傅里叶级数 订阅
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。 展开全文
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。
信息
外文名
Fourier series
提出者
傅里叶
应用学科
数学
中文名
傅里叶级数
性    质
一种特殊的三角级数
适用领域范围
任何周期函数
傅里叶级数来源
法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 [1] 
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  • 此应用程序允许用户定义分段函数,计算三角傅立叶级数展开的系数,并绘制近似值。
  • 主要介绍了python实现傅里叶级数展开的实现,小编觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。一起跟随小编过来看看吧
  • 计算 RL 电路输出端的电压、电流和阻抗。 来自半波整流电路的信号
  • 这里的程序绘制了用户给定 'Ck' 的周期信号图。 以下数据应由用户输入。 1. Ck 值(分别为 k=0、k= even 和 k=odd) 2. 周期函数的时间段3. 分辨率4.... 可用于 Ck 值的变量如下1....我们可以学习以下1....
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  • 这个程序试图逼近函数 f(x) 从 -L 到 L 使用 quad(MATLAB 函数)的 m 项傅立叶级数
  • 高数考研归纳 - 级数 - 傅里叶级数

    千次阅读 2020-11-25 13:48:50
    (不重要)(1) 简谐振动函数(2) 非正弦周期函数(3) 以 2l \,2l\,2l为周期的三角级数(4) 以 2π \,2\pi\,2π为周期的三角级数(5) 三角函数系2 傅里叶级数基本概念(1) 傅立叶系数(2) 傅立叶级数 (Fourier ...

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    1 三角级数 (不重要)

    (1) 简谐振动函数

    y = A   sin ( ω t + φ ) y=A\,\text{sin}(\omega t+\varphi) y=Asin(ωt+φ)

      说明
        (1) 该函数的周期 2 π ω \frac{2\pi}{\omega} ω2π
        (2) 振幅 A A A
        (3) 角频率 ω \omega ω
        (4) 初相 φ \varphi φ

    (2) 非正弦周期函数

      对于周期为   T   \,T\, T的非正弦周期函数,可以用一系列以   T   \,T\, T为周期的正弦函数   sin ( n ω t + φ n )   \,\text{sin}(n\omega t+\varphi_n)\, sin(nωt+φn)表示:
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n sin ( n ω t + φ n )        ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) f(t)=A_0+\sum\limits^\infty_{n=1}A_n\text{sin}(n\omega t+\varphi_n)\;\;\;(n=1,2,3,...) f(t)=A0+n=1Ansin(nωt+φn)(n=1,2,3,...)

      其中, A 0 A_0 A0 A n A_n An φ n \varphi_n φn 均为常数.

      说明
        (1) 这种展开周期函数的行为被称为:谐波分析.
        (2) 直流分量 A 0 A_0 A0
        (3) 一次谐波 A 1 sin ( ω t + φ 1 ) A_1\text{sin}(\omega t+\varphi_1) A1sin(ωt+φ1)
        (4) 二次谐波 A 2 sin ( 2 ω t + φ 2 ) A_2\text{sin}(2\omega t+\varphi_2) A2sin(2ωt+φ2)
        (5) n   n\, n次谐波 A n sin ( n ω t + φ n ) A_n\text{sin}(n\omega t+\varphi_n) Ansin(nωt+φn)

    (3) 以   2 l   \,2l\, 2l为周期的三角级数

      对非正弦周期函数的展开进行变形代换可得三角级数
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π t l + b n sin n π t l )        ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\frac{n\pi t}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi t}{l})\;\;\;(n=1,2,3,...) 2a0+n=1(ancoslnπt+bnsinlnπt)(n=1,2,3,...)

        其中, a 0 a_0 a0 a n a_n an b n b_n bn 均为常数.

    (4) 以   2 π   \,2\pi\, 2π为周期的三角级数

    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos   n x + b n sin   n x )        ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\,nx+b_n\text{sin}\,nx)\;\;\;(n=1,2,3,...) 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)(n=1,2,3,...)

        其中, a 0 a_0 a0 a n a_n an b n b_n bn 均为常数.

    (5) 三角函数系

      三角函数系
    1 ,   cos x ,   sin x ,   cos 2 x ,   sin 2 x ,   . . . ,   cos n x ,   sin n x ,   . . . 1,\,\text{cos}x,\,\text{sin}x,\,\text{cos}2x,\,\text{sin}2x,\,...,\,\text{cos}nx,\,\text{sin}nx,\,... 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...

      三角函数系的正交性

        三角函数系中任何两个不同函数的乘积在   [ − π ,   + π ]   \,[-\pi,\,+\pi]\, [π,+π]上的定积分等于   0 \,0 0
    ∫ − π π cos   n x d x = 0        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) \int^\pi_{-\pi}\text{cos}\,nx\text{d}x=0\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) ππcosnxdx=0(n=1,2,3,...)

    ∫ − π π sin   n x d x = 0        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) \int^\pi_{-\pi}\text{sin}\,nx\text{d}x=0\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) ππsinnxdx=0(n=1,2,3,...)

    ∫ − π π sin   k x ⋅ cos   n x d x = 0        ( k ,   n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) \int^\pi_{-\pi}\text{sin}\,kx\cdot\text{cos}\,nx\text{d}x=0\;\;\;(k,\,n=1,\,2,\,3,\,...) ππsinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,...)

    ∫ − π π cos   k x ⋅ cos   n x d x = 0        ( k ,   n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . , k ≠ n ) \int^\pi_{-\pi}\text{cos}\,kx\cdot\text{cos}\,nx\text{d}x=0\;\;\;(k,\,n=1,\,2,\,3,\,..., k\neq n) ππcoskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,...,k=n)

    ∫ − π π sin   k x ⋅ sin   n x d x = 0        ( k ,   n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . , k ≠ n ) \int^\pi_{-\pi}\text{sin}\,kx\cdot\text{sin}\,nx\text{d}x=0\;\;\;(k,\,n=1,\,2,\,3,\,..., k\neq n) ππsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,...,k=n)

        注意
          (1) 1   1\, 1也在三角函数系中,所以三角函数系中任意函数自身在   [ − π ,   + π ]   \,[-\pi,\,+\pi]\, [π,+π]上的定积分也都等于   0 \,0 0.
          (1) 三角函数系中两个相同函数在   [ − π ,   + π ]   \,[-\pi,\,+\pi]\, [π,+π]上的定积分不等于   0 \,0 0,也不是定值.

    2 傅里叶级数基本概念

    (1) 傅立叶系数

       f ( x )   f(x)\, f(x)是定义在   ( − ∞ , + ∞ )   \,(-\infty,+\infty)\, (,+)上周期为   2 π   \,2\pi\, 2π的函数.
    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\text{d}x a0=π1ππf(x)dx

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=π1ππf(x)cosnxdx(n=1,2,3,...)

    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)

      如果通过上面三个积分都存在,那么它们定出的系数   a 0 \,a_0 a0 a 1 a_1 a1 b 1 b_1 b1、…就是   f ( x )   \,f(x)\, f(x)傅立叶系数.

    (2) 傅立叶级数 ( Fourier Series \text{Fourier Series} Fourier Series)

      将傅立叶系数代入以   2 π   \,2\pi\, 2π为周期的三角级数即得傅里叶级数
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos   n x + b n sin   n x ) \color{Blue}{\frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\,nx+b_n\text{sin}\,nx)} 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

    (3) 狄利克雷收敛定理 ( Dirichlet \text{Dirichlet} Dirichlet)

      设   f ( x )   \,f(x)\, f(x)是以   2 π   \,2\pi\, 2π为周期的可积函数,如果   f ( x )   \,f(x)\, f(x)满足:
        (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
        (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点.
      则   f ( x )   \,f(x)\, f(x)傅里叶级数收敛,且

        当   x   \,x\, x   f ( x )   \,f(x)\, f(x)连续点时,级数收敛于   f ( x ) \,f(x) f(x),即
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos   n x + b n sin   n x ) = f ( x ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\,nx+b_n\text{sin}\,nx)=\color{Blue}f(x) 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)=f(x)

        当   x   \,x\, x   f ( x )   \,f(x)\, f(x)间断点时,级数收敛于   1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] \,\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)] 21[f(x0)+f(x+0)],即
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos   n x + b n sin   n x ) = f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 \frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\,nx+b_n\text{sin}\,nx)=\color{Blue}\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)=2f(x0)+f(x+0)

    (4) 正弦级数和余弦函数

    正弦级数 (奇函数的傅里叶级数)

      奇函数的傅里叶级数是正弦级数
    ∑ n = 1 ∞ b n   sin n x \color{Blue}\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\,\text{sin}nx n=1bnsinnx

    b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=π20πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)

      由来:当   f ( x )   \,f(x)\, f(x)为奇函数时, f ( x ) cos   n x   f(x)\color{Purple}\text{cos}\,nx\, f(x)cosnx是奇函数, f ( x ) sin   n x   f(x){\color{Purple}\text{sin}\,nx}\, f(x)sinnx是偶函数,所以
    a n = 0 a_n=0 an=0 b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=π20πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)

        于是有   ∑ n = 1 ∞ b n sin n x \,\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\text{sin}nx n=1bnsinnx.

    余弦级数 (偶函数的傅里叶级数)

      偶函数的傅里叶级数是余弦级数
    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n   cos n x \color{Blue}\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\,\text{cos}nx 2a0+n=1ancosnx

    a 0 = 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x a_0=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x)\text{d}x a0=π20πf(x)dx a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=π20πf(x)cosnxdx(n=1,2,3,...)

      由来:当   f ( x )   \,f(x)\, f(x)为偶函数时, f ( x ) cos   n x   f(x)\color{Purple}\text{cos}\,nx\, f(x)cosnx是偶函数, f ( x ) sin   n x   f(x){\color{Purple}\text{sin}\,nx}\, f(x)sinnx是奇函数,所以
    a 0 = 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x a_0=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f(x)\text{d}x a0=π20πf(x)dx a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos   n x d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,nx}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=π20πf(x)cosnxdx(n=1,2,3,...) b n = 0 b_n=0 bn=0

        于是有   a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n   cos n x \,\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\,\text{cos}nx 2a0+n=1ancosnx.

    (5) 周期为   2 l   \,2l\, 2l的周期函数的傅里叶级数

    a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π x l + b n sin n π x l ) \color{Blue}\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}\big(a_n\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\big) 2a0+n=1(ancoslnπx+bnsinlnπx)

      傅立叶系数为:
    a 0 = 1 l ∫ − l l f ( x ) d x a_0=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\text{d}x a0=l1llf(x)dx

    a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=l1llf(x)coslnπxdx(n=1,2,3,...)

    b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=l1llf(x)sinlnπxdx(n=1,2,3,...)

         注意与以   2 π   \,2\pi\, 2π为周期傅里叶级数的傅立叶系数对比.

      当   f ( x )   \,f(x)\, f(x)奇函数时,
    f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n   sin n π x l        ( x ∈ C ) \color{Blue} f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\,\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\;\;\;(x\in C) f(x)=n=1bnsinlnπx(xC)

    b n = 2 l ∫ 0 l f ( x ) sin   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{2}{l}\int^l_{0}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=l20lf(x)sinlnπxdx(n=1,2,3,...)

      当   f ( x )   \,f(x)\, f(x)偶函数时,
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n   cos n π x l        ( x ∈ C ) \color{Blue}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\,\text{cos}\frac{n\pi x}{l}\;\;\;(x\in C) f(x)=2a0+n=1ancoslnπx(xC)

    a 0 = 2 l ∫ 0 l f ( x ) d x a_0=\frac{2}{l}\int^l_{0}f(x)\text{d}x a0=l20lf(x)dx

    a n = 2 l ∫ 0 l f ( x ) cos   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{2}{l}\int^l_{0}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=l20lf(x)coslnπxdx(n=1,2,3,...)

    3 傅里叶级数展开

    (一) 将周期为   2 π   \,2\pi\, 2π   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开成傅里叶级数

      原理:根据收敛定理,函数   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值,而在间断点收敛于该点左右极限的算术平均值. 所以函数   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的傅里叶级数展开式为:
    f ( x ) ∼ s ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos   n x + b n sin   n x ) , \color{Blue}f(x) \sim s(x)= {\frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}\,nx+b_n\text{sin}\,nx)}, f(x)s(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx) x ∈ { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] } \color{Blue}x\in\big\{x\big|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\big\} x{xf(x)=21[f(x0)+f(x+0)]}

         f ( x ) ∼ s ( x ) f(x) \sim s(x) f(x)s(x) f ( x )   f(x)\, f(x)展开为傅里叶级数   s ( x ) \,s(x) s(x).

      注意:特别注意傅立叶级数展开式   x   \,x\, x满足的条件. 这就是为什么我们不能认为   f ( x )   \,f(x)\, f(x)等于傅里叶级数,而要说是   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开成傅里叶级数. 因为根据狄利克雷收敛定理,函数   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值,而在间断点收敛于该点左右极限的算术平均值. 也就是说, f ( x )   f(x)\, f(x)与傅里叶级数相等,当且仅当   f ( x )   \,f(x)\, f(x)连续. 否则,在   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的间断点处,傅里叶级数会取左右极限的算术平均值.

      步骤
        step 1. 确定函数连续的部分 (找出间断点).
        step 2. 计算傅立叶系数   a 0 \,a_0 a0 a n a_n an b n b_n bn ( n = 1 , 2 , 3 , . . . n=1,2,3,... n=1,2,3,...).
        step 3. 将傅里叶系数代入傅里叶级数展开式即可.

      例. 设   f ( x )   \,f(x)\, f(x)是周期为   2 π   \,2\pi\, 2π的周期函数,它在   [ − π , π )   \,[-\pi,\pi)\, [π,π)上的表达式为:
    f ( x ) = { − 1 , − π ⩽ x < 0 , 1 , 0 ⩽ x < π . f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi\leqslant x<0,\\1,&0\leqslant x<\pi.\end{cases} f(x)={1,1,πx<0,0x<π.

        将   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开成傅里叶级数.
      
      解:
        当   x ≠ k π   \,x\neq k\pi\, x=kπ时,级数收敛于   f ( x )   \,f(x)\, f(x).
    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x = 0 a_0=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\text{d}x=0 a0=π1ππf(x)dx=0

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x = 0 a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0 an=π1ππf(x)cosnxdx=0

    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = 2 π ∫ 0 π sin n x d x = 2 n π [ − ( cos n x ) ] ∣ 0 π b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{n\pi}[-(\text{cos}nx)]\big|^\pi_0 bn=π1ππf(x)sinnxdx=π20πsinnxdx=nπ2[(cosnx)]0π = 2 n π ( − cos n π + 1 ) = 2 n π [ 1 − ( − 1 ) n ] = { 4 n π n = 1 , 3 , 5 , . . . 0 , n = 2 , 4 , 6... =\frac{2}{n\pi}(-\text{cos}n\pi+1)=\frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n]=\begin{cases}\frac{4}{n\pi}&n=1,3,5,...\\0,&n=2,4,6...\end{cases} =nπ2(cosnπ+1)=nπ2[1(1)n]={nπ40,n=1,3,5,...n=2,4,6...

    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) = 4 π [ sin x + 1 3 sin 3 x + . . . + 1 2 k − 1 sin ( 2 k − 1 ) x + . . . ] f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=\frac{4}{\pi}\bigg[\text{sin}x+\frac{1}{3}\text{sin}3x+...+\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x+...\bigg] f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)=π4[sinx+31sin3x+...+2k11sin(2k1)x+...] = 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 sin ( 2 k − 1 ) x      ( − ∞ < x < + ∞ , x ≠ m π , m ∈ Z ) =\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x\;\;(-\infty<x<+\infty,x\neq m\pi,m\in Z) =π4k=12k11sin(2k1)x(<x<+x=mπmZ)

    (二) f ( x )   f(x)\, f(x)只在   [ − π , π ]   \,[-\pi,\pi]\, [π,π]上有定义

      如果   f ( x )   \,f(x)\, f(x)只在   [ − π , π ]   \,[-\pi,\pi]\, [π,π]上有定义,且在   [ − π , π ]   \,[-\pi,\pi]\, [π,π]上满足狄利克雷收敛定理的条件,则   f ( x )   \,f(x)\, f(x)经过周期延拓也可以展开成傅里叶级数.

      周期延拓通过补充定义,使原函数成为周期函数. 傅里叶级数研究的核心对象是周期函数,所以对于非周期函数,要设法将其延拓为周期函数. 需要注意的是,并非所有函数都可以延拓为周期函数 (比如定义在全体实数集上的非周期函数).

    (1) 周期延拓

      通过在   ( − π , π ]   \,(-\pi,\pi]\, (π,π]   [ − π , π )   \,[-\pi,\pi)\, [π,π)外补充函数   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的定义,使之拓广成以   2 π   \,2\pi\, 2π为周期的周期函数   F ( x ) \,F(x) F(x),这种拓广函数定义域的过程称为周期延拓.

      注意:题目中的   f ( x )   \,f(x)\, f(x)会给出   ( − π , π ]   \,(-\pi,\pi]\, (π,π]   [ − π , π )   \,[-\pi,\pi)\, [π,π)上的表达式.

    (2) 周期延拓展开成傅里叶级数

      步骤
        step 1.   f ( x )   \,f(x)\, f(x)定义域进行周期延拓,得到周期函数   F ( x )   \,F(x)\, F(x).
        step 2.   F ( x )   \,F(x)\, F(x)展开成傅里叶级数.
        step 3. 限制   x   \,x\, x   ( − π , π )   \,(-\pi,\pi)\, (π,π)内,此时在   ( − π , π )   \,(-\pi,\pi)\, (π,π)   F ( x ) ≡ f ( x ) \,F(x)\equiv f(x) F(x)f(x).
        step 4. 检查端点处 ( x = ± π x=\pm\pi x=±π) 是否也收敛于 f ( x ) f(x) f(x).

      注意
        经过周期延拓展开成的傅里叶级数,需要考虑单独考虑端点处是否收敛. 因为周期延拓以后,左右端点既可能成为连续点,也可能成为间端点. 如果成为连续点,是符合幂级数展开式条件的,就需要考虑在内. 这一步也可以在完成周期延拓以后就检查.
        总之,最后写范围的时候,判断端点处是否需要考虑,就看端点处在延拓以后是否连续. 连续就要加上,不连续就不包含.

    (三) f ( x )   f(x)\, f(x)只在   [ 0 , π ]   \,[0,\pi]\, [0,π]上有定义

      如果   f ( x )   \,f(x)\, f(x)只在   [ 0 , π ]   \,[0,\pi]\, [0,π]上有定义,且在   [ 0 , π ]   \,[0,\pi]\, [0,π]上满足狄利克雷收敛定理的条件,则   f ( x )   \,f(x)\, f(x)经过奇延拓(或偶延拓)也可以展成傅里叶级数,且此级数必为正弦级数余弦级数.

      奇偶延拓通过补充定义,使原函数成为奇函数或偶函数.

    (1) 奇延拓

        通过在   ( − π , 0 )   \,(-\pi,0)\, (π,0)内补充   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的定义,得到定义在   ( − π , π ]   \,(-\pi,\pi]\, (π,π]上的   F ( x ) \,F(x) F(x),使它在   ( − π , π )   \,(-\pi,\pi)\, (π,π)上成为奇函数 (若   f ( 0 ) ≠ 0 \,f(0)\neq 0 f(0)=0,则规定   F ( 0 ) = 0 \,F(0)=0 F(0)=0). 这种拓广函数定义域的过程称为奇延拓.

    (2) 偶延拓

        通过在   ( − π , 0 )   \,(-\pi,0)\, (π,0)内补充   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的定义,得到定义在   ( − π , π ]   \,(-\pi,\pi]\, (π,π]上的   F ( x ) \,F(x) F(x),使它在   ( − π , π )   \,(-\pi,\pi)\, (π,π)上成为偶函数. 这种拓广函数定义域的过程称为偶延拓.

    (3) 奇延拓展开成正弦级数

      步骤
        step 1.   f ( x )   \,f(x)\, f(x)定义域进行奇延拓,得到   F ( x )   \,F(x)\, F(x).
        step 2.   F ( x )   \,F(x)\, F(x)展开成傅里叶级数,这个级数必为正弦级数.
        step 3. 限制   x   \,x\, x   ( 0 , π ]   \,(0,\pi]\, (0,π]内,此时在   ( 0 , π ]   \,(0,\pi]\, (0,π]   F ( x ) ≡ f ( x ) \,F(x)\equiv f(x) F(x)f(x).

      奇函数展开的傅里叶级数只有正弦项,所以称为正弦级数. 要将函数展开成正弦级数,就要通过奇延拓使函数成为奇函数.

    (4) 偶延拓展开成余弦级数

      步骤
        step 1.   f ( x )   \,f(x)\, f(x)定义域进行偶延拓,得到   F ( x )   \,F(x)\, F(x).
        step 2.   F ( x )   \,F(x)\, F(x)展开成傅里叶级数,这个级数必为余弦级数.
        step 3. 限制   x   \,x\, x   ( 0 , π ]   \,(0,\pi]\, (0,π]内,此时在   ( 0 , π ]   \,(0,\pi]\, (0,π]   F ( x ) ≡ f ( x ) \,F(x)\equiv f(x) F(x)f(x).

      偶函数展开的傅里叶级数只有余弦项,所以称为余弦级数. 要将函数展开成余弦级数,就要通过偶延拓使函数成为偶函数.

    (四) 周期为   2 l   \,2l\, 2l的周期函数的傅里叶级数展开

      设周期为   2 l   \,2l\, 2l的周期函数   f ( x )   \,f(x)\, f(x)满足狄利克雷收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为:
    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π x l + b n sin n π x l )        ( x ∈ C ) \color{Blue}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}\big(a_n\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\big)\;\;\;(x\in C) f(x)=2a0+n=1(ancoslnπx+bnsinlnπx)(xC)

    C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] } \color{Blue}C=\big\{x\big|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\big\} C={xf(x)=21[f(x0)+f(x+0)]}

      其傅立叶系数为:
    a 0 = 1 l ∫ − l l f ( x ) d x a_0=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\text{d}x a0=l1llf(x)dx

    a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) a_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x){\color{Purple}\text{cos}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) an=l1llf(x)coslnπxdx(n=1,2,3,...)

    b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin   n π x l d x        ( n = 1 ,   2 ,   3 ,   . . . ) b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x){\color{Purple}\text{sin}\,\frac{n\pi x}l{}}\text{d}x\;\;\;(n=1,\,2,\,3,\,...) bn=l1llf(x)sinlnπxdx(n=1,2,3,...)

      方法:与周期为   2 π   \,2\pi\, 2π   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的展开方法一样,不再赘述. 二者区别仅在于傅立叶系数和傅里叶级数. 针对不同的区间也可以进行延拓.

    4 傅里叶级数的和函数与和函数图形

      傅里叶级数展开只考虑连续点的情况,是把函数展开为傅立叶函数.
      而求傅里叶级数的和函数,要综合考虑连续点和间断点的情况. 是把傅里叶级数转换为函数.

      考试不会直接考察求已知傅里叶级数的和函数,而是在已知   f ( x )   \,f(x)\, f(x)基础上,再根据狄利克雷收敛定理确定间断点的值,直接写出和函数或者绘制出和函数的图形. 也就是:
    s ( x ) = { f ( x ) , x ∈ C , f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 , x ∉ C . s(x)=\begin{cases}f(x), &x\in C,\\\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},&x\notin C.\end{cases} s(x)={f(x),2f(x0)+f(x+0),xC,x/C.

    C ∈ { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) ] } C\in\big\{x\big|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\big\} C{xf(x)=21[f(x0)+f(x+0)]}

      例1. 设   f ( x )   \,f(x)\, f(x)是周期为   2 π   \,2\pi\, 2π的周期函数,它在   [ − π , π )   \,[-\pi,\pi)\, [π,π)上的表达式为:
    f ( x ) = { − 1 , − π ⩽ x < 0 , 1 , 0 ⩽ x < π . f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi\leqslant x<0,\\1,&0\leqslant x<\pi.\end{cases} f(x)={1,1,πx<0,0x<π.

        将   f ( x )   \,f(x)\, f(x)展开成傅里叶级数,求出级数的和函数,并作出级数的和函数图像.
      
      解:
        当   x = k π   \,x= k\pi\, x=kπ时,级数收敛于
    − 1 + 1 2 = 1 + ( − 1 ) 2 = 0 \color{Blue}\frac{-1+1}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0 21+1=21+(1)=0
        当   x ≠ k π   \,x\neq k\pi\, x=kπ时,级数收敛于   f ( x )   \,f(x)\, f(x).
    a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x = 0 a_0=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\text{d}x=0 a0=π1ππf(x)dx=0

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x = 0 a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0 an=π1ππf(x)cosnxdx=0

    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = 2 π ∫ 0 π sin n x d x = 2 n π [ − ( cos n x ) ] ∣ 0 π b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{\pi}\int^\pi_{0}\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{n\pi}[-(\text{cos}nx)]\big|^\pi_0 bn=π1ππf(x)sinnxdx=π20πsinnxdx=nπ2[(cosnx)]0π = 2 n π ( − cos n π + 1 ) = 2 n π [ 1 − ( − 1 ) n ] = { 4 n π n = 1 , 3 , 5 , . . . 0 , n = 2 , 4 , 6... =\frac{2}{n\pi}(-\text{cos}n\pi+1)=\frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n]=\begin{cases}\frac{4}{n\pi}&n=1,3,5,...\\0,&n=2,4,6...\end{cases} =nπ2(cosnπ+1)=nπ2[1(1)n]={nπ40,n=1,3,5,...n=2,4,6...

    f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) = 4 π [ sin x + 1 3 sin 3 x + . . . + 1 2 k − 1 sin ( 2 k − 1 ) x + . . . ] f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=\frac{4}{\pi}\bigg[\text{sin}x+\frac{1}{3}\text{sin}3x+...+\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x+...\bigg] f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)=π4[sinx+31sin3x+...+2k11sin(2k1)x+...] = 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 sin ( 2 k − 1 ) x      ( − ∞ < x < + ∞ , x ≠ m π , m ∈ Z ) =\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x\;\;(-\infty<x<+\infty,x\neq m\pi,m\in Z) =π4k=12k11sin(2k1)x(<x<+x=mπmZ)

      设级数的和函数为   s ( x ) \,s(x) s(x),于是
    s ( x ) = { f ( x ) , x ≠ m π , m ∈ Z , 0 , x = m π , m ∈ Z . s(x)=\begin{cases}f(x), &x\neq m\pi,m\in Z,\\0,&x=m\pi,m\in Z.\end{cases} s(x)={f(x),0,x=mπmZ,x=mπmZ.

      和函数图像为:

        (间断点处的函数值"居于中间",可简记为:两头挖空居中间)

      例2. 设   f ( x ) = ∣ x − 1 2 ∣ \,f(x)=|x-\frac{1}{2}| f(x)=x21 b n = 2 ∫ 0 1 f ( x ) sin n π x d x        ( n = 1 , 2 , . . . ) b_n=2\int^1_0f(x)\text{sin}n\pi x\text{d}x\;\;\;(n=1,2,...) bn=201f(x)sinnπxdx(n=1,2,...),令   S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n sin n π x \,S(x)=\sum^\infty\limits_{n=1}b_n\text{sin}n\pi x S(x)=n=1bnsinnπx,则   S ( − 9 4 ) = ?   \,S(-\frac{9}{4})=?\, S(49)=?

      解: ∑ n = 1 ∞ b n sin n π x   \sum^\infty\limits_{n=1}b_n\text{sin}n\pi x\, n=1bnsinnπx是一个正弦级数,结合   b n = 2 ∫ 0 1 f ( x ) sin n π x d x = ∫ − 1 1 f ( x ) sin n π x d x \,b_n=2\int^1_0f(x)\text{sin}n\pi x\text{d}x=\int^1_{-1}f(x)\text{sin}n\pi x\text{d}x bn=201f(x)sinnπxdx=11f(x)sinnπxdx
        所以   S ( x )   \,S(x)\, S(x)是在   [ 0 , 1 ]   \,[0,1]\, [0,1]   f ( x )   \,f(x)\, f(x)进行奇延拓、再进行周期延拓形成的,以   2   \,2\, 2为周期的和函数.
        (画图分析理解) 于是   S ( − 9 4 ) = S ( − 2 − 1 4 ) = S ( − 1 4 ) = − 1 4   \,S(-\frac{9}{4})=S(-2-\frac{1}{4})=S(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}\, S(49)=S(241)=S(41)=41

      对于例2这种题目,可以通过已知条件画图分析,就千万不要先求出级数,再代值计算,非常浪费时间.

    展开全文
  • 傅里叶变换和傅里叶级数之间的区别与联系,详细推导和个人理解。我的CSDN博客中也有这一篇文章。
  • 周期锯齿波傅立叶级数(离散频谱)的MATLAB实现,绘制并观察周期锯齿脉冲信号频谱特性,可自改成其他周期函数
  • 三角函数到傅立叶级数

    千次阅读 2019-12-19 09:34:53
    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!! 下面进入正题 正弦波 信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角...

    我讨厌傅立叶级数的叫法,这老让我感觉到很深奥,但当我用三角级数时,感觉就大不同了!!

    下面进入正题

    正弦波

    信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关,三角函数又常常叫正弦函数,实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数。(假设θ为自变量,θ称为相位或相角,单位rad

     

    当我们引入动态的概念后(角频率,角速度,相位 θ=ωt+ψ),正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波(同上不管是sin还是cos都称正弦波)正弦波具有三个要素,角频率,初相位和波幅(振幅),通用的公式来描述正弦

    Sean:“波”就是一个动态的概念,三要素能唯一表征出一个正弦波,生活中最常见的交流电就是正弦波

     

     

    三角函数的正交性

    不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

    为什么呢

    因为不同频率的正弦波相乘(不管是sin还是cos)通过积化和差总是可化为两个正弦波之和或差,而我们知道们,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分,取周期),当同频时则结果等于它的周期的一半

     

     

    信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式

     

     

    傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍),的结果必然为0。

    傅立叶级数(实质就是三角级数)

    任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。(所有的目标,谐波表示法)

    直观地可以用下面这个式子来表示

     

    利用三角函数的变换公式,上式可变形为

     

    现在,让我们正式的引入正交性的性质,还记得检波手段么,这里,我们假设对 f(t)用sin(κωt)进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分),那么就有。

    不要问为什么要加上积分,当然是为了利用三角积分的性质

     

    附 :(0,T)代入可得T/2

     

     非无穷函数展开为三解级数

    上面的结论都是针对“波”即随时间变化的无限的函数(定义域为负无究到正无究的函数)通常它含有ωt,角频率的自变量t形式。此时只有周期函数才能展开为傅立叶级数。在信号在信号处理领域我们称傅立叶级数只针对周期函数。

    特别注意实际上如 脉冲函数,一个方波等的函数,定义域也是无究的,只是值域可能为零。但它们是非周期函数,所以不能直接展开为三角级数。这也正是提出傅立叶变换的原因

    跳出信号处理的领域回归更一般的场合--定义域非无究的情况,傅立叶级数的定义为

    (系数的计算和上面方法是类似的)

     

    而且f(x)可以是分段连续的,此时关于其断点的傅立叶级数收敛性有:

     

    波”的傅立叶级数实质就是区间傅立叶级数的周期拓展的结果。

    傅立叶级数的周期延拓

    奇函数的偶函数关于对称区间的积分

     

    余项级数(余弦项的级数)

    因此如果对区间为(0,L) (这里的L来源于绝缘棒的长度)的函数进行偶延拓,则三角级数所有的正弦项系数(奇函数积分)将全为0,因此只有余项级数

     

    如果进行奇延拓,则三角级数只有正弦级数

     

    吉伯斯现象

    对于存在断点的函数的三角级数,在断点处的傅立叶级数的展开式总会有一个上冲。(对连续的部分当然是是随着三角级数项增加而无限接近,但断点处却不能,而总会有一个上冲,而且恒接近于1.09)

     

     

     

    狄利克雷充分条析

    傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为,任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数,但狄利克雷认为,只有在满足一定条件时,周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

    (1 )在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;

    (2)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;

    (3)在一周期内,信号是绝对可积的

    一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。

    狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。--人话讲就是满足的一定可展开为三角级数,不满足就不一定。

    展开全文
  • 周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式,共享学习。百度已有,只是这个不用下载券!不用下载券!不用下载券!
  • Y = Fseriesval(a,b,X) 计算由系数 a 和 b 在向量 X 中的值定义的傅立叶级数。 额外的参数允许重新缩放 X 数据和仅正弦或仅余弦的扩展。 例子: % 生成数据x = linspace(0,2,41)'; y = mod(2*x,1); % 使用 F...
  • 周期信号傅里叶级数的性质,高数与信号必修内容。
  • 函数 e^(-x) 在区间 (0,2pi) 上的傅立叶级数 (FS)。 这个程序类似于Matlab Demo of Square wave from Sine wave。 它绘制了 e^(-x) 和前 40 项 FS 之间的误差。 由于近似值(忽略 41 到 inf 项)而出现此错误
  • 傅里叶级数计算
  • 通俗易懂的傅立叶级数理解

    千次阅读 多人点赞 2017-08-17 10:54:57
    前面说到过泰勒展开式,这里我们在复习一下。...因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀! 这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样

    前面说到过泰勒展开式,这里我们在复习一下。

    我们知道泰勒展开式就是把函数分解成1,x,x^2,x^3....幂级数(指数)的和。

    你知道为什么要展开成幂级数的和吗?请看这里:
    因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀!
    这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊!!!
    所谓对函数的无限细分,就是不断求导,得到123456789阶变化率,从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊!还记得神马叫变化吗?位移的变化是速度,速度的变化是加速度,加速度的变化是加加速度的。
    泰勒级数的每一阶的系数(主值)就是各阶导数啊!
    所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊!!


    明白了,泰勒展开级数,是把函数转变成幂级数的和,那我们回归原题,看看,傅立叶级数表达的含义。  
    百度百科是这样说的:

    法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。

    哦,终于有点明白了,

    你想知道为什么分解成三角函数的和(正弦波或余弦波)那么重要吗?
    我们知道,对于一个周期函数来说,和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢(比如说振动的快慢)。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的,光也是有频率的。频率就是这些物质的本质属性。
    那凭什么是正弦/余弦的频率呀!
    因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】(就是含有电容等元件的电路方程)的【本征解!】。   

    我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和,而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】,所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】这叫什么,这就叫频域分析,这就叫信号与系统!!

    我们再来看看傅立叶级数公式吧。

    1. 什么是投影
        我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示,给定两个向量 u 和 v ,我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线,得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影,得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例,也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作,问题是:如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的,我们怎么用代数的方法求 c ?
         
     
        我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的,用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
     
    (1)

     

    这里补充一点向量正交:

    “正交向量”是一个数学术语,指点积为零的两个或多个向量。
    如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:
    注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:
    两个向量正交,可以表示为下图:
    由勾股定理可知:
    将上式展开得:
    我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:
    其中x,y满足下式:
    向量的长度(即向量的2范数)为:
    显然满足勾股定理:
    如果两个或多个向量,它们的点积为0,那么它们互相称为正交向量。在二维或三维的欧几里得空间中,两个或三个向量两两成90°角时,它们互为正交向量。正交向量的集合称为正交向量组。

    例如:a=(1,1,0),b=(1,-1,0) ,则内积(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0,所以a,b正交。向量组两两正交就是其任意两个向量都正交。

     
    2. 向量在一组正交基上的展开
        在讲傅里叶级数之前,我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生,就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子,如下图所示,现在我们引进一组正交基 {v1,v2},那么 u 可以展开成以下形式
      (2)
     
        从图上来看,(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上,c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是:我们怎么求 c1 和 c2 呢?你会说,我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2,然后利用它们正交的性质来求 c1,c2。没错,数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论,我们可以直接得出答案,直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式:
      (3)
     
    3. 傅里叶级数的几何意义
        现在我们已经明白一件事情了:如果想把一个向量在一组正交基上展开,也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”,那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了,也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天,这些东西跟傅里叶级数有什么关系?我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为:
      (4)
    其中系数表达式如下:
      (5)
     
        我不喜欢记忆这些公式,有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗?答案是有的,那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们,f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数(包括常数)组成的“正交基”来展开,
      (6)
     
        这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量,或两个函数之间是正交的,意思是它们的“内积”(inner product)为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中,对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说,它们的内积定义为
      (7)
     
        正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴,从几何角度来看,傅里叶级数展开其实只是在做一个动作,那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
        现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了,因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间,我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出:
      (8)
     
       值得注意的是,(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说,不管是 [-l,l] 还是 [0,2l],答案都是一样的。
       有同学会说,老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1,cos(nπx/l),或 sin(nπx/l), 然后积分,利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的,而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上,我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数,把函数看成是无限维的向量,把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来,这样学习新知识就变得简单了,而且可以毫无障碍的把公式记住,甚至一辈子都难忘。
       熟悉傅里叶级数的同学会问,那么对于复数形式的傅里叶级数,我们是否也能用几何投影的观点来看,然后写出级数中的所有系数呢?答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为:
      (9)
    其中系数表达式如下:
      (10)
     
    这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数,
      (11)
     
       我们之前提到了两个函数正交,意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说,它们的内积定义为
      (12)
    其中v加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。
       现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”,也就是系数cn:
      (13)
     
       这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间,给定任何向量都可以被一组基展开,它可以不必是正交的,这个时候展开项中的系数(也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标)需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候,这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出,也就是 (1) 式。同样的,在无限维的函数空间,我们可以把一个函数在某个“基”中展开,但是只有在“正交基”中,展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
       最后做一个总结,不管是向量 u 还是函数 u,他们都可以被一组正交基{vn:n=1,...,N}(有限个向量)或{vn:n=1,...,∞}(无限个函数)展开如下:
      (14)
       上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视情况而定,在有限维的向量空间(实数域),向量 u 和 v 的内积是点积 uTv;在无限维的函数空间,函数 u(x) 和 v(x) 的内积的通用形式是 (12),如果它们是实函数,那么 (12) 就可以简化成 (7) 的形式。
       我们可以看到,用几何投影的观点来看待傅里叶级数,理解变得更加容易,因为我相信所有人都能理解投影的概念;同时,傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住,想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系,尝试着用不同的角度去看待同一个问题,我相信这么做是很有好处的。


    参考:http://blog.renren.com/share/343320656/15540620254/0

    参考:http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.shtml

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  • 泰勒级数&傅立叶级数

    2019-03-05 10:41:00
    (#977) 泰勒级数的基本公式. 这个方程相当于是待解析曲线在求解点附近做了一条切线,并进行迭代法累加(n阶导数)。迭代次数越多,越接近原始曲线。举例用泰勒级数来分解...傅立叶级数的基本公式   这个方程相...

    (#977)

    泰勒级数的基本公式.

    这个方程相当于是待解析曲线在求解点附近做了一条切线,并进行迭代法累加(n阶导数)。迭代次数越多,越接近原始曲线。举例用泰勒级数来分解sin(t),相当于把一个光滑的函数(三角函数)变成一些列有楞有角的波形的叠加. 而n阶导数可以理解为不同的相互独立的维. 相互之间是天然的正交关系. (这个需要专业证明啊).
    傅立叶级数的基本公式
     
    这个方程相当于是待解析周期曲线用n阶三角函数进行累加, 用傅立叶级数表达周期方波, 相当于把一个有棱有角的曲线变成一些光滑的波形的叠加(不总是如此,因为也可以是光滑的周期曲线). sin(nx),cos(nx)的正交关系是LZ在之前的连载中早就说明了的.
    两者之间实际上还是有很大区别的. 泰勒级数主要作用是将不可计算的无理数对象分解为若干的可计算的有机数对象, 其性能考察包括收敛性. 收敛性越好,计算效率就越高(不需要太多逼近就能够计算出足够精度的结果)
    而傅立叶级数主要是针对周期信号的(傅立叶变换是假设周期T为无穷大,引申出来的,不在此讨论), 且用三角函数进行分解.高收敛性肯定不是评价其性能的标尺. 通过欧拉公式及e常数(e常数的一个主要特点是其导数特性,太特别了(e^x)'=e^x), 可以正如LZ所讲解的那样, 傅立叶级数将周期信号分解成若干的旋转向量. 将指数运算变成乘积运算及相位的相加运算.
    更深刻的只能期待数学专家的出场了!

     
    (#1840)
    所谓正交是指两个信号,经过乘法和[-T/2,T/2]的积分运算之后,结果为零。以物理的观点来看,正交的两个信号是不相关的。
    我们也可以把乘法和[-T/2,T/2]的积分运算定义为相关运算,任何两个信号,经相关运算后不为零,说明他们互相关,否则为不相关。
    同一个信号分成两路,其中一路经过时延后再与另一路作相关运算,得到的结果如果越大,则自相关性越好,否则就是自相关性越差。自相关性体现了信号随时间变化的随机性。可以想象,对随机码作自相关运算(时延不为零),结果为零。
    相关性放到光频中,就是相干性。大家可以回顾一下大学做双缝衍射实验的时候,条纹可见度与两个狭缝距离、光源特性的关系。

     

    (#2965)

    对于周期函数用的傅里叶级数展开,求得傅里叶系数,即得到线频谱。系数Cn的长度(高度)随频率增加而逐渐减小
    而当周期函数的周期慢慢增大时,系数的长度相对于原来也逐渐减小,
    当周期无限增大时,系数Cn高度趋于无限小,而其实在各个频率分量之间它的高度仍有差异
    此时我们将每个系数都除以一个无穷小,即△f.然后用这种相对高度去刻画这种分布的趋势
    从而将其定义为频率密度。
    自己想的时候觉得太巧合了,为什么刚好在求Cn的积分表达的式的右端刚好有一个1/T,即△f(无穷小),然后得到Cn/△f(即频谱密度)

     

    通信行业做研发需要哪些技能,和具体做的工作有关。如果你做软件开发,一般要求掌握C语言;你做硬件开发,一般要求掌握单片机/DSP相关电路设计、原理图编辑工具等;如果你做预研,对matlab/Simulink等仿真工具的要求就比较高;如果你做基站基带、中射频部分的开发,对通信原理的要求就比较高。等等。虽然都是在通信行业做研发,要求掌握的技能差别还是挺大的。

     

    对于多径效应,OFDM和CDMA采用了完全不同的四路来解决:
    OFDM将高速的串行码流转换为低速的并行码流,同时利用循环前缀消除多径引起的码间串扰和子载波间干扰;
    CDMA通过扩频将低速的码流转换为高速的码流,同时利用Rake接收技术对多径信号进行接收和合并,变害为利。

    Ref: http://www.txrjy.com/thread-394879-49-1.htm

    转载于:https://www.cnblogs.com/WindyZ/p/10475199.html

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