通俗易懂的入门文章

*知乎：傅里叶分析之掐死教程（完整版）

更加详细的解释及推导

如何通俗地理解傅立叶变换？

*如何理解傅立叶级数公式？

如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？

**从傅立叶级数到傅立叶变换

更加详细的内容参照 马同学的博客-傅立叶及拉普拉斯专栏
Fourier transforms in image processing (Maths Relevance)

版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明原文出处！
写作时间：2019-10-31
如果有公式乱码，参见我的个人博客从傅立叶级数到傅立叶变化

文章目录
傅立叶级数
傅立叶变换

写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
傅立叶级数
学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。
设周期为$T$的周期函数$f(x)$的傅立叶级数为
$f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2\pi n x}{T}+b_{n} \sin \frac{2\pi n x}{T}\right) \tag{1}$
其中，系数$a_n$和$b_n$分别为：
$\left.\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=0,1,2, \cdots)} \\ {b_{n}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right\} \tag{2}$
利用欧拉公式$\cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t i}}{2}, \quad \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t i}-\mathrm{e}^{-t i}}{2 \mathrm{i}}$
可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式
$f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \tag{3}$
系数$c_n$为
$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \tag{4}$
傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。
傅立叶变换
傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。
傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。


图片来源：Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform
下面我们看一下，当周期$T$趋于$\infty$的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。
令$\frac{1}{T} = \Delta \omega$，则
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \sum\li…
当$T \to \infty$时，$\Delta \omega \to 0$，$\Delta \omega \to \mathrm{d}\omega$ ，$\mathrm{d}\omega$和$n \mathrm{d}\omega$都成为连续的变量，记为$\omega$。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \lim_{T…
对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi\omega x \mathrm{i}} \mathrm{d}x \tag{5}$
而相应地傅立叶逆变换可以表示为
$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{2\pi\omega x \mathrm{i}}\mathrm{d}\omega \tag{6}$

泰勒级数

再讲傅立叶级数之前，我想先谈谈泰勒级数。因为傅立叶级数很大程度上与泰勒级数类似。
泰勒级数意义

泰勒公式描述了任何初等函数都可以靠多项式拟合形成。具体点就是通过某一点的数值+导数+导数的导数，以此类推。
举个常用的泰勒展开式
这个公式可以用来推导欧拉公式(待会要用)
泰勒公式推导

由于

可以看到 
  是泰勒级数的余项，可以视为无穷小，所以再做函数拟合的时候，可以按照精度适当丢弃。
傅立叶级数

傅立叶级数是用来正余弦函数的多项式和的形式表示周期函数的方法，其思想有点类似与泰勒级数。都是通过多项式的线性叠加来拟合原函数。(扩展一下，神经网络其实也是通过多项式来拟合目标函数)
 是为了计算方便，也可以表示成 
可以看到我们只要确定 
 、 
 、 
 就能把原周期函数表示为正弦与余弦信号的叠加。
计算傅立叶级数的系数
在三角函数系 
 中， 
 区间内是正交的，正交在线代里面的是指向量垂直即 
 ( 
 )，这里推广到函数正交，即从求和公式推广到积分公式。
我们可以用这个性质来计算系数，我们对 
 两边对 
 在 
 上积分。
所以 
我们接着对 
 两边乘 
 并对 
 在 
 上积分。
同理
于是3个系数就全部出来了

这样周期性函数就能通过傅立叶级数展开。 
由于我们可以通过变量置换 
 ，这样傅立叶级数可以拟合任意连续的周期为 
 的函数。
性质：对于高次项的正余弦函数是形成突刺的原因，又称高次谐波。
连续性傅立叶变换 
由欧拉公式可得
代入
得
整理得
我们可以看到 
 与 
 对称，所以可以把求和扩大到 
 ,并且可以把 
 当成 
 的特殊情况，所以我们可以得出一个漂亮式子：
我们可以看到一般周期函数，已经可以投影到自然底数的正交基中。
接着，傅立叶变换的物理意义先明确下，是将普通函数转换到频域空间中。事实上傅立叶级数已经可以把一般周期函数延拓到频域空间，只不过是无穷项和的形式。现在要做的是，怎样把周期函数延伸到普通函数，并且试试将无穷项和的形式换一种方式。
频域图
将 傅立叶级数
 展开就能得到频域图，如下：
我们为了拟合非周期函数，则必须要把周期 
 放到到无穷大。这样频域图就会变成曲线，如下：
注意，这个函数图像就是我们要求的 
 , 即傅立叶变换后频域的函数。
并且我们将 
 的周期 
 也就是：
可以看到 
 就是傅立叶正变换。
而原函数的表达式：
即傅立叶反变换。

 2020-03-23
傅立叶级数是将周期函数表示成由多个 (或无穷多个) 不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合，这些不同的频率是不连续的，例如傅立叶级数：
 ，
其 sin 内的 x, 3x, 5x 是不连续的。而傅立叶积分是将傅立叶级数延伸到非周期函数，但这些不同的频率是连续的，例如：若 f(x) 的傅立叶积分=
 ，其
 cos 内的 wx 是连续的 (因 w 积分从 0 积到 ∞)。至于傅立叶变换是将函数变换成另一种形式，以方便某些领域的计算。接下来，我们将傅立叶级数及变换分成十个章节来探讨。
周期函数
(1). 若函数 f(x) 的定义域为实数集合 R 且存在一正数 T，使得 f(x+T)=f(x)，x∈R，则称 f(x) 为周期函数，且此正的数值 T 称为 f(x) 的周期。
(2). 若 f(x) 和 g(x) 的周期均为 T，则 h(x)=af(x)±bg(x) 亦为周期 T 的函数。
(3). 若 f(x) 的周期为 T，则 f(kx) 的周期为： 
。
(4). 若 f(x) 的周期为 mT，g(x) 的周期为 nT，则 h(x)=af(x)±bg(x) 的周期为 m, n 的最小公倍数乘以 T。(若 m, n 为分数，则先通分后再取分子的最小公倍数)
(5). 常数函数 f(x)=c，亦为周期函数，其周期为任意数。
(6). 级数 
，其中 
 均为常数，则此级数称为三角级数，而 
 称为此级数的系数。
(7). 三角级数的周期为 2π。
(ex.47) 求 sin(2x)+cos(3x) 的周期。
Sol：
(1) . sin(2x) 的周期为 
(2) . cos(3x) 的周期为 
，而 
，两周期的分子
 3 和 2 的最小公倍数是 6，所以 sin(2x)+cos(3x) 的周期为 
周期为 2π 的傅立叶级数
(1). 若函数 f(x) 是周期为 2π 的周期函数，则其可以用下面的三角级数表示： 
(2). 在上式中，若 f(x) 已知，则 
 可由下法求得： 
，
n=1, 2, 3…
，
n=1, 2, 3…
pf：略
(3). 用法：要求周期为 2π 的周期函数 f(x) 的傅立叶级数时，
   (a). 抄下 
 。
   (b). 抄下 
。
   (c). 将题目的 f(x) 代入 (b) 式。
   (d). 将 (b) 式积分出来，求出 
 。
   (e). 重复 (b)~(d) 式，算出 
 。
  (f). 最后将 
 代入
 (a) 式。
 (g). 
 求出前三项之值 (
n=1, 2, 3 代入)，找出其规律。
(4). 若 
 ，则右式称为
 f(x) 的傅立叶级数，而
 称为 
f(x) 的傅立叶系数。
(ex.48) 求 f(x) 的周期为 2π，且 
 ，求
 f(x) 的傅立叶级数。
Sol：由傅立叶级数公式知
        (1). 
       (2). 
      (3). 
偶函数与奇函数的傅立叶级数
此节的目的是要简化计算傅立叶系数的过程。
(1). 若函数 f(x) 满足 f(-x)=f(x)，则 f(x) 称为偶函数，例如： 
 等，或图形沿
 y 轴对折，左右两边图形会重叠在一起，如下图：
(2). 若函数 g(x) 满足 g(-x)=-g(x)，则 g(x) 称为奇函数，例如： 
 等，或图形沿
 y 轴对折，再沿 x 轴对折，右上图形与左下图形会重叠在一起，如下图：
(3). 偶函数与偶函数的乘积为偶函数，例如： 
 为偶函数；偶函数与奇函数的乘积为奇函数，例如： 
 为奇函数；奇函数与奇函数的乘积为偶函数，例如： 
 为偶函数。
(4). 偶函数积分积一个周期等于积半个周期的 2 倍，即若函数 f(x) 是周期为 2π 的偶函数，
 。
(5). 奇函数积分积一个周期的值为 0，即若函数 g(x) 是周期为 2π 的奇函数，则 
 。
(6). 若函数 f(x) 是周期为 2π 的周期函数，且为偶函数，则 f(x) 和 f(x)cosnx 为偶函数，f(x)sinnx 为奇函数，所以 f(x) 的傅立叶级数为： 
 ，
其中， 
 ， 
 ，
 。
(7). 若函数 f(x) 是周期为 2π 的周期函数，且为奇函数，则 f(x) 和 f(x)cosnx 为奇函数，f(x)sinnx 为偶函数，所以 f(x) 的傅立叶级数为： 
，
其中， 
， 
(ex.49) f(x) 的周期为 2π，且 
 ，求
 f(x) 的傅立叶级数。
Sol：f(x) 可改写成 
  因为它是偶函数，所以
   (1). 
   (2). 
   (3). 
   (4). 
任意周期函数之傅立叶级数
(1). 周期为 2L 的周期函数 f(t) (注：L 为半周期)，其傅立叶级数为：
 ，其中，
 ， 
 ， 
Pf：略
说明：周期为 2L 的傅立叶级数，只要将周期为 2π 的傅立叶级数作下列二项修改，
   (a). 将公式的所有 π 改成 L；
   (b). 将 sin 和 cos 内的 x 改成 
 。
(2). 周期为 2L 的偶函数 f(x)，其傅立叶级数为： 
 ，
其中， 
 ， 
 。
(3). 周期为 2L 的奇函数 f(x)，其傅立叶级数为： 
 ，
其中， 
 。
(ex.50) 周期为 4 的 f(x)，且 
 ，求
 f(x) 的傅立叶级数。
Sol：週期 2L=4 
 ，所以
 (1). 
   (2). 
   (3). 
   (4). 
    (5). 所以 
半周期函数 (或称半周期展开)
(1). 若給定一半週期函數，如週期是 2L 的函數，f(x) 只在 [0, L] 內有定義，現要將函數f(x)的定義擴展到 (-∞, ∞)，其擴展的方式有二種：
   (a). 偶函数扩展：即先扩展到 [-L, L]  一周期的偶函数，再扩展到 (-∞, ∞)。
   (b). 奇函数扩展：即先扩展到 [-L, L]  一周期的偶函数，再扩展到 (-∞, ∞)。
  函数本来定义在 [0, L] 半周期内，经以上的扩展方式，周期均变为 2L，称为"半周期展开"。
(2). 要求半周期展开的傅立叶级数时，可以使用上节「任意周期函数之傅立叶级数」方法求得，及若是偶函数扩展或奇函数扩展，则代偶函数或奇函数的傅立叶级数公式。
(ex.51) 求下列函数的偶函数和奇函数半周期展开，且 
 。
Sol：半周期 L=2
   (1). 展开成一周期偶函数
     (a). 偶函数扩展： 
     (b). 
     (c). 
     (d). n=1, 2, 3, …代入，得 
 、 
 、 
 、 
 、 
 、 
 ，….
    (e). 所以 
(2). 展开成一周期奇函数
     (a). 奇函数扩展： 
     (b). 
     (c). n=1, 2, 3, …代入，得 
 、 
 、 
 、 
 、 
 、 
 ，….
    (d). 所以 
复数傅立叶级数
(1). 也可以用复数方法来求傅立叶级数，其与用前面的方法求出来的答案相同。
(2). 函数 f(x) 是周期为 2π 的函数，其复数傅立叶级数为 
，其中， 
，n=0, ±1, ±2, …
(3). 要求复数傅立叶级数时，
   (a). 抄下 
 。
   (b). 抄下 
 。
   (c). 将题目的 f(x) 代入 (b) 式。
   (d). 将 (b) 式积分出来。
   (e). 求出 
 中的第
 -k 项 (即 
 和第
 k 项 (即 
 ，再将此二项相加起来，以消去虚数部分。
   (f). 求出 
 的第
 0 项 (即 
 )。
  (g). 
 ，答案与用前面方法求出答案相同。
注：
(i). 若题目要求「复数傅立叶级数」，只要做到 (d) 步骤，再将 
 代回 
(a) 式即可；
(ii). 若题目要求「傅立叶级数」，则还要往下做以消去虚数 i，其結果与用前面方法求出答案相同。
(4). 函数 f(x) 是周期为 2L 的函数，其复数傅立叶级数为： 
，其中， 
，n=0, ±1, ±2, …
说明：周期为 2L 的复数傅立叶级数只要将周期为 2π 的复数傅立叶级数作下列二项修改：
   (a). 将公式的所有 π 改成 L；
   (b). 将 e 的指数 x 改成 
 。
(ex.52) 若 f(x) 的周期为 2π，且 
 ，用复数方法求
 f(x) 的傅立叶级数。
Sol：  
(1). 
 。
(2). 
 。
(注： 
 ，因
 n 是整数，所以 sin(-nπ)=0)
(3). (a). n=-k 代入 
    (b). n=k 代入 
  (c). (a)+(b) 
(4). n=0 代入 
(5). 
   (答案与「周期为 2π 的傅立叶级数」中 (ex.48) 相同。)
傅立叶积分
(1). 若函数 f(x) 为非周期性函数或考虑整个 x 轴时，就要使用傅立叶积分。
(2). f(x) 的傅立叶积分为： 
 ，其中， 
 、 
(3). 若 f(x) 是偶函数，则 B(w)=0；若 f(x) 是奇函数，则 A(w)=0。
(ex.53) 若 
 ，求其傅立叶级数。
Sol： 
   所以 f(x) 的傅立叶积分 
傅立叶余弦与正弦变换
(1). fc(w) 称为 f(x) 的“傅立叶余弦变换” (其中，c 表示 cos)， 
(2). f(x) 称为 f(x) 的“反傅立叶余弦变换”， 
(3). fs(w) 称为 f(x) 的“傅立叶正弦变换” (其中，s 表示 sin)， 
(4). f(x) 称为 f(x) 的“反傅立叶正弦变换” (其中，c 表示 cos)， 
(5). 它们在某些应用中仍然是首选，例如信号处理或统计。
(ex.54) 若 
 ，求其
 (1).傅立叶余弦级数；(2).傅立叶正弦级数。
Sol：
(1). 傅立叶余弦转换， 
(2). 傅立叶正弦转换，
离散傅立叶变换
(1). 在数字影像处理或通信系统的应用中，所处理的数据都是离散 (非连续) 数值。
(2). 令 f(x) 是周期为 2π 的周期函数 (0≦x≦2π)，对 f(x) 做 N 次相同“间隔点”(是离散数值)的量测，即间隔点为 
，
k=1, 2, …., N-1，量测到的值是 
注： 
 符号上面有箭头，表示其为向量。
(3). 则 f(x) 的离散傅立叶变换 
 ，即
 = 
其中，
   (a). 
 為
 NxN 傅立叶矩阵。
   (b). 
 的
 a・b 是矩阵行与列位置的相乘，因 
 為
 NxN 矩阵，有时候 
 會寫成 
   (c). 
 。
   (d). 
(ex.55) 令 N=4 次量测 (取样值)，量到的值为 
 ，此离散傅立叶变换为何？
Sol： 
 ＝ 
 = 
 = 
快速傅立叶变换
(1). 离散傅立叶变换的矩阵 NxN，若取样点有 1,000 点，其计算时间会很常，此时可以用快速傅立叶变换 (Fast Fourier Transform, FTF) 来解题。
(2). 快速傅立叶变换是将 N 分成 2 组，即 N=2M 来解。
(3). 将原向量 
 分解成二个包含 
M 个分量的向量，及包含所有的偶数分量 
 ，和包含所有的奇数分量 
(注：有顶线的 f 表一向量，而无顶线的 f 表一纯量。)
(4). 分别对 
 和 
 计算其离散傅立叶变换，可利用下列公式求得：
 ---(A)
---(B)
(注：上面两个 
 是相同的。)
(5). 由 (A)、(B) 我们可以得到某一组量测点 f 的离散傅立叶变换，即为：
(ex.56) 令 N=4 次量测 (取样值)，量到的值为 
 ，此离散傅立叶变换为何？
Sol：因 N=4，所以 
 ，而 
 ，
(M=2)， 
 = 
 ，
(N=4)，
由 (A) 式得 
由 (B) 式得 
由 (C) 式得 
由 (D) 式得 
Ref.: 
李狗嗨：如何给文科生解释傅里叶变换？​zhuanlan.zhihu.com
分类：文章 >>数学 >>高等