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  • 027 反三角函数求导公式推导

    万次阅读 2017-10-02 21:51:46
    027 反三角函数求导公式推导

    027 反三角函数的求导公式推导

     

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  • 据说根据反三角函数求导公式 \[{d\over dx}\arcsin x={1\over \sqrt{1-x^2}}\] \[{d\over dx}\arctan x={1\over 1+x^2}\] 先看\(\arcsin\),可以发现有 \[{d\over dx}F(x)={A'(x)\over \sqrt{1-A^2(x)}}\] \[F(x)=\i...

    题面

    传送门

    题解

    我数学好像学得太差了

    据说根据反三角函数求导公式

    \[{d\over dx}\arcsin x={1\over \sqrt{1-x^2}}\]

    \[{d\over dx}\arctan x={1\over 1+x^2}\]

    先看\(\arcsin\),可以发现有

    \[{d\over dx}F(x)={A'(x)\over \sqrt{1-A^2(x)}}\]

    \[F(x)=\int {A'(x)\over \sqrt{1-A^2(x)}} dx\]

    同理可得\(\arctan\)

    \[F(x)=\int {A'(x)\over 1+A^2(x)} dx\]

    //minamoto
    #include<bits/stdc++.h>
    #define R register
    #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
    #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
    #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
    using namespace std;
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
    int read(){
        R int res,f=1;R char ch;
        while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
        for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
        return res*f;
    }
    char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
    void print(R int x){
        if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
        while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
        while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
    }
    const int N=(1<<18)+5,P=998244353,inv2=499122177;
    inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
    inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
    inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
    int ksm(R int x,R int y){
        R int res=1;
        for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
        return res;
    }
    int inv[N],r[21][N],rt[2][N<<1],lg[N],lim,d;
    int iinv(R int x){return x<=262144?inv[x]:mul(P-P/x,iinv(P%x));}
    void Pre(){
        fp(d,1,18){
            fp(i,1,(1<<d)-1)r[d][i]=(r[d][i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
            lg[1<<d]=d;
        }
        inv[0]=inv[1]=1;
        fp(i,2,262144)inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
        for(R int t=(P-1)>>1,i=1,x,y;i<=262144;i<<=1,t>>=1){
            x=ksm(3,t),y=iinv(x),rt[0][i]=rt[1][i]=1;
            fp(k,1,i-1)
                rt[1][i+k]=mul(rt[1][i+k-1],x),
                rt[0][i+k]=mul(rt[0][i+k-1],y);
        }
    }
    void NTT(int *A,int ty){
        fp(i,0,lim-1)if(i<r[d][i])swap(A[i],A[r[d][i]]);
        for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
            for(R int j=0,t;j<lim;j+=(mid<<1))
                fp(k,0,mid-1)
                    A[j+k+mid]=dec(A[j+k],t=mul(rt[ty][mid+k],A[j+k+mid])),
                    A[j+k]=add(A[j+k],t);
        if(!ty)fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],inv[lim]);
    }
    void Inv(int *a,int *b,int len){
        if(len==1)return b[0]=iinv(a[0]),void();
        Inv(a,b,len>>1);
        static int A[N],B[N];lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
        fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
        NTT(A,1),NTT(B,1);
        fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
        NTT(A,0);
        fp(i,0,len-1)b[i]=dec(add(b[i],b[i]),A[i]);
        fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
    }
    void Sqrt(int *a,int *b,int len){
        if(len==1)return b[0]=1,void();
        Sqrt(a,b,len>>1);
        static int A[N],B[N];
        fp(i,0,len-1)A[i]=a[i];Inv(b,B,len);
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
        NTT(A,1),NTT(B,1);
        fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
        NTT(A,0);
        fp(i,0,len-1)b[i]=mul(add(b[i],A[i]),inv2);
        fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
    }
    void Arcsin(int *a,int *b,int len){
        static int A[N],B[N];
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,0,len-1)A[i]=a[i];fp(i,len,lim-1)A[i]=0;
        NTT(A,1);fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],A[i]);
        NTT(A,0);fp(i,0,len-1)A[i]=P-A[i];++A[0];
        Sqrt(A,B,len),Inv(B,A,len);
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,1,len-1)B[i-1]=mul(a[i],i);B[len-1]=0;
        fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
        NTT(A,1),NTT(B,1);
        fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
        NTT(A,0);
        fp(i,1,len-1)b[i]=mul(A[i-1],inv[i]);b[0]=0;
    }
    void Arctan(int *a,int *b,int len){
        static int A[N],B[N];
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,0,len-1)A[i]=a[i];fp(i,len,lim-1)A[i]=0;
        NTT(A,1);fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],A[i]);
        NTT(A,0);++A[0];
        Inv(A,B,len);
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,1,len-1)A[i-1]=mul(a[i],i);A[len-1]=0;
        fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
        NTT(A,1),NTT(B,1);
        fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
        NTT(A,0);
        fp(i,1,len-1)b[i]=mul(A[i-1],inv[i]);b[0]=0;
    }
    int A[N],B[N],n,ty;
    int main(){
    //  freopen("testdata.in","r",stdin);
        n=read(),ty=read(),Pre();
        fp(i,0,n-1)A[i]=read();
        int len=1;while(len<=n)len<<=1;
        if(ty)Arctan(A,B,len);else Arcsin(A,B,len);
        fp(i,0,n-1)print(B[i]);
        return Ot(),0;
    }

    转载于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10579296.html

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  • 之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式 最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式
    最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    1.倒三角:
    sin²+cos²=1
    tan²+1=sec²
    1+cot²=csc²
    2.对角线倒数
    3.临点积
    tan*cos=sin
    sin*cot=cos
    4.求导:左三角导数正,右三角导数负
    上互换:
    sin'=cos
    cos'=-sin
    中下2:
    tan'=sec²
    cot'=-csc²
    下中下:
    sec'=tan*sec
    csc=-cot*csc
    5.求积分:
    sec积分:ln|sec+tan|+C
    csc积分:-ln|csc+cot|+C
    

    在这里插入图片描述

    1.三角函数及其倒数

    sin(x)和csc(x)

    在这里插入图片描述

    cos(x)和sec(x)

    在这里插入图片描述

    tan(x)和cot(x)

    在这里插入图片描述

    分析其特点:

    在这里插入图片描述
    这几个三角函数两两之间是倒数的关系。
    他们共同特点:
    1.在同一点处他们函数值相乘为1
    他们有共同交点在y=1和y=-1这两条直线上
    2.在同一区间他们同号。
    其中一个函数->0+,那么另一个函数->+无穷
    其中一个函数->0-,那么另一个函数->-无穷
    3.在y=1和y=-1处对应的x坐标记为a。
    在a的左右邻域他们增减性相反

    2.三角函数及其反函数

    sin(x)和arcsin(x)

    注:
    正弦函数y=sinx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    反正弦函数对这样一个函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间。y=arcsinx 的定义域:[-1,1],值域:[-π/2,π/2]
    在这里插入图片描述

    cos(x)和arccos(x)

    y=cosx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    arccos(x)对这样一个函数y=cosx,x∈[0,π]成立,这里截取的是余弦函数靠近原点的一个单调区间,arccosx 值域是 :[0,π],定义域[-1,1]。

    在这里插入图片描述

    tan(x)和arctan(x)

    注:
    由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数。

    选取正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的,因此,反正切函数是存在且唯一确定的。arctanx的值域是:(-π/2,π/2)。

    在这里插入图片描述

    分析其特点

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    他们的特点其实就是原函数和反函数的特点,
    关于y=x对称。函数与其反函数在其对应区间内单调性相同。

    3.python画图源代码

    画图及坐标配置请参考matplotlib官方网站:https://matplotlib.org/gallery/index.html

    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 用来正常显示负号
    
    #import pandas as pd
    import numpy as np
    from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
    import numpy as np
    from matplotlib.ticker import MultipleLocator, FuncFormatter
    
    fig = plt.figure(1, (10, 6))
    
    ax = SubplotZero(fig, 1, 1, 1)
    fig.add_subplot(ax)
    
    """新建坐标轴"""
    ax.axis["xzero"].set_visible(True)
    #ax.axis["xzero"].label.set_text("新建y=0坐标")
    #ax.axis["xzero"].label.set_color('green')
    ax.axis['yzero'].set_visible(True)
    # ax.axis["yzero"].label.set_text("新建x=0坐标")
    
    # 新建一条y=2横坐标轴
    #ax.axis["新建1"] = ax.new_floating_axis(nth_coord=0, value=1,axis_direction="bottom")
    #ax.axis["新建1"].toggle(all=True)
    #ax.axis["新建1"].label.set_text("y = 1横坐标")
    #ax.axis["新建1"].label.set_color('blue')
    
    """坐标箭头"""
    ax.axis["xzero"].set_axisline_style("-|>")
    ax.axis["yzero"].set_axisline_style("-|>")
    
    
    """隐藏坐标轴"""
    # 方法一:隐藏上边及右边
    # ax.axis["right"].set_visible(False)
    # ax.axis["top"].set_visible(False)
    #方法二:可以一起写
    ax.axis["top",'right'].set_visible(False)
    # 方法三:利用 for in
    # for n in ["bottom", "top", "right"]:
    #  ax.axis[n].set_visible(False)
    
    
    
    
    x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, 0.01)
    def pi_formatter(x, pos):
        """ 
        将数值转换为以pi/4为单位的刻度文本 
        """
        m = np.round(x / (np.pi / 4))
        n = 4
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m == 0:
            return "0"
        if m == 1 and n == 1:
            return "$\pi$"
        if n == 1:
            return r"$%d \pi$" % m
        if m == 1:
            return r"$\frac{\pi}{%d}$" % n
        return r"$\frac{%d \pi}{%d}$" % (m, n)
    
    
    # 设置两个坐标轴的范围
    plt.ylim(-3 , 3)
    plt.xlim(-2*np.pi, np.max(x))
    
    # 设置图的底边距
    plt.subplots_adjust(bottom=0.15)
    
    plt.grid()  # 开启网格
    
    # 主刻度为pi/4
    ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(np.pi / 4))
    
    # 主刻度文本用pi_formatter函数计算
    ax.xaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(pi_formatter))
    
    # 副刻度为pi/20
    ax.xaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(np.pi / 20))
    
    # 设置刻度文本的大小
    for tick in ax.xaxis.get_major_ticks():
        tick.label1.set_fontsize(16)
    
    """设置刻度
    ax.set_ylim(-3, 3)
    ax.set_yticks([-1,-0.5,0,0.5,1])
    ax.set_xlim([-5, 8])
    """
    
    # ax.set_xticks([-5,5,1])
    
    #设置网格样式
    ax.grid(True, linestyle='-.')
    
    '''
    
    ax.plot(x, 1/np.sin(x),color='lightskyblue', label="$csc(x)$")
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    
    ax.plot(x, np.cos(x),color='orange', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x, 1/np.cos(x),color='green', label="$sec(x)$")
    
    
    ax.plot(x, np.sin(x)/np.cos(x),color='orange', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x, np.cos(x)/np.sin(x),color='skyblue', label="$cot(x)$")
    
    '''
    
    
    ax.plot(x, x,color='black', label="$y=x$")
    
    x3 = np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    ax.plot(x3, np.sin(x3),color='green', label="$sin(x),x∈[-π/2,π/2]$")
    ax.plot(np.sin(x3), x3 ,color='blue', label="$arcsin(x)$")
    
    x2 = np.arange(0, np.pi, 0.01)
    ax.plot(x, np.cos(x),color='green', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x2, np.cos(x2),color='red', label="$cos(x),x∈[0,π]$")
    ax.plot(np.cos(x2), x2 ,color='brown', label="$arccos(x)$")
    '''
    x4=np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.tan(x),color='red', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x4, np.tan(x4),color='green', label="$tan(x),x∈(-π/2,π/2)$")
    ax.plot(np.tan(x4), x4 ,color='blue', label="$arctan(x)$")
    '''
    plt.legend()
    plt.show()
    # 存为图像
    # fig.savefig('test.png')
    
    
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    1、 导数基本公式
    在这里插入图片描述
    2、三角函数求导公式
    在这里插入图片描述

    3、反三角函数求导公式
    在这里插入图片描述

    4、高阶导数公式
    在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 数值分析软件 v1.1

    2008-04-23 19:46:02
    另外,对一些函数求导问题,其求导、微分也相当复杂,也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本软件就是针对这些问题而设计的,内容包括:牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式、复化求积公式、高斯求积公式、绘制...
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空空如也

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反三角函数求导公式