傅里叶级数 订阅
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。 展开全文
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。
信息
外文名
Fourier series
提出者
傅里叶
应用学科
数学
中文名
傅里叶级数
性    质
一种特殊的三角级数
适用领域范围
任何周期函数
傅里叶级数来源
法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 [1] 
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  • 傅里叶级数

    2019-04-24 12:59:01
    傅里叶级数,超级详细教程,新手入门即可懂。
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  • 傅里叶级数 包括傅里叶级数的各个公式以及图像
  • 傅里叶级数傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。傅里叶级数公式如下:其中傅里叶级数公式推导把周期函数表示成三角级数周期函数是客观世界中周期运动...
    e442d0a1fe57f34ea0ac5bc6736e3839.png

    傅里叶级数

    傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
    傅里叶级数公式如下:

    12d92ac8c473304c9bf0a9d614cd990d.png

    其中

    6c9f09000148225c690682d9fd6617ab.png

    傅里叶级数公式推导

    把周期函数表示成三角级数

    周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,一般我们表示为:

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    傅里叶猜想任何一个周期函数都可以表示成下面的样子:

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    因为n是从1到无穷大,是一个无穷级数。这里强调一下,傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率 w0,之后的角频率必须是 w0 的整数倍,这个也是离散傅里叶变化(DTF)角频率取值原则。

    我们根据三角公式

    c31c040a9855016b4b796dd3d5e449ac.png

    可以将(5)式转化成如下形式

    84224d913745085f894f6b060f41432f.png

    我们合并常数项,计作

    9cf3188fe2eb750a6b678d4c8e592b38.png

    得到

    67064a9d556728dc6aefa4b3688d44d3.png

    我们只需要计算出A0、an、bn的值就可以了。
    我们由泰勒级数知道任意一个函数都可以用一个多项式来逼近

    816c81bb3ef5151a029aa31020b605d7.png

    由麦克劳林可得

    f732e3b53b103babec3d9a7907e65a30.png

    在每个等式中令x = 0,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值

    5fbf43d96271b727c739ba705fc7f7b9.png

    则可以推导出

    a06d17904d10a331dbf2894b2c453569.png

    然后我们对(6)式进行积分,我们三角函数在一个周期内的积分是0,可以解出A0。

    三角函数的正交性

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    由三角函数性质可以推导出

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    当k≠n的时候有

    a671ae97efc4ef299482bb2238920bed.png

    由上面的(6)式

    64bae83c0b6878ba233ad1869fc7cbfd.png

    对(6)式进行-π到π的积分,我们在此区间的可积性不做证明。

    c9577139ab04acde84798a413008ffec.png

    解得

    eeb5615206937e606d82bafbfb916634.png

    我们下面来求an和bn

    09389a6af70104a28dd8e07664c9cedb.png

    逐项积分

    2e077452e0b24f821e22f6f0c85e4359.png

    由三角函数正交性

    c659f95950ae0e5057f39b6a5e5309f6.png

    345de47dd1b6d0a7e0a868c0d96b6046.png

    同理得到

    d5d2cd2c2c1e5c1c6706024db9effd1b.png

    (6)式变为

    36b6ae97ab7f38cb49ce999302b2b3bf.png

    将假设T = 2π带入得

    c11f2b234f77c22a2bd6e4eb21099778.png

    目前我们也是需要区间内可积的问题,这里讲一点小故事,就是傅里叶一生致力于热学的研究,傅里叶级数和变化也最开始作用于热学问题的解决,论文发表后,一些学者标识方波无法达到可积条件,但是可以充分拟合,所以整体上还是没有问题的。

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  • 傅里叶级数的三角函数形式,傅里叶级数的复指数形式,

    eiθ=cosθ+isinθcosθ=12eiθ+12eiθsinθ=12ieiθ12ieiθ

    欧拉公式的存在,建立了三角函数与复指数之间的桥梁,也使得相当多的数学公式形式变得简单。

    1. 傅里叶级数(fourier series)

    u(t)=a02++n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)

    2. 傅里叶级数的复指数形式

    为简化运算,不妨令 θ=2πnFt,则:

    u(t)=====a02++n=1(ancos2πnFt+bnsin2πnFt)a02+n=1(ancosθ+bnsinθ)a02+n=1((12an12ibn)eiθ+(12an+12ibn)eiθ)a02+n=1((12an12ibn)ei2πnFt+(12an+12ibn)ei2πnFt)n=Unei2πnFt

    其中:

    Un=12an12ibn,12a012a|n|+12ib|n|,n1n=0n1

    化为更一般的形式即为:

    f(λ)=k=tkeikλ,λ[0,2π]tk=12π2π0f(λ)eikλdλ
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  • 傅里叶级数傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。傅里叶级数公式如下:其中傅里叶级数公式推导把周期函数表示成三角级数周期函数是客观世界中周期运动...
    2c9a326b8cca8b7d1bc854507a922ac3.png

    傅里叶级数

    傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
    傅里叶级数公式如下:

    700655cd745085a0b8d129a13e98ac7b.png

    其中

    7ba4a2fa84f7e1014770f4b0ffb16925.png

    傅里叶级数公式推导

    把周期函数表示成三角级数

    周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,一般我们表示为:

    8b9dedb81f2b9dd81f45db08e408c720.png

    傅里叶猜想任何一个周期函数都可以表示成下面的样子:

    8ee50f164742e926e80b8e9baa5b2052.png

    因为n是从1到无穷大,是一个无穷级数。这里强调一下,傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率 w0,之后的角频率必须是 w0 的整数倍,这个也是离散傅里叶变化(DTF)角频率取值原则。

    我们根据三角公式

    4a727aef06a7a21e756fa17460181415.png

    可以将(5)式转化成如下形式

    328eb2061ae42c528ceecbd08b5b9eaa.png

    我们合并常数项,计作

    a0455a70d268cd5a2eaff0c3a2293d12.png

    得到

    de719954dab70af7d2592ade847d8886.png

    我们只需要计算出A0、an、bn的值就可以了。
    我们由泰勒级数知道任意一个函数都可以用一个多项式来逼近

    4166a34a51c1478e6d7a2d558987b882.png

    由麦克劳林可得

    9ffe7d6a765d2882098d1d086a6d8209.png

    在每个等式中令x = 0,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值

    4a068c46822bb4a35f60bfd1ae0e2082.png

    则可以推导出

    96b9b1f93fd041769cc445ccb18c1514.png

    然后我们对(6)式进行积分,我们三角函数在一个周期内的积分是0,可以解出A0。

    三角函数的正交性

    9e53b2b6ec4e75db05d18dd8f30e1319.png

    由三角函数性质可以推导出

    3b649548af2ff287be7fff2ee46c8e46.png

    当k≠n的时候有

    aacb8f36df8fb40ed788ca87e658350b.png

    由上面的(6)式

    2755abbaa2ae4dbf6f7bac423f73ddcc.png

    对(6)式进行-π到π的积分,我们在此区间的可积性不做证明。

    9ddce2903472d504d1521f4b4b12da79.png

    解得

    d8da66caa1807f235c7ca9374ee615cc.png

    我们下面来求an和bn

    43e6ee17e2a9898f4a4bdd21df322393.png

    逐项积分

    5c03b98fe9954b8022279f371fb73d14.png

    由三角函数正交性

    01811c38be5157eb3a573f29163aee96.png

    37848a825f09a8dcc6e7bd7e9b4aa574.png

    同理得到

    1a4d46c97eac7b85108a5a4d039f9ca6.png

    (6)式变为

    54e3479189b2e8103540fcb680fa8870.png

    将假设T = 2π带入得

    701b5b5d531b01444792ab3c5595059f.png

    目前我们也是需要区间内可积的问题,这里讲一点小故事,就是傅里叶一生致力于热学的研究,傅里叶级数和变化也最开始作用于热学问题的解决,论文发表后,一些学者标识方波无法达到可积条件,但是可以充分拟合,所以整体上还是没有问题的。

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  • 我们学高等数学无穷级数里面有一个重要的级数叫做傅里叶级数,这个级数表述起来非常复杂,不好理解,很多人也是看到这个级数感觉摸不着头脑,被一长串公式吓到了,这里将通俗讲解傅里叶级数傅里叶级数是周期函数一...

    我们学高等数学无穷级数里面有一个重要的级数叫做傅里叶级数,这个级数表述起来非常复杂,不好理解,很多人也是看到这个级数感觉摸不着头脑,被一长串公式吓到了,这里将通俗讲解傅里叶级数。

    傅里叶级数是周期函数一个级数,对于一个满足一定条件的周期为T的周期函数f(t),可以分解为以下形式:

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    简单来讲,傅里叶级数就是将一个周期函数分解为一系列正余弦函数的线性组合,看公式还是不好理解,举个例子,下图就是某周期函数分解出的四个正弦曲线,最上面那个频率最小的波称之为基波,第二条正弦曲线的频率为基本的两倍,第三条曲线的频率是基波的三倍,以此类推,周期函数还可以分解成很多正弦函数,频率倍数依次递增,通过图像可以直观看出每条曲线的振幅和相位。

    bd646aa85b14d9d5cbdf03f89f8cbf2f.png

    那么,为什么要干这么麻烦的事呢?数学家闲着没事搞这些复杂的东西来干啥呢?这就要介绍一下分解在我们生活中的应用,我们在学高中物理时要经常要将力进行分解,这样做的目的是分析物体在不同方向上的受力特征,并且分析该力会产生什么效果,同样,我们的耳朵听到的声音就是一个关于时间的信号,这些声音是由很多声音叠加而成的,我们的大脑在接收声音信号后会将这个信号分解,于是我们就会识别声音中有哪些是人的说话声,哪些是动物的叫声,哪些是汽车声音,哪些是噪音,于是我们就能得到对我们有用的信息,电子设备同样可以分解信号获得有用的信息,甚至可以过滤无用的信息。总之,分解对于信息的处理是很重要的。

    既然分解的应用很重要,那么为什么要将周期函数分解为三角函数呢?为什么不分解为简单的周期函数呢?比如这样的锯齿波:

    cb7f88f2f93fb906af2932b0f5fd2a00.png

    这里就要讨论正余弦函数的特殊性质,正余弦函数的微分和积分运算的结果以及同频率的正余弦函数的线性运算结果仍然还是正余弦函数,周期即频率不变,只有振幅和相位会发生变化,这叫做运算的形式不变性,而锯齿波、方波等不具有这样的性质,广义来讲复指数函数的运算具有形式不变性,正余弦函数是复指数函数中的一类。对于一个已知结构的系统,如果输入信号是正余弦信号,那么输出信号也是正余弦信号,并且很容易计算出来,对于线性系统来说,如果输入信号是周期信号,那么将它分解为正余弦信号,然后分别求解这些分量的输出信号,最后再线性叠加,就可以得到最终的输出信号。比如:

    8c9ea1ad30cdc6b7bf8feff6522e9bb7.png

    既然理解了傅里叶分解的重要性,那么傅里叶级数是如何来的呢?接下来讲傅里叶级数的推导过程,如果一个余弦函数为f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一个余弦函数cos2ω0t,角频率为2ω0,周期也是T,余弦函数cosnω0t,角频率为nω0,周期也是T,正弦函数也具有相同的性质。根据周期函数的性质,周期相同的周期函数的线性组合也是同周期的函数,比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期为T=2π/ω0的周期函数,在加上一个常数也是如此,即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期为T=2π/ω0的周期函数。根据这种思想,我们将所有周期相同但频率不同的正余弦函数组合在一起,构造成一个无穷级数:

    0ad45d0616feae8025e2044a12d600ad.png

    这样的一个函数就是周期为T=2π/ω0的周期函数,其中,C为常数,an和bn为各频率余弦与正弦的系数,只要改变常数和各系数就可以表示不同的周期为T的函数。既然三角函数可以组合为周期函数,那么反过来,一个周期已知的周期函数是否可以这样分解呢?如果可以分解,那么只要计算出常数和各系数就可以分解出来,那么,计算常数和各系数就是一个关键问题。

    要计算常数和各系数,首先要了解一些三角函数积分特征,如下,其中,n,m为正整数,T=2π/ω0。

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    将周期函数f(t)做一个积分:

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    于是,我们通过这样的一个积分,把常数项给算出来了,接下来计算各频率余弦的系数,构造一个积分:

    b064f1b3c46b03f812430e9d44cce5cd.png

    上式中,如果n=0,那么

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    接下来就是计算各频率正弦系数,构造积分:

    caf56a00257f01275d268c122d5028e2.png

    通过这方法,我们就能计算常数和所有的系数,这样一来,傅里叶级数的表达式就推导出来了,然而,不是所有的周期函数都可以这样分解,必须满足一定条件:在一个周期内绝对可积、第一类间断点数量有限、极值点有限、不存在第二类间断点,正切函数就不满足这个条件,所以虽然正切函数是周期函数,但不能分解为傅里叶级数。

    也许有些人有疑问,锯齿波可以分解为傅里叶级数,但是锯齿波存在很多“折点”,函数图像中的“折点”是不可导的,而傅里叶级数是正余弦函数构成的,我们知道,正余弦函数在整个实数域都是可导的,那么这是否就矛盾呢?其实要解释这个问题不难,举个例子,有限个有理数之和一定是有理数,如果是无限个有理数之和呢?比如:

    f0a5cfca3382029e316e91332e60a604.png

    对于傅里叶级数,同样可以这样理解,有限个正余弦函数的线性组合,依然是实数域可导的,但无限个正余弦函数的线性组合,就可能会存在不可导点,这是无穷级数的一个特殊性质。

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  • 微信公众号: xiaoshi_IC,小石谈IC名字比较拗口,实际上是:对于一个周期函数,从 三角形式傅里叶级数 引申到 指数形式的傅里叶级数,为什么引申到指数形式,因为加入指数形式后,运算更加简洁,同时引入了方向的...
  • 参考资料:数学物理方法 (德)顾樵 编著这是我最近自学顾樵的《数学物理方法》中的傅里叶级数和傅里叶变换两章时所做的笔记笔记写得很烂大家就随便看看吧笔记中没有包含傅里叶变换的应用。这里还是应该稍微提一下。...

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