合。

2 函数的正交分解

（1） 函数正交

定义

在$(t_1,t_2)$区间的两个函数${\phi }_1(t)$和${\phi }_2(t)$，若满足
$${\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_1(t){\phi }_2^{\ast }(t)dt=0，\ast 表示共轭$$

即两函数内积为0，则称${\phi }_1(t)$和${\phi }_2(t)$在区间$(t_1,t_2)$正交。

备注：实数函数的共轭是其本身。

（2）正交函数集

若$n$个函数${\phi }_1(t),{\phi }_2(t),...,{\phi }_n(t)$构成一个函数集，当这些函数在区间$(t_1,t_2)$内满足
$${\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_1(t){\phi }_2^{\ast }(t)dt=\{\begin{array}{c}0,i\ne j\\ K_i\ne 0,i=j\end{array}$$
则称此函数集为区间$(t_1,t_2)$上的正交函数集。

如果$K_i=1$，称为标准正交函数集。

（3）完备正交函数集

如果在正交函数集 { φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) , . . . , φ n ( t ) } \{\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t),...,\varphi _{n}(t) \} {φ1​(t),φ2​(t),...,φn​(t)}之外，不存在任何函数$\phi (t)(\ne 0)$满足：
$${\int }_{t_1}^{t_2}\phi (t){\phi }_i^{\ast }(t)dt=0，(i=1,2,\cdots ,n)$$

则称此函数集为完备正交函数集。

---

（4）函数的正交分解

设有$n$个函数${\phi }_1(t),{\phi }_2(t),\cdots ,{\phi }_n(t)$在区间$(t_1,t_2)$构成要给正交函数空间。将任一函数$f(t)$用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为：

$$f(t)\approx C_1{\phi }_1(t)+C_2{\phi }_2(t)+\cdots +C_i{\phi }_i(t)\cdots +C_n{\phi }_n(t)=\sum _{j=1}^n{C}_j{\phi }_j(t)$$

如何找到合适的系数$C_i$，使得函数与近似函数的误差在$(t_1,t_2)$最小呢？

我们可以通过最小化均方误差：
$$\overline{{\epsilon }^2}=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}[f(t)-\sum _{j=1}^n{C}_j{\phi }_j(t){]}^{2}dt$$

求系数$C_i$求偏导并令偏导等于零：
$$\frac{\partial {\overline{\epsilon }}^2}{\partial C_i}=\frac{\partial }{\partial C_i}\left\{\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_i}^{t_i}[f(t)-\sum _{j=1}^n{C}_j{\phi }_j(t){]}^{2}dt\right\}=0$$

展开被积函数，并求导，只有两项不为0，写为：
$$\frac{\partial }{\partial C_i}\left\{\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_i}^t\left[-2C_i{\phi }_i^{\ast }(t)f(t)+C_i^2{\phi }_i(t){\phi }_i^{\ast }(t)\right]dt\right\}=0$$

即：
$$-2{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt+2C_i{\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_i(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt=0$$
求得：
$$C_i=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_i(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}=\frac{1}{K_i}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt$$

可以证明，当所取的项数越多，即$n$越大时，均方误差越小，当$n\to \infty$时（成为完备正交函数集），均方误差为零。

结论：

任意函数可以表示为无穷多个正交函数的和：
$$f(t)=C_1{\phi }_1(t)+C_2{\phi }_2(t)+\cdots +C_i{\phi }_i(t)+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{C}_i{\phi }_i(t)$$

上式称为函数的正交展开式，也称为广义傅里叶级数。

其系数为：
$$C_i=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_i(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}=\frac{1}{K_i}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt$$

备注：$\ast$表示共轭，实数函数的共轭是其本身。

周期函数的傅里叶级数

在一个周期$(t_0,t_0+T)(T=2\pi /\Omega )$上的完备正交函数集有：

• 三角函数集： { 1 , cos ⁡ ( n Ω t ) , sin ⁡ ( n Ω t ) , n = 1 , 2 , … } \left\{1, \cos(n \Omega t), \sin(n \Omega t),n=1,2, \ldots \right\} {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}

• 虚指数函数集：$\left\{e^{jn\Omega t},n=\pm 1,\pm 2,\cdots \right\}$

1 周期函数三角形式的傅里叶级数

1.1 三角形式的傅里叶级数

广义傅里叶级数的${\phi }_i(t)$选择三角函数：

{ 1 , cos ⁡ ( n Ω t ) , sin ⁡ ( n Ω t ) , n = 1 , 2 , … } \left\{1, \cos(n \Omega t), \sin(n \Omega t),n=1,2, \ldots \right\} {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}

设周期函数$f(t)$，其周期为$T$，角频率（基波频率）$\Omega =2\pi /T$，当它满足狄里赫利(Dirichlet)条件（见附录）时，可展开为三角形式的傅里叶级数。
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (n\Omega t)$$

系数$a_n,b_n$称为傅里叶系数。

由广义傅里叶级数的系数公式：

$$C_i=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\phi }_i(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt}=\frac{1}{K_i}{\int }_{t_1}^{t_2}f(t){\phi }_i^{\ast }(t)dt$$

可以求得$a_n,b_n$。

（1）求$K_i$

对于正交函数集中的1（实际上是$\cos (0\Omega t)=1$）：
$$K_i={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}1\times 1dt=T$$

备注：半角公式：${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$；${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$

对于正交函数集中的余弦$\cos (n\Omega t)$，由半角公式可得：

$$K_i={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos (n\Omega t)\cdot \cos (n\Omega t)dt={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+\cos (2n\Omega t)}{2}dt=T/2$$

同理，对于正交函数集中的正弦$\sin (n\Omega t)$：

$$K_i={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin (n\Omega t)\cdot \sin (n\Omega t)dt={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-\cos (2n\Omega t)}{2}dt=T/2$$

（2）得到系数：
$$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$$
备注：写成$\frac{a_0}{2}$是为了使得$a_0$可以并入$a_n$的表达式，因为1对应的$K_i$与其他不同。

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos (n\Omega t)dt$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin (n\Omega t)dt$$

备注：积分区间不一定要$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$，只要是个整周期区间就行，比如$[0,T]$

备注：$a_n$为关于$n$的偶函数，$b_n$为关于$n$的奇函数。

下面给出与文章开头的图相对应的一个例子。

备注：实际上，$a_n=0$为关于$n$的奇函数，可以直接得出$a_n=0$

1.2 余弦形式的傅里叶级数

备注：辅助角公式：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x+\varphi ),\text{ 其中 }\tan \varphi =-a/b$$

由辅助角公式，将傅里叶级数
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (n\Omega t)$$

$n$次正余弦分量合并，得到：

$$f(t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos (n\Omega t+{\phi }_n)$$
其中
$$\{\begin{array}{c}{A}_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ {\phi }_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{a}_n=A_n\cos {\phi }_n\\ b_n=-A_n\sin {\phi }_n\end{array}$$

2 复指数形式的傅里叶级数

备注：欧拉公式：

$$e^{jx}=\cos x+j\sin x$$

$$\sin x=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$$

$$\cos x=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}$$

三角形式的傅里叶级数含义比较明确，但不太方便我们进行运算，因而将其变换为复指数形式的傅里叶级数。

由欧拉公式可得：

$$f(t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos (n\Omega t+{\phi }_n)$$
$$=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{A_n}{2}\left[e^{j(n\Omega t+{\phi }_n)}+e^{-j(n\Omega t+{\phi }_n)}\right]$$

$$=\frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{e}^{j{\phi }_n}{e}^{jn\Omega t}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{e}^{-j{\phi }_n}{e}^{-jn\Omega t}$$

---

对蓝色部分的公式进行参数变换：
$$-n\to n$$
$$A_{-n}=A_n$$
$${\phi }_{-n}\to -{\phi }_n$$
得到：

$$\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{e}^{-j{\phi }_n}{e}^{-jn\Omega t}\to \frac{1}{2}\sum _{n=-1}^{-\infty }{A}_n{e}^{j{\phi }_n}{e}^{jn\Omega t}$$

---

变换后的公式为：

$$f(t)=\frac{1}{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{A}_n{e}^{j{\phi }_n}{e}^{jn\Omega t}$$

其中${\mathrm{e}}^{jn\Omega t}$为复指数函数， $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，${\phi }_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}$。

$A_n$为偶函数，${\phi }_n$为奇函数。

令复数$\frac{1}{2}{A}_n{e}^{j{\phi }_n}=|F_n|e^{j{\phi }_n}=F_n$，称$F_n$为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。

得到指数形式的傅里叶级数：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\Omega t}$$
表明：任意周期函数$f(t)$可分解为许多不同频率的虚指数函数之和。 $F_n$是频率为$n\Omega$的分量的系数，$F_0=A_0/2$为直流分量。

复傅里叶系数$F_n$的求解公式：
$$F_n=\frac{1}{2}{A}_n{e}^{j{\phi }_n}=\frac{1}{2}(A_n\cos {\phi }_n+j{A}_n\sin {\phi }_n)=\frac{1}{2}(a_n-j{b}_n)$$
$$=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos (n\Omega t)dt-j\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin (n\Omega t)dt$$
$$=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$$

3 三种展开方式关系总结

三角形式的傅里叶级数：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (n\Omega t)$$
$$f(t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos (n\Omega t+{\phi }_n)$$

$$\{\begin{array}{c}{A}_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ {\phi }_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{a}_n=A_n\cos {\phi }_n\\ b_n=-A_n\sin {\phi }_n\end{array}$$

指数形式的傅里叶级数：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\Omega t}$$

$$F_n=|F_n|e^{j{\phi }_n}=\frac{1}{2}{A}_n{e}^{j{\phi }_n}=\frac{1}{2}(A_n\cos {\phi }_n+j{A}_n\sin {\phi }_n)=\frac{1}{2}(a_n-j{b}_n)$$
$$A_n=2|F_n|$$

附 ：狄里赫利(Dirichlet)条件

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在)；

反例（无限个第一类间断点）：

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；

反例：

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

反例：

参考：

国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟

十分感谢三连支持！最靓的公式送给最靓的你：

$$e^{i\pi }+1=0$$

我讨厌傅立叶级数的叫法，这老让我感觉到很深奥，但当我用三角级数时，感觉就大不同了！！

下面进入正题

正弦波

信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关，三角函数又常常叫正弦函数，实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数。（假设θ为自变量，θ称为相位或相角，单位rad）

 

当我们引入动态的概念后（角频率，角速度,相位 θ=ωt+ψ）,正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波（同上不管是sin还是cos都称正弦波）正弦波具有三个要素，角频率，初相位和波幅（振幅），通用的公式来描述正弦波。

Sean:“波”就是一个动态的概念，三要素能唯一表征出一个正弦波，生活中最常见的交流电就是正弦波

 

 

三角函数的正交性

不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

为什么呢

因为不同频率的正弦波相乘（不管是sin还是cos）通过积化和差总是可化为两个正弦波之和或差，而我们知道们,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分，取周期)，当同频时则结果等于它的周期的一半。

 

 

信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式

 

 

傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)，的结果必然为0。

傅立叶级数（实质就是三角级数）

“任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。（所有的目标，谐波表示法）

直观地可以用下面这个式子来表示

 

利用三角函数的变换公式，上式可变形为

 

现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对 f(t)用sin(κωt)进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分)，那么就有。

不要问为什么要加上积分，当然是为了利用三角积分的性质啦

 

附 :（0，T）代入可得T/2

 

 非无穷函数展开为三解级数

上面的结论都是针对“波”即随时间变化的无限的函数(定义域为负无究到正无究的函数)通常它含有ωt,角频率的自变量t形式。此时只有周期函数才能展开为傅立叶级数。在信号在信号处理领域我们称傅立叶级数只针对周期函数。

特别注意实际上如 脉冲函数，一个方波等的函数，定义域也是无究的，只是值域可能为零。但它们是非周期函数，所以不能直接展开为三角级数。这也正是提出傅立叶变换的原因

跳出信号处理的领域回归更一般的场合--定义域非无究的情况，傅立叶级数的定义为

(系数的计算和上面方法是类似的)

 

而且f(x)可以是分段连续的，此时关于其断点的傅立叶级数收敛性有：

 

“波”的傅立叶级数实质就是区间傅立叶级数的周期拓展的结果。

傅立叶级数的周期延拓

奇函数的偶函数关于对称区间的积分

 

余项级数（余弦项的级数）

因此如果对区间为(0,L) （这里的L来源于绝缘棒的长度）的函数进行偶延拓，则三角级数所有的正弦项系数（奇函数积分）将全为0，因此只有余项级数

 

如果进行奇延拓，则三角级数只有正弦级数

 

吉伯斯现象

对于存在断点的函数的三角级数，在断点处的傅立叶级数的展开式总会有一个上冲。（对连续的部分当然是是随着三角级数项增加而无限接近，但断点处却不能，而总会有一个上冲，而且恒接近于1.09）

 

 

 

狄利克雷充分条析

傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，但狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点